TANRI ZAR ATAR MI

|

 

TANRI ZAR ATAR MI? 
- KAOSUN MATEMATİĞİ
- IAN STEWART

Çevirmenin Önsözü

Deterministik dinamik sistemlerde kaosa adanmış yayınların patlaması tüm rekorları kırdı. Bu konuya ve uygulamalarına ayrılan makale sayısı onbinleri bulmaktadır ve yıldan yıla artmaktadır. Aynı zamanda bu konuyla ilgili yerli kitaplar da parmakla gösterilebilir . Bu, özellikle , bu teorinin en cesur yorumlarına ayrılmış yayınların sayısı çok hızlı bir şekilde arttığında, bilim adamlarına ve uzmanlara yönelik modern doğa biliminin sorunlu, dünya görüşü meseleleri üzerine kitlesel, popüler literatür için geçerlidir .

Matematikçi ve kesin bilimlerin tanınmış bir popülerleştiricisi olan Ian Stewart'ın kitapları ülkemizde iyi bilinmektedir. (Tim Princeton ile birlikte) monografisini Felaket Teorisi ve Uygulamaları ile “yetişkin” çocuklar için yayınlanan Felaket Gizemi kitabını adlandırmak yeterlidir. İçlerindeki açıklamanın popülaritesi, yazarın modern matematiğin çok güncel ve önemli problemlerini açıklamasını engellemez. Kitaplarında pek çok fıkra, orijinal karşılaştırma, şiir, alıntı var - tek kelimeyle, okumayı eğlenceli, ilginç ve anlamlı kılan her şey. Özellikle etkileyici olan, yazarın matematikle ilgili konumudur; bu, kural olarak, matematiğin yalnızca bir araç, bir dil olduğunu, ancak bir bilgi aracı olmadığını gösteren Rus kitaplarının büyük çoğunluğundakinden önemli ölçüde farklıdır. , ön plandadır. Stewart'ın kitabında matematiğin tamamen farklı bir rolü vardır; matematiği, insan bilgisinin öncüsü, en evrensel bilimin alanı olarak, aktif ve bağımsız olarak bilinmeyene, fiziksel mekanizmaları yalnızca bilinmeyenin karanlığında tahmin edilen gerçeklik fenomenlerine giden yolu döşeyen bir alan olarak görür.

modern bilim paradigmasındaki temel bir değişikliğin prizmasından görülen modern dünyadaki rolüne ve yerine ayrılmıştır - öncü olarak doğrusal olmayan süreçlerin baskın çalışmasına yeniden yönlendirilmesi.

bir kişi için en alakalı karmaşık fenomeni açıklayan . Kitap, yeni nesil uygulamalı matematikçilere yöneliktir . Yazar, yeni bilimsel fikirlerin kökenlerini ortaya çıkarmaya, özlerini ortaya çıkarmaya, mevcut zorlukları göstermeye ve geleceğe giden yolu bulmaya çalışır. Matematikçiler tarafından kullanılan çeşitli hilelere ve bunların bilimdeki gerçek yerlerine çok dikkat edilir. Yazar , birçok ünlü kişinin düşünce ve görüşlerini gizlice okuyucuyla paylaşır . Tarihten bahsetmişken, bu kitabı, yazarlarının okuyucuyu öncelikleri kadar önemsemediği bir dizi yerli yayından ayıran bu çalışmadaki tüm katılımcılardan bahsetmeyi unutmaz.

Stewart'ın matematiksel görüşlerinin daha az önemli olmayan bir başka yönü, bilgisayarların modern bilimdeki ve özellikle matematikteki yapıcı rolünün anlaşılmasına dayalı olarak, bilgisayarların matematiksel olasılıklarını aktif olarak teşvik etmesidir. Ne yazık ki , bu tür görüşler bizden oldukça soğuk bir karşılama ile karşılanır ve bilgisayarı hala evrensel bir matematiksel araç olarak değil, algoritmaların uygulanması için büyük bir toplama makinesi olarak gören Rus matematikçilerin büyük çoğunluğuna yabancı kalır. 20. yüzyılın birçok matematiksel keşfi. basitçe imkansız olurdu. Bu, büyük ölçüde, kitapta ele alınan doğrusal olmayan dinamik sistemler teorisinin yönleriyle ilgilidir . Aynı zamanda yazar, gizli tuzaklar göstererek, makinelerin kötü düşünülmüş, mekanik kullanımına karşı uyarıda bulunuyor.

bilginin sınırları olarak bilinen şeye ayrılmıştır . Halk arasında devleti, başarıları ve kaos ve ilgili konular hakkındaki mevcut fikirlerin belirsiz, tartışmalı noktalarını anlatır . Uygulamalı matematiğin modern bilimin çeşitli alanlarında uygulanmasına ilişkin görüşler, metodoloji ve sorunlar ele alınmaktadır. Yazar , her durumda sunumu netleştirmeye ve mevcut belirsizlikleri göstermeye çalışarak fenomen mekanizmalarına özel önem veriyor . Bu tür kitaplar, yazarları yerleşik geleneğe göre, esas olarak bilinenler hakkında konuşmaya çalışan veya okuyucuyu, bilgisi bazen çok eksik olan bilimin mutfağından dikkatlice ayırmaya çalışan yerel yayınlar için tipik değildir. geleceğin araştırmacıları için. Sorun şu ki, ülkemizde araştırmacılar esas olarak fizikçiler tarafından eğitiliyor ve matematik basit bir mesele ... sadece saymanız gerekiyor!

Bu kitap, Ian Stewart'ın önceki çalışması gibi, fizikteki problemler ve matematik tarihi üzerine geleneksel kitaplara çok az benzerlik gösteriyor . Felaket Teorisi ve Uygulamaları kitabının çevirmeni A. Chernavsky'nin "ne yazık ki ... yazarın modern İngilizce'nin olanaklarını virtüöz bir şekilde kullandığını" belirten sözleri, onun için tamamen geçerlidir. Çevirinin ana zorlukları bunlarla bağlantılıdır. Bildiğiniz gibi dil, onu yaratan insanların ruhunu en eksiksiz ve mecazi olarak karakterize eden bir olgudur. İngilizcenin rasyonalizmi ve kısalığı iyi bilinmektedir. Bu nedenle, İngilizce'deki bağlamın rolü esasen Rusça'dan farklıdır. Bağlamsız bir İngilizce cümleyi doğru anlamak çoğu zaman imkansızdır, okuldan bilinen bir dogma Rusça olarak yaşamaya devam ederken: bir cümle tam bir düşüncedir. Bu nedenle çeviri yapılırken bazı cümlelerin anlaşılması için gerekli eklemeler yapılmıştır. Özel bir şekilde, bu tür eklemeler kural olarak ayırt edilmedi, ancak bu kuralın istisnaları var.

Genel olarak, bu tür kitapların tercümesi süreci nispeten bağımsız üç aşamaya ayrılabilir: anlamsal çeviri, metnin Rus dilinin normlarına uygun hale getirilmesi, terimlerin ve kavramların yorumlanması. İlk olarak, içeriği doğru anlamak, yazarın amacını anlamak, cümlelerin ilişkisini vb. ayırt etmek, yani “banyodaki bebeği” görmek gerekir. Ardından, sunumu okuyucunun okurken rahatsız hissetmeyeceği, notasyonlardaki farkın göze çarpmayacağı ve okuduğunu net bir şekilde anlayabileceği şekilde düzenlemek önemlidir . Aynı zamanda, çevirmen, yetersiz anlama nedeniyle hem bilinçli hem de bilinçsiz olarak münferit ifadelerin anlamını gizleyebilir veya vurgulayabilir. Burada tekrarları ortadan kaldırırken ve “bebeği suyla atmayın” ibarelerini sadeleştirirken önemlidir. Üçüncü aşamada, mümkünse İngilizce terimlerin, varsa Rusça eşdeğerleri ile tamamen değiştirilmesi veya uygun bir Rusça terminolojisinin oluşturulması gerçekleştirilir. Bu, çevirinin yoruma dönüştürülmesiyle dolu en zor ve tartışmalı aşamadır. Bu çizgi incedir, ancak her zaman mevcuttur ve dikkatli bir tutum gerektirir. Görünüşe göre, Tercüman tarafından Hipokrat yeminine benzer bir şey verilmelidir : orijinalin yaratıcısına zarar vermemek, okuyucuya düşüncelerini, karşılaştırmalarını ve şüphelerini mümkün olduğunca tam ve eksiksiz iletmek.

Her zaman olmadığı gibi, bu aşamalar dizisi farklıdır ve şart koşulmuştur . Çoğu zaman, terimlerin son aşamada değiştirilmesi yasa dışıdır ve hatta hatalıdır; metnin haksız basitleştirilmesine ve terminolojik karışıklığa yol açar . Bu çeviride her durumda yeterli Rusça terim bulunamadı , bu nedenle çevirinin yazarı tuzaklardan kaçınmayı pek başaramadı. Bu nedenle, belirsizlikler ve şüpheli terimler genellikle dipnotlarda belirtilir. Tüm terimler ve anlamsal kavramlar da mümkün olduğunca eksiksiz olarak geleneksel İngilizce Dizininin yerini alan Konu Dizini'nde sunulmaktadır.

genellikle tırnak işaretleri içine alındığı popüler bilim kitaplarını sunmanın yerel geleneğine özgü olmayan, yazarın sözlerini oldukça özgürce sunar, karşılaştırmalar ve mecazi metaforlar kullanır . Çevirirken, metnin böyle bir redaksiyonu , yazarın soruna karşı tutumunun kaybolmasına yol açacağından, mümkün olduğunca korunmuştur , ki bu aslında tamamen önemsizdir .

Ayrıca yazar hemen hemen her yerde “tu” (Uon) ile doğrudan okuyucuya atıfta bulunur ve onunla birlikte sonuçtan sonuca, sorudan soruya geçer. Kendinizi kanıtlayabileceğinizi söylüyor ... Geleneksel olarak, bu tür cümleler kişisel olmayan olarak Rusça'ya çevrilir: var, kanıtlanabilir. Bu, bu çeviri için de geçerlidir , ancak bazı durumlarda yazarın tonlaması kaybolur, bazı cümleler uygunsuz hale gelir , çeviri oldukça kaba bir yoruma dönüşür. Bu nedenle, bu kitabın birçok yerinde, yazarın okuyucuya olan çekiciliği korunur , ancak görünüşe göre bunu tam olarak uygulamak mümkün olmamıştır.

Çeviri yapılırken, yazarın baskısının orijinal üslubu mümkün olduğunca korunmuştur. Özellikle, Rus dilinin normlarına uymayan, ancak yazar tarafından Kaos gibi cansız nesneleri belirtmek için yaygın olarak kullanılan büyük harfler bırakılmıştır. Bununla birlikte, bu kuralın istisnaları vardır, örneğin, her yerde büyük harfle basılan Tanrı (Oosi) veya Deity (Veіu) kelimesi, her durumda sırasıyla tanrı ve ilah olarak çevrilir.

, Rus edebiyatında pek kabul görmeyen görsel imgelerden ve geometrik temsillerden geniş ölçüde yararlanır . Ancak özgünlük ve yazarın bütün felsefesi böyle bir yaklaşımı destekliyor. Yazarın kendisi tarafından metinde bu konuda çok şey söylendi. Bu nedenle, metinde, bazı durumlarda, çeviri sırasında “vizyon” ve “ anlama” terimleri pratik olarak farklılık göstermezken, yerel literatürde bunlar aynı kavramlardan uzaktır. Çeviri yapılırken anlam aktarımını iyileştirmek için bazen “gör (vee)” kelimesi “anlamak” olarak çevrilir.

Orijinal metinde sık kullanılan alıntılar, orijinal metinde üst tırnak işaretleri ile çerçevelenmiştir, bu baskıda tipografik tırnak işaretleri ile belirtilmiştir: "Alıntı". Özel değerlendirmeye ayrılan, orijinalinde üst tırnak işaretleri ile basılan kavramlar, çeviri sırasında, Rus dilinin normlarına uygun olarak, örneğin “hukuk” gibi çift tırnak işaretiyle vurgulanır. Orijinalinde italik olarak basılan kaos gibi yeni tanıtılan tüm terimler ve kavramlar, çeviride benzer şekilde vurgulanır. Yazarın alıntı yaptığı bilimsel makale, kitap ve makalelerin başlıkları da orijinalinde italik olarak verilmiştir. Tercüme edildiğinde aynı şekilde yazılırlar, Bir şekilde Tanrı Zar Oynar mı? Orijinal ayrıca , her birinin kaynağı da dahil olmak üzere, gerekli teşekkürlerle birlikte 140 resmin tümünün bir listesini içerir . Bu nedenle, her şekil parantez içinde kaynağa bir bağlantı ile biter. Çeviri yapılırken, yerli okuyucuya çok az şey söyleyen bu liste atlanır, ancak resimlerdeki kaynağa yapılan referanslar korunur.

Orijinalde basılan tarihler de benzer şekilde çevrilir, yani anlaşılması için gereksiz açıklamalar içermez, ancak genellikle yerel gösterimde kullanılır: “g”. veya "yy." Yani orijinalinde olduğu gibi çeviride "1902'de..." yerine "1902'de..." deniyor, mümkün olduğunca yazarın sıklıkla kullandığı kavramlar da korunuyor. Aynı zamanda metinde nötr ve yaygın olarak kullanılan, Rusça'ya birkaç eşdeğer çeviriye sahip olan kavramlar, bağlama uygun olarak farklı çevrilmiştir. Bu nedenle, örneğin, "evren" terimi, her zaman olmasa da sıklıkla, daha yaygın olan Rusça "evren" kelimesiyle değiştirilir. Rusça'da daha dar bir anlamı olan "düzenlilik" terimi , bağlama göre hem "düzen" hem de "doğruluk" olarak çevrilir. “Usulsüzlük” kavramı metinde benzer şekilde, genellikle usulsüzlük, sapma ve hatta hukuka aykırılık olarak kullanılmaktadır. Tercümede kavramların tüm şüpheli kullanımları belirtilmiştir.

Yazarın metninde, transkripsiyonu standart kurallara göre yapılan ve mümkünse bilinen sözlükler ve yazarın orijinal eserlerinin mevcut çevirileri kullanılarak düzeltilen birçok özel isim vardır. Aynı zamanda, bir dizi yazarın terimlerini ve karşılaştırmalarını ve ayrıca isimleri çevirirken, yerli literatürde karşılık gelen analogları bulmak mümkün değildi, bu nedenle onlar için orijinal İngilizce terim de verildi. Ancak orijinal, Rus edebiyatında kabul edilen normlara uygun olarak hala biraz değiştirildi, örneğin, asır sayıları orijinalinde olduğu gibi Arapça değil, Roma rakamlarıyla yazılmıştır ve yüzyıl (sepѣshu) kelimesinin kendisi çevrilmiştir. yüzyıl olarak. Bazı cümleler birleştirilir, diğerleri daha iyi anlaşılması için parçalara ayrılır. Ek olarak, anlama için bağlama bağlı bazı cümlelerin eklenmesi gerekiyordu, her zaman bu tür ayrıntıları şart koşmadı.

Bu baskı, yazar tarafından dahil edilen ve metni anlamak için gerekli olan orijinalin çizimlerini korur. Taranmış ve çizimlerin üzerindeki önemli yazılar tercüme edilmiştir. Ne yazık ki, bu durumda, kısmen orijinalin kaynak olarak bu şekilde tekrar tekrar yayınlanmasından dolayı yüksek kaliteyi sağlamak mümkün olmadı. Konu İndeksi, orijinali esas alınarak yeniden derlenmiş, Rusya'da çok az bilinen, kitapta adı geçen edebi eserlerin yazarları gibi yazarın indekse dahil etmediği isimlerle genişletilmiştir . Araştırmacıların tüm isimleri yerli literatürde bulunamadı, bu nedenle Rusça'ya transkripsiyonlarına İngilizce orijinali eşlik ediyor.

Kitabın yayınlanmasından bu yana sekiz yıl geçmesine ve bu süre zarfında kaos çalışması çok ileri gitmesine rağmen, yazarın fikir ve düşünceleri sönmedi. Aradan geçen yıllar, zaten klasikleşmiş olan temel sonuçları değiştirmedi ve bunlara olan ilgi arttı . Aynı zamanda yeni araştırmalar yeni sonuçları ve sürprizleri de beraberinde getirdi. Bunlar esas olarak uygulamalarla ilgilidir. Yeni bir aşamada , fizikçiler kaos çalışmasına tamamen dahil oldular, daha önce onlarsız yapmayı başardıkları yerde doğrusal olmayanları bulmaya başladılar . Kesin bilimlerin nesneleri krizler ve kaosu yönetme yöntemleriydi. Yeni araştırmalar, özellikle de T-katmanı üzerine ev içi çalışma, patlama rejimleri vb. hakkında daha fazla ayrıntı, yerel yayınlar listesinde belirtilen SP Kapitsa, SP Kurdyumov ve GG Malinetsky tarafından yakın zamanda yayınlanan kitapta bulunabilir. kitabın sonu.

Çevirmen, çeviriyi okuyan ve orijinalin anlam ve dilini aktarma açısından gelişmesine katkıda bulunan yorumlarda bulunan herkese teşekkürlerini sunar. Metin ve şekiller AS Leonova tarafından taranmıştır. Çeviri için Proshri şirketinin Rusça çeviri sistemi Ziiinz 2.5 ve 3 sürümleri kullanıldı.

İnternette SKP lisansı altında ücretsiz olarak dağıtılan МіКТеХ sistemi sürüm 2.2'de basılmak üzere hazırlanmıştır . Yerleştirirken , program editörü AvipeсIT 2.4 kullanıldı.

, YSU MF Yu'nun doçentleri tarafından yapıldı . I. Trofimtsev, LT Kotukova. Düzeltmeleri ve yorumları, bireysel ifadelerin ve ifadelerin anlamını netleştirmeyi ve anlaşılmasını geliştirmeyi mümkün kıldı, bir dizi terim ve kavramı netleştirdi ve ayrıca metni Rus dili için olağandışı ifadelerden, gevşek, hantal ve sindirilemeyen ifadelerden ve büyük ölçüde serbest bıraktı. birçok hata. Son olarak çevirinin son halindeki metnin tamamı AS Leonova tarafından okunmuş ve düzeltilmiştir.

18 Şubat 1999, Yakutsk

Gül Bsgiriit

Bu çevirinin garip bir kaderi var. 6 yıldan fazla bir süre önce, IMI YSU'nun o zamanki direktörü, AA Samarsky'nin yıldönümünde gelecekteki kaderine karar verme fırsatını kullanmak için bu kitabı Moskova'ya götürdü . Kitabın bilimsel bir başyazıya ihtiyacı vardı , yayın hakları sorunlarını çözmek, bir yayıncı bulmak, yazarla iletişim kurmak vb. gerekiyordu. Ama inanılmaz oldu. Kitap kayboldu. Yönetmen, kitabı kişisel olarak SP Kurdyumov'a verdiğine dair bana güvence verdi. Ama o zaman nereye gittiğini bilmiyordu. Cevap yok, merhaba yok. Bu ne anlama geliyor veya ortaya çıkan durum nasıl anlaşılabilir?

makaleyi Editoryal URSS'ye sunmaya çalıştım . İlk bölümleri izlemek istediler ve sonrasında "ağızlarına su kaçtı" diye. Cevap yok, merhaba yok mu? Tüm sorular sessiz.

Bunun olmasının birçok farklı sebebini sayabilirsiniz: “kimseye yetki verilmedi”, “zaman yok”, “cevap yazamayacak kadar onurlu”, “çok nemli, kötü ve yanlış” vb. Ama bana öyle geliyor ki Buradaki nedenin doğada tamamen Rus olması, bu yerel bilimsel zihniyetin bir özelliğidir. Bir zamanlar, GP Shchedrovitsky anılarında (“Ben her zaman idealist oldum .” M.: Put, 2001.), ölümünden kısa bir süre önce, eserlerin ülkemizde çok yavaş yayınlandığı gerçeği hakkında şu açıklamayı yaptı: ülke LS Vygotsky, yılda bir cilt. Sonra yazıyor, anladım - herkes berbat olana kadar serbest bırakılmayacaklar. Aynısı, bana öyle geliyor ki, Ian Stewart'ın çok fazla fikir içeren, patlamasa bile, o zaman en azından bilimsel kurumumuzu gözle görülür şekilde harekete geçirebilecek kitabıyla oluyor.

Uygulamalı matematikçilerin, fizikçilerin, kimyagerlerin, biyologların, jeologların ve filozofların, tek kelimeyle, yeni bilimsel yönlere, karmaşıklık ve sinerjetik bilime ilgi duyan herkesin ilgisini çekecek olan kitap atıldı. Çevirisi için harcanan emeğin hiçbir şekilde sahiplenilmemesi için, bugün Ian Stewart'ın kitabının çevirisini tamamen açık bir şekilde Rusça konuşan okuyucuların yargısına sunmaya karar verdim. Ve yazarın haklarını ihlal ettiğimin tamamen farkında olsam da, bir dereceye kadar, orijinalin yayınlanmasından bu yana neredeyse 15 yıl geçmiş olması ve bunun en ufak bir değişiklik bile yapılmadan yapılması gerçeğiyle mazur görülebilir. ticari fayda. Elbette çeviri kusurlu ve birçok hata içeriyor. Ancak iyi çeviriler nereden gelir ve bir çeviri orijinalin yerini tamamen alabilir mi? Bunlar filozoflar için sorulardır ve çok basit sorular bile değildir.

21 Mart 2005 Yakutsk

Saat mi, Kaos mu?

Sen zar atan bir Tanrı'ya inanıyorsun ve ben de kusursuz yasalara ve düzene inanıyorum.

Albert Einstein, Max Born'a mektup.

Bir teoriye göre, tarih döngüsel olarak gelişir: insan olayları dizisi tam döngüsünü tamamladığında, spiral bir merdiven gibi yeni bir düzeyde tekrar eder. Ancak kültürel değişimin bu sarkaç salınımı aynı olayları tekrarlamakla kalmıyor. Bu teorinin doğru olup olmadığı önemli değil, ancak dikkatimizi olayların döngüsel doğasına odaklamamıza izin veriyor. Bu kitabın içeriği de tam bir sarmal döngü oluşturur: kaos, düzenin yolunu açar ve bu da yeni kaos biçimlerine yol açar. Sarkaçın sallanmasında, kaosa karşı bir karşı koyma değil , onu anlamanın bir yolunu arıyoruz.

Uzak geçmişte atalarımız doğayı kaprisli bir yaratık olarak görüyordu ve çevredeki herhangi bir düzenin olmaması, dünyayı yöneten güçlü ve anlaşılmaz tanrıların kaprislerine bağlanıyordu. Kaos hüküm sürdü ve hukuk düşünülemezdi.

Birkaç yüzyıl sonra insanlık, doğada kaydedilebilecek , analiz edilebilecek, tahmin edilebilecek ve kullanılabilecek birçok düzenlilik olduğuna yavaş yavaş ikna oldu. 18. yüzyılda bilim, doğa yasalarını keşfetmede o kadar başarılıydı ki, birçok kişi keşfedilecek çok az şey kaldığını düşündü. Değişmez yasalar, evrenin her parçasının hareketini tam olarak ve sonsuza dek tanımladı: bilim adamının görevi, her bir özel durumda bu yasaların ima ettiği özü açıklamak ya da herhangi bir özel doğal fenomen için bir yasa bulmaktı. Kaos, mekanik bir - antika saati andıran, 2- dünya görüşüne giden yolu açtı.

Ancak zaman ilerliyor ve evren hakkındaki anlayışımız genişliyor. Bugün saatlerimiz bile mekanik değil, peki neden eski dünya görüşü korunsun? İTİBAREN

2 Daha doğrusu, sіosklѵogk dvogіsi. Not. başına.

Kuantum mekaniğinin gelişiyle mekanik dünya kozmik bir piyango haline geldi. Radyoaktif atomların bozunması gibi temel olaylar, kanunla değil, olasılık tarafından belirlenir. Ses getiren başarısına rağmen, kuantum mekaniğinin tahmin gücü çekici değildi. Albert Einstein'ın Max Born'a yazdığı mektupta bu konudaki ünlü itirazı yukarıda verilmiştir. Einstein kuantum mekaniğinden bahsetti, ancak onun felsefesi hala indeterminizmin yabancı olduğu klasik mekanik geleneklerinin pençesindeydi. Olasılıkları değerlendirmenin bir yöntemi olarak zar metaforu bu kitap boyunca devam ediyor. Determinizm gerçekten seçim için yer bırakıyor mu?

Einstein'ın kuantum mekaniği konusunda haklı olup olmadığı görülecektir. Bununla birlikte, klasik mekanik dünyasının Einstein'ın hayal ettiğinden daha gizemli olduğu akılda tutulmalıdır . Rastgele seçim ile vurgulamaya çalıştığı yasaların determinizmi arasındaki keskin ayrım, şimdi yeni bir soru haline geldi. Tanrı'nın aynı anda hem zar atması hem de yasalar ve düzenlerle dolu bir evren yaratması mümkündür.

Geliştirme döngüsü sona erdi ve şimdi daha yüksek bir düzeyde tekrarlanıyor. Sabit ve kesin yasalara uyan sistemlerin her zaman öngörülebilir ve düzenli bir şekilde çalışmadığı keşfinin daha başındayız. Deterministik yasalar rastgelelik sergileyen davranışlar üretebilir. Düzen kendi kaos tipini üretebilir. Yani Tanrı'nın zar atıp atmadığı önemli değil, nasıl yaptığı önemli.

Bu şaşırtıcı bir keşif ve bilim üzerindeki etkisi henüz tam olarak anlaşılmış değil. Bir deneyin öngörülebilirliği ve tekrarlanabilirliği hakkındaki fikirler , onlara kaos içinde baktığımızda yeni özellikler kazanır. Bunu yaparken, basit olan karmaşık hale gelir ve ölçüm, öngörülebilirlik ve teorilerin doğrulanması veya yanlışlanması hakkında heyecan verici yeni sorular ortaya çıkar.

Öte yandan, kompleks basit olabilir. Biçimsiz ve rastgele görünen olaylar aslında basit yasalara tabi olabilir. Deterministik kaos kendi yasaları tarafından belirlenir ve bize yeni deneysel teknikler yaratma konusunda ilham verir. Dünyada doğal düzensizlikler içeren hiçbir depo yoktur ve yalnızca birkaçı bunların kaos matematiğinin fiziksel bir tezahürü olduğunu onaylar. Akışkan türbülansı, Dünyanın manyetik alanındaki değişiklikler, kalp ritmi bozuklukları, sıvı helyumdaki konvektif hücreler, göksel etkiler, asteroit kuşağının yapısındaki boşluklar, böcek popülasyonlarının büyümesi, damlayan musluk suyu, kimyasal reaksiyonlar, hücre metabolizması, hava değişimi, sinir uyarılarının yayılması, elektrik devrelerindeki dalgalanmalar, demirli bir geminin hareketi, bilardo toplarının zıplaması, bir gazdaki atomların çarpışması, kuantum mekaniğindeki temel belirsizlikler - bunlar kaos matematiğinin içinde bulunduğu problemlerdir. meydana çıkarmak.

Bu tamamen yeni bir dünya, yeni bir matematik türü, doğanın düzensizliklerinin anlaşılmasına ilişkin temel bir kavrayış. Biz onun doğumunun tanıklarıyız.

Bu matematiğin geleceği henüz kesin değil.

Bölüm 1

Düzenden Gelen Kaos

Bir kez daha korkunç imparatorluğunuz, Kaos yeniden doğuyor!

Işık öldü ve dünyan yükseldi, Senin gücün, büyük Anarch! Bırak perde kapansın Ve genel karanlık her şeyi kucaklasın.

İskender Papa. aptallar ülkesi.

Düzen ve düzensizlik, uyum ve kaos arasındaki asırlık mücadele , insanın evren hakkında derinden hissedilen fikirlerinde her zaman mevcuttur , farklı kültürlerden mitlerin yaratıcılarını birleştirir. Eski Yunanlıların kozmolojisinde kaos, ilkel kozmik boşluk ve ölülerin yaşadığı yeraltı dünyasıdır. Eski Ahit şöyle der: "Yeryüzü biçimsiz ve boştu ve karanlık dipsiz olarak sona erdi ." Kadim Babil destanında evren, asi ailenin vaftiz babası tarafından yok edilmesinden sonra kaostan doğdu. Kaos, daha sonra düzenli evrenin - evreni oluşturan birincil biçimsiz kütledir (Şekil 1.1). Düzen ve kaos , dünyanın tüm yorumlarının dayandığı zıt kutuplardır .

Doğuştan gelen bazı dürtüler insanı doğadaki düzenleri anlamaya çalışır, onu evrenin karmaşık değişkenliği içinde kalıplar aramaya sevk eder ya da kaos içindeki düzeni ortaya çıkarmayı mümkün kılar. En eski uygarlıkların bile mevsimleri belirlemek için gelişmiş takvimleri ve tutulmaları tahmin etmek için gereken astronomik bilgileri vardı. Eski insanlar gökyüzündeki figürleri seçtiler ve yıldızlar hakkında efsaneler oluşturdular. Rastgele ve anlaşılmaz bir dünyada kaderin iniş çıkışlarını açıklamak için tanrıların panteonlarını yarattılar. Sonra döngüler, formlar, sayılar, matematik vardı .

Pirinç. 1.1. Dünyanın Tarihi (sağ üstten saat yönünde): sıvı kaos, eski Dünya, Tufan zamanında Dünya, bugün Dünya, Dünya Ateşi zamanında Dünya, Mesih'in İkinci Gelişi zamanında Dünya, ve Dünya'nın bir yıldıza amansız dönüşümü. (Thomas Barnet'in Dünya Gelişimi Teorisinden, 1681).

mantıksız açıklama

, fiziksel dünyanın yapısını tanımlarken " matematiğin anlaşılmaz etkinliği" hakkında yazdı . Matematik , fiziksel dünya ile ilgili sorulardan doğar ve bazı hayati sorulara cevap vererek geçimini sağlar. Ancak bu süreç nadiren tek yönde akar. Genellikle matematiksel bir fikir kendi kendine ortaya çıkar, sonra unutulmuş gibi var olur, gelişir ve fiziksel önemi ortaya çıkana kadar saf matematiğin bir nesnesi olarak tartışılır ve iç sırları ortak özellik haline gelmez. Belki de matematik etkilidir çünkü insan beyninin düşük seviyeli dilidir . Modelleri yalnızca matematiksel nesneler olarak kabul etmemiz mümkündür ve bu nedenle matematik, temsillerimizin aracıdır. Belki de matematik, doğanın var olan organizasyonunda etkilidir, çünkü onun fiziksel varlığı tarafından koşullanmıştır. Başarısının kozmik bir yanılsama olması mümkündür. Gerçekte gerçek modeller olmaması, sadece kendimizi aptalca aldattığımız modeller olması mümkündür. Bütün bunlar filozoflar için sorulardır. Pratik gerçek şu ki, matematik çevremizdeki dünyayı anlamak için bildiğimiz en verimli ve güvenilir yöntemdir .

Bu satırları yazdığım yıl , Isaac Newton'un Maіketаісаі Prіpsіriez o/ Paііgaі Rkiіozorku 1'in emsalsiz yayınlanmasından bu yana 300 yılı işaret ediyor (Şekil 1.2). Ve şimdi bu kitabın 700 kopyası, esas olarak liberal sanat kolejlerinin öğrencileri için yılda bir kez satılmaktadır . , bir yüksek lisans derecesi elde etmek için birincil kaynaklardan eğitim. Bu kadar uzun vadeli popülerlik şaşırtıcıdır, ancak herhangi bir en çok satan tarafından geride bırakılmıştır. Yine de, Newton'un mesajı kültürümüzün içine nüfuz ediyor.

Diyor ki: Doğanın kanunları vardır ve onları bulmalıyız.

Newton'un yerçekimi yasası basittir. Evrendeki her iki parçacık, kesin ve basit bir biçimde, kütlelerine ve aralarındaki mesafeye bağlı olan bir kuvvetle birbirine çekilir (kütlelerinin çarpımı ile aralarındaki mesafenin karesiyle orantılıdır) . onlara). Bu yasa kısa bir cebirsel formüle indirgenebilir . Newton'un diğer hareket yasasıyla (bir cismin ivmesi, ona etki eden kuvvetle orantılıdır) eşleştirildiğinde, astronomide gözlemlenen yol eğriliklerinin tüm zenginliğini açıklayabilir: Zodyak'tan geçen gezegenlerden Ay'ın kendi yörüngesindeki salınımlarına kadar. Jüpiter'in rezonans eden görünmez uydularından hafif çarpık bükülmüş ikili yıldızlara, Satürn'ün halkalarındaki boşluklardan galaksilerin doğuşuna kadar. Sadece. Zarif. Zor.

Kaostan düzen

Newton hırslı bir adamdı. Dünyanın sisteminden, Her Şeyin teorisinden daha azını duymak istemiyordu .

Zamanının hayal gücünde, vahşi rüyasını aştı. İki yüzyıldan fazla bir süre boyunca, Newton'un yasaları , doğanın nihai tanımı olarak dünyaya hükmetti. Newton'a göre doğa ile bildiğimiz gerçeklik arasında sadece mikroskobik atomik alanlarda ve devasa kozmik mesafelerde ince farklar vardır . Bu alanlarda Newton'un fikirlerinin yerini kuantum mekaniği ve görelilik teorisi aldı. Modern fizikçiler , Her Şeyin Teorisi, süper yerçekimi, süper yıldızlar, kuarklar, kromodinamik, simetri kırılması ve Büyük Birleşik Teori hakkında Kutsal Kâse'yi bir kez daha sorguladılar . Onlara göre, dördü hariç çoğu sıkıca bükülmüş ve korkunç bir armadilloya benzeyen 26 boyutlu (veya belki de 10'dan fazla olmayan) bir dünyada yaşıyoruz . Sadece titremeleriyle tespit edilebilirler . Bu kavramların gelip geçici fanteziler mi yoksa gelecek vizyonları mı olduğunu henüz söyleyemeyiz . Ancak teori teorinin yerini aldığı, paradigma paradigmanın yerini aldığı sürece, bir şey sabit kalır: matematiğin alaka düzeyi. Doğa yasaları matematikseldir, Tanrı bir geometridir.

mekanik dünya

Bilimsel akılda, en iyi şekilde Newton yasalarında ifade edilen bir devrim , evrenin mekanik bir saat gibi işleyen devasa bir mekanizma olarak görülmesine yol açmıştır . Dijital saatler çağında yaşıyor olsak da, maksimum güvenilirlik ve eksiksiz mükemmelliği temsil etmek için gelecekte bu metaforu kullanmaya devam edeceğiz. Bu tür mekanizmaların öngörülebilir olması önemlidir: aynı olaylar aynı koşullar altında gerçekleşir . Her mühendis, makinenin belirli bir zamandaki durumu biliniyorsa, prensipte gelecekteki davranışını doğru bir şekilde tahmin etmenin mümkün olduğunu bilir. Bununla birlikte, teorinin yüksek ilkeleri temelinde değil , pratikte ne olacağı sorusunu daha iyi zamanlara bırakalım ve 17. ve 18. yüzyıl bilim adamlarının neden ilk bakışta göründüğünün yönlendirildiğini anlamaya çalışalım. gerçek dünyaya göre kısır ve kısır, mucizelerle dolu. ve sürpriz ödüller.

Newton, yasalarına yalnızca nicelikleri değil, aynı zamanda bu niceliklerin değişim oranlarını da bağlayan matematiksel denklemler biçimini verdi. Sabit bir yerçekimi kuvvetinin etkisi altında, bir cisim serbestçe düşerse, bu, hızının sabit kalmadığı anlamına gelir, aksi takdirde destek olmadan yerin üzerinde yüzerdi. Önemli olan hızın, yani vücut pozisyonundaki değişimin ölçüsünün sabit olmamasıdır: Düşüş ne kadar uzun sürerse, hareket o kadar hızlı olur. Bu nedenle yüksek binalardan düşmek, alçak binalardan düşmekten daha tehlikelidir. Sadece ivme - vücudun hızındaki değişim oranı - sabit kalır. Belki de bu akıl yürütme, bu kadar basit bir dinamik düzenliliğin nihayet fark edilmesinin neden bu kadar çok yüzyıl sürdüğünü açıklayacaktır : yasa sadece yeni basitlik kavramına hakim olanlar için basittir.

Değişim oranını tanımlayan denklemlere diferansiyel denklemler denir . Belirli bir miktarın değişim hızı, zaman içinde iki bitişik nokta arasındaki bu miktarın değerlerindeki değişim ile belirlenir . "Diferansiyel" kelimesi tüm matematiğe hakimdir: diferansiyel hesap, türev, diferansiyel , diferansiyel denklem. Hız içermeyen cebirsel denklem sistemlerinin çözümü bile her zaman kolay bir iş değildir, ancak birçok kişi nasıl yapılacağını bilir, ancak diferansiyel denklemlerin çözümü bir büyüklük mertebesi daha zordur. 20. yüzyılın sonundan geriye doğru bakıldığında, bu dönemde büyük bir başarının, birçok önemli diferansiyel denklemin yeterince ustalıkla çözülebileceğinin farkına varılması olduğu belirtilmelidir. Matematiğin tüm dalları, bireysel, belirleyici , diferansiyel denklemleri anlama ihtiyacından doğmuştur.

Bireysel denklemleri çözmenin teknik zorluklarına rağmen, çözüm elde etmek için genel ilkeler oluşturulabilir. Bu çalışmanın temel ilkesi, sistemin tüm bileşenlerinin başlangıç konumları ve hızları biliniyorsa, dinamik sistemlerin hareketini tanımlayan denklemlerin çözümünün benzersizliğidir . Bir bisikletin 5 veya 6 hareketli parçası vardır: Her birinin belirli bir anda nasıl hareket ettiğini bilirsek, bisikletin yola çıktıktan sonra ve yol kenarındaki hendeğe düşmeden önceki hareketini tahmin edebiliriz. Daha geniş olarak: eğer zamanın bir noktasında, güneş sistemindeki maddenin her parçacığının konumunu ve hızını biliyorsak, o zaman bu parçacıkların sonraki tüm gelişimi tamamen belirlenir.

Bu açıklamada, basitlik için, hareket üzerinde herhangi bir dış etkinin olmadığı varsayılmıştır. Ama onları hesaba katarsak, o zaman şu yorumu elde ederiz: Evrendeki tüm madde parçacıklarının belirli bir zamanda alınan konumları ve hızları, gelecekteki evrimini tamamen belirler. Evrenin sonraki gelişimi benzersizdir, yolunun dinamikleri tarafından önceden belirlenir. Evren sadece bir şey yapabilir. 18. yüzyılın önde gelen matematikçilerinden biri olan Pierre Simon de Laplace'ın (Şekil 1.3) anlamlı sözleri, onun Pkііоsоrіііісаі Essous op Probauliiiiiiies'inde kaydedilmiştir :

Herhangi bir anda, bu güçleri içeren her şeyin doğasını ve karşılıklı konumunu canlandıran tüm güçleri bilen bir zihin varsa ve bu zihin, bu verileri analiz için sunabilecek kadar genişse, o zaman yoğunlaşabilir. hem en büyük cisimlerin hem de en hafif atomların hareketi için tek bir formül : böyle bir zihin için hiçbir şey belirsiz olamaz; hem gelecek hem de geçmiş gözlerinin önüne gelebilir.

dikkate değer bir matematik teoreminden çıkan bu sonuçlar karşısında daha çok hürmetkar bir hayranlık var . Aşağıda bu korkunç ifadede gizlenen entelektüel hokkabazlığı göstermeye çalışacağım , ancak şimdilik bunun farklı bir yorumunu önermeme izin verin. Unutulmamalıdır ki , mekanik, ısıl , dalga, ses, ışık, manyetik ve elektriksel olgular henüz insan zihninin kontrolüne geçmişken, yeni bilimsel keşiflerin heyecanla beklendiği bir ortamda, Laplace'ınki gibi açıklamaların yapıldığı unutulmamalıdır. tek ve aynı tekniğin yardımı. Harika bir gerçeğe dev bir atılım gibi görünmüş olmalı. Sonra çalıştı. Böylece klasik determinizm paradigması doğdu : denklemler belirli bir sistemin evrimini benzersiz bir şekilde, herhangi bir rastgele dış rahatsızlığı hesaba katmadan önceden belirlerse, davranışı tüm zamanlar için benzersiz bir şekilde belirlenir.

Hyperion'a Yolculuk

5 Eylül 1977'ye, Cape Canaveral, Florida'daki Kennedy Uzay Merkezi'ndeki Hava Kuvvetleri'nin Doğu Menzilinde hızlı ileri sar. Dev Titan SE/Centaurus roketi fırlatılmaya hazır ve Fırlatma Kompleksi 41'in raylarında donmuş durumda. Mühendisliğin küçük zaferi, Voyager 1 uzay aracı (Şekil 1), en üst platformda oturuyor, kıyaslandığında cüce. dev roket. Son saniyeler tükeniyor. Alüminyum tozu ve amonyum perkloratla doldurulmuş bir çift katı yakıtlı güçlendirici, on beş kilometrelik bir yarıçap içinde duyulabilen bir kükremeyle fırlatılıyor . On beş katlı bir bina yüksekliğindeki ve 700 ton ağırlığındaki roket, düzgün bir şekilde savruldu ve dünyanın yerçekimini yenerek dümdüz yukarı süzüldü. İlk başta, hareketi acı verecek kadar yavaş görünüyor ; ilk yüz metrede yakıtın önemli bir kısmını yakar . Bununla birlikte, ilk on saat boyunca, Voyager 1 uzay aracı , Ay yörüngesinin yarıçapını aşan bir mesafede Dünya'dan uzaklaşır. Rotası uzak gezegenlere uzanıyor: Mars, Jüpiter, Satürn (Şekil 1.5).

Benzer bir uzay aracı olan Voyager 2, on altı gün önce fırlatılmıştı , Voyager 1'in fırlatılması ise teknik sorunlar nedeniyle ertelenmişti.

arızalar. Sonuç olarak, Voyager, Jüpiter'e daha hızlı bir yörünge izleyerek, arkadaşından dört ay öndeydi. Artık bildiğimiz gibi Voyager 1 , Satürn ile beklenmedik bir çarpışma nedeniyle görevini tamamlamadı , ancak Voyager 2 yaşananları düzeltmeyi başardı ve Uranüs ve Neptün'e doğru ilerlemeye devam etti. Sadece Plüton, yörüngedeki konumu nedeniyle "Büyük Tur"a erişilemedi ve keşiften kaçtı.

Voyager'ların uçuşu bir mühendislik harikasıdır ve aynı zamanda bunda teknolojinin hizmetkarı rolünü oynayan bir matematik harikasıdır. Matematik, araştırma projesini ve uzay aracının fırlatılmasını yönetir. Matematik, geminin metal yapısındaki yükleri ve gerilmeleri hesaplar, yakıtın yanmasını düzenler ve dünya atmosferinden kısa süreli bir geçiş sırasında uzay aracının derisinin etrafında akan hava akışlarının dinamiklerini tanımlar. Matematik , uzay aracının ilerlemesinin her küçük adımını huzursuzca izlerken, bilgisayar aracılığıyla elektronik darbeleri manipüle eder. Matematik , güneş sisteminin açılmamış görüntülerinin gemiden uzun süre Dünya'ya iletilmesi nedeniyle, karasal kontrolörlerin araştırma yürütmesini kontrol ettiği yardımı ile radyo tarafından iletilen mesajları bile kodlar .

Her şeyden önce matematik , gezegenlerin, uydularının ve Voyager'ların göksel buluşmalarını belirlediği yolların görkemli göksel dansını yönetir. Burada çalışan tek basit yasa Newton'un yerçekimi yasasıdır. Dolayısıyla Einstein'ın iyileştirmelerine gerek yok: Güneş sisteminde hüküm süren nispeten yavaş hızlarda, Newton yasalarının doğruluğu oldukça tatmin edicidir. Dünya, güneş sistemindeki tek gezegen olsaydı, o zaman Newton yasası, yörüngesinin elipslerinin karşılıklı ağırlık merkezi etrafında nasıl döndüğünü tahmin ederdi - Güneş'in derinliklerine dalmış bir nokta, çünkü bizimkinden çok daha büyük. gezegen. Gerçekte, Dünya, odaklarından birinde sabit olan Güneş'e göre bir elips boyunca hareket etmelidir. Ama Dünya güneş sistemindeki tek gezegen değil, yoksa neden Voyager'ın gönderilmesi gerekiyor? Her gezegen uzayda kendi elipsi boyunca hareket eder veya eğer varsa onun boyunca hareket etmesi gerekir.

diğer gezegenlerin etkisi olmazdı. Birbirlerinin hareketlerini bozarlar ve ideal elipsten uzaklaştırırlar, gezegenlerin hareketlerini hızlandırırlar veya yavaşlatırlar. Gezegenlerin kozmik dansı karmaşık ve karmaşıktır: yörüngelerini Newton, ardo con dgavia'ya göre hesaplarsanız, bu bir tür kozmik sarabanddır .

Yasa, dansın her adımını eksiksiz ve doğru bir şekilde tanımlar. Hesaplamalar kolay değil , ancak Voyager'ların amaçları için yeterli doğrulukla hızlı bir bilgisayarda sırayla yapılabilirler . Newton yasalarına dayanarak, gökbilimciler güneş sisteminin gelecekteki konumunu 200 milyon yıldan fazla bir süre önceden tahmin ettiler ; Ona kıyasla, birkaç yıl sonrasını tahmin etmek çocuk oyuncağı.

Jüpiter'in geçmişi belirsiz ve belirsizdir ve halkalarıyla ünlü Satürn de öyle. Diğer gizemleri, örneğin ay da ilgi çekicidir. Dünya gözlemcisi, uydularından sadece on tanesini biliyordu ve Voyager onların sayısını on beşe çıkardı.

Bir ay, Hyperion, olağandışıdır. Bu düzensiz şekilli bir oluşum, bir tür göksel patates. Yörüngesi kesin ve düzenlidir, ancak yörünge konumu değildir. Hyperion sadece eksenleri etrafında değil, aynı zamanda karmaşık, düzensiz bir şekilde yuvarlanıyor. Bununla birlikte, yuvarlanan Hyperion, yerçekimi ve dinamik yasalarına uyar ve Newton'un yasalarına hiçbir şekilde meydan okumaz.

Şimdi varsayımsal örneğimizin zamanı geldi. Voyager 1'in Hyperion'un on ondalık basamağa düşmesini ölçebildiğini varsayalım . Bu imkansız, ama varsayalım. Bu verilere göre, Newton'un karasal bilim adamları hakkındaki yasalarına dayanarak, Hyperion'un gelecekteki hareketinin en iyi tahminini yapabildiklerini varsayalım. Voyager 2 , Hyperion'un yanından geçtikten sadece birkaç ay sonra , tahminlerini gerçek verilerle karşılaştırabileceklerdi. Ve emin ol...

...tahminlerinin tamamen yanlış olduğunu.

Tahmin yanlış mıydı?

Hayır, doğru.

Bu Newton yasasını ihlal ediyor mu?

Hayır. Bu tahmin büyük olasılıkla tam da Newton yasası nedeniyle yanlıştır.

Belirsizlik? Gaz bulutları, manyetik alanlar, güneş rüzgarı gibi dış etkilerin rastgele bir tezahürü mü?

Numara.

Çok daha dikkate değer bir şey: Dinamiklerin matematiksel denklemlerinin doğal bir özelliği, basit denklemlerin bile o kadar karmaşık, ölçümlere o kadar hassas hareketler üretme yeteneği ki, onlarda rastgelelik ortaya çıkmaya başlar. Bu fenomen için uygun isim kaostur.

Kaos

Tüm yaygın kelimeler gibi, bu kelimenin de ek, yaygın olmayan anlamları yoktur. Rem kelimesiyle karşılaştırın :

Kaos ('keiob, Yunanca) n.

1. Evrenin düzeninden önce var olduğu varsayılan düzensiz biçimsiz madde .

2. Karmaşık karışıklık, aşırı karışıklık.

Söylenenlere uygun olarak, yeni sözlüklerin yazarları, bu terimin sonuna bir tanım daha eklemelidir. 1986'da Royal Society tarafından Londra'da düzenlenen kaos üzerine prestijli bir uluslararası konferansta ilk başta biraz utandıktan sonra önerildi. Orada bulunan herkes "kaosun" ne olduğunu bilse de, hepsi bunu yaptı ve gerçekten yapmalıydı. tehlikede olanı anlamaktı - çok azı bu terimin kesin bir tanımını sunmaya istekliydi. Bu, "sıcak" araştırma alanlarında yaygın bir uygulamadır - bilginin eksikliği bariz olduğunda bir tanım formüle etmek gerçekten zordur. Her durumda, aşağıdaki tanım da vardır:

3. sistemde meydana gelen stokastik davranış .

Burada iki yaygın kelime daha kullanılıyor - “stokastik” ve “deterministik”. Laplace'ın determinizmi zaten bize tanıdık geliyor. "Yüz Chastik", "rastgele" anlamına gelir. Kaos fenomenini anlamak için bu tanımı daha fazla tartışacağız çünkü bir paradoks ortaya çıkıyor. Deterministik davranış, kesin ve tartışılmaz bir yasa tarafından yönetildiği anlamına gelir . Stokastik davranış ise tam tersidir: kanunsuz ve düzensizdir, şans eseri yönetilir . Yani kaos, "tamamen yasalarca yönetilen kanunsuz davranıştır".

Hyperion gibi.

Kaos Hesabı

Hyperion neden böyle davranıyor ? Henüz bunun hakkında konuşmayacağız , ancak size doğrudan deneyebileceğiniz daha erişilebilir bir kaos örneği gösterebilirim. Tek ihtiyacınız olan bir cep hesap makinesi. Eğer bir ev bilgisayarınız varsa, bu hesaplamaları yapmak için kolayca programlayabilir ve kendinize bir sürü işten tasarruf edebilirsiniz.

bize aşağıdakileri söyleyen bir diferansiyel denklemle tanımlanır . Belirli bir anda Hyperion'un konumunu ve hızını bilmemize izin verin. Daha sonra , bu belirli değerlere dayalı olarak, bir sonraki anda Hyperion'un konumunu ve hızını elde etmeyi sağlayan iyi tanımlanmış bir kural vardır. Elde edilen değerleri koruyarak tekrar tekrar uygularsanız , sonunda önceden belirlenmiş herhangi bir zaman değerine ulaşabilirsiniz.

Zamanın sonsuz bölünebilir olduğuna ve an diye bir şeyin olmadığına itiraz edebilirsiniz , dolayısıyla bu ve sonraki anları ayrı ayrı ele almanın bir yolu yoktur . Haklı olabilirsiniz, ancak Eleatic Zeno ve birkaç modern fizikçi sizinle aynı fikirde olmazdı . Bu nedenle, kesinlik için, zamanın sürekliliği konumundan ilerleyeceğiz. Bununla birlikte, ayrık tanımlamanın esasen doğru olduğuna dair bazı kanıtlar vardır. Özellikle bu, diferansiyel denklemleri bir bilgisayarda sayısal olarak çözmeyi mümkün kılar , burada “moment” hesaplamada atılan “zaman adımı”dır. Yöntem işe yarar çünkü çok küçük zaman adımları sürekliliğe iyi bir yaklaşım sağlar.

Hyperion denklemi onu tanımlayan birçok değişken içerir: konum, hız, açısal dönüş. Bu verileri bir hesap makinesine koyabilir ve hareketini hesaplayabilirsiniz, ancak hayat bunun için çok kısa. Bu nedenle, çok daha basit bir denklem alıyoruz . Bunun Hyperion'un hareketini etkilemeyeceğini, ancak kaosun ortaya çıkışını göstereceğini belirtmek isterim .

x 2 anahtarı var ve sizinkinin de olduğuna inanıyorum. Değilse, x ve ardından = işaretine tıklamak aynı etkiye sahip olacaktır. 0 ile 1 arasında bir sayı yazalım, örneğin 0,54321 ve x 2 tuşuna tıklayalım . Tekrar tekrar yapıyoruz ve sayıları gözlemliyoruz. Ne oluyor?

Onlar azalıyor. Hesap makinemin tuşuna dokuzuncu kez bastığımda sıfır alıyorum ve O 2 = 0 olduğundan, bundan sonra ilginç bir şey olmaması şaşırtıcı değil.

yineleme olarak bilinir : aynı işlemi birçok kez gerçekleştirme. Hesap makinenizdeki diğer bazı tuşları kullanarak yinelemeyi deneyin. Bundan sonra, her zaman 0,54321'den başlayacağım, ancak isterseniz, elbette 0'dan farklı değerlerle başlayabilirsiniz. Radyan modundaki hesap makinemde baykuşlar tuşuna yaklaşık kırk defa bastıktan sonra hiç değişmeyen gizemli 0.739085133 sayısını alıyorum. Hangi özel özelliklere sahip olduğunu tahmin edebilir misiniz? Herhangi bir değerden başlayarak, her durumda yinelemeler hesap makinesini bu tek sayıya ayarlar: bunlar sabit bir duruma yakınsar .

Iap işlev tuşu da aynı şeyi yapar. Bu durumda görünüm aldatıcıdır. Bilgisayarda 300.000'e kadar yineleme yaptım, ancak sonuç hiçbir zaman herhangi bir sayıya yakınsamadı veya periyodik olmadı, ancak hesap makinesi, yineleme başına yalnızca 0.0000001 gibi değerinin çok yavaş arttığı alanlarda işlevi hesaplamanıza izin veriyor. Bu etkiye süreksizlik denir ve ilk bakışta değerlerin neden yakınsadığını açıklar.

Iap'nin hesaplanması sırasında aynı değerlerin çoklu tekrarlarının oluşturulduğu sonsuz sayıda başlangıç değeri vardır, ancak birinin gerçekten sıfır değeriyle karşılaştığı tek durum yalnızca 0'dır. Tipik davranış süreksizlikten kaynaklanır.

Pirinç. 1.6. Yinelemeler x 2 - 1 düzenli salınımlara yol açar. x değeri dikey olarak çizilir ve yineleme sayısı yatay olarak çizilir.

Sayının sonsuzluğu simgeleyemeyecek kadar büyük olması nedeniyle bir hata mesajı görünmeden önce hesap makinemdeki x tuşuna yaklaşık 268 kez basılabilir . y/x tuşu 1'e yakınsama sağlar .

1/t hesaplama anahtarı, daha da ilginç bir şeyi gözlemlemenizi sağlar: sayı, dönüşümlü olarak 0,54321 veya 1.840908673'e eşittir. 2 noktalı periyodik bir yineleme vardır: Tuşa çift tıkladığınızda hiçbir şey değişmez ve bir kez tıkladığınızda hiçbir şey değişmez. Muhtemelen bunun neden olduğunu tahmin edebilirsiniz.

Mevcut tuşlara basarak, bu şekilde her tür hesap makinesi davranışının çalışılabileceği sonucuna varmak kolaydır.

Ancak bunun nedeni, hesap makinesinin tuşlarının özel olarak güzel değerler verecek şekilde tasarlanmış olması olabilir. Bunu test etmek için başka anahtarlarla gelebilirsiniz.

Örneğin, x 2 - 1 anahtarını düşünün. Bunu simüle etmek için önce D'ye, ardından -1'e ve son olarak ='a basın. Bu örüntüde devam ettikçe kısa süre sonra kendimizi 0 ile -1 arasında daireler çizerken bulacağız (Şekil 1.6). Bu olur çünkü:

O 2 - 1 \u003d -1
(-1) 2 -1 \u003d 0.

Bu döngüsel tekrarlama yeni bir şey sağlamaz.

Son bir deneme daha. Şimdi 2x2-1 anahtarını alacağız . 0 ile 1 arasında bir sayı ile başlayalım. Sonuç o kadar normal görünüyor ki özel bir şey olduğunu hayal etmek zor. Hımm. ... Orijinal değerin etrafında atlamalar var, birçoğu var. Bekleyelim süreç kuruluncaya kadar... Belki zamanı fark edersiniz? Ancak bu tür hesaplamaları birçok kez tekrarlayamayız .... Bana öyle geliyor ki bu sıçramalar oldukça kaotik görünüyor (Şekil 1.7).

Pirinç. 1.7. Yineleme 2 x 2 - 1 kaosa yol açar.

Yaşasın, işe yaradı!

Basit bir denklem, sadece 2 x 2 - 1 hesaplamasını tekrarlamak, o kadar basit görünmeyen, aslında rastgele gibi görünen sonuçlara yol açar.

Şimdi tekrar 2x2 - 1 tuşuna basacağız ama 0,54321 ile değil 0,54322 ile başlayacağız. Elli yinelemeden sonra sonuç hala rastgele görünüyor, ancak tamamen farklı görünüyor.

Hyperion'un mikrokozmosta bir tür davranışıdır . Deterministik Denklem: Tanımsız bir sonuç. İlk verilerde küçük bir değişiklik: ilk değere giden yolun tamamen kaybı. 2x2 - 1 anahtarını kullanmanın etkisi daha da garip ve harika olur çünkü harici olarak benzer olan x - 1 anahtarı tamamen düzenli bir davranışla karakterize edilir .

hoşlanmıyorsanız, yukarıdakilerin hepsini bir hesap makinesinde yapmanızı istemiyorum , ancak bir ev bilgisayarınız varsa, burada uygulanabilir bir programdır. Dilerseniz kolayca başlatabilirsiniz. Metne başka bir program eklemedim, ancak bilgisayar bu eksikliği giderecek ve gerekirse , kaosun diğer yönlerini denemek için kendi programlarınızı yazmak için gerekli talimatları bulmanızı sağlayacaktır .

değeri için kx 2 - 1 düğmesine basmayı deyim yerindeyse tekrarlar . 30-50 arasındaki satırlar, "uzun vadeli" davranış oluşturmak için tasarlanmış bir döngü içerir ve elde edilen sayıların yazdırılmasını içermez . Örneğin k = 1.4 koyarsak bu program bazında 1.4® 2 - 1 butonunu elde ederiz. Bu, on altı farklı değer içeren oldukça karmaşık bir döngü yaratır!

10 IХРІІТк

20 x = 0,54321

30 KAYA p \u003d\ TOHd

40 x \u003d k * x * x- 1

50 HEKHT s

60 KAYA n \u003d \ TO 100

70 x \u003d k * x * x- 1

80 RKІХТх

90 HEKHT s

100 8TOR

Kaos yaklaşık olarak k = 1.5'te başlar. Bundan sonra, k'deki bir artışla , ortaya çıkan formların kaotikliği artar.

Ya da belki de öyle görünüyor. Ancak, gerçekte, tüm bunlar basit olmaktan uzaktır.

k = 1.74'te iyi tasarlanmış kaos meydana gelir ve k = 1.75'te başladığımız şeye benzer bir şey ortaya çıkar. Ek olarak, yaklaşık elli yinelemeden sonra modelin davranışı, periyodik olarak tekrarlanan üç sayı içeren bir döngüye indirgenir :

0.744, -0.030, -0.998.

Kaostan yoksun bir desen ortaya çıkıyor. Bu iki davranış ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır.

Umarım bunu gizemli ve ilham verici bulursunuz.

k = 1 ile 1.40155 ve ötesi aralığında incelemenizi tavsiye ederim . Benzer bir örnek elde etmek için 30 ve 60. satırlarda gösterilenlerden daha uzun döngülere ihtiyacınız olabilir.

Bilgisayarlar ve kaos dünyası. Genellikle, bilgisayar hesaplamaları kesinliğin zirvesi olarak kabul edilir, ancak gerçekte durum böyle değildir. Sınırlı bellek, bilgisayara yerleştirilen sayıların sonlu bir kesinliğe sahip olduğu anlamına gelir, örneğin sekiz veya on anlamlı basamak. Ek olarak, bu tür sayıları temsil eden "belirli" dahili bilgisayar kodu ve "harici" formu - sayının basılı veya ekrandaki görünümü - farklıdır. Bu, iki hata kaynağı yaratır : dahili hesaplamalardan kaynaklanan yuvarlama hataları ve dahili koddan harici gösterime çeviriden dönüştürme hataları. Genellikle bu hatalar önemli değildir, ancak kaosun özelliklerinden biri tam olarak bu küçük hataların yayılması ve büyümesidir.

Tüm bilgisayarlar aynı kodları kullansaydı hayat çok daha kolay olurdu, ancak durum bundan çok uzak. Bu nedenle, aynı programları iki farklı bilgisayarda çalıştırmak farklı sonuçlar doğurabilir. Aynı makinede çalışan, ancak “aynı” yazılımın farklı sürümlerini çalıştıran aynı program, farklı sonuçlar verir . Aşağıda bazen kendi bilgisayarımda elde ettiğim sayısal sonuçları vereceğim , ancak sizi uyarıyorum: orijinal verilerimle aynı sonuçları elde edemezsiniz! Modelin aynı davranışını benim yaptığım gibi kendin bulmalısın.

Ne keşfettik?

Mucize. Düzen ve iç içe geçmiş kaos, kx 2 - 1 gibi basit bir formül hesaplanırken ortaya çıkar. Yinelemelerden sonra k'nin bazı değerleri düzene yol açarken, ilkinden gözle görülür farkları olmayan diğerleri kaosa yol açar. Hangi? Pekala, şimdi matematiksel araştırmayı tartışmaya başlayacağız.

Tartışmanın başında Hyperion'un davranışını anlamadığımızı söylemiştik ve şimdi 2x2-1'in nasıl davrandığını bile anlamıyoruz . Bu, matematiksel anlamda, çarpıcı bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

asıl sorunun ne olduğunu anladık . Hesap makinesiyle çalışırken, daha önce yapılan varsayımı neredeyse unuttuk : Hyperion'un davranışında çok karmaşık bir şey var. Aslında, şimdi bildiğimiz gibi, durum böyle değil. Karmaşıklığın bu çalışma ile çok az ilgisi var. Bu iki durumda çok zor, temel ve son derece büyüleyici bir şey ortaya çıkıyor.

İlk milisaniye veya sözde Big Bang dışında, evrenin kökeni hakkında ikna edici veriler aldıklarını bildiren kozmologlar için bu beni üzüyor; büyük ve sabit dozda parasalcılığın faydasına bizi ikna eden ve birkaç milyon işsizin bundan sadece biraz hıçkıracağına inanan politikacıların yanı sıra . Benzer duygular, 1976'da matematiksel olarak eğitilmiş ekolojist Robert May tarafından ifade edildi:

ama siyasetin ve ekonominin gündelik dünyasında bile, eğer birçok insan sistemin mekanlarının her zaman basit dinamik özelliklere sahip olmadığını fark etseydi, çok daha geniş olurdu.

Hinduizm ve mekanik destek sanatı

Aşağıda, Batı medeniyetinin evreni nasıl düzenli bir saat gibi düşünmeye başladığını ve böylece deterministik denklemlerin her zaman doğru davranışa karşılık geldiğine inanarak kendini nasıl kandırdığını gösteren ana noktalara kısa bir genel bakış sunuyoruz. Doğu zihni, kural olarak, daha geniş bir felsefi bakış açısına sahiptir. Örneğin Hindular, kaosa daha ince bir rol atfederler, onu yalnızca biçimsiz bir düzensizlik olarak değil, düzen ve düzensizliğin birliğinin temeli olarak görürler . Klasik Hinduizm'de mitolojik kozmos üç ana aşamadan geçer: yaratılış, varoluş ve yıkım, aynada olduğu gibi doğum, yaşam ve ölümde yansıtılır. Brahma yaratılış (doğum) tanrısıdır, Vishnu varoluş (düzen ) tanrısıdır ve Shiva yıkım (düzensizlik) tanrısıdır. Shi you'nun kişiliği çok yönlüdür. Shiva, insanları insan toplumundan uzaklaştıran, şeylerin vahşi tarafında, yalnız avcıda, dansçıda, yogide yaşayan şeydir. Shiva, üzerine kül serpilmiş inatçı bir keşiştir. Vişnu düzeni ile Şiva'nın düzensizliği arasındaki fark , iyi ile kötü arasındaki fark değildir. Bunlar, tanrısallığın kendini gösterdiği iki farklı yoldur: iyilik ve öfke, uyum ve uyumsuzluk.

Benzer şekilde, matematikçiler şimdi düzen ve kaosu, altta yatan determinizmin iki farklı tezahürü modu olarak görmeye başlıyorlar. İzolasyonda hiçbir şey yoktur . Tipik bir sistem , kısmen düzenli, kısmen kaotik çeşitli durumlarda var olabilir . İki karşıt kutupluk yerine, sürekli bir anlam yelpazesi vardır. Uyum ve uyumsuzluk müzikal güzellikte kendini gösterdiğinden, benzer şekilde düzen ve kaos bir araya gelerek matematiksel güzelliği oluşturur.

Bölüm 2

Toplam Denklemler

Bu fenomeni sabırla gözlemleyen herkesin merkeze doğru harekete neden olan neden düşüncesinin doğal olarak geldiğine inanıyorum, ancak kabul edilmesi gereken, dünyanın evrende orta bir konumda olduğu ve dolayısıyla ağırlığı olan her şeyin ona doğru hareket ettiğidir.

Batlamyus. Almagest.

Mekanik dünyadan gelen bu metafor, uzun bir yolculuktan sonra bize geri döndü ve onun derinliklerinde saklı olan anlamı anlamamız önemli. Kaosu düşünmeden önce, hukukun kökenini incelemek gerekir.

Antik Yunanistan'dan, Milet'ten Thales'ten başlamak en iyisidir. MÖ 624 civarında doğdu . 546'da öldü ve Güneş tutulmasını tahmin etmesiyle bilinir. Muhtemelen kehanet yöntemini Mısırlılardan veya Keldanilerden ödünç aldı ve sonucu bir yıl içinde doğru çıktı. Öyle olabilir, ancak tutulma uygun bir anda meydana geldi, bu da Lidyalıların Medlerle savaşını durdururken, Güneş neredeyse tamamen karardı. Bu tesadüfi durum , şüphesiz Thales'in bir astronom olarak itibarını artırdı. Tarihçinin çalışmasında talihsiz bir zorluk, yalnızca bazı olayların doğru olarak tarihlenebilmesi, diğerlerinin ise varsayımsal kalmasıdır. Thales'in doğum tarihi ile ilgili bilgilerimiz Apollodorus'un yazılı kayıtlarına dayanmaktadır; ve Diogenes Laertes ölüm tarihi hakkında yazdı: her iki tarih de güvenilmez. Ancak hiç şüphesiz bu tutulmanın MÖ 28 Mayıs 585'te gerçekleştiğini söyleyebiliriz. Kozmik saat o kadar güvenilir bir şekilde işliyor ki, iki buçuk bin yıl sonra bile sadece eski tutulmaların zamanını değil, aynı zamanda dünya yüzeyindeki konumlarını da hesaplayabiliyoruz, yani göründükleri yerleri gösteriyoruz. Güneş tutulmaları nadirdir ve Fales gerçekten bu olaya yalnızca tanık olabilir. Astronomik olaylar, tarihçiler için en iyi tarihleme yöntemlerinden biri olmaya devam ediyor.

Bir akşam yürürken, derler ki, Thales gece gökyüzünü incelemeye o kadar dalmıştı ki, bir hendeğe düştü. Yanındaki kadın dedi ki: " Ayaklarının altında olanı görmeden cennette olup bitenleri nasıl anlatırsın?" Birçok yönden bu hikaye, klasik mekaniğin ortaya çıktığı koşulları özetlemektedir. Antik Yunan filozofları gezegenlerin konumlarını şaşırtıcı bir doğrulukla hesaplayabiliyorlardı, ancak yine de ağır cisimlerin hafif cisimlerden daha hızlı düştüğüne inanıyorlardı.

Dinamikler ancak matematikçiler gözlerini kozmosta çevirdiğinde ve kendi ayaklarının altında neler olup bittiğini daha yakından ve eleştirel bir şekilde incelemeye başladıklarında ilerlemeye başladı. Ptolemy , Dünya'yı dünyanın merkezinde sabit olarak hayal etti, çünkü kendi fikirlerinin doğrudan kanıtlarından yola çıktı ve anlamları hakkındaki soruları reddetti. Kozmoloji araştırma için itici güç sağladı ve o zamanlar daha sıradan soruların algılanabilir bir coşku uyandırdığı konusunda çok az şüphe olabilir.

uzay devrimi

Erken kozmoloji, mitolojik hayal gücünde güçlüdür, ancak olgusal içerikte zayıftır. Fillerin üzerinde uzanan dümdüz dünya, gökyüzünü bir savaş arabasıyla geçen güneş tanrısı ve -elektrikle aydınlatma beklentisiyle- iplere asılan ve gündüzleri sönen yıldızlar, gözümüzün önünden geçiyor . Pisagor kavramı daha az mistik değildi, ancak sayıların mistik olarak incelenmesiyle pekiştirildi ve istemeden matematiğin sahneye girmesine izin verdi. Plato, Dünya'yı evrenin merkezine ve onun etrafında dönen her şeyi bir dizi içi boş küreye yerleştirmeyi önerdi. Ayrıca dünyanın yuvarlak olduğuna inanıyordu ve Pisagor'dan ilham alan inancı, her şeyin, hatta göklerin hareketinin bile matematiksel düzenliliğin bir tezahürü olduğu ve onun yüksek değerini kanıtladığıydı.

Eudoxus güçlü bir matematikçiydi. İlk katı irrasyonel sayılar teorisini kurdu ve yıldızların aksine gezegenlerin gözlemlenen hareketlerinin Platon'un idealine uymadığını fark etti. Gezegenlerin geçtiği yollar kavislidir ve çoğu zaman geriye doğru hareket ediyormuş gibi görünür. Eudoxus, gezegenleri , her biri kendi ekseni etrafında dönen ve komşuları tarafından sınırlandırılmış yirmi yedi eş merkezli küre üzerine yerleştirerek hareketlerinin matematiksel bir tanımını verdi . Ardılları, ek küreler getirerek bu sonuçlar ve gözlemler arasındaki anlaşmayı geliştirdi . Yaklaşık 230 don. e. Apollonius, bu sistemi gezegenlerin küçük dairelerde ve merkezlerinin - büyük dairelerde hareket ettiği epicycles teorisi ile destekledi.

MS 100-160 civarında İskenderiye'de yaşayan Claudius Ptolemeus, aksi halde Ptolemy . e., epicycles sistemini mükemmelleştirdi ve gözlemlerle o kadar uyumlu hale geldi ki , 1500 yıl boyunca hiçbir şey onun yerini tutamadı. Ampirik matematik için bir zaferdi.

Yunanlıların Mekanizmaları

Göklerin "saat gibi" davrandığı metaforu daha gerçek anlamıyla alınabilir. Antik Yunan kültürünü anlamamız büyük ölçüde onların bilgilerinin entelektüel yönü ile ilgilidir - felsefe, geometri, mantık. Teknoloji her zaman daha az ilgi görmüştür. Bu kısmen, bize ulaşan az sayıda Yunan teknolojisi örneğinden kaynaklanmaktadır. Yunanlıların mantığı - entelektüel matematiği - lojistiğin - pratik matematiğin üzerine yerleştirdiğini söylemiştik. Ancak böyle bir temsil için kaynaklarımız tarafsız değildir ve bu tür iddialar artık matematiksel mantık bölümlerinin koridorlarında duyulacaktır. Yunan teknolojisinin tam tarihi hiçbir zaman bilinemeyebilir, ancak var olduğunu bilmek ilginç bir şekilde ilginçtir.

1900 yılında, küçük Yunan adası Antikythera'nın kıyılarında sünger avlayan bazı balıkçılar (anakara Yunanistan ile Girit arasında uzanan büyük Kythira adasının karşısında), MÖ 70 civarında bir fırtınada batan harap bir gemi buldular. e. Rodos'tan Roma'ya giderken. Kupaları bir heykel, çanak çömlek, şarap testileri, madeni paralar ve paslanmış metalden oldukça sönük bir lambadan oluşuyordu. Lamba kuruduğunda, dişli çarkların izlerini koruyarak parçalara ayrıldı. 1972'de Direk de Solla Price lambayı X-ışınlarında inceledi ve otuz iki dişli içeren bu karmaşık mekanik cihazı yeniden kurmayı başardı (Şekil 2.1). Hangi amaçla kullanıldı? Mekanizmanın yapısını analiz ederek, Güneş ve Ay'ın yıldızlara göre konumunu hesaplamak için kullanıldığı sonucuna vardı.

Pirinç. 2.1. Antik Yunan gezegen hesap makinesindeki dişliler - Antikythera adasından bir mekanizma.

Antikythera mekanizmasının ilginç özellikleri var; özellikle, bir diferansiyelin en eski örneğini içerir . Bu tür dişli mekanizmaları, tekerleklerin farklı hızlarda hareket etmesini sağlamak için arabaların arka akslarında kullanılır - bu, örneğin dönerken gereklidir. Antikythera mekanizmasında, güneş ve ayın hareketlerini ayırmak için ayın evrelerini belirlemek için bir diferansiyel kullanıldı. Bu karmaşık cihaz, antik Yunanistan'da uzun bir dişli yapma geleneğinin varlığını kanıtlayarak olağanüstü bir hassasiyetle yapılmıştır . Ancak eski ve yıpranmış mekanizmalar muhtemelen deniz suyunda çöktüğü için başka örneği yoktur.

Cears /got ike Chreeks (Pgoseedlpdz o/ ike Kouai Іnzіі-іiiiіop, voi. 58, (1986)) adlı makalesinde bu tür cihazların Yunan bilimi üzerindeki etkisi hakkında şunları yazdı:

Gökbilimciler, gök cisimlerinin konumunu gözlemlemek ve veri toplamak için ilk geldi. Matematikçiler ikinci oldu, hareketleri tanımlamak için matematiksel notasyon oluşturdular ve verileri koordine ettiler. Üçüncüsü teknisyenlerdi ve bu matematiksel yapıları simüle etmek için mekanik modeller yaptılar. Dördüncü kuşak öğrenciler, bu mekanizmalar temelinde astronomi okuyanlar oldu. Beşincisi, nesiller boyu böyle bir araştırmayla hayal güçleri o kadar çarpıtılmış ki, göklerin bu şekilde hareket ettiğine gerçekten inanmış bilim adamları geldi. Altıncısı, alınan dogmalarda ısrar eden yetkililerdi. Böylece insanlık , bin yıl boyunca Batlamyus sistemini kabul etmek üzere aldatıldı .

merkezde güneş

, Ptolemy'nin teorisinde birbirinin aynısı birçok dış döngü olduğunu fark etti . Anladı: Dünya'nın Güneş'in etrafında döndüğünü kabul edersek, ortadan kaldırılabilirler. Aynı dış döngüler, diğer gezegenlerin yolları üzerine bindirilmiş Dünya'nın hareketinin izleridir. AT

TINVI A GPPIVIVMRAMIL LKV'M SHM1.M51OMCHLTSH5TLMTIL5 GZhTsuSHOuE

Pirinç. 2.2. Beş düzenli çokyüzlüye dayalı gezegen yörüngelerinin yerleşimini açıklayan Kepler'in modeli (1560'da yayınlandı)

Sonuç olarak, güneş merkezli teori, episikl sayısını otuzdan bire indirdi.

Johannes Kepler, Copernicus'un Ptolemaios sisteminin revizyonundan tamamen memnun değildi. Tycho Brahe tarafından elde edilen bir dizi yeni ve son derece doğru astronomik veriye sahipti ve bunları açıklamak için matematiksel modeller arıyordu . O kadar geniş bir bakış açısına sahipti ki , gezegenlerin yörüngeleri tarafından tanımlanan alan ile düzenli bir çokyüzlü alanı (Şekil 2.2) arasındaki ilişki gibi bazı fikirleri şimdi saçma görünüyor. Kepler daha sonra bu teoriyi gözlemlerle çeliştiği için terk etti, ancak bugüne kadar gezegenlerin boyutlarını ve onlara olan uzaklıklarını tatmin edici bir şekilde tahmin edebilecek bir gezegen oluşumu teorisi yok.

Sonunda, neredeyse iradesine karşı, ilk yasasını yaratmaya zorlandı: gezegenler güneşin etrafında eliptik yörüngelerde hareket ediyor. Çalışmaları ayrıca daha sonra geniş çapta kabul gören iki yasa daha içeriyor. İkinci yasa , gezegenin herhangi bir konumu için yarıçap vektörünün eşit bir zamanda eşit bir alanı kapladığını belirtir. Üçüncü yasa , Güneş'ten gezegenlere olan mesafelerin küplerinin yörünge periyotlarının kareleriyle orantılı olduğunu belirtir.

Estetik olarak, Kepler'in teorisi, dış döngülerin karmaşasından çok daha çekiciydi, ancak tamamen tanımlayıcı kaldı. Teori sadece gezegenlerin ne yaptığını gösterdi, ancak bunun için tutarlı bir açıklama sağlamadı. Kozmolojinin Kepler'den kopabilmesi ve daha ileri gidebilmesi için onu yere indirmek gerekiyordu.

sarkaç salıncak

Üniversite şehri Pisa'daki herhangi bir öğrenciye, 1580'de hayat heyecan verici görünmüş olmalı, çünkü insan bilgisinde etkileyici ilerlemelerin olduğu bir dönemdi. Ancak bu durum uzun süre devam edemez. Bir kilise hizmeti sırasında bir öğrenci sıkıldı, dikkati dağıldı ve hafif bir rüzgarın nefesiyle sallanan büyük bir asılı lambayı incelemeye başladı . Salınımları düzenli değildi, ancak fark etti: geniş bir dönüşle hızı artar, ancak toplam yuvarlanma süresi sabit kalacak şekilde. Doğru saatler ve kol saatleri henüz icat edilmemişti, bu yüzden nabzını kullanarak lambanın hareket zamanını hesapladı.

Bu öğrenci, on yedi yaşında tıp okumak için üniversiteye giren ve matematik alanında özel dersler alan Galileo Galilei idi (Şekil 2.3). Galileo, 1564'te Floransa'da doğdu ve 1642'de öldü. O sadece birinci sınıf bir bilim adamı değil, aynı zamanda önde gelen bir edebi şahsiyetti: yazıları zarif ve yeteneklidir . Mekanik için bir tutkusu vardı ve kendi teleskoplarını yaptı. Dünyanın etrafında dönmeyen ilk gök cisimleri olan Jüpiter'in dört ayını keşfetti. Düşünceleri berrak bir şekilde formüle etme yeteneğine sahipti, basit mantıksal açıklamaları, esası karmaşıklaştıran ve gizleyen süslü argümanlara tercih etti. Olayların dini amaçlarla açıklandığı bir çağda yaşadı. Örneğin, ekinlere su vermek istediği için yağmur yağdı; yukarıya atılan bir taş , doğal dinlenme yeri olduğu için yere düştü .

Galileo, şeylerin amaçlarının incelenmesinin kendi başına insanlığın doğal fenomenleri kontrol etmesine izin vermediğini fark etti. Taşların neden düştüğü sorusunu yanıtlamak yerine , nasıl düştüklerinin doğru bir tanımını bulmak için yola çıktı . Kontrol edemediği ayın hareketini incelemek yerine, eğik bir düzlemde yuvarlanan topların hareketini incelemeye başladı. Bu çalışmaların bir sonucu olarak , bir deha darbesiyle, dikkatini birkaç temel nicel kavram üzerine odakladı: zaman, mesafe, hız, ivme, momentum, kütle, atalet. Kendini kalite ve varlıkla özdeşleştiren bir çağda Anahtar kavramları seçimi, özellikle seçtiği değişkenlerin çoğu doğrudan nicel ölçüm için uygun olmadığından , varlıkların dikkate değer bir anlayışını göstermektedir .

Özellikle zaman, Galileo'ya çok fazla baş ağrısı verdi. Yanan bir mumun uzunluğunu gözlemleyerek bir taşın düşme süresini ölçemezsiniz . Bir su saati, kendi nabız hızı kullandı ve Stillman Drake'e göre, muhtemelen müzisyenlerin yaptığı gibi melodileri kendi kendine mırıldanarak ölçülere böldü. Dinamik olayları yavaşlatmak ve zamanlamanın doğruluğunu artırmak için, bir topun hafif eğimli bir yüzey üzerinde yuvarlanmasını, serbestçe düşen bir cisim fenomeninden daha sık inceledi. Sonunda, bir düşünce deneyini gerçek sonuçlarla birleştirerek, cisimlerin yerçekimi etkisi altında düşüşünün zarif bir tanımını yaptı.

Doğrunun genişliği ve düzlemin kalınlığı olmayacak şekilde tüm nesnelerin idealleştirildiği Yunan geometrisinin ruhuyla Galileo, mekaniğini idealleştirdi. Temel basitleştirmeleri ararken , örneğin cisimlerin düşüşünü incelerken hava direnci gibi ihmal edilebilecek etkileri seçti . Doğal dünyayı yöneten birbirine bağlı etkiler ağından kendimizi kurtarmak için, başlamak için en iyi yer „     4

her seferinde bir iplikçik hareketi çalışmak.

Orta Çağ'da, bir merminin yolunun aşağıdakilerden oluştuğu düşünülüyordu.

üç bölümden oluşur: başlangıçta doğrusal hareket, dairesel hareket ve son dikey düşüş (Şekil 2.4). Galileo , düşen bir cismin hızının sabit bir oranda arttığını , yani ivmenin sabit olduğunu keşfetti. Bundan, merminin bir parabol boyunca hareket ettiği sonucuna vardı. Ayrıca, bir top güllesinin toptan 45 derecelik bir açıyla ateşlenmesi durumunda en uzun mesafeyi kat edeceğini de gösterdi. Kuvvetlerin toplamının yasalarını buldu. Hava direnci olmadığında ağır ve hafif nesnelerin aynı hızda düşeceğini fark etti . Bugün bu şeyler basit görünüyor, bahsetmeye bile değmez, ancak o zamanlar doğanın doğal yasalarının insanlık tarafından okunabileceğinin ilk açık göstergesiydi. Galileo, IIIodii op ike Tiyu SNie/ ]VorI(1 Zuzietz :

Dünyanın her zaman merkezi bir sabit konumda kaldığı evrenin hareketi fikrini daha makul bulan birinin, şehir hakkında bir fikir edinmek için tapınağın kubbesine tırmanan birinden daha makul olmadığını düşünüyorum. ve çevresi, daha sonra başını çevirmekle uğraşmamak için tüm kırsalın etrafında dönmesini talep etmeye başlar.

Böylece, biri gökler, diğeri yer için olmak üzere iki doğal yasa sistemi vardı. Bir yanda bakışları göğe çevrilmiş Kepler, diğer yanda gözü yere sabitlenmiş Galileo . Bu iki fenomen alanı arasında bir bağlantının varlığı neredeyse inanılmaz görünüyordu. Cennet saftı, lekesizdi, tanrının ve meleklerin eviydi ve dünya günahkar insanın yeriydi.

Tek bir darbe bu görüşü sonsuza dek değiştirdi.

Yerçekimi ve geometri

Bazı büyük bilim adamları eski yetenekli çocuklardır, ancak genç Isaac Newton, yaşam boyu teknik cihazlar yapma alışkanlığını koruyan oldukça sıradan bir çocuktu. Balonun içinde kaybolduğu söylenen yerli kediye kadar ,

Pirinç. 2.4. Düz bir çizgi ve dairesel bir hareketin eklenmesi olarak bir merminin hareketinin Orta Çağ teorisi: yörünge diyagramı Tartaglia'dan kaynaklanmaktadır. Diyagram, Walter G. Ruff Weg Seoteіgіskep Wiske enteziereu tarafından bir manzara üzerine bindirilmiştir .

bunu zor yoldan öğrendi. Newton, 1642'de , prematüre ve hasta bir çocuk olan Woolsthorpe köyünde doğdu . Cambridge, Trinity College'da bir öğrenci olarak özel bir izlenim bırakmadı. Ancak, büyük bir veba koleji durdurduğunda, akademik hayattan uzak köyüne döndü ve neredeyse dışarıdan yardım almadan optik, mekanik, integral ve diferansiyel hesabı yarattı . Daha sonraki yaşamında Kraliyet Darphanesi'nin Muhafızı ve Kraliyet Cemiyeti Başkanı oldu. 1727'de öldü.

, yerçekiminin etkisi altında hareket eden bir cismin sabit ivmeye tabi olduğunu keşfetti . Newton çok daha fazlasını yaptı: tüm olası kuvvet kombinasyonlarının etkisi altındaki bir cismin hareketini yöneten bir yasalar kodu verdi .

Bir bakıma sorun dinamikten çok geometrikti. Bir cisim sabit bir hızla hareket ediyorsa, bir süre sonra alacağı yol, o andaki hızının çarpımına eşittir. Vücut düzensiz hareket ederse , yani hızı sürekli değişiyor ve bu kadar basit bir formül burada artık geçerli değil. Newton'dan önceki matematikçiler bu konuda önemli ilerlemeler kaydettiler ve tüm temel dinamik problemlerin geometrik biçimde temsil edilebileceğini gösterdiler. Bununla birlikte, geometrik problemleri çözmek nadiren kolaydır.

Bir cismin hızının zamanla nasıl değiştiğini gösteren bir grafik eğri şeklindedir. Geometrik akıl yürütme, cismin üzerinde hareket ettiği toplam mesafenin eğrinin altındaki alana eşit olduğunu gösterebilir . Benzer şekilde, bir hız eğrisi , mesafenin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlayan başka bir grafiğe eğimli veya teğettir . Fakat bu tür alanları ve teğetleri nasıl buluruz? Newton ve ondan bağımsız olarak Gottfried Leibniz, bu problemleri zamanı daha küçük aralıklara bölerek çözdüler. Eğrinin altındaki alan daha sonra çok sayıda dar dikey bandın toplamı olur. Aralık kısaldıkça yaklaşım hatasının azaldığını ve “sınırda” hatanın tamamen ortadan kalkabileceğini gösterdiler. Aynı şekilde, bir teğetin eğimi, aralarındaki zaman farkı yok denecek kadar küçük olduğunda, birbirine yakın iki zaman için düşünüldüğünde hesaplanabilir . O zamanlar hiçbir matematikçi , yöntemlerini mantıksal olarak doğrulayamazdı, ancak her şeyin doğru yapıldığına ikna oldular. Leibniz, zaman içinde "sonsuz derecede küçük" değişikliklerin olduğunu söyledi. Newton, akışlar ve dalgalanmalar olarak adlandırdığı sürekli değişen nicelikler hakkında fiziksel olarak daha makul bir fikre sahipti .

entegrasyon ve farklılaşma olarak bilinen bu hesaplama yöntemleri, hızlardan mesafeleri ve mesafelerden hızları belirleme pratik problemlerini çözdü . Çok çeşitli doğal fenomenleri matematiksel analiz çerçevesinde değerlendirmeyi mümkün kıldılar.

dünya sistemi

Emek Maіketаіісаі Рgіpsіrіez o/ А Т aіygaІ Rkііоzorku (Şekil 2.5), hareket yasalarını içeren üç cilt halinde yayınlandı. Çoğu Galileo'ya ait ve benzer bir bilimsel felsefeye dayanıyor , bu yüzden Newton ona şükranlarını sundu. Tüm hareketleri birinci ciltte verilen üç basit yasaya indirdi:

• Kuvvetler cisme etki etmiyorsa, cisim hareketsiz kalır veya düzgün doğrusal hareket yapar.

• İvme, etki eden kuvvetle orantılıdır.

• Her eylemin her zaman eşit ve zıt yönlü bir karşı-tepkisi (tepki) vardır.

Newton ayrıca Kepler'in gezegensel hareket yasalarının , uzaklığın karesiyle ters orantılı olarak değişen yerçekimi yasasıyla birlikte onlardan çıktığını gösterdi . Bununla birlikte, Newton'un yerçekimi kavramının gerçek anlamı o kadar büyüktür ki, sadece sayısal biçimde tanımlanamaz. Newton yasası evrenseldir. Evrendeki her parçacık, bu yasaya göre başka bir parçacığı çeker. Jüpiter'deki girdaplar ve bir top güllesinin yolu aynı yasanın iki tezahürüdür. İnsan cennete döndü ve evren yeniden bütün oldu.

- . ..

RISH.OORIPT

iltiv.lі.15

RKISCIRIA

MATNEMATISA

AiGogs y 5. No. E IRTO 7pp. soii. Samak Zoe. MacieGeok
ProEcN'ogs Smsarapo ve Zosiegagib KegdIi$ $<kYi.

imRkimatik.

$. RERV8, 5g. PKI $ E 8,
$. hb8b.

LO XLIMI,
} ve Oіi & aeiagia Tur olarak " T ^ erіu 5 / gm / y. PgoіѪs arіki
riguez VІYіorоb$. Lilo MOSHXXXVP.

Bu keşif üçüncü kitapta sunuldu ve tartışıldı. "Ve şimdi," diyor Newton, "Dünyanın sistemini gösteriyorum." Ve yerçekimi teorisinin gezegenlerin Güneş etrafındaki ve uyduların gezegenlerin etrafındaki hareketine uygulanmasını gösterdi, gezegenlerin kütlelerini ve Güneş'in Dünya'ya göre olduğunu buldu. Dünya'nın kütlesini gerçek değerinin yüzde 10'u kadar bir doğrulukla tahmin etti, Dünya'nın kutupların yakınında düzleştiğini gösterdi ve bu düzleşmenin büyüklüğünün oldukça doğru bir tahminini elde etti . Dünya. Newton ayrıca Ay'ın Güneş'in etkisiyle hareketindeki ve kuyruklu yıldızların yörüngelerindeki düzensizlikleri de hesaplayarak, görünüşte yasadışı olan bu kozmik kınama habercilerinin gezegenlerle aynı yasalara uyduklarını gösterdi.

Aldous Huxley bir keresinde şöyle demişti: "Dâhilerin tek gerçek adam olmaları mümkündür. Tüm insanlık tarihinde sadece birkaç bin gerçek insan olmuştur. Geri kalanına gelince , onlar oldukça zeki hayvanlardır. Gerçek bir adamın yardımı olmadan, neredeyse hiçbir şeyi tam olarak öğrenemezlerdi. Bazı insanların tarih için olağanüstü bir öneme sahip olduğunu kabul etmek için Huxley ile aynı fikirde olmak gerekli değildir. Newton " gerçek bir adam"dı. Aynı şekilde kalkülüs de "gerçek matematik"tir ve bilim tarihi için olağanüstü bir öneme sahiptir. Ama Newton'un dinamiği için hesabın önemi, yalnızca çağdaşlarının büyük bir kısmı tarafından hemen anlaşıldı. Bunun nedeni basit: Maіketаіісаі Rgipsiriez o/Maіigaі Rkiіozorku'nun hiçbir yerinde, yaptığı şeyin açık bir kullanımı yoktu. Bunun yerine Newton ispatlarını klasik Yunan geometrisinin dilinde inşa etti . Calculus nihayet bir gün 1736'da Newton'un bilgili arkadaşlarının desteği sayesinde ışığı gördü. 18. yüzyılın sonunda, Avrupalı matematikçiler kalkülüs yöntemlerinde tam anlamıyla ustalaşmışlardı ve Newton'un açık ipucunu fark ettiler: Doğa kitabı, onu okuyabilenlere açıktır. Artık onun desteğine ihtiyaçları yoktu.

Çanlar ve Kornalar

"Analiz" terimi şu anda hesabı en katı biçiminde tanımlamak için kullanılmaktadır: buradaki teori, bilgisayar teknolojisinin temellerinden bile daha titizdir. Calculus, bu ek özelliği, teorik temellerinin önemli ölçüde genişletildiği 18. yüzyıl boyunca elde etti. Bu gelişmenin ana mimarı, tüm zamanların en üretken matematikçisi olan Leonhard Euler'di. Euler ayrıca matematiksel fiziğe birçok kalkülüs uygulaması yarattı. 1707'de İsviçre'de doğdu ve başlangıçta din eğitimi aldı, ancak kısa süre sonra matematiğe döndü. İlk eserini on sekiz yaşında yayımladı. Ondokuz yaşında, Fransız Bilimler Akademisi tarafından gemi hareketi sorunu üzerine yaptığı araştırmalar için verilen ana matematik ödülünü kazandı . 1733'te Euler, St. Petersburg'a, 1741'de Berlin'e taşındığı Rus Bilimler Akademisi'ne davet edildi. Ancak, Büyük Katerina'nın isteği üzerine 1766'da Rusya'ya döndü. Bu nedenle, şu anda, İsviçre'de büyük bir matematikçi olarak, İsviçre'de Rusya, Rusya'da ve Almanya'da Alman olarak saygı gördü. Görme yeteneği ergenlikten bozulmaya başladı ve 1766'da tamamen kördü, ancak bu , matematikte orijinal eserler yaratma konusundaki şaşırtıcı yeteneğini farkedilir şekilde etkilemedi.

Newton'un ektiği tohumdan ortaya çıkan ilk geniş konu analitik mekanikti. Konusu, bağlı sistemlerin hareketini yöneten diferansiyel denklemleri bulmak ve sonra bunları çözmek olan, açıkça ve tamamen kalkülüse dayalı bir mekanikti. Yakında matematiksel fiziğin yeni dalları ortaya çıktı. Eski Pisagorcular sayılarda ahenk ya da daha doğrusu sayısal ahenk arıyorlardı, müziğin sayısal doğasını keşfettiler ve bu onların en büyük keşfiydi. Birçoğu matematik ve müzik arasında bir bağlantı bulduğunu iddia etti. Öyle olsa bile, keman teli probleminden şaşırtıcı miktarda önemli matematik türetilmiştir. Elbette tartışılabilir, ancak bu olmadan ne radyomuz ne de televizyonumuz olurdu.

Titreşen bir sicimin diferansiyel denklemini çözen Brook Taylor, 1713'te hareketini tanımlayan temel formun bir sinüzoidal eğri olduğunu keşfetti (Şekil 2.6(1)). 1746'da Jean Le Ron d'Alembert, başka çözüm biçimlerinin de mümkün olduğunu kaydetti . D'Alembert, tanınmış bir halk figürü olan Madame de Tenkin ve sevgilisi Chevalier Destoch'un gayri meşru oğludur. Bağlantılarının meyvesi, Saint Jean Le Rhone'un merdivenlerinde kaldı.

Pirinç. 2.6. Keman teli titreşimleri: temel sinüzoidal dalga biçimi (1) ve ikinci ve üçüncü harmonikleri (2,3) örtüşen ve karmaşık bir dalga biçimi oluşturan (kalın çizgi)

Alışılmadık Hıristiyan adını açıklayan Paris. Matematikçilerin sıkıcı ve vasat bir hayat sürdükleri söylenmesin.

d'Alembert, titreşen bir sicimin genel bir analizini yaptı. Salınımların genliğinin (boyutunun) küçük olduğunu varsayarak ( denklemin araya giren terimlerini ortadan kaldırmak için bu uygulamaya daha sonra döneceğiz), diferansiyel denklemi bir dizenin özelliklerini karşılayacak şekilde yazdı. Yeni bir denklem türüydü, kısmi diferansiyel denklem. Bu tür denklemler, birkaç farklı değişkene göre bazı miktarların değişim oranlarını içerir . Bir sicimin titreşmesi için, bu tür değişkenler sicim üzerindeki bir noktanın konumu ve zamandır. d'Alembert, bu denklemin , biri sola, diğeri sağa doğru hareket eden, keyfi şekle sahip iki dalganın üst üste binmesi olan bir çözümle karşılandığını kanıtlamayı başardı.

Euler bu keşfi hızla geliştirebildi. Tek bir sinüzoidal Taylor dalga biçiminin daha yüksek harmoniklerin bir kombinasyonu olabileceği aklına geldi - aynı şekle sahip olan, ancak aynı aralıkta iki, üç, dört kez değişen ve eğrinin temel frekanslarını oluşturan dalgalar ( Şekil .2.6). AA'sında kendisine; Tkeogu o/ Mizis , çan ve davulların titreşimlerini analiz etti . Daniel Bernoulli bu sonuçları organ borularına kadar genişletti.

Müzik bile fiziğe girdi. 1759'da, ünlü olmaya yeni başlayan genç Joseph-Louis Lagrange, ses dalgaları fikrini önerdi ve on yıl sonra ayrıntılı ve başarıyla formüle edilmiş bir akustik teorisi yaşam yolculuğuna başladı.

rüzgar ve dalgalar

su ve diğer sıvı akışlarının hareket yasaları hakkında bilgi gerektiren deniz gücünün kurulduğu yüzyıldı . 1752'de Euler, akışkanların dinamiğine dikkat çekti ve 1755'te viskozitesiz ("yapışkanlık") bir sıvının hareketini tanımlayan bir kısmi diferansiyel denklemler sistemi geliştirdi. Ayrıca sıvının (su) sıkıştırılamazlığını ve havanın sıkıştırılabilirliğini de düşündü. Sürekli, sonsuz bölünebilir bir ortam olan akışkan modelinde, akışkan akışını, akışkan parçacıklarının davranışına, hızlarına, yoğunluğuna ve basıncına bağlı olan sürekli değişkenler açısından tanımladı .

Fizik dallarına birer birer matematiksel bir tanım verildi ve bir matematik yasasının egemenliği altına girdi. Joseph Fourier, ısının yayılmasını tanımlamak için bir denklem türetti ve onu çözmek için şimdi Fourier analizi olarak bilinen, güçlü ve yeni bir yöntem buldu. Bu yöntemin ana fikri, herhangi bir dalga biçimini, Şekil 2.6'da gösterilenler gibi sinüzoidal eğrilerin bir süperpozisyonu olarak, ancak daha karmaşık bir biçimde temsil etmektir.

temel olan gerilmelerin etkisi altında malzemelerin deformasyonu, elastikiyet denklemlerine yol açar. Yerçekimi kuvvetinin daha derin bir analizi, adını şimdi Pierre Simon de Laplace ve Simeon Denis Poisson'dan alan denklemlere götürür . Aynı denklemler hidrodinamik ve elektrostatikte kullanıldı, genellemeden sonra potansiyel teorisini oluşturdular. Potansiyel teorisi, matematikçilerin , cisimlerin bir elipsoid tarafından çekilmesi gibi sorunları çözmelerine olanak tanır . Bu astronomide önemlidir, çünkü gezegenlerin çoğu mükemmel küreler değildir - hepsi kutuplardan yassıdır. 18. yüzyıl (ve 19. yüzyılın başı), Navier denklemi dışında, klasik matematiksel fiziğin büyük teorilerinin çoğunun yaratıldığı dönemdi.

Viskoz bir sıvının akışı için Stokes ve bir süre sonra ortaya çıkan James Clerk Maxwell'in elektromanyetizma denklemleri. Maxwell denklemleri radyo dalgalarının keşfini hazırladı.

Sonuç olarak, birleşik bir evrensel bilimsel paradigma kuruldu. Doğanın modellenmesine giden yol, diferansiyel denklemlerden geçer .

Analiz Limitleri

Bunun için ödenmesi gereken bir bedel var. 18. yüzyılın matematikçileri, bugüne kadar teorik mekaniğin başına bela olan problemlerin üstesinden geldiler: ama denklemleri yazmak bir şeydir ve onları çözmek tamamen başka bir şeydir. Euler bir keresinde şöyle demişti: "Eğer bu, sıvıların hareketi hakkında tam bir bilgi sahibi olmamızı engelliyorsa ve mekaniğe ya da hareket ilkelerinin anlaşılmamasına atıfta bulunmuyorsa, o zaman sebebi belirlememiz gerekir. Bu, bizi bunu inkar eden bir kişinin kendi analizidir.” 18. yüzyılda , ana başarılar, fiziksel fenomenleri modellemek için denklemlerin oluşturulmasıydı . Çok şey yapıldı, ancak bu denklemlerin çözümünde çok daha az başarı elde edildi.

Buna rağmen, sınırsız iyimserlik hüküm sürdü ve doğanın sorunlarının açık ve tamamen açık olduğuna dair genel inancı güçlendirdi . Diferansiyel denklem paradigmasının başarıları etkileyici ve kapsamlı olmuştur. Temel ve pratik olarak önemli olanlar da dahil olmak üzere, denklemlere indirgenmiş çok sayıda problem artık çözülebilirdi. Kendi kendini seçme süreci , pratik olarak çözülebilir denklemlere olan ilgiyi sürdürürken, diğerleri otomatik olarak çok az ilgilendi. Yeni nesillerin yöntemleri öğrendiği ders kitapları elbette sadece çözülebilir problemler içeriyordu. Zeeman'ın Antikythera adasındaki mekanizma hakkındaki yorumu burada çok alakalı. Mekanik modeller, dünyanın saati, deterministik matematiksel modellere, dünyanın determinizmine olan inanca dayanıyordu.

Bir ipotekte matematik

Bu süreç evrensel değildi. Üç cismin yerçekimi etkisindeki hareketi gibi bazı cevaplanmamış sorular vardı. Erişilemezlikleri nedeniyle ünlendiler . Öyle ya da böyle, ancak bu tür denklemler istisna olarak kabul edildi , ancak daha dürüst bir değerlendirme onları kural olarak görmek zorunda kalacaktı.

Aslında, hareket denklemlerinin matematiksel determinizminde bile boşluklar vardı. Bu türden bir örnek yaygın olarak bilinmektedir. Newton mekaniği, ağır elastik parçacıkları dikkate alır. İki parçacık çarpıştığında, belirli açılarda birbirlerinden sekerler ve hızlarını hesaplamak zor değildir, ancak Newton yasaları, üç parçacığın eşzamanlı çarpışmasında saçılma için kurallar oluşturmak için yeterli değildir (Şekil 2.7). Talepler mükemmeldi, ancak Laplace'ın determinizminin en parlak döneminde güven zaten zayıflamıştı . Tim Poston ve ben bu konuda Apaiod dergisinde (Kasım 1981) şu şekilde yazdık:

Pirinç. 2.7. Nereye uçacak? Newton'un hareket yasalarına göre ve kürelerin tamamen esnek olduğunu varsayarsak , sonuç hangi topun önce A, B veya C'ye çarptığına bağlıdır . Her iki topa da aynı anda çarparsa, Newton yasaları ne olacağını söylemez.

Örneğin Marx'ın temelinde kendi tarih yasalarını oluşturmaya çalıştığı sözde "acımasız doğa yasaları" hiçbir zaman gerçekte böyle olmadı. Newton üç topun davranışını tahmin edemeseydi, o zaman Marx üç kişinin davranışını tahmin edebilir miydi? Büyük parçacık topluluklarının veya insanların davranışındaki herhangi bir düzenlilik istatistikseldir ve çok farklı bir felsefi tada sahiptir... Geriye dönüp baktığımızda, kuantum öncesi fiziğindeki determinizmin ancak üçünü koruyarak ideolojik iflastan korunduğunu görüyoruz. -bir tefecinin güvencesi altında top sorunu. .

Her halükarda, matematikçiler ana damarı bulduklarını düşündüler ve bulunabilecek altını toplamakla meşgullerdi. 20. yüzyılın görkemli zirvelerinden geriye dönüp baktığımızda , bu zenginliğin bir kısmının sadece aptallar için altın olduğunu görüyoruz. Sadece 20-30 yıl önce yaşanmış olabilecek talihsiz bir olay aşağıda gösterilmiştir.

Ön formül dönemi

1750'de Lagrange, Euler'in fikirlerini benimsedi ve onları zarif ve geniş kapsamlı bir sonuca dayandırdı: dinamikleri yeniden formüle etti. Çalışmalarından iki önemli fikir kristalize oldu. Bu fikirlerin her ikisi de uzun bir süre havada asılı kaldı, onlarca yıl yarı pişmiş halde kaldı, ancak Lagrange bekledi, altın kahverengi olana kadar fırında pişirdi ve sonunda herkesin hayran kalması, satın alması ve satın alması için fırın tezgahına koydu. kullanmak.

Birincisi, enerjinin korunumu ilkesi olarak adlandırıldı. Klasik mekanik iki tür enerji biliyordu. Cismin konumundan dolayı potansiyel enerjisi vardır . Örneğin, yerçekimi alanında potansiyel enerji cismin yüksekliği ile orantılıdır. Bu nedenle, bir tepenin tepesindeki bir cismin bir vadidekinden daha fazla potansiyel enerjisi vardır, bu yüzden bir tepeye tırmanmak bir kanal kıyısında yürümekten daha yorucudur. Kinetik enerji, bir cismin hızından dolayı hareketinin bir sonucu olarak sahip olduğu enerjidir. Kaçan bir atı durdurmak için , çayırda tırıslamak için gerekenden önemli ölçüde daha fazla enerji gerekir.

Sürtünme olmadan hareket sırasında bu iki enerji formu birbirine dönüştürülebilir. Galileo ünlü top güllesini Pisa Kulesi'nden attığında, çok fazla potansiyel enerjiyle ama kinetik enerji olmadan düşmeye başladı; sonbaharda potansiyel enerjiyi kinetik enerjiye çevirdi . Yani, hız artışı ve irtifa azalması ile aldı. Tabiat Ana titiz bir muhasebecidir: defterindeki bilanço - vücudun toplam enerjisi - potansiyel enerji artı kinetik - sonunda değişmez. Bir top mermisi korkuluğa çarptığında, vücut kinetik enerjisini kaybeder ve bu nedenle potansiyel enerji elde etmesi gerekir. Bu , sıcaklığındaki artışı açıklar . Newton'un ikinci hareket yasası, bu nitel değişikliği kesin nicel biçimde etkin bir şekilde ifade eder.

Lagrange'ın ikinci fikri "genelleştirilmiş koordinatlar" kullanmaktı. Koordinatlar, her yönle bir dizi sayıyı ilişkilendirerek geometriyi cebire dönüştürmek için bir hiledir . Matematikçiler , seçimi üzerinde çalıştıkları probleme bağlı olan farklı koordinat sistemleriyle çalışmak için bu yaklaşımı uygun bulmuşlardır . Lagrange, matematiksel teori ile bu tür hesaplama bagajını taşımanın uygun olmadığına karar verdi. Başlangıçta, olası herhangi bir koordinat sistemi için uygun bir tanım verilmesini önerdi . Ardından, çarpıcı bir sadelikle, seçilen koordinat sistemine bağlı olmayan bir biçimde hareket denklemlerini elde etti . Lagrange formülasyonunun Newton formülasyonuna göre sayısız avantajı vardır. Birçoğu tekniktir - hareket kısıtlamaları olduğunda denklemlerini uygulamak daha kolaydır ve hantal koordinat dönüşümlerinden kaçınırlar. Aynı zamanda daha genel, daha soyut, daha zarif ve daha basittir .

Bu fikirler, büyük İrlandalı matematikçi William Roman Hamilton (1805-1865) tarafından daha da geliştirildi. Dinamikleri bir kez daha yeniden formüle etti ve her zamankinden daha fazla genelliğe ulaştı. Teorinin Hamiltonian versiyonunda, dinamik bir sistemin durumu, ortak bir koordinat değerleri seti (Lagrange'da olduğu gibi) ile bağlantılı bir momentum (hız çarpı kütle) koordinatları seti ile belirlenir. Şimdi sistemin Hamiltoniyeni olarak adlandırılan tek bir bağımsız değişken, toplam enerjiyi konumlar ve momentum cinsinden tanımlar . Koordinatların zamana göre değişim oranları ve momentumları, basit, zarif, birleşik bir denklem sistemi içinde Hamiltonyen cinsinden ifade edilir. Günümüzün ileri dinamik dersleri genellikle Hamilton denklemleriyle başlar .

Pazar Meydanı'nda Sorun

Matematiksel fizik pazarında, tüm deterministik sayacın ürünleri sergileniyor. Doğa, nispeten küçük bir dizi temel yasaya uyar. Kanunlar diferansiyel denklemlerdir ve ne olduklarını biliyoruz. Ve belirli bir zamanda herhangi bir doğal sistemin durumunu ve hareketinin yasalarını bilerek, ilke olarak, sistemin geleceğini açık bir şekilde belirleyebilir . Denklemler birçok durumda pratik olarak çözülebilir. Rüzgar ve dalgalar, çanlar ve ıslıkların yanı sıra ayın hareketi bunu doğrular .

Dükkan sahibi geleceği görebilseydi, ürünlerinin yarattığı teknolojik harikalara şaşırırdı. Radyo, televizyon , elektronik. Arabalar. Telefonlar. Radar. Geniş gövdeli jet gömlekleri. Dijital saat. Bilgisayarlar. Elektrikli süpürgeler. Çamaşır makineleri. Kişisel müzik setleri. Asma köprüler. sentezleyiciler Planörler asın. İletişim uyduları. CD'ler. Ve adil olmak gerekirse, kundağı motorlu silahlar, tanklar, anti- personel mayınlar, kıtalararası füzeler, çoklu nükleer savaş başlıkları ve çevre kirliliği. Deterministik matematiksel fiziğin klasik paradigmasının toplumumuz üzerindeki etkisini küçümsemeyelim .

Ama bu mucizeler bizi yanıltmasın. Teknoloji bizim kendi yaratımımızdır ve evren hakkında derin bir anlayış gerektirmez . Sadece küçük, oldukça basit evrenlerimizi arzularımıza göre inşa edebilmemiz gerekiyor . Herhangi bir tekniğin amacı , verilen koşullar altında kontrollü bir sonuç elde etmektir. Makinelerimizi deterministik bir şekilde davranacak şekilde tasarlıyoruz. Teknoloji , klasik bilimsel paradigmayı kullanan sistemler yaratır. Tüm güneş sisteminin hareketini tanımlayan denklemleri nasıl çözeceğimizi bilmememiz önemli değil, çünkü davranışları önceden kestirilemeyen makineler yapmıyoruz .

Deterministik sayacın sahipleri, cevaplanmamış soruları görmezden gelerek ve daha parlak bir geleceğin hayalini kurarak parlak yeni denklemlerini sunarlar. Müşteriler etraflarında toplanmış, gürültülü, fırsat arıyorlardı.

Bu nedir? Başka bir satıcı mı? Ancak buna gerek yoktur.

şirketin pazara girmesine izin verdiği için çıldırmış olmalı ! Ve ne satıyorlar?

Kemikler?

Bakın, sanki piyasada bir kart oyunu başlatacaklar gibi ... eğer durum buysa, o zaman tüm toplum...

Hey! Evet, bir kart oyunu için hiç yer almıyorlar. Zaten orada olana ek olarak tezgahın üzerine ne koyabilirler?

Hayat sigortası? Dilekçe sahiplerinin sabrı? İnsan varlığının büyüklüğü? Başarısızlıkların boyutu? Düğün çiçeği yaprakları mı? Yoksullar yasası ile tanımlanan kişiler arasında dilenci sıklığı? Artan boşanma oranları?

Bütün bunlar aşağıda tartışılacaktır. Eski pazar zaten öldü. Şimdi ihtiyaç duyulan şey bilimsel bir pazar. Bu boş gevezelik bilim olabilir mi?

Ah evet.

Bölüm 3

hata yasaları

Kalabalık ne kadar büyükse ve görünen anarşi ne kadar büyükse , onun etkisi de o kadar belirgindir. Bu, mantıksızlığın en yüksek tezahürüdür. Aynı zamanda, birbirine bağlı çok sayıda düzensiz hareket eden öğe, büyüklüklerine göre artan bir sıraya dizildiğinde, beklenmedik ve en güzel bir düzenlilik biçimi ortaya çıkar ve bu, onların en başından beri içlerinde saklı olduğunu kanıtlamaktadır. . Dağılıma katılan elemanların maksimum değerleri, değişmez oranlara dayanan tutarlı bir eğri oluşturur ve sıralamadan sonra her eleman, sadece kendisi için önceden belirlenmiş, ona tam olarak uyarlanmış ve bu kuralı sağlayan kendi nişini bulur.

Francis Galton. Kalıtımın doğası.

Klasik matematiksel fiziğin en etkileyici başarıları, doğal dünyanın özünü olduğu gibi bıraktı. Matematik , Jüpiter'in ayının hareketini hesaplayabilir, ancak bir kar fırtınasında kar tanelerini hesaplayamaz. Bir sabun köpüğünün büyümesini tanımlayabilir, ancak bir ağacın büyümesini tanımlayamaz. Bir kişi Eyfel Kulesi'nden atlasaydı, matematik düşüşün ne kadar süreceğini söyleyebilirdi, ancak nedeni hakkında sessiz kaldı. "İlke olarak" az sayıda yasaya dayanarak evrenin geleceğini öngörebileceğine dair birçok kanıttan sadece birkaçı pratik olarak gerçekleştirilebildi. Uygulamada, bir gazın basıncı veya gömülü kömürün büyük kütlelerinin yanma sıcaklığı gibi kavramlar , fiilen bilinen yasalardan kesin olarak çıkarılabilecek olanın sınırlarının dışında kaldı.

Son olarak, matematikçiler evrendeki olaylar dizisinden en azından bazılarını birbiriyle ilişkilendirebilir ve nedenlerini bilirdi, ancak yine de dağınık bir dünyada yaşıyorlardı. Bazı gerekçelerle, çok sayıda rastgele olayın belirli temel yasalara uyduğuna inanıyorlardı . Bu yasaları herhangi bir fenomene uygulamanın imkansızlığı, yalnızca karmaşıklığından kaynaklanmaktadır. Kuvvetlerin etkisi altındaki iki noktasal kütlenin hareketi tam olarak hesaplanabilir. Üç kurum için aynı soru tam bir çözüm için zaten çok karmaşıktı, ancak belirli durumlarda yaklaşık yöntemler başarıya yol açabilir. Güneş sisteminin yaklaşık elli ana gövdesinin uzun vadeli hareketi sorunu , tam bir çözüm elde etmek için zaten çok zordu, ancak bu hareketin herhangi bir özel özelliği, yeterince büyük bir hesaplama çabasıyla nedensel olarak anlaşılabilir. Bununla birlikte, herhangi bir miligram gaz yaklaşık yüz trilyon parçacık içerir. Hareketlerinin denklemlerini yazmak için , ayın yörüngesiyle karşılaştırılabilir boyutta bir kağıt parçası gerekir. Onları çözme olasılığını düşünmek bile saçma.

Teoride her şeyi çözen, ancak pratikte kar yağışına karşı örümcek ağlarının kullanılmasına benzeyen bir yöntem, felsefi olarak ne kadar kusursuz olursa olsun, muhtemelen pek çok taraftar bulmayacaktır. Bilim, gaz problemini göz önünde bulundurarak, sadece her bir parçacığın bireysel hareketlerini tanımlamanın imkansız olduğu gerekçesiyle umutsuzluğa kapılmayacaktı . Çok sayıda parçacığın ayrıntılı karmaşıklığı hayal edilemez olabilir, ancak daha gerçekçi bir hedef tanımına doğru ilerleme hala mümkündür. Deneyler, karmaşıklıklarına rağmen gazların oldukça düzenli bir şekilde davrandığını göstermektedir. Büyük sistemlerin ayrıntılı davranışı anlaşılmaz ise, kaba, ortalama davranışlarında düzenlilikler bulamaz mıyız? Cevap evet ise, gereken matematik olasılık teorisi ve onun uygulamalı kuzeni matematiksel istatistiktir.

Kumarda kazanmak

Olasılık teorisi, hayatın oldukça pratik bir alanına dayanan kumardan doğdu. Her oyuncunun içgüdüsel bir "şans" duygusu vardır. Oyuncular , olasılıkları tahmin etmenin düzenli yolları olduğunu bilirler , ancak değer verdikleri fikirlerin tümü matematiksel analizden sağ çıkamaz. Bir kumarbaz, entelektüel deha ve iflah olmaz bir dolandırıcı olan Girola mo Cardano (Şekil 3.1), olasılık hakkında yazan ilk kişiydi . 1654'te Chevalier de Méré, kesintiye uğrayan rastgele bir oyunda bahisleri en iyi nasıl bölüşeceğimiz sorusuyla Blaise Pascal'a yaklaştı . Katkılarıyla tanınan matematikçilerin aynı isimleri

şans matematiğinde de ortaya çıkar . Pascalve bu dava hakkında Fermat'a yazdı ve aralarındaki yazışmalarda cevabı buldular. Bu, 1657'de tamamen olasılık teorisine ayrılan ilk kitapta yayınlandı : Christian Higgins'in Op Keasopipd ip Compate o/ Scapse 1 .

Kelimenin tam anlamıyla bir araştırma konusu olarak olasılık, kitabın yayımlanmasıyla başlar. Laplace'ın 1812'de . Örneğin, 128 olası erkek/kız dizisinden (B/67) yalnızca biri CCCCCCC dağılımına uyduğu için yedi kız çocuğu olan bir ailenin olasılığı eşittir. (Erkek ve kız olma olasılığının aynı olduğu varsayılır, ancak aslında erkek çocukların doğması daha olasıdır . Bunu hesaba katmak zor değildir.)

Ortalama insan

Olasılık teorisinin pratik uygulaması istatistikler tarafından sağlanmaktadır . Hem kesin bilimlerin hem de beşeri bilimlerin onun gelişimine kesin bir katkı yapmış olması dikkat çekicidir . En önemli fikirler ve yöntemler defalarca bir bilimden diğerine geçmiştir. Aşağıda, böyle bir durumun tipik bir örneğini ele alıyoruz. Normal dağılımı incelemek için birçok istatistiksel çalışma yapılmıştır (Şekil 3.2). Bu, belirli özelliklere sahip nüfus artış modellerine yakın olan çan şeklinde bir eğridir . Örneğin, Dış Moğolistan nüfusundan rasgele 1.000 kişi seçilirse ve burada gösterilen grafik, kaç tanesinin belirli bir yüksekliğe sahip olduğunu gösteriyorsa, sonuç, normal bir dağılımın karakteristik çan eğrisi gibi görünecektir. Ördeklerin kanat açıklığını, köstebeklerin yuvalama kabiliyetini, köpekbalığı dişlerinin boyutunu veya bir leopardaki beneklerin sayısını çizersek de aynısını elde ederiz.

Pirinç. 3.2. Normal dağılıma binom yaklaşımı. (Quetelet, 1846)

Normal dağılıma başlangıçta hataların dağılımı yasası deniyordu ve 18. yüzyılda gök cisimlerinin yörüngelerini hesaplamaya çalışan gözlemcinin hatalarını hesaba katmak zorunda kalan astronomların ve matematikçilerin çalışmalarının bir sonucu olarak ortaya çıktı. . Hatalar Yasası, gözlemlenen hataların ortalama değer etrafında kümelendiğini gösterir ve belirli bir boyuttaki bir hatanın olasılığını tahmin etmeyi mümkün kılar. Bu yaklaşım, istatistik yöntemlerini düşündüğü her şeye uygulayan Adolphe Quetelet (Şekil 3.3) tarafından sosyolojiye taşındı : insan vücudunun ölçümleri, suçlar, evlilikler, intiharlar. Zosiai Meskapisz'i^ Seeeziai Mescapisz ile kasten bir paralellik çizecek şekilde adlandırıldı. Laplace. Quetelet, yeterince hızlı bir şekilde, sosyal değişkenlerin ortalama değerlerinin varsayılan sabitliğinden genel sonuçlar çıkarmaya başladı ve yol boyunca "ortalama insan" hakkında yanlış fikirlere geldi. Quetelet, insan yaşamının koşullarını yalnızca bir sosyal dinamik biçimi olarak düşünmekle kalmadı, bu tür sistemleri kontrol etmek için mühendislik yöntemleri bulmak, bunların ayarlanmasına, dengelenmesine ve dalgalanmaları sönümlenmesine izin vermek istedi. Quetelet'e göre "ortalama insan" yalnızca matematiksel bir soyutlama değil, aynı zamanda bir tür ahlaki idealdi.

Kalıtımın dehası

Sosyal bilimler ve fizik bilimleri arasında birçok fark vardır, özellikle kontrollü deneylerin önemi sosyal bilimlerde nadiren tamamlanır. Bir fizikçi, ısının metal bir levha üzerindeki etkisini araştırmak isterse , onu ısıtabilir ve farklı sıcaklıklarda elde edilen sonuçları karşılaştırabilir. Bir ekonomist, finans politikasının bir ülke ekonomisi üzerindeki etkisini incelerse , bazen bunu test edebilir, ancak aynı ekonomik koşullarda birkaç farklı vergilendirme biçimini uygulayamayacaktır. 1880 civarında, sosyal bilimler, Quetelet'in ilk çalışmalarında oluşturulan kontrollü deney metodolojisinden uzaklaştı. Bunun için en önemli çalışmalar Francis Galton, Isiodor Edgeworth ve Karl Pearson tarafından yapılmıştır. Her biri geleneksel alandaki çalışmalarıyla tanınır: Antropolojide Galton, ekonomide Edgeworth, felsefede Pearson. Birlikte çalışarak, istatistikleri tartışmalı bir ideolojiden az çok kesin bir bilime dönüştürdüler. Sadece Galton'un araştırmasını biraz ayrıntılı olarak ele alacağız.

Francis Galton (1822-1911) doktor olmaya hazırlanıyordu, ancak bir miras aldıktan sonra tıbbı bıraktı ve dünyayı görmek için seyahat etmeye başladı. 1860'da meteorolojiyle ilgilenmeye başladı ve grafik yöntemlerle bir yığın düzensiz veride antisiklonların varlığını gösterdi . Psikoloji, çocuk eğitimi, sosyoloji ile uğraştı, parmak izi okudu, ancak 1865'ten itibaren kalıtım hayatının ana işi oldu. Galton, kalıtsal özelliklerin gelecek nesillere nasıl aktarıldığını anlamak istedi . 1863'te Quetelet'in kurduğu oyunun kurallarını ihlal etti ve alınan verileri her zaman normal bir dağılıma getirmeye başladı. Ancak kullandığı yöntem, Quetelet'in savunduğundan çok farklıydı. Galton , normal dağılımı ahlaki bir zorunluluk olarak değil, farklı kökenlere sahip gruplardaki verileri sınıflandırmak için bir yöntem olarak gördü. Örneğin, pigmeler ve devlerden oluşan karma bir popülasyon olsun. Pigmelerin büyümesi, devlerin büyümesi gibi, normal bir dağılımla tanımlanır. Ancak bu iki eğri çok farklıdır; özellikle, bu eğrilerdeki tepe noktaları çakışmaz . O zaman, iki bağımsız popülasyonun üst üste binmesi nedeniyle, karma popülasyonun büyüme dağılımı normal bir dağılıma sahip olmayacaktır.

Pirinç. 3.4. İki normal dağılımın üst üste bindirilmesi, iki tepe noktası olan bir eğri verebilir .

Genel olarak konuşursak, normal dağılımların bir normal dağılım oluşturmaz, ancak iki maksimumlu bir eğri oluşturur (Şekil 3.4). Galton, normal dağılımın yalnızca "saf" bir popülasyona uygulanabileceğine ve karma bir popülasyon için uygun olmadığına inanıyordu. Bu nedenle, karışık bir popülasyon , bir tepenin devlere ve diğerinin pigmelere karşılık geldiği saf bileşen parçalara bölünmelidir .

Ancak bu çok çekici resim, kalıtım hakkında düşünürken Galton'ın başını ağrıttı. Net nüfusun ilk neslinin büyümesinin normal dağıldığını varsayın. Her birey, boyları da normal olarak dağılmış olması muhtemel olan yavrular üretir . Bununla birlikte, bu büyüme eğrisindeki tepe noktası ebeveyne bağlıdır - aksi halde boy nasıl kalıtsal olabilir? Bu nedenle, sonraki nesillerin büyümesi, çok sayıda farklı normal dağılımın bir üst üste binmesidir. Ancak, normal dağılımların üst üste binmesi, az önce gördüğümüz gibi, genellikle normal dağılıma yol açmaz. Sonuç: Saf bir nesil bir sonrakini üretiyorsa, o zaman artık saf değildir. Bir saçmalığa geliyoruz: Sonuçta, “saf” neslin aslı, bir nesilde bir öncekinden ortaya çıkan bağımsız bir nesildir!

Bu, Galton'ın bu paradoksu çözdüğü 1877'ye kadardı. Bu zamana kadar, bezelye hakkında zaten bilgisi vardı, bu da sonraki nesillerin aslında normal bir dağılıma karşılık geldiğini gösterdi. Araştırma için "Quincance" olarak bilinen ilginç bir deneysel cihaz kullandı . Bu cihaz, birçok metal pimden bir kurşun atarak ve rastgele sola ve sağa sıçrayarak matematiği test etti. Paradoksun çözümü şudur: ebeveynler saf bir nesilden geldikleri için, yavrularının bireysel büyüme normal dağılımları bağımsız değildir. Bu nedenle, üst üste bindirildiğinde davranışları bu bağlantıdan kaynaklanmaktadır. Minyatür bir matematiksel mucize meydana gelir: Bireysel dağılımlar, üst üste bindirildikten sonra sonuç tekrar normal bir dağılıma sahip olacak şekilde ilişkilidir.

Galton bu sonuçla özüne indi ve bu onu gerileme fikrine götürdü. Uzun boylu ebeveynlerin çocukları ortalama olarak onlar kadar uzun değildir ve kısa ebeveynlerin çocukları ortalama olarak ebeveynlerinden daha uzundur. Bu, daha uzun çocukların uzun boylu ebeveynlerden veya daha kısa çocukların kısa ebeveynlerden olmasını engellemez , ancak yavruların ortalama boyu, ortalamaya doğru biraz önyargılıdır.

1855'te Galton , 928 yetişkin çocuğun ebeveynlerine göre boylarını gösteren bir çizelge hazırladı (Şekil 3.5). Bu şemada, matrisin düğümleri, ortalama boyları satır ölçeğinde solda gösterilen ve kendi boyları, ebeveynlerin boyundan sapma ile birlikte üst sütunda verilen ebeveynleri olan kaç çocuğun olduğunu gösterir. ölçek. Galton, 3-5 veya 6-8 gibi belirli bir aralıktaki sayıların , tüm popülasyonun ortalama büyüme noktasının merkezinde yaklaşık olarak elipslere yerleştirildiğini fark etti. Bu diyagram , rastgele verilerdeki ana eğilimleri tanımlamanıza izin veren bir regresyon analizi yönteminin ortaya çıktığı Galton'un regresyon teorisi ile tamamen tutarlıdır . Galton, fikirlerini kesin matematiksel terimlerle formüle etmedi, grafik açıklamaları ve kademeli gösterimleri tercih etti. Matematiksel sağlamlık, bu fikirleri geliştiren ve çok daha kullanışlı hale getiren Edgeworth tarafından tanıtıldı . Pearson yetkin bir matematikçiydi, ancak Edgeworth'ten daha az yetenekliydi; o bir popülerleştiriciydi ve bu yöntemleri dünyaya satmak için gerekli enerjiye ve hırsa sahipti. Hayalperest, teknisyen, satıcı: istatistiklerin bilimin gelişimini etkilemesi için üçü de gerekliydi.

Pirinç. 3.5. Francis Galton'un çocukların boylarının ebeveynlerinin boylarına oranının eşmerkezli elips modellerini gösteren çizelgesi .

İletim teknolojisi

hem fiziksel hem de sosyal bilimlerde uygulama bulması bakımından dikkate değerdir . İlk olarak, gökbilimciler hata analizi teknikleri geliştirdiler ve ardından sosyal bilimciler rastgele verilerdeki kalıpları tespit etmek için matematiksel araçlar geliştirdiler. Şimdi kesin bilimler, oluşturulan araçları tamamen farklı bir amaçla yeniden ödünç almak zorunda kaldılar , öyle görünüyor ki: fiziksel sistemlerin davranışına ilişkin verilerin matematiksel olarak işlenmesi için, o kadar karmaşık ki rastgelelik kendini onlarda göstermeliydi.

İngiliz Bilim İlerleme Derneği'ndeki bir toplantıda, fizikte istatistiksel yöntemlerin kullanımını önerdi:

Bir deney nesnesi olarak maddenin en küçük parçacığı, hiçbiri bireysel olarak fark edilmeyecek milyonlarca molekülden oluşur. Bu nedenle, herhangi bir molekülün gerçek hareketini belirlemek imkansızdır, bu nedenle katı tarihsel yöntemi terk etmeli ve büyük molekül gruplarının çalışmasına istatistiksel yöntemi uygulamalıdır.

istatistiksel yöntemin verileri, çok sayıda parçacığın doğasında bulunan değerlerin birleşimidir. Bu tür nicelikler arasındaki ilişkilerin incelenmesinde, pratik amaçlar için yeterli doğrulukla elde edilebilen, ancak kendisinden mutlak doğruluğu talep etmenin gerekli olmadığı ortalama düzenlilik olan başka bir düzenlilik türü yer alır. soyut dinamiklerin yasalarında.

Fizikçiler, olasılıklı prosedürlerin kullanımını haklı çıkarmak için sosyal bilimlerdeki istatistiksel yöntemlerin başarısına defalarca atıfta bulundular . Fizikte, istatistiksel yöntem gelişti ve gazların kinetik teorisi, kapsamının ana ve temel örneği haline geldi, yüksek bilimsel aktivite ile karakterize edildi. Bu sadece moleküller ve insan bireyleri arasındaki serbest bir analojinin meyvesi değildi, aynı zamanda bu analoji matematiksel bir karaktere sahipti. Maxwell özellikle en önemli soruyu düşündü: Moleküllerin rastgele değişen hızlarının istatistiksel dağılımı nedir? İki bariz fiziksel varsayımla başladı:

• kendisine dik olan herhangi bir yöndeki hızından bağımsızdır .

• Parçacık hızlarının dağılımı küresel simetriye sahiptir , yani düşünüldüğünde tüm yönler aynıdır.

Yalnızca bu soyut ilkelerden yola çıkarak, dinamik yasalarına başvurmadan ve yalnızca matematiksel akıl yürütmeye dayanarak, parçacıkların dağılımının Quetelet'in hata yasasının üç boyutlu bir benzeri olduğunu kanıtlamayı başardı .

Hollandalı kaos

Bir kavram olarak "gaz" kelimesi, Hollandalı kimyager DV Jan Helmut tarafından Oris Me (1ісінае , 1632'de yayınlanan ve Yunanca "kaos" kelimesiyle benzerliğini vurgulayan) çalışmasında tanıtıldı. yeni bir konsept için kelime. .

Gazların fiziğinde rastgelelik ve determinizm ilk olarak karşı karşıya geldi. Aslında, özünde bir gaz, tam dinamik yasalarına uyan hareket eden moleküllerin tamamen deterministik bir koleksiyonudur. rastgelelik nerede?

Bu soruya 1970'lerden ve çoğu 1980'lerden önce bilgili herhangi bir bilim adamı otomatik olarak cevap verdi: karmaşıklıkta. Gaz moleküllerinin ayrıntılı hareketi bizim için çok karmaşıktır.

için makul sayıda gaz molekülünün hareketini takip edebilen bir cihazımız olduğunu varsayalım . Elbette böyle bir cihaz mevcut değildir, ancak mevcut olsa bile , parçacıkların hareketini birçok büyüklük derecesinde yavaşlatmak için bir bilgisayara ihtiyaç vardır - aksi takdirde neler olduğunu göremeyiz. Ancak, böyle bir cihaz yapmayı başardığımızı varsayalım. O zaman ne görebilirdik? Dikkatimizi küçük bir molekül grubu üzerinde yoğunlaştıralım. Kısa bir süre düz bir çizgiyi takip ederler, ardından önceki hareketlerinin geometrisinden tahmin edilebilecek yönlerde birbirlerine karşı güçlü darbeler yaşamaya başlarlar. Ancak araştırmamıza grup hareket halindeyken başladığımız için bu yapılamaz. Ayrıca dışarıdan gelen herhangi bir molekül bizim iyi tanımlanmış grubumuzu yok eder. Ve biz yeni bir grup oluşturamadan önce, başka bir molekül belirecek, ardından üçüncüsü gelecek ve bu böyle devam edecek.

Son derece karmaşık bir hareketin yalnızca küçük bir bölümünü görürsek , rastgele ve yapısız görünmelidir .

Bu anlamda sosyal bilimleri bu kadar zorlaştıran da aynı mekanizmadır. Çalışan ekonomiyi, ulusu ya da zihni, onun küçük bir parçasını izole ederek incelemek mümkün değildir. Deneysel alt sistem, beklenmedik ve kontrol edilemeyen dış etkiler tarafından sürekli olarak rahatsız edilecektir. Sürekli deneylerin yapıldığı fizik bilimlerinde bile , günlük çabanın çoğu dış etkileri ortadan kaldırmak için harcanır. Aydınlatılmış Broadway'in gaz neon tabelaları muhteşemdir, dikkatleri gece hayatına, bayağı striptiz kulüplerine ve barlarına çeker, ancak aynı gaz astronomların enstrümanı olan teleskopta boşluk rolünü oynar. Hassas sismometre sadece gerçek depremleri kaydetmekle kalmaz, aynı zamanda arabasını koridordan aşağı iten bir hizmetçinin adımlarını da kaydedebilir . Fizikçiler, çeşitli istenmeyen etkileri ortadan kaldırmak için aşırı uzunluklara gidiyorlar. Manhattan'ın çatıları yerine teleskoplarını dağların tepelerine yerleştiriyorlar ve bir ofis yerine nötrino sayaçlarını yüzeyin birkaç mil altına saklıyorlar. Ancak sosyal bilimci bunu bile karşılayamaz, modeller elde etmek için istatistiksel yöntemler kullanmak, yani verileri etkilerden kurtulacak şekilde filtrelemek zorundadır. İstatistik, karmaşıklığın kumundan değerli bir düzen çıkarmanın bir yöntemidir .

Bilim adamları, deterministik bir sistemin rastgele davranabileceğini yüz yıl önce zaten biliyorlardı, ancak aslında davranışının böyle olmadığına, yalnızca eksik bilgi nedeniyle rastgele göründüğüne inanıyorlardı . Böyle bir rastgeleliğin aldatıcı olduğuna inanıyorlardı, çünkü muazzam sayıda serbestlik derecesine sahip olan ve birçok bileşen de dahil olmak üzere birçok farklı değişken içeren çok büyük ve karmaşık bir sistemde meydana geliyor . Bu tür sistemlerin ayrıntılı davranışı, sonsuza kadar insan zihninin yeteneklerinin ötesinde kalacaktı.

Ekstra paradigma?

19. yüzyılın sonunda, bilimde çok farklı iki matematiksel modelleme paradigması bir arada var oldu. İlki ve daha eskisi, diferansiyel denklemlerin çözümlerine dayanan, prensipte evrenin tüm gidişatını belirleme yeteneğine sahip, ancak pratik olarak yalnızca nispeten basit ve iyi yapılandırılmış problemlere uygulanabilen yüksek hassasiyetli analizdi. İkincisi, hızla gelişen bilimdi - "genç başlangıç" - oldukça karmaşık sistemlerin hareketlerinin kaba özelliklerini ortaya çıkarmayı mümkün kılan ortalama değerlerin istatistiksel analizi.

Aralarında matematiksel düzeyde gerçek bir temas yoktu. İstatistiksel yasalar, dinamik yasalarının matematiksel sonuçları değildi, fizikten ödünç alınan matematiksel modellerin üzerine bindirilmiş ek bir yapısal katmandı , fiziksel sezgiye dayanıyordu. Büyük madde kütlelerinin davranışının dinamik yasalarına dayalı titiz bir şekilde çıkarılması bugün bile bir sorun olmaya devam ediyor; bu matematiksel fizikçiler arasında bir tartışma konusudur. Örneğin, gazların var olduğu (belirli bir modele göre) ancak son zamanlarda kesin olarak kanıtlanmıştır . Kristallerin, sıvıların ve amorf katıların teorik varlığı, teorinin ulaşamayacağı kadar uzaktır.

20. yüzyılın başında istatistiksel metodoloji sağlam bir şekilde kurulmuş ve deterministik modellemenin yanında eşit bir ortak olarak yerini almıştır. Bu gerçeği yansıtmak için bilimsel kullanıma yeni bir kelime girdi. Şansın bile kendi yasaları vardır - stokastik yasalar . (Yunanca zooskaziikos kelimesi "bir hedef seçme sanatı" anlamına gelir ve böylece şans yasalarının pratik kullanımını tanımlar .) Stokastik süreçlerin matematiği -rastgele olayların dizilerinin incelenmesi- deterministik süreçlerin matematiğiyle birlikte gelişti.

Düzen artık yasayla, düzensizlik de onun yokluğuyla eşanlamlı değildi. Hem düzen hem de düzensizlik yasaları vardı, ancak bu yasalar iki farklı davranış türünü tanımladı. Bir tür yasa, düzenli davranışı, diğeri ise düzensiz davranışı karakterize eder. İki paradigma, iki yöntem, dünyaya bakmanın iki yolu, yalnızca kendi etki alanları içinde uygulanabilen iki matematiksel ideoloji vardı. Determinizm, birkaç serbestlik derecesine sahip basit sistemler için, birçok serbestlik derecesine sahip karmaşık sistemler için istatistik kullanılmıştır. Sistem ya rastgeleydi ya da değildi. Rastgele olsaydı , bilim adamları stokastik yöntemler kullanarak sonuçlara ulaştılar ; aksi halde deterministik denklemleri uyguladılar.

Bu iki paradigma eşit ortaklardı, bilim dünyasında eşit olarak kabul edildi, eşit derecede faydalı, eşit derecede önemli, eşit derecede matematikseldi. Eşit ama farklı: tamamen ve uyumsuz bir şekilde farklı. Bilim adamları farklı olduklarını biliyorlardı ve bunun nedenini anladılar: basit sistemler basit bir şekilde davranır, karmaşık sistemler karmaşık bir şekilde davranır. Basitlik ve karmaşıklık arasında ortak bir zemin olamazdı.

Bununla birlikte, bilim adamlarının bir kuşağının, dünyalarının dokusunda yerleşik olan, hiçbir şüpheye yer bırakmayacak şekilde bildiği şey, tam da bir sonraki kuşağın meydan okuyacağı ve alt üst edeceği şeydir. Bir şeyi kesin olarak biliyorsanız , o zaman şüphe duymazsınız ve şüphe duymazsanız, o zaman bilimle değil, inançla yaşarsınız.

Bu gerçekten çok zor bir soru. Basit bir deterministik sistem rastgele bir sistem gibi olabilir mi? Sorunun böyle bir ifadesi, sezgimizle kesin olarak çelişir ve onu sormamızı engeller . Şimdiye kadar, bilimin ilerlemesi tamamen , doğada basitlik aramanın, onu tanımlamak için basit denklemler bulmak anlamına geldiği inancına dayanıyordu. Neden aptalca sorular soruyorsun!

Tarihin şimdi geldiğimiz noktasında, yalnızca bir muhalif ses duyuldu, ama o zaman bile solgun, belirsizdi , yalnızca gelecekteki sıkıntılara titrek bir gönderme olarak geliyordu. Bu ses sadece bir kez yükseldi, sonra sustu. Bu ses -eğer duyulmuş olsaydı- görmezden gelindi. Çağının en büyük matematikçisi, çalkantılı dinamik biliminin bir başka devrimcisi olan ve onu bir yan ürün olarak kabul ederek gelişigüzel bir matematik alanını yaratan bir adamın sesiydi . Sadece kaosa dokunan bir adamın sesiydi...

Ve dehşete düştü.

4. Bölüm

son evrenselci

"Kırk görev, hepiniz 27. Hava Kuvvetleri Karargahı tarafından çağrılana kadar uçmanız gerekiyor." Vissarion sevindi. "O zaman eve gidebilir miyim? 48 yaşında olacağım.” "Hayır, eve gidemezsin," diye düzeltti eski Er 1. Sınıf Wintergreen.

"Sen deli misin?" "Neden?" "Yakalama-22 1 ".

Joseph Geller. 22'yi yakala.

Bilginin yokluğunda matematik, bir Catch-22'nin kıskacında kıvranıyordu.

Denklemi analitik olarak çözmek mümkünse, çözümler ipzo /acio olacaktır . düzenli davranın, analize uygun bir forma sahip olun. Formüllerin doğrudan iletişim kurduğu şey budur. Bununla birlikte, dinamiklerle uğraşmanın diferansiyel denklemlere analitik çözümler bulmak anlamına geldiğini düşünüyorsanız, bu tür matematik yalnızca düzenli davranışı inceleyebilir. Bu nedenle, yöntemlerinizin uygulanabilir olduğu sorunları aktif olarak arayacak ve gerisini görmezden geleceksiniz. Hayır, bu sorunları halının altına gizlemek için bile değil - bunu yapmak için en azından onların varlığından haberdar olmalısınız. Aptallar cennetinde yaşadın ya da en azından bunu anlayabilecek kadar zeki olmasaydın içinde yaşamaya devam ederdin.

kısıtlamaları geçersiz kılmak için çok özel koşullar kombinasyonu gerekir . Zaman, yer, kişilik, kültür - her şey doğru seçilmelidir.

Bu kişinin doğum yerini seçmenin yanlış bir tarafı yok . Fransa daha sonra en yüksek rütbeli matematik uluslarına aitti. O zaman hâlâ sahipleniliyor.

profesörün yumuşak, utangaç bakışına sahipti, ama dev bir düşünceydi. Bir ayağı 19. yüzyılda, diğeri 20. yüzyılda, matematiğin genellik ve soyutlama ile romantizmine başladığı matematik tarihindeki bu dönüm noktasının kökenlerinde durdu. Bazıları bu romana somutluğu nedeniyle hayran kaldı, diğerleri için uzun süre anlaşılmaz kaldı ve bazıları için bu güne kadar kabul edilemez kaldı. Bu adamın adı Henri Poincare'dir (Şekil 4.1). Muhtemelen , konusunun her ayrıntısına, her inceliğine nüfuz edebilen son matematikçiydi. Poincaré'den sonra uzmanlar geldi ve onların varlığını matematiksel anlayışın genişliği ve derinliğinden daha gerekli kılan bir matematiksel bilgi patlaması oldu . Poincare'in çok sayıdaki keşif ve icatları arasında, onun tarafından kurulan dinamik sistemlerin niteliksel teorisini de buluyoruz.

Burası bu kişinin gerçek yeri. Ancak, o zaman onun için adil değildi ve kültür daha da adildi. Bilim adamları okyanusun derinliklerini keşfetmeye başladığında, ağları ölümcül günah kadar çirkin garip bir canavarın donuk renkli kalıntılarını ortaya çıkardı. Ancak batiskaflar projektörlerle donatıldığında ve derin deniz hendeklerini keşfetmek mümkün olduğunda, bu kayıp dünyaların ince güzelliği ve gerçek renkleri kendini gösterdi. Bir canlının güzelliğini bir cesetle yargılamak zordur. Poincare'de öyleydi. Kaosun uçurumuna baktı ve kara deliklerinde saklanan bazı biçimleri gördü, ama uçurum çok derin ve karanlıktı. Bu yüzden, bir yanılsama içinde, bu canavarlara matematikteki en anlamlı isimlerden bazılarını verdi . Poincare derin bir anlayışa sahipti, ancak gerekli ifade araçlarına sahip değildi. Poincare , bilgisayarlar ve diğer teknik araçlar tarafından oluşturulan diferansiyel denklemlerin nitel teorisi ile donanmış başka bir yüzyılda bulundular . Bu çağ kaotik derinliklere biraz ışık tutabilmiş ve onların muhteşem güzelliklerini ortaya çıkarabilmiştir. Ancak, Poincaré öncü olmasaydı ve uçurumun kenarında yürümeseydi tüm bunlar imkansız olurdu.

Dalgın hayalperest

Henri Poincare, 29 Nisan 1854'te kuzeydoğu Fransa'da Nancy'de doğdu. Babası bir doktordu ve annesi hakkında neredeyse hiçbir şey bilinmiyor. Alışılmadık derecede hızlı zekalı bir çocuktu, ancak beş yaşında difteri geçirdiği için hareketlerini kötü koordine etti ; bu kusur, hayatının geri kalanında onunla kaldı. On beş yaşında matematik için ciddi bir yetenek gösterdi. 1871'de birinci derece için sınavları geçti, matematikte neredeyse başarısız oldu - bir utanç yaşadı, bu yüzden geometrik dizilerdeki basit bir problemle başa çıkamadı. Orman Okulu sınavlarından kısa bir süre sonra matematikte birincilik ödülünü sorunsuz bir şekilde kazanarak işleri yoluna koydu. Daha sonra, matematik dehaları olarak ün kazanmış Fransız matematikçilerin yuvası olan École Polytechnique'e geçti . Onu zor matematiksel problemlerin sağlam temeline oturtmak için yapılan birkaç girişim başarısız oldu, çünkü Poincare onları zahmetsizce aştı.

1875'te mühendis olmayı hayal ederek Maden Okulu'na girdi, ancak bu arada diferansiyel denklemler alanında birkaç keşif yaptı ve üç yıl sonra bunları doktora tezi olarak Paris Üniversitesi'ne sundu. Sonuç olarak, 1879'da Cannes'da matematiksel analiz profesörü pozisyonunu aldı. 1881'den beri faaliyeti, Fransızların ve tabii ki dünya matematiğinin tartışmasız lideri olduğu Paris Üniversitesi ile sıkı bir şekilde ilişkilendirildi.

Bir matematikçinin geleneksel klişesi, dalgın bir hayalperest, sakallı, gözlüklü bir adam, her zaman gözlük arayan ve onların burnunda olduğunu fark etmeyen bir adamdır. Birkaç büyük (veya sıradan) matematikçi aslında bu klişeye uyuyor, ancak Poincaré değil. Otellerde bir kereden fazla, unutkanlıktan iki kez çarşaf için suçlandı.

Poincaré birleştirici, ortak ilkelerin arayıcısı, gelenekçilerin sonuncusu ve modernistlerin ilkiydi. Zamanının tüm matematiğine gerçekten hakimdi: diferansiyel denklemler, sayı teorisi, karmaşık analiz, mekanik, astronomi ve matematiksel fizik. Eserlerinin koleksiyonu, genellikle oldukça uzun olan 400'den fazla kitap ve makale içerir. Sürekliliğin genel doktrini olan topoloji, Poincaré'nin en büyük eseriydi. Buna anapius siius, yani konumsal analiz adını verdi ve onu dinamiklerdeki en zor problemlerden birine uyguladı.

Pirinç. 4.2. Uçtaki bir firkete dengesi dengesizdir ve pratikte her zaman devrilir. Yanında duran aynı pim sabittir.

Matematik Oscar'ı

1887'de İsveç Kralı II. Oscar, astronominin temel sorusuna cevap verenlere 2500 kronluk bir ödül teklif etti: Güneş sistemi istikrarlı mı? Şimdi bunun matematiksel fiziğin gelişiminde önemli bir dönüm noktası olduğunu görüyoruz .

Küçük etkilerin (pertürbasyonlar) etkisi altında gözle görülür şekilde değişmiyorsa, dinlenme veya hareket durumu stabildir . Yan yatan saç tokası sabittir (Şekil 4.2). Teorik olarak keskin ucunda istediğiniz kadar dengede kalabilir, ancak pratikte yan odadaki böcek kanatlarını açar açmaz düşecektir. Prensipte , açık gözlü bir canavarın komşu bir galakside kanatlarını açması yeterlidir, ancak bu etkinin kendini göstermesi biraz zaman alır. Gerçek şu ki, saç tokası sonsuz yavaş düşmeye başlar ve bozulma farkedilir hale gelmeden önce, komşu evden gelen yerçekiminin bir etkisi bu canavarın pullu kanatlarının uzak etkisini maskeleyecektir - sürüngen Vorsel Velentia .

Belirli bir dinlenme veya hareket durumunun var olup olmadığı, ancak bu durum incelenerek tespit edilebilir. Pim kesinlikle dikey olarak dengelenirse, yerçekimi tam olarak dayanak noktasından geçer ve burada Newton'un üçüncü yasasına göre büyüklük olarak bu kuvvete eşit ve yön olarak zıt olması gereken bir reaksiyon uygulanır. Bilmen gereken tek şey bu. Ancak bu durumun durağan olup olmadığını ancak yakın durumları analiz ederek anlamak mümkündür . Pimi hafifçe eğerseniz, kütle merkezi merkezden biraz sapar, şimdi reaksiyon ve ağırlık da eşit büyüklükte bir çift kuvvet oluşturur, ancak şimdi doğrudan zıt yönde değildirler. Ortaya çıkan çift , pimin eğim yönünde dönmeye devam etmesine neden olur. İlk yer değiştirme artar ve konum kararsız hale gelir.

Dolayısıyla bir hareketin sürdürülebilirliği, varlığından daha karmaşık bir konudur. Sürdürülebilirlik birçok durumda son derece önemlidir. Dev bir jet uçağı sadece uçmakla kalmamalı, istikrarlı bir şekilde uçmalıdır, aksi takdirde çarpacaktır. Araç bir virajı döndüğünde yana yuvarlanmamalı, yol boyunca sabit bir şekilde hareket etmeye devam etmelidir. Teorik olarak, kararlı ve kararsız durumlar aynı temel dinamik denklemlerin çözümleridir: matematik onları diğerleri kadar kolay bulur. Ancak bir deneyde, kararsız bir dinlenme durumu asla gözlemlenmeyecektir, çünkü önemsiz dış etkiler bunu önleyecektir. Kararsız bir hareket durumu pratikte gözlemlenebilir, ancak yalnızca ilk kararsız durumdan kararlı duruma giden yolda bir geçiş durumu olarak . Bisikletin ilk itişini verdiğiniz an ile hendeğe düştüğü an arasındaki hareketi, sabit bir dinlenme durumuyla biten bir geçiştir.

Kararsız bir durumu gözlemlemenin başka bir yolu daha var: durumu stabilize etmek için özel eylemler kullanın , kararlılığı ihlal eden hareketleri tespit edin ve düzeltin . Bu şekilde, ip cambazı yerçekimi kuvvetine meydan okur, ancak bu tür fenomenlerin değerlendirilmesi, dinamikten çok kontrol teorisine aittir.

Güneş sistemi çok karmaşık dinamik bir sistemdir. Hareketi kesinlikle vardır ve Newton'un deterministik yasalarına göre ilerler (çarpışmalar olmasına rağmen: üç tefeci topu ve burada ele almadığımız diğer tekillik türleri).

Güneş sistemi bir kez kurulup ince ayar yapıldıktan sonra işini yapıyor, ancak tek bir şey yapabilir. Ama bu şey sürdürülebilir mi? Gezegenler neredeyse aynı yörüngelerde hareket etmeye devam edecekler mi, Dünya'nın kaderi Plüton'un soğuğu ve karanlığında mı sona erecek, yoksa Güneş'e mi çökecek? Güneş sistemi yoluna devam edecek mi yoksa yana doğru kayarak kozmik bir hendeğe mi düşecek?

Kuşkusuz, bunlar ilginç sorular. Pratikte ne kadar önemli oldukları başka bir konudur , elbette bu konuda tartışılabilir. Gök mekaniğinde, en geç yüz milyar yıl sonra evrenin yok olacağını duyan bir adam meselinde olduğu gibi, kararsızlıkların kendilerini göstermesi genellikle çok uzun zaman alır : "Beni heyecanlandırdın. .. Bana söylediğin şey yüz milyon gibi geldi!"

Her durumda, muhtemelen önce Güneş patlayacaktır.

Kral Oscar günlerinde, bu ek fiziksel karmaşıklık katmanlarının çoğu dikkate alınmadı ve güneş sisteminin kararlılığı ciddi bir pratik sorun olarak görüldü . Bugün çok önemli değil, ancak tüm iyi formüle edilmiş fiziksel problemler gibi, bundan sonraki matematiksel ömrü uzun bir süre fiziksel olarak ölüydü. Bu sorunun somut biçiminin arkasında çok daha genel bir sorun gizliydi: karmaşık dinamik sistemlerin kararlılığıyla ilgili soruların nasıl ele alınacağı.

Kauçuk levha dinamiği

Poincare, yukarıda söylendiği gibi, "son evrenselci"ydi, konusunun her alanında çalışabilen büyük matematikçilerin sonuncusuydu . Sonuncusuydu çünkü konu çok hızlı büyüdü, bunun için fazla aptal olan matematikçiler ve uzmanlar tarafından öğrenilebileceğinden daha hızlı. Bugün matematiğin yeni bir birleşiminin işaretleri var: evrenselcilerin günleri geri dönebilir. Doğal olarak Poincare, Kral Oscar sorununa döndü . Çözmedi: çözüm çok daha sonra geldi ve başlangıçta beklenen forma sahip değildi. Ancak sorunun çözümünde öyle bir iz bıraktı ki kendisine bir ödül verildi; Bunu yapmak için yeni bir matematik dalı yarattı - topoloji.

Topoloji “kauçuk levha geometrisi” olarak adlandırılabilir. Daha doğrusu, sürekliliğin matematiğidir. Süreklilik, pürüzsüz, kademeli değişimlerin doktrini, sürekliliğin bilimidir. Düzensizlikler beklenmedik ve çarpıcıdır; bunlar, küçük özelliklerin büyük değişikliklere neden olduğu yerlerdir . Bir çömlekçi kil parçasını elleriyle yoğruyor, onu sürekli bir şekilde değiştiriyor ama kese kırılınca deformasyon sürekli olmaktan çıkıyor. Süreklilik, her şey hakkında bildiğimiz en temel matematiksel özelliklerden biridir . Süreklilik kavramı o kadar doğaldır ki, temel rolü neredeyse yüz yıl önce netlik kazanmıştır. Bu kavram o kadar güçlü ki matematiği ve fiziği dönüştürecek; o kadar zor ki, en basit sorulara bile cevap bulmak on yıllar aldı .

Topoloji bir tür geometridir, ancak bu geometride uzunluklar , açılar, alanlar ve şekiller sonsuz değişkendir: kare sürekli olarak daireye (Şekil 4.3), daire üçgene ve üçgen paralelkenara dönüştürülür. Çocuklar olarak okulda özenle incelediğimiz tüm farklı geometrik formlar topolog için aynıdır. Topoloji, yalnızca tersinir sürekli dönüşümler altında değişmeden kalan özellikleri inceler . "Tersinir" dediğimde, "tersinir olmayan" dönüşümlerin de sürekli olduğunu kastediyorum. Kili yavaş yavaş topak içine ekleyerek sürekli bir dönüşüm gerçekleştiririz, ancak tersi dönüşüm - kilin topaktan çıkarılmasıyla - aynı değildir. Yani bir topolog için iki kil parçası bir tanesiyle aynı değildir, ancak normalde ayırt ettiğimiz diğer şeyler farklı kalır.

İlk topolojik özellikler nelerdir? Alışkın olmayan kulağa, az önce bahsedilen bağlantı gibi puslu, soyut ve belirsiz görünüyorlar. Tek parça mı, iki parça mı? Başka bir örnek düğümlemedir: düğüm, çözülemeyen bir ilmektir ve düğümün nasıl deforme olduğu önemli değildir. Bir yol döşemek de topolojik olarak sağlamdır. Delikler aynı zamanda topolojik nesnelerdir: tersinir bir sürekli deformasyonla bir delikten kurtulamazsınız . Bir topolog için çörek , kahve fincanına benzer , çünkü ikisi de aynı deliğe sahiptir. (Ne olduğunu tahmin edebilirsiniz

Nako Poincare, domuzun siğillerinin altında saklanan yüksek zekayı ayırt edebildi. Hem saf hem de uygulamalı matematikte kapsamlı matematiksel deneyime sahipti ve bu, sürekliliğin titiz bir teorisinin potansiyellerini görmesini sağladı . Bazen neyin gerçekten önemli olduğunu anlamak evrensel bir zihin gerektirir : Ondan başka hiç kimse bütünün tüm parçalarını birbirine bağlayamaz. Poincaré'nin döndüğü her yönde, yalnızca topolojinin yanıtlayabileceği sorulara yöneldi. Bu, sayı teorisi, karmaşık analiz, diferansiyel denklemler ve Kral Oscar sorunu üzerindeki çalışmalarından açıkça görülmektedir.

Her yönden çılgın

Poincaré hayatının birkaç yılını topolojiye adadı ve neredeyse tüm yönlerini yarattı. Diğerleri onları geliştirdi: daha fazla tanım, daha fazla teorem, daha fazla jargon, daha fazla soyutlama ve doğayla daha az temas.

1950'lerde topoloji, matematiğin hemen hemen tüm büyük dalları gibi , Stefan Leacock'un kahramanının peşine düştü ve kendisini her yönden çılgın bir teoriye dönüştürdü. Bu, birçok yabancıya gerçeklikten kopmuş gibi görünüyordu . James Gleick, Chaos adlı kitabında , bu konuda kendi deneyimini anlatan Santa Cruzlu bir matematikçi olan Ralph Abraham'ın sözlerini aktarır:

Matematikçiler ve fizikçiler arasındaki aşk 1930'da bir kopuşla sona erdi. Bu insanlar artık konuşmuyorlardı. Sadece birbirlerinden nefret ettiler. Matematiksel fizikçiler , öğrencilerinin matematikçilerle matematik derslerine katılma hakkını reddetti. Bizimle matematik öğrenin. Bilmeniz gerekenleri size öğreteceğiz . Matematikçiler korkunç bir öznel yanılsama içindedirler ve zihninizi yok edebilirler. Bu 1960'daydı. 1968'de her şey normale döndü.

Bu, Poincaré ve onu takip eden matematikçilerin temel fikri tuttukları için oldu, ancak işi tek başına etkili bir şekilde yapmak çok zordu. Bu yüzden bu kadar uzun sürdü ve böylesine vahşi ve soyut bir alana yol açtı. Aynı zamanda, birçok matematikçi Poincaré'nin bu işe fiziksel bir problemden başlayarak başladığını bile unutmuştu. Yeni tür matematik onları o kadar heyecanlandırdı ki, onlar için oldukça yeterliydi ve lüks entelektüel izolasyonda kalabilirlerdi.

zaptedilemez bir dağ silsilesini geçmeye çalışan bir keşif gezisi gibiydi . Uzaktan, fethedilmesi gereken zirve görülebiliyordu, ancak yükselişin nasıl gerçekleştirileceği bilinmiyordu . Bu nedenle, sefer başkanı dağın çevresini dolaşmak için çölde dolambaçlı bir yol yapmaya karar verdi, ancak bunun sonucunda zirve geride kaldı. Günümüzde çölde hayatta kalmak için gerekli olan ekipmanlar farklılaşmış, dağlara tırmanmaya yardımcı oluyor. Böylece yürüyüş, kaktüsler, çıngıraklı yılan ve örümcek uzmanlarıyla, rüzgarın üzerlerindeki etkileri ve ani hareketlerinin nedenlerini inceleyen kumul kaşifleriyle sona eriyor ve kimse kar, halatlar, ayakkabılardaki sivri uçlar ve buz baltaları hakkında endişelenmiyor. Bir dağcı, bir kum kaşifine neden kum tepelerini incelediğini sorarsa, "bu dağın geçmişini anlamak için" cevabını aldığında, duyduğu sözlere inanmaz. Bu, "Dağlar hakkında bir şey söyleyemem - kum tepeleri çok daha ilginç" yanıtından daha kötü.

Topoloji dağı hala var ve çöl hala onun etrafına yayılıyor. Çöl kaşifleri işlerini yeterince iyi yaparlarsa - dağı unutsalar bile - dağın artık bir engel olmayacağı gün gelecek.

1960'ların ortalarında, biri Amerikalılar, diğeri Ruslar tarafından yönetilen iki matematikçi grubu sonunda topoloji çölünü geçti . Topolojinin ana problemleri düz bir çizgiye geldi ve her iki grup da bitiş çizgisine birlikte geldi. Pek çok tanınmış matematikçi ve fizikçi - ama hepsi değil - topolojinin fizikten çıktığını unuttu. Matematik ve fizik unutulmuyor.

sonsuz üçgen

Bu bölüm bizi Kral Oscar'a geri götürüyor. İnsan ilişkilerinde ikisi bir birlik oluşturur ve üçü ayrılır. Benzer şekilde, gök mekaniğinde, iki cismin etkileşimi iyi tahmin edilebilir ve -

Pirinç. 4.4. Üç cisim hareketlerinin karmaşıklığı: burada, sabit, özdeş kütleye sahip iki sabit gezegenin yörüngelerinin kısmi bir bulutu gösterilmektedir.

üç ceset felaketle doludur (Şekil 4.4). Güneş sisteminin düzinelerce ana gövdesi daha da karmaşıktır, bu nedenle Kral Oscar'ın taçlarını kim isterse çok çalışmak zorunda kaldı.

Poincaré'nin ödüllü makalesinin başlığı (Fransızca) Üç cisim problemi ve dinamik denklemleri üzerine. 1890'da Fransızca olarak yayınlandı ve orijinal olarak 270 sayfaydı. İlk kısmı dinamik denklemlerin genel özelliklerini belirledi, ikincisi - sonuçları Newton yerçekimi nedeniyle hareket eden keyfi olarak çok sayıda cismin sorununa uyguladı.

Sadece Dünya ve Güneş'ten oluşan evreni ele alalım. İki cismin hareketi periyodiktir, yani defalarca tekrar eder. Geleneğe göre böyle bir hareketin tekrarı için gereken süreye yıl denir. Periyotların varlığı, Dünya'nın Güneş'in içine düşemeyeceğini veya ondan sonsuz bir mesafeye uzaklaşamayacağını açıkça kanıtlamaktadır . Böyle bir fenomen meydana gelirse, Dünya her yıl Güneş'e yaklaşmalı veya ondan uzaklaşmalıdır. Bu var olmayan fenomenler bir kereden fazla olamaz ve geçen yıl da olmadılar. Bu nedenle, görünmeyecekler. Başka bir deyişle, periyodiklik bize istikrar için çok faydalı bir yaklaşım sağlar. Gerçek evrende, diğer cisimler bu uygun senaryoyu ihlal edebilir, ancak periyodiklik ve onunla ilişkili kavramlar işlemeye devam eder.

Poincare, makalesinin üçüncü bölümünde, diferansiyel denklemlerin periyodik çözümlerinin varlığı sorusuna dönüyor. Klasik tarzda başlar ve bir değişken kavramını, her terimi zamanın periyodik bir fonksiyonu olan sonsuz serilere genişleterek bu tür çözümlerin nasıl elde edileceğini gösterir. "Sonuç olarak," diyor, "denklemleri resmi olarak karşılayan periyodik katsayılı seriler var ."

Poincare, "resmi olarak" kelimesini önemli bir nedenle bağlantılı olarak kullanır. Prosedür mantıklı görünüyor, ancak yanlış çözümlere yol açabileceğinden endişeleniyor. Sonsuz bir serinin belirli bir toplamı vardır, ancak ve ancak çok sayıda terimin toplamı tek bir değere eğilimliyse: bu davranış yakınsama olarak bilinir. Poincaré bunu çok iyi biliyor ve "Bu serilerin yakınsamasını göstermeye devam ediyor" diyor. Ama burada her zamanki gibi değişken olan analiz onu terk ediyor. Yakınsamanın doğrudan gösterilebileceğine olan inancını doğruluyor, ancak göstermiyor . Ya bunun yenmeyen bir karışım olacağını anlar ya da nasıl yapacağını gerçekten bilmez. Poincare, “Diyelim ki serilerin yakınsak olduğunu varsayalım ” diyor, “ama bu önermeyi ispatlamayacağım için , bu problemi farklı bir noktadan ele alarak serilerin yakınsaklığını ima eden periyodik çözümlerin varlığını açıkça göstermek istiyorum. bakış.”

topoloji hakkında soru

Poincaré'nin fikri şudur: sistem bir süre belirli bir durumda kalsın ve belirli bir süre sonra kendini tekrar aynı durumda bulur. Şu anda sistemin tüm elemanlarının konumları ve hızları öncekiyle tamamen aynıdır. Daha sonra, diferansiyel denklemlerin çözümünün benzersizliği nedeniyle, bu, çözümün tekrar tekrar tekrarlanması gerektiği anlamına gelir, yani durumu kendisi tarafından belirlenen bir hareket gerçekleştirilir. Bu, hareketin periyodik olduğu anlamına gelir.

Pirinç. 4.5. Faz uzayındaki bir nokta kapalı bir döngü boyunca hareket ederse, aynı hareketi her zaman periyodik olarak tekrarlayacaktır.

Sistemin durumunun bazı çok boyutlu faz uzayındaki bir noktanın konumu tarafından belirlendiğini hayal edin. Sistem hareket ettiğinden, bu nokta bir yörünge boyunca hareket eder . Bir dizi değişiklikten sonra orijinal durumuna geri dönmek için yörünge bir döngü şeklinde olmalıdır (Şekil 4.5). "Bu eğri ne zaman kapalı bir döngüdür"? Soru , döngünün şekli, boyutu veya konumu hakkında hiçbir şey içermiyor . Bu topoloji için bir soru . Periyodik çözümlerin varlığı , bir noktanın mevcut konumu ile bir sonraki periyottaki konumu arasındaki ilişkinin topolojik özelliklerine bağlıdır .

Poincaré bunu tam olarak bu şekilde söylemedi, ancak temel geometrik fikri tam da bu. Bunu başka bir yerde kendisi anlatıyor. Şimdi bu sorunu, gidişatın nereye gittiğine karar vermekten farklı bir şekilde formüle etmek daha kolay, ancak Poincaré'nin bu tür kapalı döngülerin nasıl tespit edilebileceği hakkında bir fikri bile var. Fikrini fantastik terimlerle anlatayım . Rus uzay mühendislerinin Kosmos serisinden başka bir casus uyduyu Dünya yörüngesine fırlatmasına izin verin ve bilmek istiyorsunuz: yörüngesi periyodik mi? Sonra, mümkün olan en kısa sürede, uydunun Dünya'nın etrafında dönmesinden daha hızlı, teleskopunuzla Dünyanın merkezinden geçen bir düzlemi ve ufuktan ufka kuzey-güney hattını tararsınız. Uydunun bu düzlemi ne sıklıkla geçtiğini gözlemlersiniz . Bunu yaparken kavşakların nerede meydana geldiğini, ne kadar hızlı ve hangi yönde hareket ettiklerini not eder ve gözlemlerinizi kaydedersiniz. Uydunun hareketi periyodik ise, kesişmeler her seferinde aynı noktada, aynı hızda ve aynı yönde gerçekleşmelidir.

Başka bir deyişle, tüm başlangıç durumlarını dikkate almak yerine kendimizi birkaçıyla sınırlayabiliriz. Başlangıç durumlarının bütün bir yüzeyini hayal edin ve (mümkünse) her yeni kavşakta bunların değiştiğini izleyin (Şekil 4.6). Tam olarak başladığı yere dönen tek bir durum bulmak mümkün müdür? Eğer öyleyse, o zaman periyodik bir çözüm bulundu.

Şu anda böyle bir yüzeye Poincaret bölümü denir . Bu yaklaşımın büyük verimliliği, birçok çelişkili çöpü atmamıza izin vermesi ve böylece dinamikleri temsil etme problemini basitleştirmesidir. Ve bu örnekte, olası tüm basitleştirmeleri dikkate almak gerekli hale geliyor. Örneğin, bir Poincare bölümünün yalnızca varlığı, topolojik nedenlerle, periyodik bir çözüm olasılığına yol açar.

göksel kaos

Bu fikir o kadar dikkat çekiciydi ki Poincaré'nin gözlerini tamamen yeni bir karar davranışı biçimine açtı. Daha önce kimse böyle bir şey düşünmemişti bile. Aslında, her zaman topolojik veya en azından geometrik olarak düşünülmeli ve böyle bir temsilin mümkün olduğuna dair umudunu asla kaybetmemelidir: bir formülden elde edilemez.

indirgenmiş Hill modeli olarak bilinen idealize edilmiş üç cisim problemini düşündü . Bu modelde, incelenmekte olan üç cisim var ve bunlardan birinin kütlesi o kadar küçük ki, onu etkilemiyor.

Pirinç. 4.6. Poincare bölümü tarafından periyodik hareketin algılanması. Periyodiklik için , eğri aynı başlangıç konumuna dönmelidir.

diğer ikisi; bununla birlikte, ikincisinin davranışı bu üçüncü cismin etkisi altında paradoksal hale gelir. Yalnızca Neptün, Plüton ve bir kozmik toz tanesi içeren bir evren hayal edin . Neptün ve Plüton, toz parçacığı hakkında hiçbir şey bilmiyorlar ve tahmin edebileceğiniz gibi, hareketlerine gözle görülür bir şekilde müdahale etmiyor, bu yüzden evrenin sadece iki cisimden oluştuğunu varsayıyorlar. "Hah!" diyor Neptün, tridentiyle çayı sallayarak, "Newton elipse girmem için çalıştı!" Kuyruğunu sallayan Plüton, kabul eder ve birbirinin yerine geçen iki cisim, ortak bir ağırlık merkezi etrafında görkemli bir şekilde hareket eder.

Öte yandan, bir toz parçacığı, onu sürükleyen Neptün ve Plüton'un çekiciliğinin çok iyi farkındadır. Karşılıklı çekimin etkisi altında iki gezegenin dönen alanı içinde hareket eder . Kendini üç cisim sisteminin bir üyesi olarak değil, dönen ama sabit bir yolda hareket eden küçük bir top olarak görür.

Bu, azaltılmış Hill modelidir. Poincaré , bir toz parçacığının periyodik hareketlerini bulmak için kesit yüzeyler yöntemini indirgenmiş Hill modeline uygulamaya karar verdi. Onun sonucu Otto Rössler tarafından mükemmel bir şekilde genelleştirildi. Teknik ayrıntıları azaltmak için sözünü biraz değiştirdim.

İki boyutlu dinamik bir sistemin yörüngeleri tekil noktalarda kesişir. Bu noktalar Poincare tarafından örneğin "eyer" veya "düğüm" olarak sınıflandırılmıştır . Yörüngelerin levhalarla temsil edildiği iki boyutlu enine kesitlere “aynı şey” olursa , kesişmeleri yine aynı eyer, düğüm vb. olabilir, ancak şimdi başka bir olasılık var: olmayan bir noktada kesişme. tek nokta. Bu noktadan ve aynı zamanda diğer herhangi bir tekil olmayan noktadan geçen yörünge , zamanın bir sonraki anında diğer bazı noktalarda enine kesitin konumunu sınırlar . Böylece, artık iki tür levha vardır. Bu nedenle, birbirlerini tekrar tekrar geçmeleri gerekir. Sonuç olarak, sonsuz sayıda kesişme noktasından oluşan bir "ızgara" oluşur (Şekil 4.7). Poincaret'in belirttiği gibi , hepsi biraz daha karmaşık ve sezgiseldir.

Gerçekten de, Poincaré'nin bulduğu yöntem o kadar karmaşık ve sezgisel değil ki, Leit Meiosus o/Seesiai Mescapiss'in üçüncü baskısında kendisi bundan söz ediyor :

Her biri bir çift asimptotik çözüme karşılık gelen sonsuz sayıda kesişimleriyle bu iki eğrinin oluşturduğu şekil çizilmeye çalışıldığında, bu kesişmeler bir ağ, örümcek ağı veya sonsuz sıkılmış döngüler gibi görünür. Ayrıca, iki eğrinin her biri asla kendi kendisiyle kesişmez, ancak ağın düğümlerini sonsuz sayıda geçmek için çok karmaşık bir şekilde kendisine geri dönmelidir . Bu, işleri o kadar karmaşık hale getiriyor ki, ortaya çıkan rakamı yazmaya bile çalışmıyorum. Hiçbir şey bize üç cisim probleminden daha iyi bir karmaşıklık fikri veremez.

Pirinç. 4.7. Zamanın kumunda kaosun izleri... Üç beden probleminde homoklinik tablo. Poincare dehşete kapılmıştı.

Hill'in indirgenmiş modeli gibi , çok karmaşık dinamiklerin aslında çok basit bir şeyden ortaya çıkabileceği anlamına geliyor. Ağın kesişme noktasından başlayan sistem, Poincare kesitine dönerken ağ üzerinde başka bir kesişme noktasında, sonra bir başkasında ve yine başka bir noktada üst üste binen bir eğri oluşturur. Ağ o kadar karmaşık bir şekilde yayılır ve sarılır ki, Poincare bölümünden rastgele bir dizi noktayla etkin bir şekilde geçer . Bir şehre varan ve merkez meydandan tekrar tekrar geçen bir otobüse benziyor, ancak her seferinde meydanda mevcut olan milyonlarca olası durak arasından rastgele bir yer seçiyor. Meydana gelen otobüsü görebiliyorsunuz ve meydana geleceğini biliyorsunuz - ama tüm olası duraklarını bilmiyorsunuz ve hayal etmiyorsunuz, bu yüzden onu nerede bekleyeceğinizi bilmiyorsunuz.

Böyle bir kesişen tabaka ızgarası artık homoklinik model olarak biliniyor. Poincare, içinde kaosun izlerini gördü. Robinson Crusoe, kumda açıkça işaretlenmiş çıplak bir ayak izine bakarken, gördüğü şeyin önemini fark etti. Robinson Crusoe gibi o da bu ihtimalden pek memnun değildi.

Bölüm 5

Tek taraflı sarkaç

SAVCI. İlk kez üst kata çıktığınızda ne yaptınız?

BAY. G. O sırada gevşek durumdaydım, efendim. (Yargıç ona hızlı bir bakış atar.)

SAVCI. Serbest taraftaydın. Mahkemeye, Bay Groomkirby, elinizden geldiğince açık bir şekilde, bu sonun nasıl serbest bırakıldığını kendi sözlerinizle anlatabilir misiniz?

BAY. G. Sağa tamamen sarıldım.

HAKEM. (keser): Tamamen sarılmış. Bu bize çok az şey söylüyor. Salıncağı serbest miydi? Bir uğultu var mıydı? (Önemli bir havaya sahip yargıçlar , Savunmanın tepkisini takip eder ve dinler.)

BAY. G. Aslında telefonu kapattım lordum.

NF Simpson. Tek taraflı sarkaç.

Farce of NF Simpson Tek Taraflı Sarkaç ilk olarak 14 Aralık 1959'da Brighton'daki Theatre Royal'de oynandı. Bu oyunu izlemediyseniz izleyin, komik.

Bundan burada bahsediyorum çünkü serbestçe asılı duran sarkaç , mekanik tarihinde merkezi (kapsayıcı) bir rol oynuyor. Galileo'ya nasıl ilham verdiğini zaten gördük. Böyle mütevazı bir mekanizmadan şaşırtıcı sayıda iyi fikir ortaya çıktı. Hafif bir iplik, sonunda ağır bir topuz ve üzerine asıldığı bir pim - bu basitliğin kendisidir. Aynı şekilde, en iyi matematik her zaman basittir, tabii eğer görebilirseniz. Kaosu anlamak için önce düzenli dinamiklerin topolojik tedavisine aşina olmalıyız ve sarkaç buna iyi bir örnektir.

NF Simpson'ın oyununun kahramanı Kirkby Groomkirby, akşam yemeği çağrılıncaya kadar akşam yemeğini yemeyecek, evi terazilerle dolup, bahçesinde, park saati ölçerde duruyor, vakti gelene kadar kıpırdamayacak. kalktı." Sahibinin kızı Sylvia, eğilmeden elleri dizlerine ulaşamadığı için hüsrana uğradı ve annesi ona maymun sıkmayı öğrenmesini önerdi . Tek taraflı sarkaç unvanını kullanarak , Simpson bunu düşünmüş olmalı. Bu, aslında oldukça orijinal bir başlık, oyunun özünü gerçekten yakalıyor.Muhtemelen, ileri geri sallanan sıradan bir sarkacın iki yönlü olduğuna, tek yönlü olanın ise yalnızca orada hareket ettiğine inanıyordu.

Ancak sarkaçlar sadece belirli bir şekilde hareket edebilirler . Hiç ipe asılı kestane ören bir çocuk görmedin mi? Bu tek taraflı bir sarkaçtır, sadece kısmen tıkırtıya benzer, çünkü Galileo zaten bir kilise lambasının aynı salınım süresinin, asılı olduğu tonozla ilgili olmadığına ikna olmuştu. Simpson'ın oyununun başlığı, sarkacın yaygın olarak gözden kaçan bir yönünü yansıtan bu bölümde geçiyor.

Poincaré'nin dinamiklere niteliksel bakış açısını, yaklaşık formüllere dayalı geleneksel bakış açısıyla karşılaştırmak istiyorum . Sarkaçın tek taraflı ve çift taraflı yönleri bunun için mükemmeldir. Sadeliğin gereğine uygun olarak, bu kesik ideal matematiksel sarkacın salınımın özünü en ekonomik şekilde temsil etmesi amaçlandığını eklemek isterim . İdeal bir sarkaç uzayda değil , dikey bir düzlemde salınır. İpliğin dayanak noktası üzerindeki sürtünmesini ve hava direncini dikkate almayacağız ve ipliği sıfır kütleli tamamen sert bir çubukla değiştireceğiz. Yerçekimi kuvvetinin dikey olarak aşağı doğru yönlendirildiği ve sabit olduğu varsayılacaktır. Böyle bir sarkaç laboratuarda bulunamaz, ancak daha gerçekçi modeller çok karmaşık ve tutarsız olma eğiliminde olduğundan bilim genellikle basit soyutlamaları inceleyerek ilerleme sağlar. Adım adım, yavaş bir başlangıç hareketi bizi dik kayak pistine hazırlayacaktır.

Kazanamıyorsan hile yap

belirli bir zamanda düşeyden saptığı açıyla tanımlanır . Sarkaçın hareketi için Newton yasasını yazalım . Bu, ikinci türevi , açısal hızın değişim oranını ve süspansiyonun uzunluğu ve yerçekimi ivmesi gibi bazı diğer değişkenleri içeren bir diferansiyel denklemdir.

Bir sonraki adımda, bu denklem çözülür. Eliptik fonksiyonlar gibi matematiğin son derece zor kısımlarının buna ne kadar dahil olduğunu öğrenmek sizi şaşırtabilir. Mekanikte bir dizi temel ders bu materyali içerir. Euler'in "analiz bizi başarısızlığa uğrattı" derken kastettiği buydu. Burada zamana meydan okuyan fedakarlık sahtekarlıktır .

Bu denklemlerin çözülmesinin zor olmasının nedeni , sarkaç üzerindeki kuvvetin, sarkaç ve düşey arasındaki açıyla hemen hemen, ancak tam olarak orantılı olmamasıdır. Tam orantılı olsalardı , o zaman biraz trigonometri bilgisine bile ihtiyacımız olmazdı ve “evde kuru oturur”. Ancak bu böyle değildir (aşağıda verilecek olan sarkacın dikkate alınması gerektiği eklenebilir).

Matematik güya kesin bir bilim olduğundan, “oldukça orantılı değil” kelimeleri , tutarsızlık ne kadar küçük olursa olsun, “orantılı” ile aynı değildir . Bu durumda yapılabilecek en kötü şey, ilerleme adına titizlik standartlarımızı düşürmek ve küçük bir tutarsızlık olmadığını varsaymaktır . ( Fizik dersinde bu hile ile bir tutarsızlık olduğunda “bu bir aldatmacadır!” diye bağırılır. Öğretmen buna katılacaktır ve benzer bir yöntemin bir cismin titreşimlerinin analizinde de kullanıldığını ekleyecektir.) keman teli.) Zaten idealize edilmiş sarkaç bizimki için denklemleri çözemezsek, o zaman onları daha da basitleştirilmiş, küçük eğim açılarında mevcut olana çok yakın bir yerçekimi kuvvetinden etkilenen sahte 1 sarkaç için analiz edelim. ideal modelde. Prestijinden dolayı basit harmonik osilatör olarak adlandırılan bu sahte sarkaçta, kuvvet tam olarak açıyla orantılıdır.

Şimdi denklemi çözebiliriz. Sarkacı zamanın sıfır anında A açısında yana götürelim ve bırakalım. Bir süre sonra i, açının değeri şuna eşit olacaktır.

L suyu fr"

nerede: ben - zaman, g - yerçekimi ivmesi, ben - sarkacın uzunluğu,

X Orijinalinde repsiiiiit. Not. başına.

A, ilk sapmadır. Sarkaç kütlesi bu ifadeye dahil edilmemiştir, bunun başlıca nedeni Galileo'nun dikkat çekmesidir: hafif ve ağır cisimler aynı hızda düşer.

Kosinüs eğrisinin nasıl davrandığını biliyoruz: 2n radyan (360°) periyotla 1'den -1'e dalgalanıyor. Sarkacın saptığı açı A'dan - A'ya değişir. Negatif açılar "dikeyin soluna" ve pozitif açılar "sağa" sayılır. Sarkacın A'dan -A'ya, soldan sağa açısal salınımları periyodiktir ve birçok kez tekrarlanır. Hareketi tekrarlamak ne kadar sürer? Bu formülden karşılık gelen periyodu buluyoruz:

Bu formülden birçok ilginç şey öğrenebilirsiniz. Böylece, daha uzun sarkaçlar daha uzun salınım periyotları ile karakterize edilir : uzunluktaki dört katlık bir artış salınım periyodunu iki katına çıkarır, dokuz katlık bir artış onu üç katına çıkarır ve bu böyle devam eder. Yerçekimi kuvvetini belirlemek için bir sarkaç kullanılabilir : sadece süspansiyonun uzunluğunu ve salınım periyodunu ölçmek ve ardından q'yu bulmak için formülü kullanmak yeterlidir. Ölçümler Jüpiter'de yapıldıysa, aynı şekilde Jüpiter'deki yerçekimi ölçülebilir ve ardından gezegenin ortalama yoğunluk açısından kimyasal bileşimi hakkında tümdengelimli sonuçlar çıkarılabilir.

Bu nedenle, sarkacın böyle bir analizi iyi bir fiziktir. Ancak böyle bir analiz mevcut haliyle iyi bir matematiği temsil etmez . Güzel romanlar yanlış öncüllere dayanabilir, hayattan kopuk olma eğilimindedir ve dramatik gerçeklikle karşılaştırıldığında bu ortaya çıkar. Benzer şekilde , görünüşte güzel matematik, gerçeklikten ayrılma ile ilişkili yanlış temellere dayanabilir ve bu yanlışlık, karşılaştırmada da ortaya çıkan çelişkilerde ortaya çıkar.

İyi matematik ruhu içinde bir sarkacın hareketini analiz etmenin birkaç yolu vardır . Yukarıda böyle bir analizin kolay bir yolundan bahsedilmiştir: Hareketin idealleştirilmiş bir biçimini, itici güç yer değiştirmeyle orantılı olduğunda “basit harmonik salınım” ı düşünmek . Sonra ayaklarınla biraz aldatırsın,

Yerçekimini ölçmek için bir sarkaç kullanmakla değil, onun gerçek hareketini anlamakla ilgilendiğimizi varsayalım (Şekil 5.1). “Küçük dalgalanmalar mı? Saçmalık! Büyük salıncaklar üzerinde çalışmak istiyorum! Gidiş! Bak, bir uçak pervanesi gibi daireler çizerek sarkaç yapabilirim! Ve ben onu döndürmek için ne kadar çok enerji harcarsam o kadar hızlı hareket eder . Şimdi onun dönemi hakkında ne söyleyebilirsiniz, her zaman sabit mi kalır?

Bu sorunun da klasik bir cevabı var, ancak daha önce de belirtildiği gibi, eliptik fonksiyonların yanı sıra karmaşık ve ileri matematik bilgisi gerektirir.

Bununla birlikte, şaşırtıcı derecede düşük bir çabayla haddelemenin temel özelliklerini anlamamızı sağlayan çok basit bir geometrik cevap daha var. Ayrıca sarkacın dinamikleri hakkında gerçek bir içgörü sağlama avantajına da sahiptir . Şimdi onun değerlendirmesine dönüyoruz.

Enerji Yüzeylerinin Geometrisi

Bir sarkacın davranışını anlamak için iki niceliği bilmemiz gerekir: x ve ѵ olarak göstereceğimiz sarkacın konumu ve hızı. Zamanla nasıl değiştiklerini bilmemiz gerekiyor. Bunu göstermek için, grafiği çizilmiş bir kağıt alalım ve x'i yatay veya v'yi dikey olarak çizelim. Sarkaç zamanın sıfır anında hareket etmeye başlasın. Her yüz saniyede bir x, ѵ ölçeceğiz ve karşılık gelen noktayı grafiğin üzerine koyacağız. Ne göreceğiz? Muhtemelen birbirine yakın birçok nokta vardır ; koordinatları (x, z) olan düz bir eğri üzerinde uzanacaklar . Bu çizgi, seçilen başlangıç konumu ve hız için hareket yoludur. Bu eğrinin diğer bir adı da gezegenlerin hareketine benzetilerek yörüngedir .

levhanın tüm düzlemini kaplayan bir eğriler ailesini oluşturan farklı yörüngelere yol açacaktır . Basit bir harmonik osilatör olan "sahte" bir sarkaç için bu eğriler eşmerkezli daireler oluşturur (Şekil 5.2).

"Gerçek" bir sarkaç için, resim daha karmaşık bir yapıya sahiptir : kaşları gözün üzerinde bulunan bir göze benzer,

Pirinç. 5.2. Doğrusal olarak idealize edilmiş (doğrusallaştırılmış ) bir sarkacın (solda) faz portresi (sağda). Konum yatay olarak çizilir ve hız yatay olarak çizilir.

dikey. Zamanla, sarkacın sonu, boyutu başlangıç koşulları tarafından belirlenen bir daireyi tanımlar.

ve altında (Şekil 5.3). Çok fazla sayıda salınım tarafından oluşturulan eğrilerin tam da böyle bir resim vermesi daha olasıdır. Bunu deneysel olarak doğrulayabiliriz: Sarkacın konumunu ve hızını ölçmek için bir lazer , verileri işlemek için bir mikrobilgisayar ve grafikleri çizmek için yaklaşık 10.000 sterline mal olan bir çizici yeterlidir. Öte yandan, 5d değerinde bir kağıt ve 12 poundluk bir bilimsel hesap makinesi kullanarak, sadece yarım saatlik bir düşünce sayesinde, sarkacın dinamik denklemlerinden çıkarılan aynı resmi, onları tamamen çözmeden bile elde edebilirsiniz. .

Bunun Newton yasalarının bir matematiksel sonucunu kullanarak nasıl yapılabileceğini göstereyim - bu Hamilton denkleminden birkaç satırda çıkarılabilir - enerjinin korunumu yasası . Toplam enerji: kinetik artı potansiyel, yerçekimi alanında hareket ederken korunur (sürtünme olmadığını varsayıyoruz ). Kütle 1'e eşitse, sarkacın kinetik enerjisi 1/2n 2'ye eşittir ve potansiyel enerjisi zіпх'a eşittir. Bu durumda, enerjinin korunumu yasasına göre, sahip olduğumuz herhangi bir yörünge için

1/2t 2 + 8ІПХ \ u003d eksileri.

Bu denklemi hız için çözerek buluruz

-180     yaklaşık     180

Pirinç. 5.3. "Gerçek" doğrusal olmayan sarkacın faz portresi.

V \u003d ±a / cOPS ^ - 2 8IPX.

(Aynı sabit değil - iki kat daha büyük, ancak tüm olası sabitleri göz önünde bulundurduğumuz için bu önemli değil.)

Şimdi, bir cep hesaplayıcısı veya trigonometrik tablolar kullanarak , bu formül r'yi x argümanının bir fonksiyonu olarak hesaplamak için kullanılabilir . 1,5 diyelim sabit bir değer seçelim ve 0° ile 360° arasındaki tüm x için ^/1,5 - 2znx hesaplayalım. Kökün altındaki ifade negatif olursa onu görmezden geleceğiz. x için dikey eksende iki nokta çiziyoruz: q/1.5 - 2zip ve -d/1.5 - 2zip.

Bu özel durumlarda bir oval elde edilir. Sabit -2'den küçükse, hiç puan yoktur. -2 ise tek (tekil) bir nokta elde edilir. +2'de ovalin uçlarında belirgin köşeler vardır ve sabit 2'den büyükse iki ayrı eğri görünür. Sarkaç yörüngelerinin tüm sistemi, “gözün” tam bir resmidir. Tek nokta göz bebeği, ovaller iris, keskin köşeli oval gözün kenarı ve ayrı çizgiler kaşlar (üstte) ve kırışıklıklar (altta).

sarkacın dinamikleri açısından yorumlamak mümkündür . Bu nedenle, örneğin, tek bir izole nokta, sarkacın dikey ve sabit asılı olduğu durumu temsil eder. x noktasının konumu ve v hızı sabittir, bu nedenle tekil bir nokta ortaya çıkar. Sistemin -2 noktasındaki enerjisi mümkün olan en düşüktür. (Potansiyel enerji, referans noktası seçimine bağlı olarak negatif olabilir.)

NF Simpson'ın izleyicilerine sunması beklenen gerçek ve benzersiz sarkacın standart salınımlarını karakterize eder . Bunlar büyükbaba saatlerinde tiktaklara neden olan titreşimlerin aynısıdır. Bunu doğrulamak için salınımların ovalin tabanından başladığını varsayalım . X konumu sıfırdır: sarkaç orta konumda dikey olarak aşağı asılıdır. Negatif Hız : Bu, sarkacın sola dönüşüdür (Tick!). Ovalin en sol ucunda, sola yuvarlandığı için x'in değeri negatiftir, ancak burada v'nin değeri sıfırdır. Sarkaçın geri döndüğü dengeden en uzak noktada , anlık hızı sıfırdır. (Aynı şey havaya atılan top için de geçerlidir, yörüngenin tepesinde hızı sıfırdır.) Şimdi v değeri pozitif olur ve sarkaç sağa doğru hareket eder (Yani!) , x sıfırdan geçip sarkaç hızı ona ulaşana kadar onun maksimumu. Sarkaç aynı şekilde, ancak sağa doğru hareket ederek geri döner. Şimdi en sağ konumuna hareket ediyor, hızı sıfıra düşüyor ve sarkaç maksimum dönüşüne ulaşıyor. Ardından orijinal konumuna geri döner ve tüm döngü tekrar tekrar tekrar eder. Kapalı bir döngü böyle bir periyodik harekete karşılık gelir.

Şimdi kaşlardan birini düşünün. Burada v değeri her zaman pozitiftir, x noktası ise -180°'den (yani, saat yönünde 180° dönüş) +180°'ye kadar uzanır ve tam bir dönüşü tamamlar. Bu pervane benzeri yörünge, dönüşün her zaman aynı yönde olduğu bir dairedir. Alt kaşlar benzer hareketlere karşılık gelir, ancak saat yönünde değil, ters yönde ilerler.

Ovalin köşesinde yer alan gözün kenarı hakkında ne söylenebilir? Sarkacın ileri geri hareketini tamamlayıp pervaneye dönüştüğünde böyle bir salınımına tekabül eden yörünge budur . Bu nasıl olur? Dalgalanmaların kademeli olarak artmasına izin verin . Sarkaç ilk başta tabanında kalır, ancak daha sonra salınımlar yavaş yavaş artar - aynısı, sarkacı sallayan ve ona daha fazla enerji veren oyun oynayan bir çocuk tarafından da görülür. Yakında, herkesin alarma geçmesi için sarkacın hareketi çok güçlü hale gelir; en üst noktada, çocuk onu süspansiyonun üzerine kaldırır. Sarkacı daha da sallarsan, o zaman... Ne olacak? Üstte hareket etmeye başlayacak . Sarkaç pervaneye dönüşecek.

Gözün kenarı ayrıca sarkacın askı noktasından dikey olarak yukarıya doğru yerleştirilip serbest bırakıldığında izleyeceği yolu da karakterize eder. Ama bu tamamen doğru değil. Öyle olsaydı, öyle kalması, yani tek bir noktada (gözün kenarındaki köşe) tam olarak dengelenmiş olması gerekirdi, bu durum sivri bir uca yerleştirilmiş bir iğneye veya bir öğrenci-balerin zigine benziyor. es poipes - parmak uçlarında duran. Kararsız . En küçük rahatsızlık sarkacın düşmesine neden olur. Sonsuz yavaş başlar, ancak daha sonra hızlanır ve sarkaç en alt noktasını geçerek aşağı ve ardından diğer tarafta yukarı ve tekrar Z'yi yukarıya yaklaştırarak yakınlaştırır . Teoride, tam hareket sonsuz uzun bir zaman alır, ancak pratikte oldukça fark edilebilir bir zaman gerektirir.

Bu resmin sarkacın gerçek hareketi hakkındaki sezgimizi ne kadar iyi tatmin ettiğini görüyor musunuz?

Yani bedelini ödedik. Eğrileri nasıl çizdiğimize bakarsanız, bir formül kullandığımızı görürsünüz - ancak denklemleri çözmedik. Denklemleri çözmek şu anlama gelir: i'nin her anına hangi x ve ѵ değerlerinin karşılık geldiğini belirlemek . Ama hiçbir yerde kullanılmadım!

Bir şey hakkında basit bir anlayış elde edilecekse, ödenmesi gereken olağan bedel budur. Burada bu amaca, zamana tam bağımlılığın atılmasıyla ulaşılır. Bu resim bize adetlerin uzunluğu hakkında hiçbir bilgi vermiyor. Bununla birlikte, bu ihmale rağmen , böyle bir yaklaşım , idealize edilmiş olsa da gerçek bir sarkacın tüm olası hareketlerinin tutarlı ve tutarlı niteliksel bir tanımını elde etmeyi mümkün kılar .

Bilim kalın derililer için değildir

Sarkaç hakkında çok fazla yaygara olduğunu düşünebilirsiniz, ancak burada onunla ilgili daha önemli bilgiler var.

Geçen yaz, bir meslektaşım Kuzey Galler'de evlendiğinde , ailem hafta sonunu orada geçirdi. Bu ağaçlık alanda, yaklaşık yüz metre genişliğinde, tamamen düz ve hareketsiz bir göl bulduk. Çocuklar doğalarına uygun olarak suya taş attılar ve biz de dalgaların suyun içinde mükemmel daireler çizerek gölün neredeyse tamamını kaplamasını izledik. Bir sonraki anda, suya birkaç taş daha düştü ve ilk çemberlerin üzerine ek çemberler geldi.

Böyle bir doğal deney , girişimin fiziksel ilkesini gösterir (Şekil 5.4). Eğer tepe, tepenin üzerine bindirilirse ve alçak, alçak üzerine bindirilirse, o zaman dalgalanmalar artar. Tepenin oluğun üzerine bindirildiği yer, birbirlerini iptal ederler.

Pirinç. 5.4. İki dalganın üst üste bindirilmesiyle elde edilen girişim saçakları.

Benzer matematiksel özellikler lineer olarak adlandırılan diferansiyel denklemlerle gösterilir . İki çözümün toplamı yine bir çözüm veriyorsa, denklem doğrusaldır . Bir sıvının yüzeyindeki küçük dalgaların hareketi, çoğu klasik denklem gibi doğrusal olan dalga denklemi ile çok iyi tanımlanır. İki taşın düşmesinin neden olduğu pertürbasyonun çözümü, ilgili noktalarda yoğunlaşan bir taştan pertürbasyonun çözümlerinin toplamıdır.

Bu ifade, doğrusal denklemlerin genellikle doğrusal olmayan denklemlerden çok daha kolay çözüldüğü gerçeğine dayanmaktadır. Bir veya iki çözüm bulmayı başardıktan sonra, başkalarını da özgürce bulabilirsiniz. Basit bir harmonik osilatör denklemi doğrusaldır, ancak bir sarkaç için gerçek denklem değildir. Klasik prosedür, hesaplamaları zorlaştıran terimleri atarak doğrusal olmayan denklemleri doğrusallaştırmayı mümkün kılar . Yukarıda ele alınan sarkaç için, yaklaşık teori salınımların ihmal edilebilir olduğunu varsayar.

İma edildiği gibi, denklemlerin o kadar küçük terimlerini ihmal ettik ki, yeni elde edilen denklem doğru kalıyor, dolayısıyla lineerleştirilmiş denklemin çözümü ile gerçek olan arasındaki fark da çok küçük olmalı, bu da görülecektir . Sarkaç için dediğim gibi bunun için gerekli olan işlemin işleyişini belirleyen bir teorem vardır. Öte yandan , doğrudan hesaplanabilir bir formülün avantajını kaybetsek bile, tam denklemleri dikkate alarak daha da tatmin edici bir resim elde ederiz.

formül? Şimdi formüller kimin umurunda? Sadece yüzeyde yüzen ve özüne inmeyen matematik!

Klasik zamanlarda, doğrusal olmayanları incelemek için bir tekniğin yokluğunda, doğrusallaştırma süreci genellikle denklemlerin temelinin kaldırıldığı basitleştirmelere yol açtı. Yüksek sıcaklıktaki akışlar bunu göstermek için iyi bir örnektir: Bu tür akışlar için klasik denklem doğrusaldır ve bu, onu çözmeye çalışmadan önce netleşir. Bununla birlikte, gerçek yüksek sıcaklık akışı doğrusal değildir ve en az bir uzman olan Clifford Truesdell'e göre, klasik yüksek sıcaklık denkleminin matematik için yaptığı tüm iyilikler, yüksek sıcaklık için yaptığı zararla karşılaştırıldığında hiçbir şeydir. fizik.

yanlış denklemleri çözebilecek bir yöntemin mümkün olup olmadığını kendimize soralım . "Bu sorunun cevabını bulmalıyız!" - zamanın gereği budur . Doğrusal teori, hiç kimsenin ortaya çıkan çözümlerin yanlışlığını fark etmeyeceği umuduyla denklemleri zorla değiştirir .

Modern bilim, doğanın amansız bir şekilde doğrusal olmadığını gösteriyor. Bu nedenle, Tanrı ne iş yaparsa yapsın, tüm süreçler kesin bir formülle tanımlanmaz. Tanrı'nın evren kadar evrensel bir analog bilgisayarı olsaydı ve onunla istediği gibi oynayabilseydi -aslında evren aynı evrendir- kalem ve kağıt için tasarlanmış formüllerle yetinir miydi? O kadar da kafir değil: Doğanın doğrusal olmaması şaşırtıcı değil. Rastgele bir çizgi çizerseniz, düz olması pek olası değildir. Benzer şekilde, rastgele bir diferansiyel denklem seçerseniz, sonsuz sayıda olası durumdan yalnızca biri doğrusal olacaktır.

Klasik matematik, iyi ve pragmatik bir nedenle lineer denklemlere odaklandı: başka hiçbir şeyi çözemezdi. Tipik bir diferansiyel denklemin yaramaz, kabadayı maskaralıklarıyla karşılaştırıldığında, lineer denklemler bir grup koro çocuğu gibidir. (Buradaki "itaat" hem "yasa"ya hem de "kural"a tekabül ediyor mu? ) Lineer denklemler çok itaatkar çünkü klasik matematikçiler onları elde etmek için fizikle uzlaştılar. Klasik teorinin yalnızca küçük dalgaları, düşük genlikli salınımları ve küçük sıcaklık gradyanlarını dikkate almasının nedeni budur .

Doğrusal yaklaşım o kadar kökleşmiş ve tanıdık hale geldi ki, yüzyılımızın 40'lı ve 50'li yıllarında çoğu bilim insanı ve mühendis, bunun ötesinde ne olduğu hakkında neredeyse hiçbir şey bilmiyordu. Tanınmış bir mühendis bir keresinde "Tanrı bu kadar kaba olamaz" demişti , "doğa denklemlerini doğrusal olmayan hale getirmek." Böylece bir kez daha insanın aptallığını haklı çıkarmak için Tanrı'ya çağrı yapıldı. Mühendis lineer olmayan denklemleri çözemeyeceğini biliyordu ama bunu kabul edecek kadar dürüst değildi.

Doğrusallık bir tuzaktır. Doğrusal denklemlerin davranışı, korodaki çocukların davranışını andırır, tipik olmaktan uzaktır . Ancak, yalnızca lineer denklemlerin dikkate değer olduğuna karar verirseniz, o zaman otosansür bunu çabucak kurar: ders kitaplarınız lineer analizin zaferleriyle doludur ve başarısızlıklar o kadar derine gömülür ki mezarları bilinmez ve hatta mezarların varlığı bile sorgulanır. neredeyse hiç not edilmedi. Nasıl 28. yüzyıl dünyası evrenin bir saat gibi olduğuna inanıyorsa, 20. yüzyıl ortası dünyası da onun lineer olduğuna inanıyordu. Ama adil olmalısın! "Doğrusal teorinin" gerçekten kat etmesi gereken uzun bir yol olduğu koşullar vardır. Bununla birlikte, bu tür vakaların çoğunda, bu teorinin başarısı, fiziksel sezginin şaşırtıcı zaferlerine ve parmak kullanımına dayalı dinamik kuralların dikkate değer uygunluğuna çok az katkıda bulunabilir . Ek olarak, bu başarılar, lineer teorinin tam olarak ne zaman ve neden çalıştığını açıklayan düzgün teoremlerin bulunması gerçeğinden kaynaklanmaktadır .

Bazı alanlarda lineer teoriye hiç başvurulmaz. Bu, Poincaré'nin kaosla ilk karşılaştığı gök mekaniğinde asla yapılmadı. Lineer teori, aynı zamanda, bir cismin üç boyutlu uzayda serbest hareketi gibi bir dizi başka mekanik probleminde ve ayrıca bir sarkaçın hareketi gibi bazı basit hareketlerin tanımında kullanılmaz . Araştırma düzeyindeki fizikçiler ve mühendisler, oyunu yöneten şeyin doğrusal olmayan fenomenler olduğunu giderek daha fazla anlamaya başlıyorlar. Bunun en basit örneği Ohm yasasıdır. Bir devredeki akım miktarının, devrenin direncine bölünen uygulanan gerilime eşit olduğunu belirtir. Bu doğrusal bir ilişkidir: Ohm yasasına göre, eğer iki voltaj birbiri üzerine bindirilirse, böylece iki devre birleştirilirse, o zaman bunlara karşılık gelen akımlar da birleşik devrede toplanır. Ancak transistörler tam olarak Ohm yasasına uymadıkları için çalışırlar.

Aslında, bu tartışmanın yürütüldüğü tüm dil tersine çevrilmiştir. Genel bir diferansiyel denklemi 'doğrusal olmayan' olarak adlandırmak için, zoolojiyi 'kalıcı derili olmayanlar' bilimi olarak yeniden adlandırmaya benzer bir şey yapmak gerekir. Ancak, bildiğiniz gibi, yüzyıllardır var olan tek hayvan filmiş gibi davranan bir dünyada yaşıyoruz. Ütü masasındaki deliklerin minik filler tarafından yapıldığına inanıyordu, kanatları yerine kanatlarında zıplayan bir kartal gördü, kaplanı oldukça kısa gövdeli ve çizgili bir fil olarak gördü çünkü taksonomistleri yardım için düzeltici cerrahiye başvurdu. . Bu dünyanın zoolojik koleksiyonlarının bir müzesi, yalnızca beceriksiz gri kalın deri örneklerinden oluşacaktır. Bu nedenle, "doğrusal olmayan" - gerçekten var olan anlamına gelir.

Çevir...

Sarkaç'a geri dönelim. Sarkaç resmini kullanarak bazı matematiksel oyunlar oynayabilir ve sarkacın diğer özelliklerini keşfedebiliriz. Sarkaçın dairesel (pervane benzeri) hareketi tartışılırken, -180°'lik bir açıdan +180°'lik bir açıya doğru hareketin tam bir dönüş oluşturduğuna dikkat çekildi, bu nedenle bu değerler sarkacın aynı konumunu karakterize eder. Bu resim bunun nasıl olduğunu göstermiyor, ancak +180°'lik bir açıya kadar sağa hareketin, -180°'lik bir açıya kadar ters harekete benzer olduğu açıktır. Bu durumların esasen sarkacın aynı konumunu karakterize ettiği nasıl gösterilebilir?

Buradaki sorun, kullanılan koordinat sistemiyle olduğu kadar sarkaçla da bağlantılı değil. Sarkaç, -180° = +180° olduğunu "bilir" ve bu, en üst noktaya tekrar ulaşmak için hayali bir uçurumdan vahşi atışlar yerine yumuşak dairesel hareketleriyle kanıtlanır. Burada açıları ölçme yöntemimizin kurbanlarıyız. Sarkacın dönme açısını düz bir çizgi üzerinde bir sayı olarak temsil etmeye çalışalım . Bunu (zihinsel olarak) çizgiyi dairenin etrafına sararak yaparız, böylece 360°'ye ulaştığında tekrar başlangıca 0°'de döner. Bu, 360 ° 'yi ve dolayısıyla bu açının herhangi bir katını eklediğinizde, aynı açıyı elde ettiğiniz anlamına gelir. -180° + 360° = +180° ise, bu bir açıdır.

Bu arada, her iki parçayı da 180'e bölerek - 1° = +1° sonucunu çıkartabilirsiniz. Muhtemelen bunun neden böyle olduğunu anlamak isteyeceksiniz.

Geometrik daire neden -180° = +18O 0 olduğunu "biliyor" ? Belli ki ipi kendi etrafına sararak kendine yapıştırıyor çünkü. Sonuç, hattan farklı topolojiler için bir dairedir ve sorunların neden ortaya çıktığını açıklar: Doğruyu karakterize eden sayıları yanlış topolojiye sahip bir nesneyi temsil etmek için kullanmaya çalışıyoruz. Kancada kıvranmana şaşmamalı!

Sarkacın hareketinin daha güvenilir bir resmini elde etmek ve geometrisinin gerçeği doğru bir şekilde yansıtması için aynısını yapmalıyız. Tüm görüntüyü sol ve sağ kenarları hizalanacak şekilde bükmemiz gerekiyor ve fiziksel olarak - 180° ve +180° birleştiriyoruz . Başka bir deyişle, bir kağıt yaprağını bir silindire sarıyoruz (Şekil 5.5).

Pirinç. 5.5. Sarkacın silindir üzerindeki çökmüş faz planı, hangi açının daha fazla güveni hak ettiğini anlamayı mümkün kılar.

Bu sorunun sarkacın hızıyla ortaya çıkmadığını da eklemek gerekir. Saniyede 180° açısal hız, saniyede -180° açısal hız ile aynı değildir. İlk durumda, saat yönünün tersine ve ikincisinde - saat yönünde dönen bir pervane ile uğraşıyoruz. Açısal mesafe ile açısal hız arasındaki bu tuhaf fark hakkında uzun uzun düşünürseniz , o zaman - Euler veya Hamilton'u algılayabiliyorsanız - dinamiklere eksiksiz bir modern topolojik yaklaşım da dahil olmak üzere birçok gizem aklınıza gelecektir . Hamiltonyen, "kotanjansiyel demetler üzerinde bir simplektik yapı" olarak. Bu konu, lisansüstü seviyenin altındaki disiplinlerin derslerinde nadiren bulunur, ancak bunun gerçek anlamı aynı sarkaçta yatmaktadır. Matematikte büyük teoriler küçük örneklerden gelişir. Bu cesaretinizi kırmayın ve mesafe ile hızın çok farklı matematiksel özelliklere sahip olduğunu unutmayın.

Müthiş. Şimdi sarkacın yaşam dinamikleri silindire yansıyor ve sarkacın periyodik hareketleri gerçekten periyodik görünüyor. Başka ne yapabiliriz?

Bazı hareketler diğerlerinden daha fazla enerji gerektirir, ancak şu anda bu tür "enerji seviyelerini" görmek zordur. Resim bunu netleştirmelidir, böylece göz bebeği en düşük enerji seviyesinden hareketi takip edebilir ve enerji arttıkça ne olduğunu görebilir. Bu durumda sarkaç , iris boyunca hareket eder, gözün kenarını geçer ve ardından kaşlara ve kırışıklıklara doğru hareket eder. Veya aksi halde, dinamik olarak, salınımlar tepeye ulaşana ve dönüş başlayana kadar büyür.

Çözüm, silindiri [/-şekilli bir tüp şeklinde bükmektir (Şekil 5.6). Bunu yaparsanız - ve bu durumda doğru yol budur - hem sarkacın hareketlerini hem de karşılık gelen enerji seviyelerini gösteren bir resim elde edersiniz. 1/-şekilli bir borudan yatay bir düzlem çizilirse, belirli bir enerji seviyesine karşılık gelen ve buna karşılık gelen hareketi temsil eden sonuçtaki eğriyi içeren bir kesit elde edilecektir.

Bu şekil, yeterince yüksek enerji seviyelerinde sarkacın iki farklı şekilde ( saat yönünde ve saat yönünün tersine) dönebileceğini, düşük seviyelerde ise hareket etmenin tek bir yolu olduğunu (ileri geri) göstermektedir. Aynı zamanda, "saat yönünde ve ileri " hareketini "saat yönünün tersine" hareketten ayırt etmenin bir yolu yoktur. Bu nedenle, [/-şekilli borunun üst kısmında, tabanda birleşen iki dalı vardır , aksi takdirde bir [/ değil, ||-şekilli bir borumuz olurdu.

Şunu sorabilirsiniz: Tüm bu manipülasyonların amacı nedir? Sarkaç dinamiğinin hemen hemen tüm niteliksel özelliklerinin, yalnızca durgun duruma yakın değil, aynı zamanda küresel olarak da: yüksek veya düşük enerjide, tek bir geometrik resim çerçevesinde ele alınabileceğini gösteriyorlar.

uygun bir matematiksel dilde sunulabilir ve yalnızca sarkaç çalışmasına değil, aynı zamanda (en azından prensipte) bilinen bir karmaşıklıkla karakterize edilen herhangi bir dinamik sistemin çalışmasına da uygulanabilir. coğrafi

Pirinç. 5.6. Enerji korunumunun geometrik görünümü. Sarkaçın silindirik faz uzayı [/-şekilli boruya aktarılırsa, yörüngeler aynı yükseklikte kalacaktır.

Metrikler ve topoloji bunun için çok güçlü bir teknik sunar ve klasik formüle dayalı bakış açısıyla tamamen erişilemeyen dinamikler hakkında bilgi elde etmek için kullanılabilir. Formüller basitçe mevcut olmayabilir, ancak geometri, yoksulluk gibi her zaman bizimledir.

Sürtünmeden daha garip bir şey

Böyle bir geometrik bakış açısının gücü, "ihmal edilebilir bir sürtünme varsa ne olur?" sorusuyla ilgilenirsek yanıltıcı olur. Bu sorunun cevabının eliptik fonksiyonlar hesaplanarak elde edilebileceğine inanıyorum. Hiç böyle bir hesaplama yapıldığını görmedim, ama muhtemelen gerçekten cie /orce , ya da muhtemelen He /arce\ çünkü son derece akılsız. Geometrinin kullanımı, dolaysızlığın basitliğidir.

Sürtünmenin etkisi nedir? Enerji kaybını ithal eder. Pratikte , enerji ısıya dönüştürülür, bu da enerjinin korunumu yasasında hafif bir yeniden formüle neden olur. Bu nedenle ısınmak için ellerimizi ovuyoruz.

Şekil /7 şeklindeki boruda enerji kaybı, daha düşük bir enerji seviyesine geçiş anlamına gelmektedir. Pervanenin hareketinin yüksek hızda başladığını hayal edin. Ardından, /7 şeklindeki borunun kollarından biri boyunca noktanın hareketi, sarkaçın tekrar eden hareketine karşılık gelir ve bu da devrimden sonra devrim yapar. Az miktarda sürtünme eklenmesi sarkacın borunun sarmalında yavaşça aşağı doğru hareket etmesine neden olur (Şekil 5.7). İniş , sarkaç borunun aynı dalında olduğundan, aynı yönde gerçekleştirilen kademeli dönüş yavaşlaması nedeniyledir .

Pirinç. 5.7. Enerji tüketen enerjinin bozulması: Sönümlü bir sarkacın spiralleri, enerji seviyesindeki bir azalmaya karşılık gelir.

Sonunda spiral boruda bir bükülmeye ulaşır ve sarkacın ileri geri sallandığı alttaki spiral hareket bölgesine geçer. Dinamik olarak, sarkaç daha yavaş ve daha yavaş döner, yükselmek için düşer, kararsız bir durumda donar.

iyi denge ve geri acele. Şimdi döndürme farklı bir şekilde gerçekleştirilir, sarkacın bir kenarın tepesinden diğer kenarın üstüne hareketine karşılık gelir, sarkaç en kısa yol boyunca diğer kenara ulaşmak için düşer. Sarkaç ileri geri salınım yapar, salınımlarının boyutu yavaş yavaş azalır ve sonunda borunun dibinde hareketsiz halde donar.

Bütün bunlar sezgiseldir ve I/ -şekilli bir tüp şeklinde ortaya çıkar, ancak dediğim gibi, tüm bunları gerçek dinamik denklemlerin davranışından çıkarmak çok zordur . Bu nedenle, denklemleri formüllerle çözmenin pratik bir perspektifi olmadığı, ancak herhangi bir çaba harcamadan geometrik bir cevap alabileceğimiz basit bir durum sunulmaktadır.

Birçok boyutu olan bir roman

1884'te İngiliz din adamının güzel bir kitabı olan Edwin A. Abbott Flatland'ın ikinci baskısı çıktı: birçok boyutu olan bir roman. kelimelerle açılır

ÖZELLİKLE
TÜM UZAY VE NS sakinleri . Bu çalışma,
Flatland'in mütevazi sakinlerine, onun gibi,
Önceden Dönüştürülmüş ÜÇ Boyutun
Gizemine İnisiye edilmeleri umuduyla
adanmıştır.

Sadece İkisinde
Göksel Bölge Sakinlerinin Daha da
Yükselerek DÖRT, BEŞ VEYA ALTI
Boyutun Sırlarına
Dönerek
Hayal Gücünün Genişletilmesine
ve Olası Gelişime Katkıda Bulunmasını
Umuyoruz .

Tüm İnsanlığın En İyi Halklarının Doğasında
Bulunan, En ender ve mükemmel Denge
HEDİYESİ .

Bu romanın kahramanı "Meydan" iki boyutlu bir uzayda yaşıyor . Diğer kozmik dünyaları ziyaret edenlerden alınan üçüncü boyutun varlığına ilişkin bilgilere dayanarak, konuğunu çileden çıkarır ve çok sayıda boyuta sahip yerler ararken, sonunda yurttaşlarının onu yerleştirdiği sapkınlık nedeniyle hapsedilir. . .

Günümüzde çok boyutlu uzay fikri matematik bilimlerinde o kadar yaygın bir şekilde kullanılmaya başlandı ki varlığı neredeyse kanıtlandı. Varlığını inkar etmek sapkınlık olur , önermek değil. Fizikçiler şimdi uzay-zamanın gerçekten de on boyutu olabileceğine inanıyorlar: üçü uzay için, biri zaman için ve altı ek boyut, görülemeyecek kadar sıkı bükülmüş. Altı ekstra boyut , nükleer fiziğin tüm karmaşıklıklarının ortaya çıktığı titreşir.

Uzayın çok boyutluluğu kavramı belirleyici bir rol oynar, ancak perde arkasında topolojik dinamiklerin gelişiminde ve kaosun keşfinde rol oynar. Bunun nedeni çok basit: Aklın ürettiği resimler asgari düzeyde bilime dahil olmalıdır.

Çok boyutluluk, analitik geometrinin bir boyuttan, bir çizgiden kaynaklanan doğal genelleştirilmesinin farklı bir yoludur. Bir noktanın bir çizgi üzerindeki konumu, verilen bir başlangıç noktasından olan mesafesini karakterize eden tek bir x sayısı ile tanımlanabilir. Benzer şekilde, düzlemdeki her nokta, verilen bir çift eksen yardımıyla noktanın konumunu karakterize eden iki xnu koordinatıyla temsil edilir. Buna göre, üç boyutlu uzaydaki her nokta, x, y ve z olmak üzere üç koordinatla tanımlanabilir .

Ama bu neden sınırlı olsun ki?

sonuysa , ama her neyse, bazen gerçek bir engel gibi görünmüyor. u, x, y gibi dört koordinatla tanımlanan noktalar hakkında ne söylenebilir ? Belki de dört boyutlu bir tür uzaya karşılık geliyorlar . z, w, x, y, z koordinatları uzayda beş boyutlu bir nokta tanımlar ve bu böyle devam eder.

Bir anlamda bu devam ettirilebilir ve söylenecek başka bir şey yok. Beş boyutlu uzay ile ne demek istediğimizi az önce tanımladık , Finish.

Tabii ki, yazarları bununla ilgilenen birkaç küçük makale var . Bu yeni "mekânlar"da uzaydan başka bir şeyin olduğu bilgisine sahip olduğumuzu varsayalım. Bunlardan birinde yaşadığımız için bu şeyin kendini nasıl gösterdiğini anlayamayacağız: sonuçta, üç boyutlu eski güzel bir uzayda yaşadığımızı biliyoruz (dört, eğer zamanı dahil ederseniz: aşağıya bakın). Fiziksel uzayımızın kendisini neden bu şekilde sınırlandırdığı bir sır olarak kalıyor. Ama aynı zamanda, zihnimizin dört veya daha fazla boyutu olan uzayları görselleştirmekte zorlandığı anlamına gelir.

Bir dereceye kadar, bu sorunun özüyle ilgili bir sorudur. Görselleştirme sistemimiz , nesneleri üç boyutlu olarak tanımak üzere eğitilmiştir . Bu bakış açısından, "görselleştirme" pek hedef değildir, ama aslında yeni bir tür geometrik sezgi geliştirmeliyiz. Ve bu tam olarak matematikçilerin on yıllardır yaptığı şeydir. İlk başta, analoji kesintileriyle en basit oyunları şöyle oynadılar:

• bir düz çizgi parçasının 2 bitiş noktası vardır,

• karenin 4 köşesi vardır,

• küpün 8 köşesi vardır.

2, 4, 8...'den sonra ne olur? Aha! Bu yüzden

• dört boyutlu bir hiperküpün 16 köşesi vardır,

• beş boyutlu bir süper küpün 32 açısı vardır,

• altı boyutlu bir süper çift küpün 64 köşesi vardır,

Ve benzeri. Kesin tanımlara ve hesaplama yöntemlerine dayalı olarak, 6 boyutlu (u, v, rv, x, y, z) bir uzay gibi bir koordinat sistemini içeren harika bir “hayal edelim ” oyunu olacağı açıktır. İçsel bir mantıksal bütünlüğe sahip olacak ve bu bakış açısından geometri ile aynı duyguyu uyandıracaktır. Örneğin bildiğiniz gibi 3 boyutlu beş düzgün geometrik cisim vardır ( tetrahedron, küp, oktahedron, dodecahedron, icosahedron). 4 boyutta altı tane düzgün hipergeometrik cismin olduğu, ancak 5, 6 ve 7 boyutta sadece üç tane olduğu kanıtlanabilir. Meraklı, değil mi? Bu alanların kendine özgü, bireysel özellikleri vardır. Bu boşluk sıralamasını ihlal eden başka bir şey olması mümkündür.

Yavaş yavaş, çok boyutlu uzayların kullanımı, özellikle bu yaklaşım gerçekten iyi bir matematiğe yol açtığında saygın hale geldi. Bu akımın ana mimarı İngiliz matematikçi Arthur Cayley'di. Kraliyet Cemiyeti 1874'te bu büyük adamın bir portresini sergilediğinde, James Clerk Maxwell onuruna bir konuşma yaptı ve sözlerini şu dizelerle sonlandırdı:

Devam et, sembollerin efendisi! Yüce adım at, uzay ve zamanın alevli sınırlarına yüksel! Ruhu sıradan uzay için fazla büyük olanın yolunu izleyebilmemiz için iki boyutta Dickenson tasvir edilene kadar orada durun.

Böylece n boyutta her zaman gelişecek.

Belki bu fikirler sadece merak olarak kalacaktı, ancak yüzyıllardır ait oldukları ve çok boyutlu uzayların herhangi bir uygulama olmaksızın çalışıldığı matematik topluluğunun çiçeklenmesini başlattılar; Moliere'in tüm hayatı boyunca düzyazı konuşması gerçeğinden etkilenen kahramanı M. Jourdain'in başına gelenin aynısı onların başına geldi. Örneğin, üç cisim problemine dönelim. Orada nelerin hesaplanması gerekiyor? Üç cismin konumları ve hızları. Her gövde, üç konum koordinatıyla (3 boyutlu normal uzayda) ve üç hız bileşeniyle karakterize edilir. Böylece, 18 farklı değişkene bağlı bir problem düşündüğümüz ortaya çıkıyor . Aslında 18 boyutta düşünüyoruz.

Bir bisikletin (azımsanan) beş ana hareketli parçası vardır: gidon, ön tekerlek, krank-zincir-arka tekerlek ve iki pedal (Şekil 5.8). Her parça, konumunu tanımlamak için bir koordinat ve hızını tanımlamak için bir değişken gerektirir. Bir mühendis "bir bisikletin on serbestlik derecesi vardır" derdi . Bisiklete binmek için, on boyutlu uzayda bir noktanın konumunu sezgisel olarak belirlememiz gerekir! Belki de bu yüzden bisiklet sürmeyi öğrenmek bu kadar zor. Ve bu, bisikletin yoldaki yerini belirlemek için değişkenleri kullanmadan.

Pirinç. 5.8. Bir bisikletin (en az) beş serbestlik derecesi vardır: gidon, sol pedal, sağ pedal, ön tekerlek ve krank zinciri-arka tekerlek.

Sorunu yeniden formüle edersek, bir bisikletin hareketini temsil etmek için on boyut yeterlidir. Üstelik bu bilgilerin çoğu pratik olarak işe yaramaz.

Ancak bu yeterli değildir. Çok boyutluluk , dinamiklerde gerçekte ne olduğunu “görselleştirmeyi” çok daha kolay hale getiren güzel bir geometrik görüntü sağlar , ancak bunun farkına varmak biraz zaman alır. Aslında, hiç kimse 10 boyutlu bir kürenin görsel olarak nasıl temsil edileceğine dair iyi bir fikir ortaya koyamadı, ancak böyle bir temsilin bazı durumlarda kesinlikle yardımcı olacağına şüphe yok . Bununla birlikte, örneğin bir topolog, bir kara tahtaya bir dairenin iki benzerini çizebilir ve "10 boyutlu bir uzayda iki adet 7 boyutlu küre düşünün" diyebilir ve buna belirli bir devam eklemeyebilir. O ve dinleyicileri neyin tartışılacağını anlayacaklar.

Albert Einstein ve selefleri, saygın zaman fikrini dördüncü boyut olarak öne sürdüler. (Yalnızca dördüncü değişkenle ilgili değil: dört boyutun yanı sıra on

Pirinç. 5.9. Karmarker algoritması kullanılarak uygulanan çok boyutlu bir çokyüzlülüğün üç boyutlu izdüşümü

yeterli değil. Bisiklette yedi tane olurdu, bunlardan ilk üçünü seçmemiz gerekirdi.) Einstein'ın fikri, ele alınan örnekten çok daha ileri gider. Herhangi bir problemde, ister fizik ister psikoloji olsun, ilgilenilen her karakteristik özellik yeni bir boyut olarak ele alınabilir ve görselleştirilebilir. Ekonomistler rutin olarak binlerce değişkeni kullanarak bir şirketin karını maksimize etmeye çalışırlar. Binlerce boyuttan oluşan bir uzayda çalışırlar. (İktisadın bu kadar zor olmasının sebeplerinden biri de şakadır.) Bu konudaki en büyük ve etkileyici başarı, Karmarker algoritması adı verilen bir tekniktir (Şekil 5.9). Tam olarak bu problem hakkında benzer şekilde düşünülürken keşfedildi ve en ufak bir mahcubiyet olmadan "n boyutlu elipsoidler"den söz edilmesini sağlıyor.

n-boyutlu uzayın dinamiği

Bütün mesele, çok boyutlu uzayların birbirine uygunluğu sorununu karmaşıklaştırıyor. Bu, 999 boyutlu bir elin 999 boyutlu bir eldivene uyup uymadığı sorusuna benzer.

Örneğin, bir sarkacın dinamiklerini tanımlayan yukarıda ele alınan resim, çok boyutlu uzaylar için genelleştirilmiştir. n serbestlik dereceli bir sistemde, n farklı değişken vardır ve bunları n boyutlu uzayda var olarak kabul edebiliriz. Daha sonra n boyutlu uzayda tek bir noktanın n koordinatı, tüm n değişkenleri aynı anda belirler. 10 boyutlu uzayda bir noktanın hareketini düşünmek veya hareket ettikçe sallanan , sağa ve sola dönen gidonları ve aşağı ve yukarı hareket eden pedalları olan bir bisikletin tam dinamik karmaşıklığını düşünmek daha mı kolay?

Tabii ki, 10 boyutlu bir uzay parçacığını unutun, sadece bir nokta hakkında düşünün. Bu daha iyi? Bu iyi.

Hareket yasaları bu resme nasıl uyuyor? Bize verilen bir başlangıç noktasının çok boyutlu uzayda nasıl hareket ettiğini anlatırlar. Bu hareket, Einstein'ın "dünya çizgisi" dediği belirli bir eğri boyunca gerçekleşir . Şimdi, bu eğriler boyunca hareket eden bir sürü başlangıç noktası hayal edebilirsiniz. Aralarında akan bir sıvının parçacıkları gibidirler .

Bir bisikletin hareketinin herhangi bir özelliği, 10 boyutu olan bu hayali uzayda bir noktaya karşılık gelir. Bir bisikletin tüm olası hareketleri, 10 boyutlu bu hayali uzayda hayali bir sıvı akışının hareketleriyle tanımlanır .

Verilen sistem Hamiltonyen ise (sürtünme yok ), bu sıvı sıkıştırılamaz.

Umarım bu seni, bunu yaptığımda her zaman aldığım aynı gümbürtüyle dünyaya geri getirir. Bu soyut bir oyun değil! Bu gerçek^.

Bu geometrik resim, aptal bir uzaydaki aptal bir sıvının dinamiklerini düşünmek için değil, sıvıyı gerçekte neyin sıkıştırılamaz kıldığını anlamak için kullanılırsa, çok daha derin bir şeyi kastediyorum. (Bu, bir akışkan hareket ettikçe, "hacim"inin 10 boyutlu analoğunun aynı kaldığı anlamına gelir.) Akışkan sıkıştırılamazlık teoremi, 19. yüzyılda Joseph Louisville tarafından keşfedildi ve sonuçları muhteşemdi.

Sistem Hamiltonyen değilse, örneğin sürtünme hesaba katılırsa, akan sıvı artık sıkıştırılamaz değildir. Şekil 5.6 ve Şekil 5.7'yi karşılaştırarak bunun hakkında bir fikir edinebilirsiniz. Şekil 5.6'da gösterildiği gibi /7-şekilli bir tüpün tabanında küçük bir daire içinde akan iki boyutlu bir sıvı damlası olsun. ( Sıvıyı düşünmeyin, borunun "içindeki" sadece borunun yüzeyi fiziksel gerçekliğe karşılık gelir!) Bir süre sonra borunun duvarı boyunca hareket eden damla küçük bir daireye yayılacaktır. Onun alanı değişmez. Aynı zamanda, enerji seviyesinde sabit bir azalma ile karakterize edilen Şekil 5.7'deki karşılık gelen sıvı düşüşü , bir spiral içinde aşağıya, borunun dibine doğru yönlendirilmiş, alanını azaltmalıdır. Hamiltonyen ve Hamiltonyen olmayan veya enerji tüketen sistem arasındaki temel fark budur .

Sıkıştırılamazlık o kadar doğal bir kavramdır ki, teorem apaçık ortadadır. Tabii Kurt Vonnegut'un Kedi Beşiği'nde Tanrı'nın evreni bir şaka olarak yarattığına dair sözlerine katılmıyorsanız.

Bölüm 6

garip çekiciler

Garip sınırları var ve gözlemci bunu bilmeli. Basitlikleri aşikardır ve yeni başlayanlar için onları bir tuzağa dönüştürür. İlk izlenimde oldukça yumuşaktırlar, ancak bir şeyin etkisi altında aniden çok sertleşirlerse, sınıra ulaşıldığı anlaşılmalıdır.

Arthur Conan Doyle. Son yay.

Muhtemelen iki ana matematikçi türü vardır. Çoğu, görsel imgeler ve zihinsel resimler açısından düşünür ve bir azınlık formüllerle düşünür. En sık kullanılan düşünme türü her zaman konuya bağlı değildir. İmgeler açısından düşünen cebirciler ve mantıkçılar var ama ben üç boyutlu nesneleri görselleştirmede ciddi sorunları olan tanınmış bir topolog tanıyorum. Ünlü bir biyolog olan Johannes Mahler bir keresinde bir köpeğin zihinsel temsilinin şöyle olduğunu söylemişti:

OOO

, mantıksal hesaplamalar kadar matematiksel temsillerde de yaygındır . Onlarca yıldır bir tema geliştiren her büyük matematikçi zihninde birçok resim yaratır. Sonra birdenbire resimlere ihtiyaç kalmaz ve yazı stili çok resmi hale gelir. Laplace , Analitik Mekaniğinin çizim içermediği , yalnızca analiz içerdiği için gurur duyuyordu . Çok uzak olmayan zamanlarda (1950'lerde), Nicola Bourbaki'nin çalışmasına sadece birkaç diyagram dahil edildi. Bu takma ad, matematiğin yapısını resmileştirmeye çalışan bir grup matematikçi (çoğunlukla Fransız) tarafından kullanıldı . Kural olarak, diyagramlardan hoşlanmama, çok fazla ham düşüncenin ve yeni matematiksel alanda olmaktan kaynaklanan özgürlüğün sarhoşluğunun neden olduğu bir tür mantık krizinden gelir. Bununla birlikte, formülleri algılamak hala daha zordur, bu nedenle genel matematiksel bilinçaltından çıkan görsel temsiller yüzeyde tekrar tekrar oluşur .

Poincaré'nin yaptığı büyük katkı , analitik yöntemler ve hesaplamalar üzerinde Laplace ruhuna vurgu yaparak geometriyi mekaniğe geri getirmekti. Ancak bu, farklı bir tarihsel dönemde oldu ve sarmal merdivenin başka bir dönüşüne neden oldu. Geometri ile, matematiksel sunumun temel stilini kastetmiyorum : Öklid adına masum çocukları cezalandırmak için kullanılan teorem-kanıt - sche.Ф 1 , ama resimler. Poincare, geometriyi analiz hapishanesinden kurtardı ve tekrar özgürce dolaşmasına izin verdi. Modern matematik, Bourbaki'nin formalizmlerini defalarca tekrarlarken, yine de , bacaklarının izin verdiği kadar hızlı bir şekilde geometrik temsillere geri döner. Poincaré'nin bazı fikirlerine bakalım. Dili modernize ettim ama onun bakış açısını korudum.

Zaman bir ok gibi uçar

İki serbestlik derecesine sahip bir sistemle başlayacağız; bu, temsiller oluşturmak için görüntüleri bir düzlemde çizebileceğimiz anlamına gelir . Bir düzlemde (veya en azından zamanla değişmeyen bir silindirde) de düşündüğümüz sarkacın aksine, sistemimiz Hamiltonyen olmayacaktır. Aslında, herhangi bir fiziksel modelle eşleşmeyecektir. Bu, iki serbestlik derecesine sahip tüm sistemlerle ilgili ve tipik davranışı göstermeyi amaçlayan tamamen matematiksel bir yapı olacaktır.

denklemin yörüngeleri boyunca akan hayali bir sıvının akışları olarak tasvir ederek görselleştirebileceğimizi hatırlatmama izin verin . Herhangi bir başlangıç noktası seçersek , yani , denklem için anlamlı olan bir nokta için bir dizi başlangıç koşulu belirlersek , sonraki sıvı akışının koordinatları, verilen bir set ile bu diferansiyel denkleme çözümler bularak elde edilebilir. başlangıç koşulları.

Pirinç. 6.1. Bir düzlemdeki akışın (soldan sağa) lavabo, eyer, limit döngüsü ve kaynağı gösteren faz portresi.

Bu çizgilerin birbirine nasıl karşılık geldiğinin grafik temsiline denklemin faz portresi denir (Şekil 6.1). “ Portre” oldukça anlaşılır görünüyor, birçok matematiksel işaretten daha görsel. Garip "faz" kelimesi elektrik mühendisliğinden geliyor gibi görünüyor. Bir dalga biçimindeki bir salınım , dalganın çevrimdeki yer değiştirmesi olan genlik veya büyüklük ve faz ile karakterize edilir. Onları çizerseniz, uçakta bir dalga görüntüsü elde edersiniz. En azından benim teorime göre.

çeşitli başlangıç noktalarının koordinatlarının zaman içindeki değişimini karakterize eden kavisli akım çizgileriyle gösterilir . Oklar akım çizgilerinin yönünü gösterir. Halihazırda iki fazlı portre ile tanıştık: Şekil 5.2 ve 5.3'te gösterilen basit bir harmonik osilatör ve bir sarkaç için.

Akım çizgilerinin birbiriyle nasıl eşleştiğine dikkat edin : bitişik eğrilerdeki oklar oldukça benzer, birbirine yakın ve iyi hizalanmış. Bu , izole edilmemiş jetlerle temsil edilen sıvı akışını temsil ettikleri anlamına gelir : akış hareketi süreklidir.

Bu akımın dikkatinizi çekmek istediğim dört önemli özelliği var.

İlk olarak, şeklin sol tarafında, yakındaki tüm akım çizgilerinin bir spiralde birleştiği bir nokta var. Bu noktaya lavabo denir . İçinden bir sıvının aktığı dar bir deliğe benziyor . İsim buradan gelmiş olabilir.

spiral çizgilerin çıktığı bir nokta olan zıt tipte bir delik vardır . Bu kaynak. Köpüren bir bahar hayal edin.

Aralarında mevcut çizgilerin kesiştiği bir yer var. Bu bir eyer. Aslında çizgiler kesişmiyor, ancak aşağıda göreceğimiz gibi, daha ilginç bir şey oluyor. Gerçek bir sıvının iki jeti birbirine doğru akarsa, bir eyer görünür.

Son olarak, sağdaki kaynağı tek bir kapalı döngü çevreler . Bu bir limit döngüsüdür. Sıvının bir daire içinde hareket ettiği bir girdaba benzer. girdap.

İlerleyen sayfalarda, genel olarak, düzlemdeki akışların yalnızca bu tekilliklere (bazılarına veya tümüne) sahip olduğunu ve tipik durumlarda artık olmadığını göreceğiz. Bazen her özelliğin birkaç tezahürü olabilir , ancak kural olarak daha karmaşık bir şey bulmak imkansızdır. Ayrıca burada "tipik" kelimesinin neden kullanıldığını daha fazla açıklamaya çalışacağım. İlk olarak, iki serbestlik derecesine sahip diferansiyel denklemlerle tanımlanan düzlemsel akışların bu dört temel özelliğine daha yakından bakalım .

kanalizasyon

Lavabo (Şekil 6.2), akım çizgilerinin, yakındaki tüm noktaların birleştiği (ayrı) tekil bir noktaya dönüştüğü yerdir. Sistemi giderin merkezi noktasından değil de düşünmeye başlarsanız, özel bir şey olmaz. Tüm çizgiler sadece orada akıyor. Bu nedenle, lavabo sadece sistemin kararlı durumunu karakterize eder. Örneğin, bir hamur parçası yoğrulduğu yarım daire şeklindeki bir kasede böyle davranır: kasenin dibine konursa hareketsiz kalır.

Ancak gidere yakın bir noktadan başlarsanız hamur ona doğru hareket edecek ve hamuru daha da yükseğe, kasenin bir tarafına yerleştirirseniz, kasenin kenarından aşağıya yapışkan damlamaya başlayacak ve değil.

Pirinç. 6.2. Stoklamak

dibe vurana kadar dur. (Sürtünmeyi tanıtmak için "damla yapışkan" diyorum, ancak sürtünmesiz bir mermer kase alırsanız, başka bir şeyin mümkün olduğu Hamilton sistemi yoktur.)

Bu, lavabonun kararlı durumunun kararlı olduğu anlamına gelir . Bu durumu temsil eden nokta , denge durumundan hafifçe kaydırılırsa, hemen orijinal durumuna geri döner. Hamuru kasenin bir tarafına koyarsanız, geri dönecektir . Bu nedenle lavabolar kararlı kararlı durumlardır.

Kaynaklar

Kaynaklar (Şekil 6.3) de kararlı durumlardır, ancak şimdi yakındaki noktalar onlardan uzaklaşmaktadır. Kaynak olan noktalar, ters çevrilmiş yuvarlak bir kasenin dibinde yatan bir hamur parçasını andırıyor . Hamur orijinal halinde bir süre dengede kalabilir, çok dikkatli koyarsanız yerinde kalabilir, ancak biraz iterseniz kasenin bir tarafından yuvarlanır ve düşer. Yani, bu kararlı durum kararsızdır.

Pirinç. 6.3. Kaynak

Hamurun çok az yapışkan olduğunu ve eğimli bir yüzeye yapışmayacağını unutmayın. Düz bir taban yerine oval bir kase hayal edin. Belki de bu, bir düz parke taşının diğerinin üzerine yerleştirilmesiyle daha açık bir şekilde karakterize edilir . Dikkatlice yerleştirebilirsiniz, ancak rüzgar eserse aşağı kayar.

Sele

Eyerler (Şekil 6.4) daha ilginçtir. Aynı zamanda , daha da canlı bir hayal gücüne sahip olan tabiat ana dışında, yalnızca bir matematikçinin düşündüğü türden şeylere aittirler . Bir bakıma, bunlar bazı yönlerde kararlı olan ve diğerlerinde olmayan kararlı durumlardır.

At üzerinde oturan tecrübesiz bir binici düşünün. Onun eyeri yağla kaplıdır. Binici eyerde ileri veya geri hareket ederse, yalnızca geriye kayar ve orta konuma geri döner, ancak üzerinden kayarsa eyerden düşer. İleri veya geri hareket ederken konumu sabittir ve

Pirinç. 6.4. Eyer: merkezde kesişen çizgiler - ayrılıklar

enine yönde kararsız. Bu çizim, matematikte bu tür noktalara neden "eyer" denildiğini açıklar.

Şekildeki “çaprazın” ortasında bulunan nokta, her eyerin karakteristiğidir, bu bir eyer noktasıdır. Tüm yörüngeler tek bir (tekil) noktaya indirgenmiş gibi, kararlı bir durumu karakterize eder. Bir haç oluşturan iki akım çizgisine selenin separatrisleri ( tekil olarak: separatris) denir . Yakınlardaki mevcut noktaların yollarını ayırdıkları için bu şekilde adlandırılmışlardır . Resmin sol tarafındaki ayırıcıya çıktığınızı hayal edin. Hareket ayırıcının üzerinde başlarsa , eğri sola dönüş yapar ve orijini eyer noktasına ne kadar yakınsa o kadar keskin olur. Hareket ayırıcının altında başlarsa, benzer şekilde eğri sağa dönüş yapar.

Bu daha çok akışın ayrı bölümlerinin bir eyer noktasında birleştiği bir duruma benzer, ancak yukarıda bahsedildiği gibi durum böyle değildir. Aslında, ayrılıklar bir eyer noktasıyla çarpışmaz. Bunun nedeni, separatris boyunca eyer noktasına ulaşmanın sonsuz uzun bir süre almasıdır: eyerin yakınında, akış sonsuz derecede yavaşlar, enine yönde çekilir, ancak parçalanmaz.

Eyerlerin, kaynaklar ve lavabolardan daha az genel fenomen olduğu varsayılabilir. Aslında öyle değil. Bunu açıklamaya yardımcı olacak başka bir benzetme. Bir dağ manzarası ve dünya yüzeyinin (veya en azından ona teğet düzlemin) yatay olduğu yerler hayal edin. Köşeler, tüm yönlerin aşağı indiği noktalardır, kökenlere benzerler. Ayrıca her yönün yukarı doğru çıktığı çöküntüler de vardır - bunlar kanalizasyona benzer.

Dağlarda ayrıca bazı yönlerin yukarı, bazılarının ise aşağı indiği geçitler vardır. Selelere benzerler.

Geçişler, dağlık bir ülkede zirveler ve vadiler kadar yaygındır. İsviçre Alpleri haritasına bakın. Genellikle eyerler, yaylar ve drenajlardan daha az sıklıkta bulunmaz. Benzer fenomenleri, örneğin, YÜKSEK veya DÜŞÜK olarak etiketlenmiş kapalı döngülerin olduğu hava durumu haritalarının izobarlarında da görebilirsiniz , bunlar basınç kaynaklarını ve lavaboları çevreler. Haritada gösterilen izobarlar , 10 milibarın katları olan dairesel basınç değerlerine karşılık gelir. Bu nedenle, ayırıcılar nadiren kendi başlarına, karakteristik haç biçimlerinde gözlemlenebilir, ancak varlıkları birbirine yakın, karşılıklı dört karşıt eğri ile tanınabilir.

limit çevrimleri

Limit döngüleri gerçekten ilginç. Döngünün noktalarından birinden hareket etmeye başlarsak (Şekil 6.5), o zaman her zaman kapalı bir döngü boyunca hareket edeceğiz, geçmişi tekrar tekrar tekrar edeceğiz. Bu hareket periyodiktir.

İki ana tip limit çevrimi vardır. Şekilde gösterilen biri, kararlı bir limit çevrimidir: yakındaki noktalar buna eğilimlidir. Ayrıca istikrarsız bir limit döngüsü vardır: yakındaki noktalar ondan kaçar. (Bunu tasvir etmek için, şekildeki tüm okların yönünü değiştirmeniz yeterlidir).

Limit çevrimleri, sadece bir noktaya bakılarak tespit edilememeleri bakımından kaynaklar, çöküşler ve eyerlerden farklıdır. Tüm değer aralığını dikkate almak gerekir. Bu nedenle, periyodik

Pirinç. 6.5. Kararlı bir limit çevrimi, komşu yörüngelerin birbirine yaklaştığı kapalı bir döngüdür.

Hareketi tespit etmek, çeşitli sabit durumlardan daha zordur. Onları matematiksel olarak daha ilginç yapan da budur.

1927'de Hollandalı radyo mühendisi Balthazar van der Pol son derece önemli limit çevrimini buldu. Bir elektron tüpünün matematiksel modelinde ortaya çıkar (ABD'de buna vakum tüpü denir). Bu tür tüpler, 1947'de Bell Telephone Laboratories'den William Shockley, John Bardeen ve Walter Brettain transistörü icat edene kadar radyo devrelerinde kullanıldı. Benzer bir model transistörler için de geçerlidir. Van der Pol limit çevrimi, bir lambada periyodik olarak artan ve azalan dalgalı bir salınımı tanımlar. Bir ıslık veya cırtlak sesine benzeyen bir ses çıkarır.

Radyo dalgaları üreten salınımlar, radyo iletişiminin temelidir. İletişimin arkasındaki fikir, çok hızlı, temel titreşimlerin - düzenli radyo dalgalarının - iletilen ses sinyalleriyle üst üste gelmesidir. Bunu yapmanın iki standart yolu vardır: genlik modülasyonu (AM) ve frekans modülasyonu (FM). İlk durumda, dalganın genliği değişir, ikinci durumda, dalgalar arasındaki aralık. Ancak, öncelikle modüle edilebilen bir düzenli dalga üretecine ihtiyaç vardır. Bu nedenle, van der Pol matematiksel osilatöründeki limit çevrim önemli teknik uzantılara sahiptir.

Tipik, bu tipik

, bir düzlemdeki diferansiyel denklemler sisteminde yukarıda ele alınan yalnızca dört davranış türünün “tipik” olduğunu söyleyen bir teoremi kanıtladı .

her diferansiyel denklemin yalnızca bu dört tür tekilliğe sahip olduğu doğru değildir . Daha karmaşık türleri hayal etmek kolaydır, örneğin üç çizginin kesişimi veya içeride kararlı ve dışarıda kararsız olan limit döngüleri.

"Tipik" tanımı burada pek uygun değildir, ancak "epsilon homeomorfizmaları"nın matematiksel dilinde oldukça doğru bir şekilde açıklanan belirli bir anlamda kullanılmaktadır (ancak bu kitap için uygun değildir). Bu tür istisnaların son derece nadir olduğunu göstermek için kullanılabilirler . Sikkeler, kaynaklar, eyerler ve limit döngüleri madalyonun önünde ve arkasındaysa, istisnalar onun kenarıdır. Bu tür karmaşık tipler teoride mümkündür , ancak pratikte oluşmazlar.

Bu türün sonuçları matematikte oldukça yaygındır ve dinamik sistemler teorisinin manzarasını oluşturur. Olabilecek her şeyin bir listesini yaparsanız, sonu hiç bitmeyen kafa karıştırıcı bir şeyle karşılaşırsınız. Bununla birlikte, yalnızca "tipik" olanı, yani sıfır olmayan bir olasılıkla gerçekleşebileceğini eklerseniz - bu ifadeyi seviyorsanız - o zaman işler çok daha güzel görünür. Bu nedenle, olağan durum için, dinamik sistem teorisyenleri teknik bir terim önerdiler (daha doğrusu ödünç aldılar): jenerik. Davranış, yalnızca tipik durumlar ona karşılık geliyorsa geneldir ve sonsuz ender, istisnai durumları hariç tutar.

İstisnaların sırlarını her zaman gizli tutmanızı önermiyorum: bazen tipik olmayan, genel olmayan sistemleri incelemeyi başarabilirsiniz. Hatta bir tipiklik biçimleri hiyerarşisi bile vardır: tipik, oldukça tipik, orta derecede tipik, tam tipik değil, tipik değil.

Uygulamalarla pratik olarak çalışan, iyi teoriler kullanan ve aşırı karmaşık teoriler kullanmayan matematikçiler için, tipik ve genel olan, üzerinde çalışılması gereken şeydir. Yani, tipikin seçimi, gerçekte neyin dikkate alınması gerektiğine bağlıdır. Tipik Hamilton sistemleri, tipik Hamilton olmayan sistemlerden esasen farklı davranır. Bir bataklığa bozuk para atarsanız, genellikle yazı ya da tura gelmek yerine batar. Islak kil ile kaplı bir masaya bozuk para atarsanız , kenarına düşme şansı oldukça yüksektir. Sokakta yürüyorsanız, karşılaştığınız kişinin maliye bakanı olmaması normaldir, ancak Parlamento Evleri boyunca yürüyorsanız, oldukça mümkündür.

İlgilenilen her sistem, bir anlamda, esasen sınırlı bir bağlamda tipiktir. Dolayısıyla bu sistem anlaşılacaksa bu bağlamın ne olduğu detaylı olarak öğrenilmelidir . Bu, George Orwell'in Hayvan Çiftliği'nde tarif ettiği duruma çok benziyor, sadece burada posterdeki mesaj şöyle:

TÜM SİSTEMLER TİPİKTİR

AMA BAZILARI DİĞERLERİNDEN DAHA TİPİKTİR

daire çizen kedi

Tam bir klasik hareket türü özel ilgiyi hak ediyor: yarı periyodiklik. Bu durumda, birbiri üzerine bindirilmiş bağımsız frekanslara sahip birkaç farklı periyodik hareket harekete katılır. ( Periyodik hareketin frekansı , saniyedeki döngü sayısıdır. Yani uzun döngüler düşük frekanslara ve kısa döngüler yüksek frekanslara karşılık gelir.) Ay yörüngesinde, sıkışık bir uzay kapsülünde oturan ve başının etrafında bir kedi dolaşan bir astronot hayal edin. (Evet, bunun için yeterli yer olmadığını biliyorum ama beni takip edin.) Kedi periyodik olarak astronotun etrafında döner, astronot Ay'ın etrafında döner, Ay Dünya'nın etrafında döner, Dünya Güneş'in etrafında döner ve Güneş de döner. galaksinin merkezi etrafında. Bunlar birbiri üzerine bindirilmiş beş periyodik harekettir.

Topolojik resimde, yarı-periyodik hareket , bir simit - bir Amerikan çöreği üzerindeki sarmal harekete benzer (Şekil 6.6). Bunu iki periyodik hareketin bir kombinasyonu olarak görebilirsiniz, çünkü simit üzerinde sadece iki "dönme" yönü vardır. Biri merkezdeki bir delikten geliyor, diğeri dik

onu, - "ekvator" çevresinde. Torusu önce ortasından geçen bir eksen etrafında döndürürseniz ve sonra bu dönüşe hafif bir itme ekleyerek ekvator çevresinde dönmeye başlarsa spiral bir hareket oluşur.

Pirinç. 6.6. Topolojik olarak, yarı-periyodik hareketler simit üzerinde yer alır: (solda) küçük ve büyük döngüler altındaki hareketlerin kombinasyonu, (sağda) sonuçta ortaya çıkan simit.

aynı değerin tamsayı katları olan periyotlarla birleştirirsek - ortak ölçüleri, o zaman ortaya çıkan hareket gerçekten de periyodik olacaktır . Bir hareketin periyodu varsa, diyelim 3 saniye ve diğer 5 saniye, aynı kombinasyon her 15 saniyede bir tekrarlanacaktır.

y/2 saniye arasında birbiriyle ilişkiliyse , hareketleri hiçbir zaman tam olarak tekrar etmeyecektir. Bununla birlikte, önceden belirlenmiş herhangi bir doğrulukla, başlangıç durumuna yakın olan durumların bulunabilmesi anlamında "neredeyse tekrar eden" hareketler elde etmek mümkündür . Bu tür hareketlere “yarı-periyodik” denmesinin nedeni budur .

İki periyot için, periyodik bir hareket elde etmeyi mümkün kılan bir kombinasyonun kriteri, periyotların rasyonel oranıdır: burada p ve q tam sayılardır. Eğer periyotların oranı irrasyonel ise, yani böyle bir kesir ile temsil edilemiyorsa, o zaman bu periyotların ortak bir ölçüsü yoktur ve bunların kombinasyonu asla tam olarak tekrar etmez. "Neredeyse tekrar eden" hareketler, periyotların yaklaşık olarak ortak katı olan bir periyoda, yani periyotların oranına çok yakın bir orana sahiptir.

Yarı periyodik hareket , genel bir dinamik sistemde tipik değildir . Buna rağmen, genellikle klasik dinamiklerde ortaya çıkar . Bunun ana nedeni , Hamilton sistemlerinde böyle bir yarı-periyodik hareketin oldukça tipik olması ve klasik dinamiklerin dikkatini tam olarak bunlar üzerinde yoğunlaştırmasıdır. Böylece gök mekaniği ek döngülerle kaplanır . Bu, özellikle kedinin dairesel hareketini gösterir. Diğer bir neden de, Hamiltonian olsun ya da olmasın, dairesel simetriye sahip herhangi bir sistemde iki periyotlu hareketlerin tipik olmasıdır . Bu simetri, iki periyodun kombinasyonunu "stabilize eder". Ayrıca dairesel simetri yaygındır. Tipik olmasa da yarı-periyodikliğin incelenmesinin üçüncü nedeni, tipik bir hareketten diğerine geçiş sürecinde yarı-periyodik hareketin sıklıkla gözlenmesidir. Bu anlamda anladığımız ve bilmediğimiz hareket türlerinden sorumlu olabilecek bir hareket türünü temsil eder. Ek olarak, bazen kaos gibi yeni hareket türlerini keşfetmek için yararlı başlangıç bilgileri sağlayabilir.

Anlamak görmek değildir

Poincare ve Bendixon, jeneriklik teoremini sadece iki serbestlik dereceli sistemler için ispatlayabildiler. Uçak, tam potansiyelleriyle kullandıkları tüm bu tür tekilliklere sahip, ancak üç boyutlu uzayda zorluklar var. Örneğin, bu kapalı döngünün oluşturduğu düğümün yakınında akış neye benziyor ? (Evet, diferansiyel denklemlerin düğüm çözümleri olabilir. Sonraki bölümdeki Lorentz denklemi buna bir örnektir .) Düzlemde düğümler yoktur, ancak bunlar üç boyutlu uzaydadır ve matematik bunlara dikkat etmelidir.

Altmışlı yılların başlarında, Amerikalı topolog Stefan Smale , diferansiyel denklemlerin nitel teorisini Poincare ve haleflerinin, özellikle George Birkhoff'un bıraktığı yerden sürdürdü. Topoloji, birçok bilim insanının katkıları sayesinde, yarım asırlık bir süre içinde önemli ölçüde ilerlemiştir. Muhtemelen tüm bu süre boyunca sorun daha fazla ilerleme için olgunlaşmıştı. Ve çoğu topolog bu zamana kadar topolojinin fiziksel bir problemden ortaya çıktığını unutmuşsa, o zaman Smale bunu hatırladı.

Poincaré ve Smale arasındaki yarım asırlık dönemde dinamiklerde çok sayıda önemli başarının elde edildiğini hemen belirtmek istiyorum . Bu zengin duvar halısından sadece tek iplik seçiyorum . Lyapunov , şu anda kaosun varlığını tespit etme yöntemlerinden biri olarak kullanılan , şimdi Lyapunov üsleri olarak bilinen bir dizi sayı tanıttı . Alexander Andronov, Alexander Adolfovich Witt ve SE Khaikin'in lineer olmayan osilatörler üzerindeki çalışmaları, Solomon Lefschetz'in ana topolojik fikirleriyle birlikte anılmayı hak ediyor. Andrey Kolmogorov tarafından kurulan Rus okulu, gaz dinamiğinin kinetik teorisi çerçevesinde bir dizi temel keşif yaptı . Özellikle termodinamikte kavramı geliştirilen entropi kavramını keyfi dinamik sistemlere genişletti. Kolmogorov-Sinai kriterine göre , sıfır olmayan entropi , kaos testi için en güvenilir yöntemlerden biridir. Kaotik sistemlerin önemli bir sınıfı DV Anosov ve Ya.G. Sina, bir gazı simüle eden elastik parçacıklardan oluşan bir sistemin aslında kaotik davrandığına dair son derece zor teoremi kanıtlayan ilk kişiydi. Vladimir Arnold, özellikle Hamilton sistemlerinde, modern dinamiklerin gelişimi üzerinde muazzam bir etkiye sahipti ve çalışmalarının bir kısmı aşağıda açıklanmıştır.

Smale'in çok orijinal bir zihni vardı. PbB tezinde, diğer şeylerin yanı sıra, bir küreyi tersine çevirmenin mümkün olduğunu da içeren genel bir teoremi kanıtladı. Küre, düzgün bir oluşum halinde kalırken , herhangi bir düğüm oluşturmadan kendi içinden geçebilmektedir. Okurlarından hiçbirinin buna hemen inanması pek olası görünmüyordu, ancak Smale haklı olduğu için oluyor. Şimdi, yıllar sonra, aynı şeyi yapan herkes aynı sonuçları alabilir. Bunu o zaman bile yapabilenlerden biri kör Fransız matematikçi Bernard Morin'di. Bu durumda “görselleştirme”nin pek doğru bir kelime olmadığını söylemiştim. Anlamak, görmemek, topolojide gerçekten ihtiyaç duyulan şeydir. Smale, zamanının önde gelen topologuydu ve aynı zamanda, her düşüncenin hala tamamen aşılmaz olduğu Poincare sorununun beş veya daha fazla boyuttaki ilk kanıtı da dahil olmak üzere, anlamada birkaç başka atılım yaptı.

Smale, bu konuda yeni bir bakış açısının varlığını vurgulamak için “diferansiyel denklemler sistemi” kavramı yerine dinamik sistem terimini kullanmıştır. Ve dinamik sistemleri, onların tanımlanmasına izin veren formüllerden çok geometrileri - faz portrelerinin topolojisi - açısından düşündü . Aslında, herhangi bir formül bile yazmadı. Elbette bu eğilim, klasik diferansiyel denklem teorisyenlerini üzdü. Smale, "herkes bunu biliyor" - yanlış olan varsayımlara saldırarak onları çileden çıkardı. Ancak, bu onun problem üzerinde gerçek bir güç kazanma yoluydu ve kısa sürede uzmanları bile şaşırtan gerçek teoremlerle çalışmaya başladı.

Kendi kendine sorduğu ilk sorulardan biri çok doğaldı : Poincare-Bendixson teoreminin üç (veya daha fazla) boyutlu bir uzaydaki analoğu nedir ? Yani, böyle bir diferansiyel denklem sisteminin tipik davranış biçimlerinin listesi nedir?

Poincare bu yolda ilerlemeye başladı. Kararlı durumun tüm olası tipik biçimlerini buldu . Toplamda dört tane var. Bunlar kaynaklar, lavabolar ve iki farklı eyer türüdür. Bir kaynak, yakındaki tüm noktaların ondan uzaklaşması ile karakterize edilir ve bir lavabo, kendisine çekilmeleri gerçeğiyle karakterize edilir. Eyer, tüm noktaların içe veya dışa doğru hareket ettiği bir yüzey ve noktaların sırasıyla içe veya dışa doğru hareket ettiği bir çizgidir.

Üç boyut için sınır çevrimlerini incelemek mümkündür, ancak bunlar zaten üç çeşit olacaktır: kararlı, kararsız ve eyer benzeri.

Sadece onlardan çok var gibi görünüyor. Bununla birlikte, hiç kimse henüz faz akışlarının diğer tipik özelliklerini bulamadı.

yapısal kararlılık

İlk olarak, Smale "tipik" kelimesinin tam anlamını bulmak zorundaydı çünkü net bir fikriniz olmadan iyi bir teoremi kanıtlayamazsınız.

İki serbestlik dereceli sistemler için 1930 yılında Aleksandr Andronov ve Lev Pontryagin tarafından uygun bir fikrin ortaya atıldığı ortaya çıktı . "Kaba sistemler" kavramını kullandılar. Fikirleri, atipik davranışın , denklemlerde çok küçük değişiklikler yaparak her zaman tipik davranışa "parçalanabileceği" idi. Örneğin, üç fazlı akış çizgilerinin kesiştiği bir yer, üç eyer noktası konfigürasyonuna bölünebilir (Şekil 6.7).

Pirinç. 6.7. Yapısal istikrarsızlık: Üç ayrı eyer, küçük bir bozulmanın etkisi altında yok edilir ve üç ayrı eyer ve bir kaynak oluşturur.

Öte yandan, denklemlerde küçük değişiklikler yaparsak , düzlemdeki dört karakteristik davranış türü değişmeyecektir . Bir dağ silsilesinin yüksekliği hafif, diyelim ki birkaç metre, küçük bir depremle azalırsa, o zaman zirveler zirve olarak kalır , vadiler vadiler olarak kalır ve geçitler geçiş olarak kalır. Hepsi konumlarına göre sadece biraz kayacak, bu nedenle tepeyi küçük bir depremle tamamen yok etmek imkansız .

Smale, çok sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlere uygulanan Andronov ve Pontryagin'in fikirlerini genelleştirdi ve yapısal olarak kararlı kavramı, onları tanımlayan denklemler yeterince zayıf değişiyorsa topolojisi değişmeyen akışlara uygulanmaya başladı . Bu, verilen denklemin kararlı durumu fikrinden tamamen farklı bir fikirdir . İkincisi, başlangıç koşullarındaki küçük değişiklikler altında kararlı olan bir çözümdür ve yapısal kararlılık tüm sistemin bir özelliğidir ve tüm denklem sisteminin nispeten zayıf varyasyonlarına karşı kararlılıktır .

Şimdi Smale şunu sorabilir: Üç boyutlu bir uzayda yapısal olarak kararlı herhangi bir dinamik sistem sadece kaynaklara, lavabolara, iki eyer şekline ve üç limit çevrim şekline sahip midir? Daha genel olarak, keyfi sayıda serbestlik derecesine sahip sistemler için benzer ifadeler yapmak mümkün müdür?

Bu varsayımı çürütecek hiçbir örnek yok gibi görünüyordu : lavabolar, kaynaklar, eyerler ve limit döngülerden daha karmaşık formların buluntuları yapısal olarak kararsızdı ve bu nedenle tipik değildi. Öte yandan, Smale bu formların tüm çeşitliliğini basitçe oluşturamadı. Teorem, eğer gerçekten varsa, kanıtlama girişimlerine direndi.

çekiciler

Smale'in bakış açısından, dinamik bir sistemin en önemli özelliği uzun vadeli davranışıdır. Bunlar, komple sistemdeki hareketlerden daha da basit bir dizi hareketin “seçimleridir”.

Örneğin, yukarıdaki Şekil 6.1 sisteminde, başlangıç noktası çizimden kaybolabilir (bu durumu görmezden geleceğim), yerinde kalabilir (üç kararlı durumdan birinde) veya limit döngüsüne koşabilir ve onun boyunca hareket edebilir. bir daire içinde. Bu nedenle, tüm olası hareketler arasından, uzun vadeli davranış, yalnızca gerçekten dikkate değer olduğuna karar verdiğimiz özellikleri seçer.

Mühendislerin bu konuda bir fikri var. Sistem açıldığında "geçiş süreçlerinden" , tamamlandıktan sonra kurulacağı durumun tam tersi bir durum olarak bahsederler. Geçici olaylar bazı durumlarda önemlidir: bilgisayar açıldığında, geçici olayların yanlış yürütülmesi bağlantı devresinde bir kesintiye neden olabilir. Bununla birlikte, sistemlerin ince özelliklerinin değil, genel doğasının tam olarak anlaşılması için geçici süreçler göz ardı edilebilir.

Genel dinamik sistemin uzun vadeli davranışı nedir?

denilen bir duruma yerleşir (durur) . Çekici, sistemin sakinleşeceği durumdur ! Çalışmanın bu aşamasında, Poincaré-Bendixson teoremine benzer çekiciler hakkında genel bir teorem yoktur ve daha kesin bir şey gösteremeyiz. Ancak, bu fikri analiz ederek, bu kavramı daha iyi kanıtlama fırsatımız var. Bir çekicinin özü, faz uzayının öyle bir bölümünü işgal etmesidir ki, yakınında başlayan herhangi bir nokta zamanla ona yaklaşır. (Şekil 6.8).

tanımı karşılayacak olan iki küçük nesneye bölünemeyeceği konusunda ısrar ediyoruz . Yani, örneğimizdeki lavabonun ve limit döngüsünün

Pirinç. 6.8. Burada siyah bir A harfiyle gösterilen bazı genel çekicinin şematik gösterimi. Yakın bölgeler (gölgeli) zamanla çekici A yönünde küçülür.

ayrı bir çekici olarak düşünmek istemiyoruz . Çekiciler , dinamiklerin bireysel "tuhaflıkları"dır ve yalnızca tekilliklerin bir karışımı değildir . Teoremleri ispatlamıyorsanız, bunu tamamen unutabilirsiniz.

Poincaré-Bendixson teoremi, bir düzlemdeki yapısal olarak kararlı sistemler için yalnızca bu tür çekicilerin tipik olduğunu belirtir:

• ayrı noktalar.

• Kararlı limit çevrimleri.

Uzun vadeli davranışın tek biçimleri şunlardır:

• Kararlı bir dinlenme durumunda kalın.

• Bazı hareket türlerini periyodik olarak tekrarlayın.

Veya daha basit:

• Sessizce otur.

• Tekrar tekrar daireler çizerek.

Smale ayrıca şu soruyu da sordu: n boyutlu bir sistem için doğru mu, iki tane için doğru olan nedir?

Zarf eşlemeleri

sistemlerdeki tek çekicilerin noktalar ve limit döngüleri olduğunu kanıtlayamadı . Ama neden? Bunun zorlayıcı bir nedeni var.

Bu doğru değil.

Ve sonunda bunu kanıtlamayı başardı. Ele alacağımız ilk örnek bizi 1949'a, dört boyutlu uzayda olduğu gibi Rus matematikçileri VI Nemytsky ve VV'ye götürüyor.

Lona / ve / e dinamik sistemi ile başlamayacağız , ancak önce temel fikirlerini doğru bir şekilde izole edeceğiz, böylece daha sonra teknik detaylarla ilgilenebiliriz.

eksi sonsuzdan artı sonsuza doğru sürekli akar ve tüm ara değerlerden geçer. Ara değerlerden yoksun sistem modelimizde zaman 1, 2, 3,... birimlerine eşit değerlerle verilmektedir. Burada 1 ile 2 arasında değer yoktur: zaman yok 1| birimler, 1.22789 veya bunun gibi bir değer yoktur. Yalnızca tam sayılar: Dijital saatler böyle bir zaman işleyişine benzer. Sistem , dijital saatin her tıklamasıyla bir durumdan diğerine geçecektir . Bu tür sistemleri tanımlamak için özel bir terim kullanılır - ayrık dinamikler. Aşağıda , matematikçilerin yaygın olarak kullandığı kesikli ve gerçek sürekli dinamikler arasında yakın bir ilişki olduğunu göreceğiz .

Sistem daire içinde hareket eden bir nokta olacaktır. Açıklama kolaylığı için, bir dairenin açısal çevresinin tam olarak birliğe karşılık gelmesine izin verin. Daha sonra bu daire üzerindeki bir noktanın konumu, 0 ile 1 arasında yer alan bir sayı ile tanımlanabilir, bu birimlerdeki açısal mesafe, belirli bir sıfır konumundan bir daire içinde döngüsel olarak değişir.

Kendim için seçtiğim evrenin efendisi rolünde, noktanın aşağıdaki dinamik yasaya uyması gerektiğine karar veriyorum: şu anda konumu x ise, bir sonraki zamanda Ut'ye eşit olmalıdır. . Geometrik olarak bu, dairenin on kez gerildiği ve kendi etrafında aynı sayıda döndüğü (büküldüğü) anlamına gelir (Şekil 6.9). Bu yasa, dolaşımın her anında uygulanır, bu nedenle nokta, haritalama yinelemesini tekrarlayarak hareket eder.

x Yuh.

Pirinç. 6.9. Bir daireyi germek ve kendi etrafında 10 kez döndürmek (bükmek) (şematik olarak)

Haritalama basitçe " x , x cinsinden tanımlanan bir şeye gider" kuralıdır ve küçük bir okla gösterilir . "Yineleme" teriminin şu anlama geldiğini zaten öğrendik: tekrar.

yineleme yapan bir noktanın minimum parça sayısını kullanarak nasıl yinelediğini göreceğim . Çemberin çevresini 0,1, 2,..., 9 olarak adlandırılan on eşit sektöre bölün. Çember üzerindeki bir noktanın rotası , tersine çevirme prosedürü tekrarlandığından, ziyaret ettiği sektörlerin numaralandırılmasıdır.

Açısal birimler açısından, sektör 0, 0 ila 0.099999... arasındaki aralıktır, sektör 1, 0.1 ila 0.199999... arasıdır, vb. Böylece 0.25543786 değerindeki nokta sektör 2'de bulunuyor ve yolun yarısından fazlasını geçmiş durumda.

Bu eşlemeyi uygulayarak, çemberi kendi etrafında on kez çeviririz ve çevresinin açısal uzunluğu 10 kat artar. Bu durumda 0.25543786 değerindeki nokta 2.5543786'ya taşınır. Biraz zihinsel çalışma yapalım. Bir gidiş-dönüş bizi 0'a geri götürür ve iki tam gidiş dönüş de öyle, yani gerçek sonuç 0,5543786 ile aynı açıdır. Sektör 5'te bulunur . Eşlemeyi yineleyerek şunları gözlemleriz:

Zaman 0	0.25543786	sektör 2
Zaman 1	2.5543786	=0.5543786	sektör	5
Zaman 2	5.543786	=0.543786	sektör	5
Zaman 3	5.43786	=0.43786	sektör	dört
Zaman 4	4.3786	=0.3786	sektör	3
Zaman 5	3.786	=0.786	sektör	7
zaman 6	7.86	=0.86	sektör	sekiz
Zaman 7	8.6	=0.6	sektör	6
Zaman 8	6	=0.0	sektör	0

Ayrıca, sadece 0, 0, 0, ... elde ederiz. Her aşamada 10 ile çarpma yapılır ve ilk rakam çıkarılır. A noktasının hareket rotası sırasıyla 2, 5, 5, 4, 3, 7, 8, 6, 0, 0, 0, ... yaylarını içerir. Bu sayıları daha önce gördünüz mü?

Evet, bunlar tam olarak başladığımız yerde ondalık noktadan sonraki ondalık basamaklardır. Ve bu tesadüf değil. Sayının on ile çarpılması ve ilk basamağın atılması, bir ondalık basamak sola kaymaya neden olur. Aynısı herhangi bir başlangıç noktası için de geçerlidir. Örneğin, m/10 = 0.314159265... noktasından başlarsanız, rota dönüşümlü olarak 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5,... sektörlerini içerecektir. m sayısının ondalık basamakları !

Bu parçalı sürekli kesikli dinamik sistemin çok doğrudan ve şüphesiz deterministik olduğu konusunda benimle aynı fikirde olacağınızı umuyorum. Sadece x noktalarını tersine çevirmek için kesin bir formül yoktur , yani x -> 10m, aynı zamanda bu formülün hesaplanması da çok kolaydır.

kaos izleri

İlk özellik. Başlangıç noktasının tam olarak ilk milyar ondalık basamak için 7r sayısı gibi bir ondalık uzantısına sahip olduğunu, ancak ardından her zaman ..1221212112 geldiğini varsayalım . ..1 Bu yeni sayıya F diyelim. l'ye çok yakın, herhangi bir pratik ölçümle elde edilebilecek olandan çok daha yakın.

On defadan fazla yinelendiğinde, n ve m' sayıları ilk milyar adım için aynı rotaya sahiptir. Ancak bu noktadan sonra 7r' sadece sektör 1 ve 2 arasında salınır, 7r ise l sayısının sonraki milyar basamağını ne olursa olsun herhangi bir sektörü ziyaret etmeye devam eder. Bu konuda bir fikrim yok ama kesinlikle 121212 değiller....

Böylece, son derece yakın iki başlangıç koşulu k ve 7r' , tamamen bağımsız sonuçlara yol açar.

İkinci özellik. Yüzlerinde 1'den 6'ya kadar rakamlarla işaretlenmiş bir zar aldığımı ve rasgele sonsuz sayıda attığımı varsayalım. Testlerin sonuçlarını sonsuz bir listeye giriyorum, böyle bir şey olacak

1162541456522124366451432 ... vb.

(Aslında bu sayıları bir zar atarak elde ettim, yani bu tamamen tipik bir model, ancak sonsuz bir dizi oluşturmak için zamanım yok .) Yani rastgele bir sayı dizisi var.

Çember üzerinde verilen ondalık basamak dizisini içeren bir nokta vardır, yani

x = 0.1162541456522124366451432...

Eşlemeyi x'ten başlayarak yinelersem, rastgele bir dizi oluştururum . Böylece, bu belirli başlangıç noktasına uygulanan deterministik bir eşleme , bir zar atmak kadar rastgele bir dizi üretir.

Üçüncü özellik. 0 ile 1 arasındaki "neredeyse tüm" sayıların ondalık noktasından sonra rastgele bir basamak dizisi vardır. Bu, kısıtlı numaralandırmalar üzerinde çalışan ünlü Amerikalı matematikçi Gregory Chaitin tarafından kanıtlandı. Bu, gerçekte "rastgele" seçilen sayıların rastgele rakamlar içermesi gerektiği gösterilmişse makuldür. Yani kurduğumuz deterministik dinamik sistem rastgele davranıyor, sadece birkaç gizemli başlangıç noktasında değil, hemen hemen her yerde!

Dördüncü özellik. Belirli bir noktanın rotası bir periyot oluşturduğunda yani tam olarak defalarca tekrarlandığında soralım. Cevap: ondalık açılımları tekrarlandığında. Bu tür sayıların tam olarak rasyonel olduğunu söyleyen bir teorem vardır : bunlar p/y'nin tam kesirleridir, burada p ve y tam sayılardır. 0 ile 1 arasında hem rasyonel (2/3 veya 199/431 gibi) hem de irrasyonel sayıların (n/10, n/2 - 1 gibi) sonsuz sayıda vardır . Birbirleriyle tamamen karıştırılırlar: herhangi iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu nedenle periyodik hareketlere yol açan ve yol açmayan çıkış noktaları, un ve şeker gibi bir pastada karıştırılır. Bu, tüm periyodik noktaların kararsız olduğu anlamına gelir: eğer biraz bozulurlarsa, o zaman periyodik olmaktan çıkarlar. Aslında , tüm olası hareketler kararsızdır!

Bu arada, yukarıda açıklanan standart aralıkta rasyonel ve irrasyonel sayıların dönüşümlü olduğunu düşünmeyin. Aksine, “çoğu” irrasyonel sayılardır ve rasyonel sayılar çok, çok nadirdir.

Garip.

Elbette, bunun oldukça önemsiz bir dönüşüm olduğuna itiraz edebilirsiniz . Gerçek dinamik sistemler farklı davranır. Diyelim ki bu sistemde farklı başlangıç noktaları 0.42 ve 0.52 aynı nokta 0.2'ye gidiyor ve gerçek bir dinamik sistemde farklı noktalar hareket ederken asla birleşmez. Bu nedenle , açıklanan garip davranış, dinamikleri incelemenin gülünç, yapay bir yolunun yalnızca bir eseridir. Doğru?

Hayır, bu doğru değil.

Poincare bölümleri

Bunun neden böyle olduğunu anlamak için Poincaré'nin temel fikrine farklı bir şekilde bakmalıyız. Daha önce de belirtildiği gibi, mekanların bölümleri dikkate alınarak periyodik çözümler bulunabilir.

limit çevrimi içeren bir düzlem üzerinde bir sistem düşünelim . Bunun kapalı bir döngü olduğunu ve yakındaki noktaların ona doğru hareket ettiğini hatırlayın. Bir topolog buna periyodik çekici der . Limit çevrimini geçen düz bir doğru parçası çizelim (Şekil 6.10). Bu parça üzerinde bir nokta alarak, dinamik yolunu izliyoruz ve parçayı kestiği yeni bir noktayı işaretliyoruz. Eğer nokta limit çevrimdeyse, yeni nokta eskisi ile çakışacak, aksi halde her devirde değişecektir.

Pirinç. 6.10. Poincare bölümü (kesik çizgi) limit çevrimi keser (kalın çizgi): İlk dönüşten sonra Poincare bölümündeki başlangıç noktaları limit çevrime kaydırılır.

Bu nedenle, "bir noktanın hareketini tekrar segmenti geçene kadar izleme" aracı, bu segmentin kendi üzerine eşlenmesini tanımlar, bu da onu limit çevrimin geçtiği noktaya kadar küçültür. Muhtemelen “dönüşü olmayan nokta”yı duymuşsunuzdur , ancak işte ilk dönüş noktası burasıdır. Birden çok kez eşlerseniz, ilk yineleme ilk dönüşü, ardından ikincisini, ardından üçüncüsü... . Tüm dinamikleri düzenli aralıklarla örneklersiniz . Bir elektronik mühendisi buna "stroboskopik örnekleme" derdi. Nth oynatıcınızdaki dönüş hızını kontrol etmek için kullanılır : örnekleme, dönen diskin üzerine yerleştirilmiş işaretleri aydınlatan ışığın periyodik olarak açılıp kapanmasıyla gerçekleştirilir.

Şimdi bir limit döngüsünün olabileceği ancak henüz bilmediğimiz başka bir sistemi ele alalım. Faz uzayında, üzerinde alınan her başlangıç noktasının sonunda onu tekrar keseceği bir düz çizgi parçası olduğunu varsayalım. Bu sistemde bir limit çevrimi olduğunu varsayalım.

Bu segmentten geçen en az bir limit döngüsü olması gerektiğini savunuyorum . Bunun nedeni , topolojinin iyi bilinen teoremidir: bir düz doğru parçasının kendi üzerine her sürekli eşlenmesi, kendisiyle eşlenen en az bir sabit noktaya sahiptir.

İddiamın fikri bu kanıttan çıkıyor ve biraz onu hatırlatıyor. Segmentin sol ucu bir noktaya eşlenir. Bu nokta sol uçsa, o zaman sabit bir noktadır, aksi takdirde sol uç sağa ve sağ uç, analoji ile sola kaydırılır, böylece tüm segment kendi içinde dönüştürülür.

Segmenti soldan sağa düşünün. Sol uçtaki noktalar sağa kaydırılır ve sağ uçtaki noktalar sola kaydırılır. Aralarında hareketin sağdan sola değiştiği bir yer olmalıdır. Sürekli bir hareket değişikliğinde böyle tek yer sıfırdır. Bir yolda ilerliyorsam ve hareket etmeye başlamak için sağa dönersem ve daha sonra durmak için sola dönersem, o zaman bir süre dümdüz ilerliyor olmalıyım. (X-bükümleriyle dolu bir yolda böyle birçok yer olabilir . Hareketi anında, en azından mevcut viraj ile bir sonraki arasında düzeltmem gerekiyor.)

Bu yüzden söylenenleri tekrar edeyim. Üzerinde başlayan her nokta geri dönecek şekilde bir doğru parçası varsa , bu parçadan geçen en az bir periyodik çözüm vardır.

Böyle bir segment bulmanın zor problemini bir kenara bırakalım . Bunun için dikkat çekici bir teorem olduğu bilinmektedir. Böyle bir segmentin varlığı, ayrıntılı dinamiklere bağlı değildir.

Bu teoremin kanıtı, akışkanlar dinamiğinin genel bir özelliği olan akışın sürekliliğini kullanır. Bu durumda gerekli olan tek şey bu. Böylece, dinamik bir sonuç elde etmek için topolojik gerçeği kullanarak nitel dinamiklerin özünü netleştirdik . Topolojik gerçek: " kendi üzerine bir aralığın her sürekli haritasının sabit bir noktası vardır." Dinamik sonuç , uygun bir segment üzerinde periyodik hareketin varlığıdır.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu türden bir segmente Poincare bölümü denir ve buna karşılık gelen eşleme Poincare eşlemesidir . Bu fikir aynı zamanda üç boyutlu uzay için de geçerlidir, ancak şimdi segment yüzeyin bir kısmı tarafından temsil edilmektedir . Tipik olarak , bu alan bir topolojik disktir, yani herhangi bir deliği olmayan küçük bir yamadır. Böyle bir diski kendisine eşlemek çok zor olabilir (Şekil 6.11). Bununla birlikte, topolojide bu durumda bir diskin kendi üzerine eşlenmesine ilişkin genel bir teorem de vardır: bu eşleme sabit bir nokta içermelidir . Disk şeklinde bir Poincare kesiti olan üç boyutlu bir akış, bu diskten geçen periyodik bir yörüngeye sahip olmalıdır.

Aslında bu teoremin n boyutlu bir versiyonu da var . Bu durumda Poincare bölümü (n - 1) boyutlu bir hiper disktir . Bu oldukça zor sonuca Brouwer'in sabit nokta teoremi denir. Teorem, en az bir periyodik yörüngenin böyle bir hiper diskten geçmesi gerektiğini belirtir.

Topoloji, dediğim gibi, çok güçlüdür.

Aksanları da değiştiriyor. Örneğin, bir fincan yulaf ezmesi içindeki bir eriğin, küçük bir ayı yavrusu Mishka tarafından rahatsız edilen hareketi gibi dinamik bir sistem göz önüne alındığında, şu soru ortaya çıkıyor: “Var mı?

Pirinç. 6.11. İki boyutta, Poincare bölümü çok karmaşık olabilir. Burada gösterilen Ueda çekicisinde, girdap noktaları kahve karıştırıldığında daha çok bir fincan yüzeyi gibidir. (John Wiley & Sons'un izniyle çoğaltılmıştır)

Periyodik çözüm?”, o zaman denklemleri çözmek ve sonraki periyodiklik çalışmaları yerine, Poincare bölümüne bakılmalıdır . Anne Ayı, “ Poincare haritalamam tekrarlanmalı” derdi. Bu durumlarda kullanılan matematiksel yöntemlerin tamamen farklı olduğunu hayal etmek zor değil.

Dahili solenoidler

Dinamikleri temsil etmek için bir dairenin 10 kez tersine çevrilmesi nasıl kullanılır? Smale, Poincare bölümüyle tersten çalışması gerektiğini fark etti. Yüzeyin verilen kısmı, bir yüzeyin kendi üzerine eşlenmesi olan bir topolojik disk olsun. O zaman orijinal dinamik sistem öyledir ki, içinde bu disk Poincare bölümüdür ve "ilk dönüş" ilk eşlemedir.

, diski dik açılarda kesen bir daireye benzeyen yeni bir "boyut" sunuyoruz . Disk üzerindeki başlangıç noktası dışarı akar, bu dairenin etrafından geçer ve sonra diski tekrar geçerken, diskin orijinal kendi kendine eşlemesinde belirtildiği gibi yapar. Bu numaraya eklenti denir (Şekil 6.12). Bu fenomene böyle bir yaklaşım, n-boyutlu akışlar hakkında genel sorular soran bir topolog için doğaldır, ancak nitrogliserin patlamasının dinamiklerini anlamaya çalışan bir kimyager için uygun değildir . Her halükarda istenirse bunun için bir diferansiyel denklem yazılabilir. Bilimde, kişi genellikle fiziksel bir problemle başlar ve bir diferansiyel denkleme ulaşır. Ancak Smale, diferansiyel denklemlerin tasarımı ile ilerlemiştir. Ortaya çıktıktan sonra, bu konu asla aynı kalmadı.

Pirinç. 6.12. Eklenti: Bir ekranı (solda) daha yüksek boyutlu bir alanda (sağda) bir akışa dönüştüren matematiksel bir numara.

, n-boyutlu bir uzayın haritalanmasında görülebilen her şeyin (n +1)-boyutlu bir akışta da not edilebileceğini not ediyoruz. Bu nedenle, (n+1) boyut akışlarını anlamayı öğrenmenin en iyi yolu, n-boyutlu bir haritalamayı düşünmektir . Özellikle, yeterince net olmayan üç boyutlu akışlar, daha anlaşılır iki boyutlu eşlemelere dönüştürülür. Benzer şekilde, üzerinde daha da yoğun ve basit bir şekilde üzerinde çalışılması gereken dört boyutlu akışlar, en azından görselleştirilebilen üç boyutlu temsillere dönüştürülür .

Bu nedenle, Smale, dört boyutlu akışları keşfetmek yerine, tekrar eden daire haritalamamıza benzer özelliklere sahip olan üç boyutlu uzayda alışılmışın dışında bir haritalamayı düşündü . Bulduğu şey bu.

Poincare bölümü olarak sert bir simitin içi . İçinde delik olan Amerikan tarzı bir çörek. Genellikle hamurdan oluşur ama bu sefer sadece simidin yüzeyinden bahsetmiyoruz. Bir simitin kendi üzerine eşlenmesini aşağıdaki gibi tanımlarız. Kendimizden çevresinin on katı kadar uzatalım, ince bir iplik haline getirelim ve geri yerleştirelim, eksenin etrafına bindirmeden on kez saralım , yani her noktadan bir kereden fazla geçmeyecek şekilde (Şek. 6.13). (Matematikçiler genellikle 2 sayısını 10'dan çok daha sık kullanırlar, ancak neler olduğunu görmek için ikili olarak düşünmeniz gerekir. Anlamayı kolaylaştırmak için bu hikayeyi biraz değiştirdim .)

Pirinç. 6.13. Kendi kendine kesişmeleri önlemek için sert bir torusa uygulanan on kat büküm . Torus üç boyutlu bir figür olduğundan, burada kendi kendine kesişmeler olmadan tamamlamak için bir dönüş için daha yer vardır .

Böyle bir çörek dönüşümünü tekrarladığınızı hayal edin. Prosedür bir daha başlatıldığında, daha da incelir ve kendi etrafında 100 kez döner, ardından 1.000, 10.000 vb.

Yeterince uzun yaparsan ne olur? Bir tür sonsuz ince çizgi, simit etrafında sonsuz sayıda bükülmüş. Bu ifadeyi gizli hatalar için biraz sonra inceleyeceğiz, ancak şimdilik böyle bir temsili gerçeğe yakın olarak ele alacağız. Elektromıknatıs oluşturmak için millerce bakır telin metal bir çubuğun etrafına sarıldığı, solenoid adı verilen bir elektrikli cihaz vardır . Matematikçiler bu ismi Smale'nin inşası için ödünç aldılar.

İki seçkin dinamik sistem teorisyeni, meslektaşlarım, tüm bu konuları bir Amerikan barında tartışıyorlardı , bükülmeyi ve canlı sohbeti canlandırmak için kollarını sallıyordu . "Hey," dedi barmen, "solenoidlerden bahsediyor olmalısın!" Hiç beklemedikleri türden bir başlangıç. Barmen aynı anda hem çalışıp hem de üniversiteye devam eden bir matematik yüksek lisans öğrencisi miydi ? Eskiden donanmada görev yaptığı ortaya çıktı ve söylediklerinin gerçek bir elektrikli solenoidle ilgili olduğunu söyledi.

En azından bu hikaye, "solenoid" in bu durumda oldukça uygun bir isim olduğunu gösteriyor.

Olursa olsun, ama bu şekilde, üç boyutlu uzayda katı bir simidin normal olmayan bazı haritalamasını elde ederiz. Şimdi ellerimizi topolojik şapkaya batırıp tavşanı çıkarıyoruz. Smile'ın solenoidinin eşlemesini genişletin ve anormal eşlemesinin Poincaré bölümü olduğu dört boyutta bir akış elde edin.

Bu yöntem dört boyutlu bir alanı temsil etmek için kullanılmazsa , yanlış resim ortaya çıkar. Üç boyutlu bir boşlukta bir hamur parçasından başlayıp, içindeki hareketini sonuna kadar sürdüren bir nokta hayal edin. Ama bu imkansız. Aslında hareket üç boyutlu uzayın dışında gerçekleşir, her nokta bir hamur parçasının içinden geçer, hemen etrafını sararak tamamen yeni bir boyutta kalır ve sonra hamuru başka bir yerde tekrar geçer. Örneğin, dördüncü boyut olarak zaman kullanılıyorsa, geçmişten geleceğe zaman yolculuğu yapabilirsiniz, ancak hemen 3B görünümden çıkarılırsınız.

Torus-kendi kendine eşlemenin yinelemeleri birçok kez gerçekleştirilirse, tüm başlangıç noktaları solenoide gittikçe yaklaşıyor. Bu nedenle solenoid, Poincare bölümünde dinamikler için bir çekicidir. Bu nedenle, solenoidin üst yapısı - yani modele fazladan bir boyut yerleştirildiğinde olan şey, tam dört boyutlu akış için bir çekicidir.

Ayrıca, bu haritalama yapısal olarak kararlıdır. Bunu görmek için , büküm haritalamasını biraz bozduğumuzu hayal edelim. Sonuç neredeyse aynı görünecek. On değil, örneğin dokuz veya on bir kez çekerek ekranı sürekli değiştirmek mümkün değildir. Böyle bir dönüşümün devamlılığı için örneğin on ila on bir kez gererken, on buçuk kez germek gerekir, ancak simidi yok etmeden on buçuk kez kendi etrafına sarmanın bir yolu yoktur. Bu, haritalama biçimine küçük bir bozulma ekledikten sonra , dinamiklerin topolojik olarak aynı ai'nin kendisi olduğu anlamına gelir ve bu tam olarak “yapısal kararlılık” olarak adlandırılan şeydir.

Son olarak, bir solenoid ne bir nokta ne de bir dairedir. Bu nedenle, geleneksel, tipik çekicilerden biri olamaz. İki matematikçi , Floris Takens ve David Ruelle, yeni bir çekici tipine isim verdiler . Klasik tiplerin hiçbirine ait olmayan, nokta veya daire olmayan yapısal olarak kararlı bir çekiciye garip çekici denir . Bu isim bir cehalet beyanıdır : eğer matematikçiler bir şeye "patolojik", "yanlış ", "garip" veya benzeri bir şey diyorlarsa, "lanet şeyi anlamadıklarını" kabul ediyorlar. Ancak aynı zamanda mesaj taşıyan bir bayrak: Anlayamayabilirim ama bana önemli geliyor.

cantor peyniri

Solenoid göründüğü kadar anormal değil. Farklı bir kökeni vardır, iyi bir klasik nokta veya daire değildir. Bir sonraki konumuzla ilgili olduğu için anormalliğini biraz daha ayrıntılı olarak ele alalım . Karşılık gelen nesne, 1875'te Henry Smith tarafından keşfedilmesine rağmen, Cantor kümesi olarak bilinir (Şekil 6). (Küme teorisinin kurucusu Georg Cantor, 1883'te Smith'in sonuçlarını kullandı. etkileyici değil mi?) Cantor, fareler tarafından oluşturulan bir aralıktır . Sonsuz sayıda kaybolan küçük "fareler", sürekli küçülen parçaları alır.

Cantor kümesinin daha az renkli bir yapısında, 1 uzunluğunda bir aralıkla başlıyoruz ve ortadaki üçte birlik kısmı kaldırıyoruz (ancak uç noktalarını koruyoruz). Üçte bir uzunlukta kalan iki aralık ile benzer şekilde ilerliyoruz: ortadaki üçte birini siliyoruz. Daha sonra bu işlemi tekrarlayarak daha kısa aralıklar elde ederiz . Limitte, yapım prosedürü sonsuz sayıda tekrarlandığında, Cantor kümesini elde ederiz.

İlk başta, hiçbir şey kalmamış gibi görünüyor. Bununla birlikte, 1/3 ve 2/3 gibi noktalar uzak aralığı ve ayrıca 1/9 ve 2/9, 7/9 ve 8/9 noktaları sınırlandırır. Silinen segmentlerin tüm uç noktaları kalır. Aynı şey, sıraları geldiğinde diğer birçok nokta için de geçerlidir. Bu prosedür, 3 sayısını içeren bir diziye genişletmeyi içerir.

Kaldırılan aralıkların toplam uzunluğu, başladığımız aralığın orijinal uzunluğu ile aynı olan 1'dir. Bu nedenle, bir anlamda Cantor kümesinin “uzunluğu” sıfırdır! Bu açıktır, Cantor kümesi çoğunlukla delikler olduğundan, aralıktan ziyade tozdur.

Benzer şekilde sona eren başka yapılar da vardır , bunlar topolojik olarak Cantor kümesine eşdeğerdir. Bu türün en ilginç örneklerinden biri orijinal olarak yuvarlak bir disk şeklindedir. Bu disk daha sonra çıkarılır ve geriye iki küçük disk kalır (Şekil 6.15). Düğmeyi tutan ve düşmesine izin vermeyen iki iplik deliği olan bir düğmeye benziyorlar. Bu yapıyı her küçük diskte tekrarlıyoruz ve tekrarlıyoruz ve ardından limite geçiyoruz. Açık olmayabilir, ancak böyle bir küme sadece Cantor'un gizli kümesidir. Ben buna Cantor peyniri diyorum. Ayrıca “fareler” tarafından da elde edilebilir.

Aynısı, her adımda üç veya on delik açarsanız da geçerlidir. Evet, katılıyorum, hepsinin beklenmedik olması

■

II II

II II II II

IIIIII IIIIII

ІІІІІІІІ ІІІІІІІІ

II

III

II

III

IIIIII

1111'III

II II

II II II II

III III

ІІІІІІІ ІІІІІ

III

III

ІІІІ III

II

III

III

'ІІІІ III

garip çekiciler

Şekil 49. Ortadaki üçte birlik kısmın çıkarılmasıyla elde edilen Cantor kümesinin yapısı. Dikey ölçek, netlik için büyütülmüştür: ideal çizgilerin genişliği yoktur.

Pirinç. 6.15. Cantor peyniri: Topolojik olarak Cantor kümesine eşdeğer olan ve bir çift daire kullanan alternatif bir yapı .

topolojik olarak aynı sonucu verir, ancak topoloji çok esnek bir araçtır ve çok fazla hareket alanı bırakır. Bunun kesin kanıtlarını topoloji kitaplarında bulabilirsiniz ve bunlar onun özüdür.

Çeşitliliğini karakterize eden on delik içeren Cantor peyniri, solenoidin içine yerleştirilir. Bir daire elde etmek için bir çörek kestiğinizi hayal edin. Çörekleri kendi etrafımızda on kez büküyoruz ve on küçük daireye kesiyoruz. Bir sonraki adımda, daha küçük yüzlerce daire belirir ve böyle devam eder: tamamen aynı prosedür. Yani solenoid kesit olarak Cantor peynirini içerir . Bu, ortaya çıkan nesnenin bir nokta veya daire olmadığını açıkça doğrular!

Gerçek Kaos

Cephaneliklerini bir solenoid ile zenginleştiren mvі, şimdi beklenmedik bir keşif için hazır. On katlı büküm haritası sadece dört ilginç özelliğe sahip olmakla kalmaz: başlangıç koşullarına duyarlılık , rastgele yolların varlığı, rastgele yolların geniş dağılımı ve periyodiklik/periyodikliğin bir karışımı, aynı zamanda solenoidin davranışı ve ilgili diferansiyel denklem. .

Bu ciddi bir felsefi soruyu gündeme getiriyor. Böyle bir denklemle modellenen fiziksel bir süreç olduğunu varsayalım . Klasik uygulamalı matematiğin ruhuna uygun olarak , onu çözmek için, başlangıç koşullarını belirlemek, başlangıç noktasını belirtmek ve çözümün uzun vadeli davranışını tahmin etmek gerekir .

Bu sorunun özel cevabı şudur: “ Başlangıç noktası sonsuz hassasiyetle ayarlanarak yapılabilir. Tüm ondalık basamaklar gereklidir - sonsuza kadar. Yalnızca ilk milyar basamak gerekli olmakla kalmaz, aynı zamanda bir milyar yinelemeden sonraki durumu hiçbir şekilde temsil etmezler. Kitleye ihtiyacımız var."

Ancak bunları belirtmek neredeyse imkansızdır. On basamaklı bir doğruluk, deneylerin büyük çoğunluğunda elde edilebilecek en iyisidir .

Bir anlamda, on basamaklı kesinlik bize uzun vadeli davranış hakkında hiçbir şey söylemez. Yalnızca on basamak belirtirseniz, onlarla tutarlı bir başlangıç noktası bulabilirsiniz, ancak bundan sonra keyfi bir şekilde davranacaktır: bilinen sayılardan sonra 7 sayısını yazın, l sayısını taklit edin, her beşinci basamakta bir girin. q / 2 sayısını, 6 ile başlayan sıralı asal sayıları girin veya 25 Nisan 1963'ten bu yana Financial Times'ın 100'ün üzerindeki tüm hisse senedi ve tahvil fiyatlarını bu listeye koyun . Şehirde büyük bir kar elde edin, o zaman tek ihtiyacınız olan doğru başlangıç noktasını seçmek.

, ilk on basamakla sınırlandırılan tüm olası yolları deneysel doğrulukla tahmin eder. Uzun vadeli davranış tamamen tanımsızdır.

Öte yandan, hangi model “tek basamaklı kaydırma”dan daha belirleyici olabilir?

suçlayıcı diyalog

Kaos fikrinden hoşlanmıyorsanız, o zaman tek bir umut vardır.

ŞÜPHELİ: Bakın, Smale'in diferansiyel denklemlerini bulan bu adam her şeyi çok iyi yapıyor ama gerçek dünya böyle davranmıyor.

HAO SOF: Matematikte yapısal kararlılık varsa , doğada da vardır.

ŞÜPHELİ: Öyleyse neden onu açıklayan herhangi bir denklem göremiyorum ?

HAO SOF: Çünkü düzenli davranış arıyorsunuz. Bu tür denklemlerle karşılaşınca bunları yayımlamayacak hiçbir fizikçi yoktur.

SKEPTICK: Tamam, peki ya deneyler? Ne de olsa, bu tür davranışların gözlemlenmesini bir deneyle ilişkilendiriyorsunuz !

HAO SOF: Ama onları her zaman yapıyorsun. Maalesef burada bir engel var. Faaliyetlerinin sonuçlarını “Tamamen rastgele sonuçlar aldım” sözleriyle yayınlayacak herhangi bir deneyci tanıyor musunuz ?

SKEPTICK: Mmm, bunu işaret ediyorsun. Ancak gerçek şu ki, kaosun doğada var olduğunu gösterene kadar çalışan bilim adamlarını asla kaosun var olduğuna ikna edemezsiniz.

HAOSOPH: Katılıyorum. Bu doğrultuda çalışıyoruz. Kolay değil ve bunu biliyorsun. Dinamikleri düşünerek bilimde yepyeni bir yol açıyoruz. Bu zor. Ancak, bize doğal görünen her şey matematikte vardır ve bunun tersi de geçerlidir. Kaos bulamazsak, şaşırırım.

ŞÜPHELİ: Onu bulursanız ben de aynı derecede şaşırırım !

Bölüm 7

hava fabrikası

Fırtınanın kaosunu çözün! Bırak bulutlar yuvarlansın! Formayı bekliyorum.

Robert Frost. inatçılık.

"Doğada bir kaos örneği gösterin." Bu itiraz uzun zamandır şüphecilerin ana argümanı olmuştur. 1970'lerin topologları, kaosu bulmanın uzun zaman alacağına inanıyorlardı, ancak 1963'te bulundu, ancak ne topologlar ne de fizikçiler uzun süredir onun hakkında hiçbir şey bilmiyorlardı.

şanlı başarısızlık

1922'de , adı hem uygulamalı dinamik sistemlerin tarihinde hem de ötesinde bilinen, yarı ham fikirlerin alışılmışın dışında bir mucidi olan Lewis Fry Richardson, bu çabanın görkemli başarısızlığının bir hesabı olan Sayısal Hava Tahmini'ni yayınladı. İçinde Richardson , hava durumunu tahmin etmek için matematiği kullanma girişimini anlattı. Bu raporun sonunda geleceğin harika bir resmini çizdi - hava durumu fabrikası. Albert Hall'a benzeyen geniş bir binada bulunan ve masaüstü hesap makineleri kullanan bir insan ordusu hayal etti . (Bu tür makineleri göremeyecek kadar küçük olanlar için, işlem yaparken tezgahın görünmediği, elle çalıştırılan bir yazar kasaya benzediğini söyleyeceğim . Kenarları yuvarlatılmış küçük bir kutuya benziyor. Kayar seviyeler, arama yapmanızı sağlar. Sayılar ile hesaplamanız gereken ve topuzu bir kez çevirerek toplayıp çarpmak için bir çok kez çevirin. Çıkarma ters döndürmedir ve bölme tekrar çıkarma ile yapılır.) ve birbirleriyle telgraf, flaşörler ve pnömatik tüpler ile haberleşirler . . Richardson'a göre , havanın değiştiği kadar hızlı, yani bugün bilgisayarların bu tür çalışmaları hakkında söyledikleri gibi "gerçek zamanlı" olarak tahmin etmek için 64.000 kişilik bir personele ihtiyaç var.

Raporunda, "Belirsiz bir gelecekte, insanların havadaki gerçek değişikliklerden daha hızlı hesaplamalar yapabileceği bir gün gelebileceğini ve bu hesaplamaların bilgi yoluyla insanlığa sağlanacak tasarruflardan daha ucuza mal olacağını öngördü. Alınan."

Bu bir rüyaydı ve bunlar kehanet sözleriydi. Sisli gelecek otuz yıldan kısa bir süre sonra geldi. 1950'de Amerikan ENIVAC bilgisayarı (EMAC) hava tahmini için ilk başarılı hesaplamaları yaptı ve 1953'te Proceeding MACHIAC makinesi, sıradan hava tahmini için gerekli tüm hesaplama döngüsünün tamamen bir bilgisayarda gerçekleştirilebileceğini açıkça gösterdi .

Ancak hava durumunu tahmin etmek işin bir yanı, doğru tahmin etmek ise başka bir şey.

iklim satranç

karelere bölünmüş bir alanda birkaç taşı hareket ettirmekten oluşur . Taşların hareketi, oyunun kurallarına uygun olarak belirli zaman aralıklarında gerçekleştirilir.

Sayısal hava tahmini, devasa üç boyutlu satranç oynamak gibidir. Atmosferdeki değişiklikleri aşağıdan yukarıya, kuzeyden güneye ve doğudan batıya izlemek için Dünya'nın tüm yüzeyi boyunca farklı yüksekliklerde bulunan sık bir nokta ızgarası hayal edin . Bu bizim satranç tahtamız. Üzerindeki hava durumu , her bir ızgara düğümünde ölçülen sayısal değerlerle tanımlanır: basınç, sıcaklık, nem, rüzgar hızı ve yağış. Satranç pozisyonlarını temsil ederler.

yarının hava durumu oyundaki bir sonraki pozisyona karşılık gelir, ancak taşların pozisyonları farklı olabilir: “Queen's Knight Cyclone 743”, “Kral Lin's Blizzard”, “ Stafford Piskoposu Piskoposunun Güneş Aralıklı Yağmurları”. Bugün hava istasyonları, gemiler, meteorolojik sondalar ve uydu görüntüleri sayesinde havanın özel anlamını biliyoruz. Ve sadece en önemli soruyu cevaplayabiliriz: Oyunun kuralları nelerdir?

Kurallar, atmosferin hareket denklemleridir. Gördüğümüz gibi , benzer bir denklem, Leonhard Euler ve Daniil Bernoulli'nin buna yönelik eğilimleri sayesinde yüzyıllar önce bulunmuştur. Zaman çok küçük ayrık adımlarla değişiyorsa, denklemler, şimdiki andan diğerine, diyelim ki bir saniye sonra geçmenize izin veren kurallar olarak düşünülebilir .

Hava durumunu bir saniyeliğine tahmin etmek, insanlık için bu zor sorunu pratik olarak çözmez, ancak açıkçası, böyle bir oyunda kesin bir hareketi temsil eder. Hesaplamayı tekrarlayarak, 86400 yinelemeden sonra - günün hava durumu ve 8.640.000'den sonra - yüz gün sonra zaten iki saniye alıyoruz. Sonra 8 640 000 000'den sonra...

Ancak özünde sadece hesaplamaların yapılma şeklinden bahsediyoruz . Açık ve deterministik kurallara dayalı binlerce yineleme yapılması gerekiyor ... Keşke yeterince iyi bir bilgisayar olsaydı.

sıfır ve sonsuzluk arasında

Felsefi problemler hava tahmini ile bağlantılıdır. Gerçek şu ki, atmosfer gerçek, sonsuz bölünebilir bir süreklilik değil, muadillerinin ortamına daldırılmış ve belirsiz bir şekilde hareket eden, zaman zaman birbirine çarpan oldukça katı küçük atomlardan oluşan bir kütleden oluşur , deliler gibi. Klasik mekaniğin denklemleri, bu ayrık fiziksel gerçekliği düzgün bir ideal akışkanla değiştirir, ancak bu denklemleri çözmek için ayrık yaklaşıma geri dönmek gerekir . Aynı zamanda, zaman küçük ama sürekli olmayan adımlarla hareket etmeye başlar ve uzay düzenli bir ızgara ile bölümlere ayrılır. Bilgisayarların yapısı bunu yapmaya mecburuz: onlar sadece belirli sayıda ondalık basamakla aritmetik yapabilirler, diyelim on. Bu durumda, her tam sayı 0,000000001'e eklenir. Sonsuz bir ondalık sayıyı tam olarak temsil etmek, sonsuz miktarda bilgisayar belleği gerektirir ki bu imkansızdır.

Felsefi bakış açısı, az önce tanımladığımız ayrık bilgisayar modelinin atom fiziği tarafından tanımlanan ayrık modelle aynı olmadığıdır . Bunun birçok pratik nedeni vardır: Bir atom modelindeki değişkenlerin sayısı bilgisayarların kapasitesini çok aşmaktadır ve her bir atomun yörüngesini izlemenin bir yolu yoktur.

Bilgisayarlar yalnızca az sayıda parçacıkla çalışabilir ve süreklilik mekaniği sonsuz sayıda parçacık gerektirir. Böylece ya sıfır ya da sonsuzluk ve tabiat ana açıkça aralarındaki boşluğa kayar.

Bu nedenle elimizden gelenin en iyisini yapıyoruz. Matematikçiler, bunun için ayrıntılı bir teorik kanıt olmamasına rağmen, böyle bir çifte yaklaşımın gerçeğe yakın yanıtlar elde etmeyi mümkün kıldığını umuyorlar. Ancak, böyle bir temsilin işe yaradığı oldukça açıktır. Bir deha yeni teorik araçlar geliştirdiği sürece , bir mucizeye güvenir ve ondan bağımsız olarak ilerleniriz.

Böylece, önemli bir açıklama formüle edebiliriz: bir bilgisayar için “problem ayarı” yapıldığında , hem sorunun özelliklerini hem de bilgisayarın yeteneklerini dikkate alarak bir miktar idealleştirme oluşturulur. Bilgisayarın bilimin ve toplumun hastalıkları için asla evrensel bir kirletici 1 olamamasının nedenlerinden biri de budur. Ayrıca, bilgisayarlar henüz yeterince akıllı değil.

megaflop

yüksek hızda yapılmalıdır . Bir süper bilgisayarın hızı megaflop cinsinden ölçülür - bir megaflop, saniyede bir milyon aritmetik işleme karşılık gelir . Cray X-MR , İngiltere, Reading'deki Avrupa Merkezinde bir süper bilgisayar, orta vadeli yılları tahmin etmek için yaklaşık 800 megaflop'ta çalışıyor (Şekil 7.1). Tüm kuzey yarım küre için yarının hava durumunu yaklaşık yarım saat içinde hesaplayabilir. Her gün, bir buçuk hafta ilerideki kuzey yarımküre için bir tahmin hesaplayarak, bir günlük on tahminde bulunuyor. Tahminler genellikle yalnızca ilk dört gün için yaklaşık olarak doğrudur ve daha sonra gerçek hava durumundan oldukça belirgin bir şekilde saparlar.

15 Ekim 1987 Perşembe günü İngiltere, 1703'ten beri görülmemiş korkunç bir fırtına yaşadı. Kasırga denilebilir ama kasırgalar İngiltere'ye ulaşmıyor. Televizyon hava durumu servisi, yalnızca fırtınayı tahmin edememekle kalmayıp, bir günden daha kısa bir sürede onu uyarmadığı için feci bir başarısızlığa uğradı . Ertesi Pazartesi, Guardian , Andrew Runsley'in "Hava Durumu Bilgisayarı" başlığı altında bir makalesini yayınladı :

Bilinen en suçlu kötü hava tahmini dün gece küçük Berkshire kasabasında yapıldı.

ılımlı rüzgar tahminleriyle dakikada bir tahmin hızında pompalanmaya devam ediyoruz .

Onlarca manşetin tüm gücüne cevap - NEDEN UYARILMAYALIM? - Berkeley Meteoroloji Merkezi'nden veri yöneticisi dijital eater Cyber 205 tarafından verilmelidir . Görevdeki tahminci tarafından dün yapılan bir ön değerlendirmeye göre, şu anda İngiltere'de en çok nefret edilen bilgisayar.

Operatörlere göre, Siber saniyede 400 milyon işlem gerçekleştiriyor ve beş dakikada 15 irtifa seviyesi için günlük dünya tahminini tamamlayabiliyor. Ne yazık ki , gerçek olaylar güney İngiltere'de gerçekleşirken , 1703'ten bu yana en kötü fırtınayı kaçırdı ve onu 80 mil doğuya , Kuzey Denizi boyunca yönlendirdi. Meteoroloji Servisi'nin resmi temsilcisi , “Yanlış hareket etmeye başlaması üzücü” dedi .

Kimse bunun neden olduğunu bilmiyor gibi görünüyor. London Weather Center'dan bir tahminci dün, "Haftanın başlarında sağ kenarda belirdi" dedi . "Başlangıçta Salı günü, hareketi sırasında sağda bir tür depresyon vardı ve daha sonra yönünü değiştirdi."

Bilgisayar, açıklamaları sinoptik dile çevrilirse, “ Bir haftadır esen kuvvetli rüzgarlardan sonra Perşembe günü kuvvetli rüzgarların devam edeceğini varsaydım ” dedi. - "Şüphelerimiz vardı ama ortak bir çizgiye bağlı kalmamız gerekiyordu."

Aynı derecede güçlü bir bilgisayar olan Cray 1, Reading'de bulunur, Cyber'in en büyük rakibidir. Uydulardan, yer tabanlı radarlardan, ticari gemilerden ve sinoptik balonlardan alınan aynı verileri kullanan Avrupa Orta Menzilli Hava Tahminleri Merkezi'nden Cray, bu durumda şiddetli rüzgarlar öngördü.

Meteoroloji Merkezinde Cyber'in çalışmasının üzücü sonucuyla ilgili bir iç soruşturma, neden yanlış hareket etmeye başladığını anlamaya çalışıyor. Siber'in 10 operatöründen biri dün "Söylemesi zor " dedi. - "Belki de bilgisayar tarafından alınan az miktarda bilgi gelmemeliydi." Cyber 205'in geçmiş orta menzilli tahmin zaferleri, Temmuz ayındaki karı içeriyor gibi görünüyor.

Merkezin çalışanlarından biri, “Bunu değiştirme planları var” dedi . Diğerleri Cyber'i korumak için toplandı. Bir tahminci, "Depresyonlar genellikle tahmin edilemez" dedi. "Çok huysuz olabilirler."

Gelecekteki araştırmalar muhtemelen bu zorlukların üstesinden gelebilecektir , ancak teorik düşünceler, hava tahmininin doğruluğunun doğasında var olan sınırlamaların olduğunu açıkça ortaya koymaktadır . Dört ya da beş gün, belki bir hafta, ama artık değil.

Sözcüklere sözlükten bakın.

Meda', büyük.

Bağlantı noktası: başarısızlık.

Bir matematikçinin kalbi

Şimdi hikayenin başına ve 1963'e dönüyorum. O yıl, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nden Edward Lorenz, Deterministic Non-Periodic Flow adlı bir makale yayınladı. Lorentz bu fikri bir matematikçi olarak ortaya attı, ancak İkinci Dünya Savaşı araya girdi ve o bir meteorolog oldu, ya da kendisi öyle inanıyordu. Aslında, kalbinde bir matematikçi olarak kaldı. (Matematik bir bağımlılık veya hastalık gibidir: ne kadar uğraşırsanız uğraşın ondan kurtulamazsınız.) Lorentz'in sonuçlarını özetlediği nottan alıntı yapayım.

adi diferansiyel denklemlerin sonlu sistemleri, zorlanmış enerji tüketen hidrodinamik akışları tanımlamak için kullanılabilir . Bu denklemlerin çözümleri, faz uzayındaki yörüngelerle tanımlanabilir. Sınırlı çözümlere sahip bu tür sistemler için , periyodik olmayan çözümlerin, kural olarak, küçük pertürbasyonlara göre kararsız olduğu bulundu; bu nedenle, ilk durumlardaki küçük farklılıklar onları esasen farklı durumlara dönüştürebilir. Sınırlı çözümlere sahip sistemlerin yalnızca sınırlı sayısal çözümlere sahip olabileceği gösterilmiştir.

Hücresel konveksiyonu tanımlayan basit bir sistem dijital olarak çözülür. Bulunan tüm çözümler kararsızdır ve hemen hemen hepsi periyodik değildir.

Bu sonuçlar ışığında uzun vadeli hava tahminlerinin uygulanabilirliği araştırılmıştır .

Bu sözleri okurken tüylerimin boynumdan aşağı indiğini ve saçlarımın kabardığını hissediyorum. O biliyordu! Yirmi dört yıl önce biliyordu! Ve daha yakından baktığımda, daha da şaşırıyorum. On iki sayfadan daha kısa bir sürede Lorentz , lineer olmayan dinamiklerle ilgili birkaç ana fikrin, moda haline gelmeden önce, kaos gibi yeni ve anlaşılması zor fenomenlerin var olduğunu kimse fark etmeden önce öngördü.

Lorenz, söylediğim gibi, onun bir meteorolog olduğunu düşündü ve doğal olarak, çalışmalarını Journal of Atmospheric Sciences - dougpaï o/ Ire Aithospecis Sciences'da yayınladı. Matematik bilgisi olmayan veya sadece geleneksel matematiğe aşina olan meteorologlar , bu sonuçla ne yapılabileceğini tam olarak anlamadılar. Onlar için özellikle önemli görünmüyordu. Lorentz'in denklemleri, gerçek fiziğin yalnızca soyulmuş bir versiyonuydu, bu nedenle genel olarak fikirleri muhtemelen saçma olarak kabul edildi.

Her yıl, çoğu binlerce sayfadan oluşan birkaç bin bilimsel dergi yayınlanmaktadır. Çok okursanız, yayınlardan yalnızca kendi alanınızla ilgili nispeten yüksek düzeyde fikir edinebilirsiniz. Bu nedenle, bahar sayısının artması olası değildir . dinamik sistemler teorisinde büyük öneme sahip bir fikir içerebilir . Aynısı, bilinmeyen binlerce dergi için de söylenebilir. En beğenilen dergi, sizin için en iyisi, bildiğiniz şeyler hakkında yazan dergidir. Boyunları kuşkusuz benimki gibi titreyecek olan topologların Lorenz'in yapıcı yapıtıyla tesadüfen karşılaşma şansları çok azdı ;

Bu, yaklaşık on yıl boyunca devam etti, yayınlanması belirsizliğin karanlığında sönük kaldı. Lorenz daha fazlasını yapabileceğini biliyordu, ama bu onun zamanından önceydi.

Ne yaptığına bir göz atalım.

Konveksiyon hakkındaki fikirlerinin cesurluğu

Sıcak hava yükselir.

havayı şekillendiren süreçlerin çoğundan sorumlu olan konveksiyon olarak bilinir . (Şekil 7.3). Gök gürültülü bulutlar konveksiyonla oluşur, bu nedenle gök gürültülü fırtınalar genellikle sıcak, nemli günlerde meydana gelir. Konveksiyon, daha sıcak hava yavaş ve istikrarlı bir şekilde yükseldiğinde kararlı olabilir veya atmosferin katmanları birbirine göre daha karmaşık şekillerde hareket ettiğinde kararsız olabilir. Kararsız konveksiyon çok daha ilginçtir , havanın daha karakteristik özelliğidir. Kararlıdan sonra en basiti periyodik davranış olduğundan, kararsız taşınımın en basit şekli periyodik girdaptır.

Konveksiyon çalışmasının uzun bir geçmişi vardır. 1900 civarında

Henry Benard, aşağıdan ısıtılan ince bir sıvı tabakasında, bal peteğine çok benzeyen konveksiyon hücrelerinin görünebileceğini gösteren temel bir deney yaptı. Lord Reilly , konveksiyonun başlangıcıyla ilgili temel teoriyi yarattı. Bununla birlikte, her zaman daha fazlasını öğrenebilirsiniz ve 1962'de V. Saltzman , en basit tipteki konveksiyonu tanımlamak için denklemler önerdi. Altta sıcak ve üstte soğuk olan dikey bir hava sütunu hayal edin ve konveksiyonu izleyin. Aralıklarla ayrılmış düzenli bir girdap ortaya çıkar ve periyodik olarak bir daire içinde dönen konveksiyon hücreleri oluşturur. Klasik uygulamalı matematiğe özgü bir şekilde, Saltzmann böyle bir girdap için çözümün yaklaşık bir biçimini verdi, bazı hantal ama küçük terimleri göz ardı ederek denklemlere soktu ve sonucu analiz etmeye başladı. Bununla birlikte, bu kuvvetle kesilmiş denklemlerin bile analitik olarak çözülmesi zordu. Sonra bilgisayara döndü.

Bir bilgisayarla çalışırken, çözümün kararsız konveksiyonun özelliği olan düzensiz dalgalanmalara maruz kaldığını, ancak dalgalanmaların tamamen periyodik olmadığını fark etti.

Lorenz bununla ilgilenmeye başladı ve daha fazla takip etmeye karar verdi. Bu sonuçta Salzman'ın dikkate aldığı değişkenlerden sadece üçünün rol oynadığını fark eden Lorentz, diğerlerini tamamen attı.

Tamamen belirsiz, ama son derece bilinçli bir hareketti. Artık klasik hale gelen bir denklem sistemine sahip:

- Yux + 10? /, 28x - y - xr, -|r + x? /,

burada x,?/, r üç anahtar değişkendir, i zamandır ve d/di değişim oranıdır. 10 ve 8/3 sabitleri Salzman tarafından seçilir ve 28 sabiti sistemin durumunu bir saniyede görebileceğimiz gibi kararsız konveksiyon başlangıcından hemen sonraki durumu temsil eder. Bu sayılar fiziksel değişkenlerin değerlerine bağlı olarak değiştirilebilir.

xr ve xy terimlerini silerseniz, her iyi matematikçinin kahvaltıdan önce gözleri kapalı çözebileceği bir denklem sistemi elde edersiniz. Ancak, bu çok sıkıcı.

Bu denklemleri kullanarak daha faydalı bir şey yapabilirsiniz. Örneğin , x, y, % değerleri sabit kalırken tüm denklemlerin sağ tarafları sıfır olma eğilimindeyken sistemin kararlı durumları bulunabilir . Herhangi bir konveksiyonu temsil etmeyen böyle üç durum ve kararlı konveksiyonu temsil eden simetrik olarak bağlı iki durum vardır . Sistemin bu durumlar etrafındaki kararlılığı , doğrusal kararlılık analizi olarak bilinen bir yöntemle analiz edilebilir. 28 sabiti 24.74'e düşürülürse, ortaya çıkan konveksiyon durumunun kararlı olduğu da gösterilebilir. Konveksiyon, prensip olarak, 24.74 kritik değerinden sonra gerçekleşir. Lorentz'in bu sabitin 28'e eşit olan değeri seçimi, kararsız bir konveksiyon yaratmak için yapılmıştır.

Bu noktada lineer teori başarısız olur. Kararlı durum yakınında iyi çalıştı , ancak kararlı durum kararsız hale gelirse , sistem kararlı durumdan belirgin şekilde saptığında ne olacağını düşünmek gerekir. Doğrusal teori, yalnızca kararsızlığın nerede meydana geldiğini gösterebilir, ancak ne olduğunu gösteremez. Bir çift dürbün, bir sonraki tepenin nerede olduğunu gösterebilir , ancak ötesinde ne olduğunu gösteremez.

Ama bu sadece başlangıç. Ancak, şimdi ilginç davranışın nereden geldiğini biliyorsunuz . Ne şekilde kendini gösterir?

çok güvenilir bir makine olmayan ve bir yığın vakum tüpleri ve telleri olan bir labirenti andıran McBee LCP-300 bilgisayarı. Denklemlerini asil bir McWhee'ye koydu ve saniyede yaklaşık bir yineleme hızında görkemli bir şekilde McBring'e izin verdi. (Dil işlemcim elli ila yüz kat daha hızlı.)

Yakalama-22: Düğümü çözmek için yer, kişi, kültür ve zaman uygun olmalıdır. Poincare bir kişilikti, Fransa onun için doğru yerdi ama zaman ve kültür doğru değildi. Lorenz bir kişilikti, MIT değerli bir yerdi, kaosu keşfetmek için gereken kültür -bilgisayar kültürü- yerindeydi. Herkesin bir bilgisayarı olduğunda, kaos olduğu gerçeğini gözden kaçırmak imkansızdır. Ancak, önemini anlamak başka bir konudur. Bunun zamanı da doğru olmalıdır - diğer insanlar ne olduğunu anlamalı , yapılanlarda gerçekten ilginç bir şey görmeli. Bu durumda zaman doğru değildi: daha doğrusu Lorentz zamanının ilerisindeydi.

Makalesi, ilk 3.000 yineleme için y değişkeninin değerlerini göstermektedir (Şekil 7.4). Değerlerdeki değişim, yaklaşık 1500 ilk iterasyondan sonra periyodik olarak meydana gelir ve bu durumda döngünün boyutunun istikrarlı bir şekilde büyüdüğü görülebilir. Lorentz bunu lineer kararlılık analizinden biliyordu, ama sonra ne olacak ?

Delilik.

Şiddetli salınımlar, yukarı ve aşağı sallanma, herhangi bir harekete pek benzemiyor.

Çeşitli x, y, z kombinasyonları için eğrileri gösteren grafikler çizdi. Uçakta (x,?/) böbreğe benzeyen iki loblu bir figür gördü (Şek. 7.5). Bazen nokta , lobun sol tarafı boyunca, bazen de sağ taraf boyunca bir daireyi tanımlar.

Fark ettiği gibi, denklemlerinin yörüngeleri, yassı bir çubuk krakeri çok andıran bir şey üzerinde bulunuyor. İçeride, dışarıda birleşen iki katmana sahip bir yüzey oluştururlar. Sistemin durumunu temsil eden nokta , bu yüzeyin bir veya diğer kısmı etrafında sallanmalı, bazen bir kısımdan diğerine geçmeleri yoluyla geçmelidir.

Lorentz, bir diferansiyel denklemin yörüngelerinin birleşemeyeceğini biliyordu . Bu nedenle, tek eğri gibi görünen şey,

Pirinç. 7.5. Lorentz çekicisi: görünüşte rastgele olan döngüsel yörüngeler, iki lob etrafında döner.

Benim durumumda, birbirine yakın iki eğri olmalıydı. Bu, arkasındaki her tabakanın da çift olduğu anlamına gelir, bu yüzden arkalarında zaten dört yüzey vardı .... Sonra yüzeylerdeki sekiz, dörde karşılık geldi vb. .... “Böylece sonuca varıyoruz” diyor Lorentz, “ bir eğriye son derece yakın ve iki birleşme yüzeyinden oluşan sonsuz sayıda karmaşık yüzey olduğunu.

Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, meteorologların cesareti kırıldı. Ancak Lorenz daha fazlasını yapabilirdi.

denklemlerin xz ve xy terimlerinin neler yapabileceği şaşırtıcı .

Kelebek Etkisi

Lorenz'in tamamen öngörülemeyen bir örnek bulduğunu söylemek doğru olmaz. Bunun yerine, r değişkeninin tepe değerlerini alarak ve mevcut tepenin bir öncekiyle nasıl ilişkili olduğunu çizerek çok özel bir model buldu . Sonuç, ortasında bir nokta bulunan güzel, kesin bir eğridir (Şekil 7.6).

Lorenz eğrisi, Poincare bölümünün basit bir versiyonudur. Değişkeni düzenli zamanlarda göstermek yerine, q'yu yoğun zamanlarda görüntüler. Bu durumda değerler arasındaki zaman aralıkları doğru değil, ancak bu o kadar da kötü değil çünkü Lorenz çekicisinde belirli bir temel ritim var. Böyle bir eğri kullanarak , bir sonrakinin değerinin tahmin edilebileceği

m P4 ben

Pirinç. 7.6. Kaos içinde düzen. Salınım aralığı, grafikte bir önceki salınımın tam karşısında yer alıyorsa, kesin bir sonuç eğrisi vardır. (Amegican Mei; eogo1ogica1 Zosieui, L opta! oi 1be AIpoar_iegіs Zsiepsev, voi 20 (Eskvapi Khogepg).)

tepe noktası q, mevcut tepe noktasının değeri ile belirlenir. Bu anlamda, en azından bazı dinamikler tahmin edilebilir.

Ancak, bu yalnızca kısa vadeli tahmin için geçerlidir. Uzun vadeli bir tahmin yapmak için bir dizi kısa vadeli tahmin kullanılırsa , o zaman her kısa vadeli tahminin küçük hataları , tahmin tamamen saçma hale gelene kadar daha hızlı ve daha hızlı artarak büyümeye başlar. Lorenz eğrisi, kaosla bağlantılı olarak zaten düşünülen aynı genişleme ve daralma özelliklerine sahiptir . Germe sırasında hatalar artar.

Lorentz bu fenomeni keşfetti ve buna "kelebek etkisi" adını verdi. Bu, özel koşullar nedeniyle oldu.

1960'lardan başlayarak birkaç yıl boyunca emrinde bir McBee bilgisayarı olan Lorenz, onu hava tahmin sistemleri modelleri oluşturmak için kullandı. Bilgisayar bazen birkaç gün üst üste çalışmasına izin veriyordu. Çözümün yörüngelerini temsil eden hesaplamaların sonuçları, o zamanlar moda olan bilgisayar grafikleri kullanılmadığından uzun sayı dizileri şeklinde gösterildi. İş arkadaşları, Lorenz'in mikro iklim programının bundan sonra ne yapacağına dair bahse girebilirdi . 1961 kışında, şu anda en ünlü sisteminin selefi ile çalıştı. Bir çözüm arıyordu ve önemli bir zaman diliminde nasıl davrandığını anlamak istedi. Çözümün bitmesini, bazen birkaç saat bekleyerek , program çalıştırmasının ortasında elde edilen sayıları not etti , bunları programın yeni bir başlangıcı için temel aldı ve makineyi yeniden başlattı.

Ne oldu, o etkiydi. İlk başta, makine orijinalin ikinci yarısını tekrar ediyor gibiydi ve ardından hesaplamaya bu noktadan devam etmek zorunda kaldı. Tekrar , skorun yararlı bir kontrolü olarak hizmet etti ve eksik olan ilk yarı zamandan tasarruf sağladı. Meteorolog bir fincan kahve içmek için dışarı çıktı ve döndüğünde bilgisayarın yeni bir hesaplama döngüsüne başladığını gördü. Ancak görünüşte aynı olan iki koşu, sonunda birbirlerine hiç benzemeyene kadar yavaş yavaş ayrılmaya başladı.

Lorenz ile röportaj yapan bilimin popülerleştiricisi James Gleick, Chaos adlı kitabında , bundan sonra ne olduğunu yazıyor.

Birden nedenini anladı: Herhangi bir aksaklık yoktu ama sorun, yazdığı sayılardaydı. Bilgisayarın belleğinde altı ondalık basamak saklandı: .506127 ve yerden tasarruf etmek için yalnızca üç basamak yazdırıldı: .506. Lorentz, son rakamları yuvarlayarak daha kısa bir değer çıkardı, binde birlik farkın önemsiz olduğuna inanıyordu .

neden olabileceğine dair geleneksel düşünce tarzını terk ederek, denklemlerinin geleneksel olarak düşünen bir matematikçinin bekleyeceği şekilde davranmadığını fark etti. Ve sonra Lorenz ünlü ifadesini yarattı: “kelebek etkisi” (Şekil 7.7). Bugün tek bir kelebeğin kanadının çırpılması, atmosferin durumunda küçük bir değişikliğe neden oluyor ve bu sayede atmosferin durumu, belirli bir süre sonra, onsuz olacağından gerçekten uzaklaşmaya başlıyor. Bu nedenle Endonezya kıyılarını bir ay içinde harap edecek bir kasırga oluşmaz, tam tersi de olmayacak bir kasırga duyurulur.

Pirinç. 7.7. Kelebek etkisi: Tek değişkenli bir sistemde sayısal simülasyon . Eğriler, yalnızca 0.0001 oranında farklılık gösteren başlangıç koşullarını temsil eder. İlk başta örtüşüyor gibi görünüyorlar, ancak kısa süre sonra kaotik dinamikler bağımsız, çok farklı yörüngelere yol açıyor.

Kelebekler her yerde. Ama kanatlarının vuruşunun birbirini yok ettiğini kim söyleyebilir ?

Ve yine Lorenz'in sözleri:

Ortalama bir insana öyle geliyor ki , gelgitleri oldukça iyi tahmin edebiliyorsak, diyelim ki birkaç ay önceden, o zaman neden aynı şeyi atmosfer için yapmayalım? Bunlar sadece yasaları eşit derecede karmaşık olan farklı sistemler , ancak periyodik olmayan herhangi bir fiziksel sistemin tahmin edilemez olduğunu fark ettim .

Hava tahmin edilebilir mi değil mi?

Bu cümleyle Lorenz, 1963 tarihli makalesini hava tahmini olasılığı hakkında bazı önerilerle bitiriyor. Argümanları basit ve orijinal. Tahmin için kullanmak istediğimize benzer, atmosferin durumuna ilişkin bir dizi ölçümün çok doğru bir şekilde kaydedildiğini hayal edelim . Çok uzun bir süre boyunca bu tür bir veri kümesi olduğunu varsayalım.

Bu durumda kritik noktalar , atmosferin şu anda gözlemlenen durumunun ilk kez tanımlanmasından bu yana ortaya çıkan hava durumu analoglarıdır. Analoglar , atmosferin iki veya daha fazla durumudur.

o kadar benzerdir ki, aralarındaki farklılıklar gözlemsel hatalarla karşılaştırılabilir.

varsa , analoglardan herhangi biriyle başlayarak gelecekteki hava durumu için aynı tahminler yapılabilir . Bununla birlikte, böyle bir hava tahmini şeması, hava durumu değişikliklerinin periyodikliğini ima eder , bu saçmadır, çünkü hava tahmini ile ilgili tüm zorluk, tam olarak havanın periyodik olmaması gerçeğinde yatmaktadır.

Analoglar yoksa, hava durumunu belirleyen tüm sistemin yarı-periyodik olduğu, yani aynı durumları tekrar tekrar, ancak yavaş yavaş büyüyen küçük değişikliklerle tekrarladığı umulabilir. Bu durumda, uzun vadeli hava tahmini mümkündür ve tek yapmanız gereken kayıtlara bakmak, mevcut havanın yakın bir analogunu bulmak ve geçen sefer ne olduğuna bakmak.

Lorenz, "Ancak, bu argüman da reddedilmelidir, çünkü atmosferin izin verilen durumlarının çeşitliliği o kadar fazladır ki, kural olarak, gerekli analoglar bulunamaz." Önemli bir soruyu açık bırakıyor: "'çok uzun koşular' ne kadar uzun olabilir"? Bu sorunun cevabını bilmediğini, ancak "birkaç günden birkaç yüzyıla kadar değişebileceği açık" diye belirtiyor. Yirmi dört yıl sonra, yüzyıllar dışlandı. Sadece birkaç gün kaldı.

Germe ve bükme

Yukarıda kelebek etkisinin tezahürünün bir örneğini ele aldık. Küçük solenoid de bir daire üzerinde x ux gösteren daha basit bir model gibi davranır. Başlangıç koşullarına karşı aynı hassasiyet gerçekleşir: ilk milyar basamağa denk gelen iki nokta 7D ve Φ, bir milyar yinelemeden sonra nispeten bağımsız davranır.

İlk altı hanede uyuşan iki noktanın yalnızca altı yinelemeden sonra bağımsız olarak değiştiği göz önüne alındığında, bu kulağa çok iç karartıcı gelmeyebilir .

Duyarlılık neye bağlıdır?

Dinamiklerde birbiriyle çelişen iki eğilimin karışımından ortaya çıkar. İlk eğilim esniyor. x -> ux eşlemesi mesafeleri on kat artırır , ancak bunu yerel olarak yapar. Bu durumda, yakındaki noktalar birbirinden gerilir. İkincisi bükülüyor. Çember sınırlı bir alandır, hiç esnetilemez . Uzunluğu on kat artırdıktan sonra oluşturmanın tek yolu olan, kendi etrafına birçok kez sarmayı içerir. Birbirine yakın noktalar birbirinden uzaklaştığından, birbirinden uzak olanlardan bazıları yakınlaşır.

Tutarsızlık, başlangıçta birbirine yakın bulunan, ancak daha sonra farklı şekillerde değişen noktalardan kaynaklanır. İlk başta, fark yavaş büyür, ancak iki nokta birbirinden yeterince uzaklaştığında, "birbirlerini gözden kaybederler" ve ikisi de diğerinin davranışını tekrar taklit etmez.

bazı noktaların birbirine yaklaştığı düzensiz bir hareketi karakterize eder . Ama ne? Bu konuda ne söylenebilir? Büyük farklar, çok sayıda yineleme tekrarlandığında çok küçük farklardan kaynaklanır . Ancak ne olacağını kestirmek mümkün değil.

Bu öngörülemezliktir.

Lorenz sisteminde esneme ve bükülme süreci gözlemlenebilir. Yüzey rüzgar cephesinin her bir yarısı geri gelir ve sol tarafa “yeniden dahil edilmeden” önce genişliğinin iki katına kadar uzar.

Şimdi, sonsuz sayıda yaprak içeren iki parçalı Lorentz yüzeyinin garip bir çekici - Lorentz çekicisi - olması gerektiği oldukça açıktır. Ve kısaltılmış bir fiziksel versiyon olan diferansiyel denklemleri , belki de karıştırmanın bir sonucu olarak tıkanmış, fiziksel kökenli üç değişkenli karasal denklemlere geçiştir . Bunlar yeşil halka logolu ve TOPOLOGİSTLER TARAFINDAN DİKKATLİCE YAPILAN yazıtlı diferansiyel denklem tasarımcısının yapay kreasyonları değildir.

Aslında, en azından 10, 28 ve 8/3 sabitleri değiştirilirse, Lorentz denklem sistemi tarafından çok iyi modellenmiş gerçek fiziksel sistemler bulmak mümkündür. Böyle bir sistem su çarkı, diğeri dinamo ve modern fiziksel araştırmaların ön saflarında yer alan üçüncüsü optik lazerdir. Ancak Lorentz denklemlerini yazdığı sırada kimse bunu bilmiyordu. Açıkça görülebilen tek şey, denklemlerini konveksiyon tanımından bazı kısımları çıkararak elde etmesiydi. O zamanlar, bilim adamları esas olarak mevcut olmayan üyelerin etkisiyle ilgileniyorlardı. Lorentz'in denklemlerinin fiziksel bir anlamı olmasını umursamadığını anlamadılar.

Lorenz yeni bir dünyanın kapısını açtı.

Ancak kimse eşiği aşamadı.

Kapı? Hangi kapı?

Bölüm 8

Kaos için Reçete

yaklaşık 18 inç olana kadar parmak uçlarınızla uzatmaya başlayın . Daha sonra etrafınızda yuvarlayarak yuvarlayın. Hareketi ritmik olarak tekrarlayın. Kütle yapışkan bir şey haline geldiğinde, kabarık şeffaf bir şerit haline gelene kadar yanlara kuvvet uygulayarak çırpın, sonra yuvarlamaya başlayın ve katlarken gerin.

Irma S. Rombauer ve Mario Rombauer Becher. Yemek yapmanın zevkleri.

Ben çocukken, Güney Sahili'nde, deniz kenarında yaşardım. Annem ve babam benimle düzenli yürüyüşler yapardı. Savaştan hemen sonraydı ve o zamanlar arabaları yoktu, bu yüzden bir sürü sağlıklı egzersiz yaptık. Bazen komşu Ana Cadde boyunca yürüdük. Küçük dükkanların olduğu dik, dar, Arnavut kaldırımlı bir sokaktı. Üst kısmında yöresel tatlılar satan bir dükkan vardı. Tabii ki, çocuğun dikkatini çekti. Minik kırmızı harflerle şehrin adı yazılı şeker kamışı şekerleri vardı. Üretim sürecini gözlemlemek mümkündü: hala kırmızı çizgileri ve beyaz kamaları olmayan kısa takozlara benzer boşluklar ince bir şekilde yuvarlandı ve kesildi. Yapışkan şeker karışımını çekip yoğuran bir lolipop makinesi de vardı. İki güçlü çelik kol yavaşça döndü, yaklaştı ve ayrıldı, bir çift elde kalın bir yün çilesine benzeyen viskoz bir karışımın ağır iplikleri onlardan sarktı, zaman zaman gerildi ve büküldü, gerildi ve büküldü. Baktığımda büyülendim ve sadece sonuçtan dolayı değil. O zaman ne olduğunu anlamadım ama bu benim kaotik dinamiklerle ilk karşılaşmamdı.

Şekerci bunu da anlamadı ama kaosun iki özelliğini kullandı. Malzemelerin eşit bir şekilde dağıldığından emin olmak için karıştırın ve kırılgan , gevrek, gerçek sahil kamışı şekerleri yapan uzun şeffaf şeker şeritlerini çıkarmak için gerdirin .

arabanın hareketinin mükemmel bir şekilde düzenli olduğunu fark etmeden buna dikkat etmiyoruz . Şeker kütlesini üreten makine periyodik olarak hareket eder, daire üstüne daire çizer, ancak kütle yaratma süreci kaotiktir. Düzenli bir neden , düzensiz bir sonuç üretir.

Pasta karıştırıcı kullanan, yumurta çırpan veya mutfak robotu kullanan herkes , Uygulamalı Kaotik Dinamik'te bir egzersiz yapıyor. Düzenli ve önceden belirlenmiş bir şekilde hareket eden mekanik bir cihaz, 1 bileşeni rastgele sıralar . Nasıl olur?

Germe ve bükme

Stefan Smale, tipik bir dinamiğin sabit veya periyodik olduğu varsayımında bulundu, ancak bunun doğru olmadığını keşfettikten sonra, bu varsayımı şu soruyla değiştirdi: Tipik dinamik nedir?

Matematikte ilerlemenin iki ana yolu vardır.

Birincisi “saf düşüncenin” yaratılmasıdır. Soruna gerçekte neyin neden olduğu hakkında oldukça genel bir şekilde düşünmek için çok zaman harcayın . Oyun, sorunun ortak özellikleri etrafında dönüyor. Bu, temel fikirleri bulma girişimidir.

Başka bir yol, nasıl çalıştıklarını açıkça anlamak için tercihen mümkün olduğunca basit örneklere bakmaktır.

Uygulamada, herhangi bir şeyi başarmak için her iki yaklaşım da kullanılmalıdır. Bir problemle uğraşan bir matematikçi, alışılmışın insafına kaldığını anlayana ve daha genel bir bakış açısına geçinceye kadar basit örneklerde kafası karışır ve bir süre problem etrafında dolaştıktan sonra, devam eder. biraz farklı bir dizi örnek ve biraz farklı sorular sorun. O zaman erişim alanındaki diğer tüm matematikçileri rahatsız edecek . Meslektaşlarını Knoxville'den Omsk'a telefonla arayacak. Bir ipucu bulabilirse, sorunu bırakmalı ve başka bir şey yapmalıdır: başka bir sorun, arabadaki yağı değiştirin, bir balık havuzu inşa edin, bir dağa tırmanın. Ve genellikle en uygun olmayan anda ilham gelir. Nadiren her şeyi yeniden sallar, ancak sürecin akmasını sağlar. Fransız fizikçi Jean Pierre Petit tarafından yaratılan karikatürün kahramanı Anselm Lantour, bu duyguyu tam olarak OK'nin Öklidyen kurallarında yakalar:

BEN ANLADIM! Şey, yani... NE anladığımdan tam olarak emin değilim, ama BİR ŞEY anladığım izlenimini edindim.

Detaylar olmadan genel olarak dinamikleri düşündüğümüzde, sadece en genel resmini verdiğimizde, böyle bir şey elde ederiz.

Geleneksel dinamikler:

• Sessizce otur.

• Dönüp dolaşın.

Beş asırdan fazla bir süredir bilimin gelişmesinden arınmış ve bu kurallar onun geometrik özü haline gelmiştir. Ve kaosun geometrik özü nedir?

• Çekme ve bükme.

• Eksik bileşen.

Eh, sadece eksik malzeme değil. Kaos, egzotik baharatlar ve tuhaf şekilli meyvelerle dolu zengin bir karışımdır, aynı zamanda bir ölçüde delilik içerir, ancak ana bileşen, kaosun unu ve suyu, çekme ve bükülmedir.

Yemek kitabını çevirelim.

Radardan at nalına

İkinci Dünya Savaşı'ndan hemen sonra, 1945'te, iki Cambridge matematikçisi , Mary Lucy Cartwright ve John Edens Littlewood, zorlanmış titreşimler üzerinde çalıştılar. Jeneratör, sarkaçta olduğu gibi salınımların tekrarlandığı bir cihazdır ve bu salınımlar üzerinde zamanla değişen dış etkiler yaratan bir sistem vardır. Örneğin , süspansiyon noktasındaki sarkacın motora bağlı olduğunu ve bir piston gibi yukarı ve aşağı kaydığını hayal edebilirsiniz. Bu zorunlu salınım üreteci örneği, iki farklı periyodik hareketi birleştirir: sarkacın "doğal" salınımı ve itici gücün "yapay" salınımı. Genel durumda, bu salınımların farklı dönemleri olacaktır, yani doğal hareket zorlanmış olanla çakışmayacaktır. Bu karmaşık etkileşimlere yol açar.

Zorlanmış titreşimler her yerde mevcuttur. Bunlardan en az belirgin olanı, doğal biyokimyasal ritmin Dünya'nın dönüşü tarafından dayatılan düzenli sirkadiyen ritmin üst üste bindirildiği uyku-uyanıklık döngüsü ile ilgilidir. Başka bir örnek vuruşlardır: 13. bölüme bakın.

Klasik lineer teoride ele alınan tüm problemler , iki ilave frekans ile yarı periyodik bir harekete yol açan iki salınım hareketinin bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir . Ancak, zorlanmış üreteçler her zaman klasik lineer matematik tarafından öngörüldüğü gibi davranmazlar. Doğrusal olmayan etkiler mevcuttur ve sonuç genellikle kaostur.

Daha önce radyo dalgalarıyla bağlantılı olarak bahsedilen Van der Pol denklemi , doğrusal olmayan bir üreteçtir. Cartwright ve Littlewood , doğru koşullar altında, zorlanmış bir van der Pol jeneratörünün karmaşık bir periyodik olmayan hareket gerçekleştirdiğini kanıtladı. Şimdi, geç de olsa, çalışmalarının kaosun ilk keşiflerinden biri olarak görülmesi gerektiği ortaya çıktı. Bu çalışma askeri hazırlıkların bir parçasıydı , elektronik burada radar anlamına geliyor ve bu van der Pol denkleminin elektronikte neden ortaya çıktığını açıklayan bir tesadüf değil.

1960 yılında Stefan Smale, van der Pol zorunlu salınım üretecini, askeri uygulamasından bağımsız olarak farklı bir şekilde değerlendirdi. Daha basit ama daha az fiziksel bir denkleme karşılık gelen benzer bir geometriye sahip bir simülasyon sistemi buldu . Kareyi alın, uzun, ince bir dikdörtgen şeklinde dışarı çekin ve at nalı şeklinde bükün ve ardından kabaca orijinal tabanın içine yerleştirin (Şekil 8.1).

Germe ve bükme.

Bu prosedürün yinelemelerini göz önünde bulundurursak, bir sonraki aşamada bir tür at nalı olduğunu görebiliriz . , ve benzeri. . Her yineleme, mevcut bükümleri ikiye katlar ve bir tane fazladan ekler . Böylece limitte bir tür sonsuz dalgalı eğri elde edersiniz. Şimdi yeniden başlayalım, ama bütün bir kare yerine, içinde bir başlangıç noktası ele alacağız. Eşleme yinelemelerle yapıldığından , sonsuz dalgalı eğri üzerinde bir miktar "başlangıç" olmalıdır, çünkü kare

Pirinç. 8.1. Kaotik esnemeyi modellemek için Horseshoe Smale haritalaması . Kare uzar, kıvrılır ve üstte yer değiştirir . Böyle bir eşleme tekrarlandığında, kafa karıştırıcı katmanlı bir yapı ortaya çıkar.

bütün nasıl var! Bu nedenle, bu noktanın aslında eğri üzerinde olduğunu ve her yinelemede bu eğri üzerindeki bir noktadan diğerine hareket ettiğini varsayabiliriz . Bu nedenle, bu tür yer değiştirmelerin eğrisi de dalgalıdır, yani hareketi her bakımdan ve anlamda rastgele gerçekleştirilir. Cartwright ve Littlewood tarafından fark edilen kaotik davranışın altında yatan geometri budur.

At nalı başka önemli özelliklere sahiptir. Lorentz'in çekicisinde ortaya çıkardığı ve solenoidde ve yakından ilişkili Cantor kümesinde bulunan aynı sonsuz katmanlı yapıya sahiptir. Ve sadece bu değil. At nalı içinde bir eyer noktası vardır ve bu eyerin bir ayırıcısı ondan döner ve diğerini geçer. Sonuç , Poincaré'nin çok korktuğu şeyi çok anımsatan monoklinik bir resim - dinamik spagetti -. Bununla birlikte, Poincare'in örneği, sürtünmenin olmadığı Hamilton dinamiklerinde ortaya çıktı ve Smale sistemi, kayıplı sistemlerde sürtünme varlığında da var olabilir .

Dolayısıyla bu örnek de diğer birçok kaotik sisteme benzer bir aile benzerliği taşır , ancak diğer bazı açılardan daha basittir. Özellikle bilgisayar olmadan sadece geometri ve topoloji kullanılarak çalışılabilir.

Smale, at nalı üzerinde çalışarak, Poincare'in vazgeçtiği yerde başarılı oldu ve bu, dinamik sistemler teorisinde yeni fikirlerin patlamasına yol açtı.

saçma sapan dinamikler

Fransız gökbilimci Michel Henon, galaksideki yıldızların hareketini düşünerek 1962'de , davranışı enerji seviyesine bağlı olan dinamik bir sistemin matematiksel bir modelini buldu. Gök mekaniğinde ele alınan diferansiyel denklemler, açık uzaydaki sürtünme ihmal edilebildiğinden genellikle Hamiltonyendir.

Sağduyuya dayanarak, o zamanlar yörüngelerin periyodik veya en azından yarı-periyodik olması ve birkaç ayrı periyodik bileşene bölünmesi gerektiğine inanılıyordu. Pertürbasyon teorisi gibi klasik yöntemler genellikle sadece bu tür varsayımlarla başladı. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu şekilde elde edilen tüm çözümler bu standart bilgeliği takip etmiştir. Bununla birlikte, genel olarak, pek azı, eğer fark ettilerse, ardından gelen kısır döngüden rahatsız oldular.

Oenon klasik bir eğitim aldı, bu yüzden araştırmasına alışılmış olduğu gibi yarı-periyodik davranış arayarak başladı. Yeni bir araçla donanmış bir yüksek lisans öğrencisi Carl Hailey ile - yetenekleri daha sonra hafife alınan bir bilgisayar , sistemin artan enerjisiyle düzenli yörüngelerin davranışını incelemeye başladı .

Düşük enerjilerde yörüngeler düzenli ve periyodikti : sağduyu galip geldi, ancak daha yüksek enerjilerde yörüngeler bozuldu. Dinamik resimlerde olması gereken güzel kapalı eğriler, rastgele noktalara ayrıldı. Rasgele spagettideki düzenlilik köfteleri gibi, bir kaos denizinde karmaşık şekillerde düzenlenmiş düzenlilik adaları vardı (Şekil 8.2). Kabartma dinamiği. Enon ve Hailey hiçbir şeyi kesin olarak kanıtlamadılar , ancak bilgisayarlarında gördüklerinin bir resmini çizdiler ve bunun neden olduğuna dair bazı ilham verici önerilerde bulundular. Matematikçi değil astronom olarak daha sonra başka problemlere geçtiler.

manyetik tuzak

Henon ve Hailey'nin keşfinin matematiksel bir açıklaması, Jörgen Moser tarafından bükülmüş haritalama olarak adlandırdığı şeyle verildi . Diğer bilim adamları, çeşitli uygulamalarda benzer fenomenler bulmuşlardır . 1960 yılında, Rus fizikçi BV Chirikov, ucuz ve güvenli elektrik enerjisi elde etmeyi mümkün kılacak endüstriyel bir termonükleer reaktör yaratmak amacıyla - bazı atomlarında elektron bulunmadığı kadar sıcak bir gaz olan - plazma üzerinde araştırma yapıyordu. Böyle bir reaktörde, plazma, sınırlı bir alanda, o kadar yüksek sıcaklık ve basınçlarda uzun bir süre var olmalıdır ki, bunun için sıradan hiçbir malzeme uygun değildir; bu nedenle, plazma manyetik bir kapana yerleştirilir. Bununla birlikte, plazma ve manyetik alanlar çok karmaşık bir şekilde etkileşime girer.

Chirikov bunun nasıl olduğunu anlamaya çalıştı. Günümüzde standart hale gelen Poincare haritalamasını kullanarak manyetik bir tuzaktaki bir plazmanın dinamik davranışının bir modelini önerdi . Standart haritalamayı analiz eden Chirikov, plazmada kaosun ortaya çıkabileceğini ve tuzaktan çıkmasına izin veren kararsızlıklar üretebileceğini keşfetti.

Standart eşlemenin belirli bir özelliği vardır: alanı korur , yani eşleme faz uzayının herhangi bir bölümünü dönüştürmek için kullanılıyorsa, o zaman

Pirinç. 8.2. Hénon ve Haley'nin yaklaşımında kısıtlı üç cisim problemi: (solda ) klasik seri yaklaşımıyla hesaplanan yörüngeler her zaman düzenli bir şekle sahiptir; (sağda) bilgisayar tarafından hesaplanan yörüngeler , bir kaos denizinde düzenlilik adacıklarını ortaya çıkarıyor; enerji yukarıdan aşağıya doğru artar.

dönüşümden sonra değişmeden kalır. Bu, sistemin Hamiltonyen olduğu gerçeğini yansıtır ve böyle bir sistemde enerjinin korunumu, Poincaré kesitindeki alanın korunumudur.

Standart ekran, dinamikleri kontrol eden sayısal bir parametre içerir. Chirikov, hareketin kaotik hale geldiği bu parametrenin kritik bir değeri olduğunu keşfetti . Standart haritalamada kaosun ortaya çıktığı mekanizma , “reabovyn KAM jogy” olarak bilinen en temel mekanizmadır . Bu, Enon ve Hayley'nin bulduğu istikrarlı adalar ve rastgele davranışlarla aynı örnek, ancak şimdi adalar parçalanmaya başladı. Karmaşık ve karmaşık bir yapıya sahip olan kaosun çerçevesi budur . Matematikçilerin ve fizikçilerin çözmek istedikleri haritalama koruma bölgesi ile ilgili hala birçok problem var.

puf böreği

1976'da Henon, dinamik sistemler teorisiyle ilgilenmeye başladı ve ilk olarak garip çekicileri duydu. Lorenz çekicisi üzerine bir konferansa katıldı , bu onun tuhaf geometrik yapısı sorusunu ortaya atmasına, ancak genellikle çözmemesine yardımcı oldu. Enon , bu yeni matematiksel fikrin daha önceki sonuçlarını açıklamaya yardımcı olup olmayacağını merak etti ve Lorentz çekicisinin özelliklerinin daha iyi anlaşılmasının bu yolda iyi bir ilk adım olacağına karar verdi.

Oenon, doğrudan matematikte çalışmasa da , matematiksel bir içgüdüye sahip olan ve fiziksel bir anlayıştan ziyade matematiksel bir anlayış elde etme umuduyla basit, fiziksel olmayan ve çıplak kemiklerle uğraşmaya meyilli bir bilim adamıdır. Kaosun yıllıklarında bu türden pek çok bilgin var. Lorentz'den çok daha basit bir denklem sistemi önerdi ve bu denklemlerle aynı temel özelliği içeriyordu: germe ve bükme.

Oenon, Smale'in at nalına çok benzer bir görüntüye sahip. Aynı karmaşık zikzaklar ve çoklu C eğrileri. Bilgisayar deneyleri, teorinin öngördüğü aynı sonsuz katmanlı yapıyı gösterdi (Şekil 8.3). Oenon'un çekicisinin bir [/-şekli vardır, ancak bu bir eğri değildir: bir puf böreğini andıran, birbiri üzerine yığılmış katmanlardır. Çok zarif ve ince bir yapıya sahiptir, o kadar karmaşıktır ki geometrisini tüm detaylarıyla anlatmak imkansızdır. Bununla birlikte, tüm bu yapı, çekicisini belirleyen en basit denklemlerle örtük olarak ifade edilir.

Pirinç. 8.3. Hénon çekicisinin ince yapısı.

Bu denklemler bir bilgisayarda çözülürse, hangi değerle başlayacağının önemi yoktur, çünkü sonraki noktalar hızlı bir şekilde ince yapının koynuna döner, katmanlı deseni asla kesintiye uğratmaz. Öte yandan, seviyeler içinde bir sonraki noktanın yaklaşık konumunu tahmin etmek imkansızdır. Bu basit denklem sizin bilmediğiniz bir şey biliyor. Düzenlilik ve rastgelelik arasındaki etkileşim son derece kafa karıştırıcıdır.

1970'lerin dinamik sistemler teorisinde iki kol vardı. Bir yandan topologlar, fenomenlerin doğasıyla bir bağlantısı olduğunu umdukları uydurma sistemler hakkında kesin sonuçlar elde etmek için geometrik özellikleri kullandılar . Öte yandan fizikçiler, fenomenin doğası ile bağlantısı olan denklemlerden bilgisayarlarda yaklaşık çözümler elde ettiler ve topologların gördüğü yerlerde benzer yapılar buldular. Ama gerçekten aynı mıydılar? Yoksa sadece istediklerini gören, gerçekte doğru olmayan insanlar mı vardı?

Ancak sorun, bir bilgisayarda elde edilen sonuca tam olarak güvenememenizdir. Bilgisayar sonucu tartışılmaz bir şekilde doğrudur ve burada her şey yolundadır, ancak bilgisayar - en azından modellerin altında yatan karmaşık yaklaşımların çeşitliliği nedeniyle - mükemmel doğru hesaplamalar yapamaz ve dahası, hesaplamaların kendileri yalnızca karmaşık bir formdur. gerçeğe yakınlık. Yaklaşık bir sorunun kesin yanıtı, kesin bir sorunun yaklaşık yanıtına eşdeğer midir?

Bazen, ama hiçbir şekilde her zaman değil. Örneğin, çok zayıf viskoz bir sıvı için bir uçağın hareketini tanımlayan denklemlerin çözümü , sıfır viskoziteli bir sıvı için geçerli olan çözüme yakın değildir .

Hénon'un denklemleri o kadar basittir ki, onlara topolojik yöntemler uygulanırsa ve Hénon'un sonuçları titiz bir sayısal analizle doğrulanırsa, dinamik sistem teorisi ile "bağlantının dışında" olarak değerlendirilme olasılığı için umut verdiler. Ancak dinamik sistemler teorisi o kadar zor ki, bu kadar basit bir sistem için bile henüz kimse bunu başaramadı. Oenon'un sonuçlarının hiç de kaotik değil, çok uzun bir dönemle periyodik olduğunu ilan eden temsili bir düşünce okulu da vardı. İlk büyük bilimsel başarının doğduğu yıl olan 1987'de, bu konuda gerçek bir atılım yapıldı. Lenard Carlson, en azından denklemlerine giren sayısal parametrelerin değerlerinin “çoğunluğu” için, Hénon çekicisinin gerçekten kaotik olduğunu kanıtlayabildi. Garip çekiciler sadece topolojik tatlılar değildir, aslında gerçek dünyanın yönlerini modelleyen basit denklemlerde bulunurlar.

Bayan Beaton'dan çok uzakta

Şimdi aşağıdaki mesajı yerleştirmek uygun olacaktır:

KAOS TARİFİ

Faz uzayı 12 boyut,

1 tablet başlangıç koşulları,
Çek ve çevir, tekrarla,
Tat vermek için mevsim.

şefin ince sanatını ihmal etmemiz gerekse bile, bu tür süreçlerin daha resmi bir anlayışını arıyoruz . Kaosa doğru hareket ederken her yerde bulunan çekme ve bükme mekanizmasına sahip şeker karıştırma makinesi örneğinden esinlenerek, bu bölümü başka bir kaotik dinamik örneğine daha yakından bakarak bitirmek istiyorum.

Gereksiz karmaşıklıkları atlayarak kaosun özünü göstermek istiyorum, ancak daha adil bir oyunda bu yapılmamalıdır. Ancak, onun iyiliği için karmaşıklık eklemeyelim. Bir şekerleme makinesinin makinesini taklit eden bir formül elde etmek için aşırı dolanmış bir iplik dizisini bir uzunluktaki uzunlukla değiştireceğim.

Seçtiğim örnekte özgün bir şey yok. Bu kaotik hayvanat bahçesinin eski, iyi bilinen matematiksel favorisi, değişmeyen şempanzesi : lojistik harita. Sadece kaosun kökenini değil, aynı zamanda nasıl üretildiğini de gösterir.

Bir kara kutu, çevirebileceğiniz bir topuzu olan bir elektronik devre hayal edin. Kutu, değişen ancak düğme yavaşça çevrilirse normal kalan düzenli bir sinyal üretir. Regülatörün belirli, kritik bir konumundan, sinyal yapısını kaybeder ve rastgele hale gelir, kara kutuya yeni bir elektronik devreyi temsil eden önemli bir önek eklemeyi unutmamak önemlidir.

Aynı zamanda, lojistik haritalama, davranışındaki önemli değişikliklerin gözle görülür sebepler olmadan gerçekleştiğini gösterir. Kara kutu düzeninde büyük değişiklikler gerekli değildir . Değişken bir parametrede yalnızca birkaç ince ayar . Ancak yine de davranışını düzenlilikten kaosa çevirebilirler.

deneyle ciddi bir şekilde temasa geçmesi lojistik haritalama yoluyla olmuştur. Matematikte bilinen en karmaşık ve güzel davranış biçimlerini üreten, bu en basitinden türetilen yakından ilişkili eşlemeler de vardır . Onları sonraki bölümlerde tanıyacağız, ancak şimdilik lojistik haritaya bir göz atalım ve bazı şaşırtıcı özelliklerini keşfedelim.

lojistik ekran

0 ile 1 arasında bir x sayısıyla tanımlandığı, parçanın sol ucundan ona olan uzaklığı belirten, birim uzunlukta doğrusal bir parça düşünün . Lojistik haritalama şu şekildedir:

x kx{\ - x),

burada k, 0 ile 4 arasında bir sabittir. Haritayı yinelerken, ayrı bir dinamik sistem elde ederiz.

х i+1 = хі(1- хі)

i'nin zamanı tanımladığını varsayabiliriz , ancak her adımda bir tamsayı ile değişir: 0.1, 2, 3,.... Burada Xi, i zamanında x değişkeninin değeridir . Geometrik olarak, lojistik harita bir çizgi parçasını düzgün olmayan bir şekilde uzatır veya sıkıştırır ve ardından ikiye katlar. Örneğin, k = 3 ve Xi = x alalım. o zaman bizde

= Zx(1 - x)

Bu, 0 ile 0,5 arasındaki sayıları 0 ile 0,75 arasındaki sayılarla eşler. Örneğin 0,5, 3 x 0,5(1 - 0,5) = 0,75'e gider. 0,5 ile 1 arasındaki sayılar, 0,75 ile 0 arasındaki sayılarla, yani aynı aralıkta ancak ters sırada eşleştirilir. Bu nedenle, gösterimin bir sonucu olarak, orijinal segmentin 0 ile 0.75 arasındaki segmenti iki kez kaplayacak şekilde uzatılması gerekir .

Genel olarak, verilen bir şey için, böyle bir eşleme aralığı daraltır ve onu ters çevirerek 0'dan A:/4'e kadar olan aralığa geri yerleştirir. Eğer k küçükse, bu bir gerilmeden ziyade bir sıkıştırmadır ve dinamiklerini ayırt edeceğiz. k 4'ten büyükse, yineleme aralığı her seferinde kendi dışına yerleştirilir . Bununla birlikte, bazı x'ler çok hızlı bir şekilde sonsuza gitme eğilimindedir, ki bu değerlendirmenin bu aşamasında tartışılması pek uygun değildir, bu yüzden k'yi 0 ile 4 arasına koydum.

Lojistik haritalamanın dinamiklerini incelemek için uzun vadeli davranışı - onun çekicilerini - dikkate almak gerekir. Yani, eşlemeyi birçok kez yinelemeniz ve x'e ne olduğunu gözlemlemeniz gerekir . Ancak, bu ekstra katmanlı bir yapı sunar: k'nin farklı değerleri için yineleme yapmak ve bunu yaparken modelin yapısının nasıl değiştiğini görmek istiyoruz.

Yani k kara kutunun "regülatörüdür" ve yukarıdaki denklem onun iç devresini tanımlar. Bir cep hesap makinesi veya ev bilgisayarı kullanarak farklı değerler ayarlamanın etkilerini araştırmak mümkündür , ancak söylediğim her şeyi kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. Bu inceliklere rağmen, hem bu tür makinelere erişimi olmayanların yararına hem de ilgi göstergesinin ana özelliklerini göstermek için neler olduğunu anlatacağım.

Sabit durum modu

0 ile 3 arasındaki k değerleri aralığı , dinamikler açısından en az ilgi çekici olan kararlı durum rejimini karakterize eder. Bu aralıkta biraz k alın, k = 2 deyin ve eşlemeyi yineleyin. Örneğin, xd = 0.9 alalım . Ardından, formülü uygulayarak, dönüşümlü olarak сі = 0,1,2,... değerlerin sırasını buluruz

xd	= 0.9	5 _	= 0,4996
X1	= 0.18	xd	= 0.4999
x2	= 0,2952		= 0,5
xs	= 0,4161	x^
X4	= 0.4859	8 _	= 0,5

ve bir masaya koyun. Bu, x = 0,5'te bir nokta çekicinin, kararlı bir durumun olduğunu gösterir . Bunun kararlı bir durum olup olmadığı kolayca kontrol edilebilir : x = 0,5 ise, 2x(1 - x) = 0,5. Yineleme 0,5 değerini değiştirmez.

ağ diyagramı (örümcek ağı diyagramı) olarak adlandırılan bir biçimde çizilerek geometrik olarak da görülebilir (Şekil 8.4). Bu, yinelemeleri temsil etmenin grafiksel bir yoludur. İlk önce , ters çevrilmiş bir parabolü temsil eden y = 2x(1 - x) formülünü çizin . Aynı diyagramda y = x diyagonal bir çizgi çizin . Başlangıç değeri üzerinde yineleme yapmak için , ardından, To noktasından dikey çizgiyi yeniden oluşturun ve parabol ile kesiştiği noktayı işaretleyin. Ardından bu noktadan köşegenle kesişene kadar yatay bir çizgi oluşturun. Bu kesişimin yatay koordinatı u'ya karşılık gelir. Parabol ve çapraz çizgi arasında bir "merdiven" oluşturarak tekrarlayın . Merdivenin ardışık "çıkıntılarının" koordinatları, x^ 'ye kadar sonraki yinelemeler gerçekleştirilerek elde edilir.

Pirinç. 8.4. Örümcek diyagramları (soldan sağa) kullanılarak lojistik haritalamanın grafiksel yinelemeleri : sabit durum, periyodik nokta, kaos (Lobn Viliey & Sopv Bicl'nin izniyle yeniden üretilmiştir.)

k = 2 için , ağ köşegen boyunca gezinir ve sonra parabolün köşegenle kesiştiği noktaya yakın bir yerde bir spiral şeklinde kıvrılır. Bu sabit bir noktadır ve ağ sarmalı içinde döndürüldüğü için stabilite bunun özelliğidir . Spiral dışa dönük olsaydı, o zaman kararsız sabit bir nokta olurdu.

Deney yaparsanız, sarmal ağın 3'ten daha az k için içe döndüğünü görebilirsiniz. 0 ila 3 aralığında k için, tek bir sabit sabit nokta vardır ve uzun vadeli dinamikler kesinlikle hiçbir şeyi değiştirmez. Değer değiştikçe sabit noktanın konumu biraz değişir, ancak henüz hiçbir şey olmaz.

Dönem ikiye katlama kademesi

k'nin tam olarak 3'e eşit olması için , sabit nokta "marjinal olarak kararlıdır": ona yakınsama son derece yavaştır. Bu, dramatik bir şeyin eşiğinde olduğumuzun bir işareti . Gerçekten de, eğer k > 3 ise, sabit nokta kararsız hale gelir ve ağın spirali dışa doğru döner.

Dinamik bir sistemin çözümü kararsız hale geldiğinde , şu soru sorulmalıdır: "Şimdi nereye gidiyor?" Pratikte , verilen çözüm denklemi sağlasa bile sistem kararsız bir durumda olamaz . Bir yerde dolaşacak ve başka bir şey yapacak. Çoğu zaman bu, incelememize başladığımız çok istikrarsız durumdan çok daha az belirgin ve dolayısıyla daha ilginç bir şeydir . Çatallanma teorisi adı verilen birçok yeni şey hakkında daha fazlasını öğrenmenin kolay bir yolu var .

Bu teorinin ruhuna uygun olarak, şu sorulabilir: lojistik haritanın kararlı durumu k > 3 için, örneğin k = 3.2 için nereye kayar?

Bir web diyagramı çizerseniz , noktadan dışarı doğru spiralin yavaşladığını ve sonunda kare bir döngüye yakınsadığını görebilirsiniz. Bu durumda x değeri, iki farklı sayı arasındaki alternatiflerden birini seçer. Bu, iki periyodu olan bir döngüdür. Yani, kararlı durum kararlılığını kaybeder ve periyodik hale gelir. Başka bir deyişle, sistem salınmaya başlar.

Ses üretecine sahip bir bilgisayarda, çalınacak notaları belirlemek için art arda x değerlerini kullanarak bazı temel melodileri dinleyebilirsiniz (Şek. 8.5). Örneğin , x için [0,1] aralığını bir oktavı kapsayacak şekilde genişletebilirsiniz : do, re, mi , vb. Sabit bir durum monoton ve sıkıcı bir melodiye karşılık gelir: fa-fa-fa-fa-fa .. sürekli çalıyor . İki birimlik bir periyot, en azından bir ritim özelliklerine sahip bir melodi tarafından gösterilir: si-mi-si-mi-si-mi ve birçok kez. Elbette bu Beethoven değil.

k, yaklaşık 3.5'e yükseltilirse, periyot iki katına çıkar . Bu durumda, çekici de kararsız kalacaktır ve periyot dörde eşittir ve kendini şu şekilde gösterir: si-fa-la-mi-si-fa-la-mi-.... k = 3.56'da , periyot tekrar ikiye katlanır ve k = 3.567'de sekize eşit olur

Pirinç. 8.5. Müzik notasyonunda x > kx(1 m) lojistik eşlemesinin yinelemelerinin şematik gösterimi. “Notaların” yüksekliği m değerine karşılık gelir ve “oktav” keyfi olarak seçilir. k sabiti (yukarıdan aşağıya) sırasıyla 2, 3.2, 3.5, 3.6, 3.56, 3.8, 4.0'dır. k arttıkça , müzik gitgide daha rastgele hale gelir.

16 değerine ulaşır ve bu noktada 32, 64, 128,... periyotlarına yol açan hızlı bir ikiye katlama dizisi başlar (Tüm bunları ev bilgisayarınızda yapıyorsanız , lütfen Bölüm 1'deki uyarıyı dikkate alın. farklı sonuçlarla bilgisayar çıktıları olasılığı. Aynısı burada açıklanan her şey için geçerlidir.)

k = 3.58 civarında sona eren bu periyot katlamaları dizisi o kadar hızlıdır ki, periyot tüm uzunluğu boyunca sonsuz sıklıkla iki katına çıkar. Bu noktadan sonra, periyodik kalmak için elinden gelenin en iyisini yapan ve daha uzun sürelerin bedelini ödeyen lojistik harita kaotik hale gelir. Ortaya çıkan melodinin seslerini dinlerseniz, neredeyse ritimleri, bazen yarı tanıdık melodileri hala duyabilirsiniz, ancak hiçbir şey tekrarlanmaz. Hala Beethoven değil, ancak bazı çağdaş minimalist bestecilerin müziğinden neredeyse ayırt edilemez.

Kaos ortasında sipariş

Bu işaretten (yaklaşık k = 3.58) müzik daha da kaotik hale gelir. Maksimum k = 4 değeriyle, melodi kelimenin tam anlamıyla mevcut notaların tüm oktavında gezinir. Böylece, elde edilen yörünge, yani belirli bir başlangıç noktasından başlayan bir x-değerleri dizisi, aralığın her noktasına istenildiği kadar yakın geçer. Tüm aralık bir çekici olur.

Yani, oldukça basit görünüyor. k , 0'dan 4'e değiştiğinde, dinamik davranışın karmaşıklığında sürekli bir artış olur:

sabit periyodik kaotik,

kaosun oluşum mekanizması olan bir dizi dönem ikiye katlama ile. "Düğme" , yalnızca çevirdiğinizde davranışın karmaşıklığını artırır.

Ancak, göründüğü kadar kolay değil!

Örneğin, sistemi kaotik bir rejime sokan k = 3.835 değerini alın. Yaklaşık ilk elli yineleme için, beklendiği gibi her şey güzel görünüyor, sistem düzensiz davranıyor, ancak daha sonra melodi bir mi-sol-re-mi- dizisine dönüşüyor.

Pirinç. 8.6. Lojistik haritalamada k'deki bir artış her zaman rastgelelikte bir artışa yol açmaz : k = 3.835 için, periyodu 3 olan bir döngü oluşur.

sol-re..., durmadan tekrar ediyor. Üç periyotlu bir döngü olacaktır (Şekil 8.6). Nasıl oluyor ?

Bilgisayarımda bu değerler

0.1520744     0.4945148     0.9586346

Eğer k'nin değeri çok yavaş artarsa , o zaman 6,12, 24,48, 96, ... periyotları vardır ve yeni bir periyot iki katına çıkar!

Daha da ilginç bir durum k = 3.739'da gerçekleşir. Beş periyotla sonsuz bir döngü belirir (Şekil 8.7):

0.8411372     0.4996253     0.9347495     0.2280524     0.6582304,

yakınında 10, 20,40, 80,....

Pirinç. 8.7. k = 3.739'da gerçekleşen lojistik haritalama altında periyodu 5 olan bir döngü .

Bu nedenle, bu çok uygun bir resim değil, basit olmayan bir “kaos jeneratörü” için bir düzenleyicidir. k arttıkça dinamiklerin her zaman daha karmaşık hale geldiği doğru değildir. Aksine, kaotik rejimin içinde düzenli davranışın küçük “pencereleri” gizlidir.

Bu pencereler nerede bulunur? Bu karmaşık bir hikaye, ancak iyi anlaşılan bir şey var. Dönemlerin hangi sırayla gerçekleştiğini bile biliyoruz. Bununla ilgili temel teorem, Rus matematikçi AN Sharkovskii tarafından kanıtlandı. Tam sayıları aşağıdaki sıraya göre yazalım:

3^5^7^9^ 11...

6     10     14     18     22     ...

12     20     28     36     44     ...

3 • 2 P 5 • 2 P 7 • 2 P 9 • 2 P -

    2 t     > 2 W - 1     > —>32—>16—”8—”4—>2—>1.

Tek sayılar artan sırada önce gelir. Sonra değerleri 2, 4, 8 ... ve sonuç olarak - 2 sayısının güçleri azalan sırada arttı. Belirli bir k değeri için, lojistik haritanın bir p periyodu döngüsü varsa, o zaman p -> y bu sıralamaya ait olacak şekilde tüm u için de bir y periyoduna sahip olmalıdır . Bu nedenle, bu kümedeki ilk döngüler 1, 2,4,8, ... periyotlarına sahiptir - bir dizi periyot ikiye katlamaları. Periyot 17, diyelim ki, periyot 15'ten önce gelir, ancak 34. periyottan daha erken olan ve bu 4 periyodunun katları olan 44 veya 52 gibi periyotlar belirlenmeden ve katlar olan periyot 88 ve 104'ten önceki kümeye aittir. 8'den...

Gerçekten sorgulanabilir olan şey, aynı tuhaf sıralamanın yalnızca lojistik haritanın yinelemeleri için değil, aynı zamanda birim aralığında tek bir tepe noktası olan herhangi bir haritanın yinelemeleri için de geçerli olmasıdır. Bu sonuç, bazı kaos kalıplarının evrensel olabileceğine dair ilk ipucuydu , yani, bireysel örneklere özgü değil, tüm sistem sınıflarını temsil ediyordu.

Büyük pireler, küçük pireler...

Ek olarak, lojistik ekranın periyodik pencereleriyle ilgili aklımızı daha da karıştırabilecek bir şey var.

Bir seferde tüm k değerleri için lojistik haritalamanın dinamik davranışının tüm yönlerine genel bir bakış elde etmenin bir yolu vardır . Çatallanma diyagramı olarak bilinir (Şekil 8.8). Çatallanma , dinamik bir sistemin çekicisinin şeklindeki herhangi bir niteliksel değişikliktir ve lojistik haritalama sadece çatallanmalarla doludur. Aşağıdaki şekilde elde edilebilir. hadi ri-

Pirinç. 8.8. Lojistik haritalama için çatallanma diyagramı. Sabit k yatay olarak 2'den 4'e yükselir . Dikey koordinat, x değerini karakterize eder . Dönem iki katına çıkan incir ağacının (dg-cee) kaotik dalların büyümesine tekabül ettiğini not ediyoruz. (Loya AVIIEY & SOP8 LM'nin izniyle çoğaltılmıştır . )

grafiği dürterek k'yi yatay ve x'i dikey olarak yerleştirin. Her k değeri için, bu k için çekiciye ait olan x değerlerini işaretliyoruz . Her ince dikey katman , karşılık gelen bir çekicinin bulunduğu 0 ila 1 aralığında bir haritalamayı karakterize eder. Böylece, örneğin, 3'ten küçük k için, yalnızca bir nokta çekici vardır ve buna karşılık gelen x'in benzersiz değerini not ederiz. Bu şekilde devam ederek bir eğri elde ederiz.

Ev bilgisayarı sahipleri önce deneyip sonra okumaya devam etmek isteyebilirler. k'nin yatay olarak 0'dan 4'e bir adımla değiştiği bir grafik çizelim , örneğin 0.2. X eksenini dikey olarak gösterelim ve 0 ile 1 arasındaki değerlere bakalım (Her şeyi net bir şekilde görebilmeniz için ölçekleri genişletmelisiniz .) Her değer için, herhangi bir nokta çizmeden x'i birkaç yüz adım yineleyin ve ardından yinelemeye devam edin. sonraki yirmi ya da daha fazla adım için, seçilen k için elde edilen x değerlerini çizerek.

k = 3'te, daha önce tek olan eğrinin ikiye ayrıldığını görebileceksiniz (“çatallanma” İngilizcede ve matematikte tekrar tekrar meydana gelen aynı çatallanma duygusuna sahiptir, k ise periyot ikiye katlama aralığından değerler alır. İncir ağacı adını verdiğim güzel bir ağaç yapısı görüyorsunuz (Şekil 8.9) çünkü keşfi bir sonraki bölümün konusu olan Amerikalı fizikçi Mitchell Feigenbaum'un olağanüstü keşfine yol açtı . Almanca. Maalesef başka bir kelime oyunum var.)

Pirinç. 8.9. Bir incir ağacının şematik gösterimi: sonlu bir alanı kaplayan düzenli, tekrarlayan, sonsuz dallanma.

Yaklaşık k = 3.58'de incir ağacı sonsuz sayıda dalda doruğa ulaşır ve sistem kaotik hale gelir . İncir ağacının dalları kaotik çekici şeritlere dönüşür. Buradaki çatallanma diyagramı rastgele noktalarla doldurulur.

Ancak, daha ayrıntılı olarak ele alalım. Yalnızca birkaç küçük nokta içeren bir görüntüde ince beyaz bir bant görmek oldukça yaygındır . Bunlar periyodik pencerelerdir (Şekil 8.10).

Pirinç. 8.10. Detay Şekil 8.8 Periyodik pencerenin içi: tüm yapı minyatürde tekrarlanır. Ve pencerelerin içinde (oklu) pencereler vardır... (İzin alınarak çoğaltılmıştır.

Ana periyodun üç olduğu k ~ 3.835'teki pencereyi düşünürsek, üç küçük yerli incir ağacı içerdiğini görebiliriz. Birini seçin ve başka bir güzel ayrıntıyı ortaya çıkarmak için yakınlaştırın.

Bu alt ağaç aynı zamanda kaos çizgileriyle de biter. Bu bantların içinde sadece birkaç küçük nokta bulunan daha da ince beyaz bantlar bulunur. Bunlar pencere içindeki pencerelerdir. Bu pencerelerde daha da küçük ağaçlar vb.

Aslında, herhangi bir pencerenin içinde tam ekranın tam bir kopyası bulunur. Bir lojistik harita için bir çatallanma diyagramı , her ayrıntıda mükemmel olan kendisinin küçük kopyalarını içerir . Bu fenomene kendine benzerlik denir ve çok önemlidir.

Barton'daki Cotswold köyü, ilgili köşede bu köyün modelinin bir modeline sahip olan ve ilgili köşede köy modelinin bir modelini içeren bu köyün bir modeliyle turistleri cezbetmektedir. Barton'da sekans burada bitiyor. Bununla birlikte , lojistik haritaya (Byngcaillon-op-Bie-Logl8ic) dayalı çatallanma olması durumunda, her kopya her zaman orijinalin tam olarak tam kopyalarını içerir.

9. Bölüm

Hassas Kaos

Bu dünyanın Tozunu, Deneyimimi arındırmayı, Çiğ damlalarıyla yıkamayı seviyorum.

Başo.

Japon şair Matsuo Basho, 1644 yılında Iga Eyaletinin başkenti olan kale kasabası Uena'da düşük rütbeli bir samuray ailesinde doğdu. Babası, iktidardaki Todo ailesine hizmet etti. Kırk yaşında, Basho ilk yolculuğunu yaptı ve bu sırada Tke Kesogkz o/a Xveaiker-exroseed, Skeileon'un hava durumunun kayıtlarını tuttu. Kıtası yukarıda verilen şiir, Seijo'nun yalnızlığında (herti1age saiguo) baharın şarkısını söyler: "Şairin tarif ettiği gibi, saf sularını bir damla sesine düşüren muhteşem bir kaynaktı."

Başo, doğayı düşünerek kimliğini yenilemeye çalıştı ve su damlalarının düşmesi gibi basit bir fenomende güzel bir şey buldu. Onu takip edeceğiz ama güzellik arayışında matematik bize bir şairden daha çok yardımcı olacak. Bu temsillerin her ikisi de bağlantılıdır, karmaşıklıkta basitlik ararlar.

Düşen suyun çeşitli biçimleri sadece Basho'ya ilham vermedi. Windsor'daki Kraliyet Kütüphanesi, Leonardo da Vinci'nin suda meydana gelen karmaşık girdapları gösteren birçok çizimine sahiptir (Şekil 9.1). Akışkan hareketini doğru bir şekilde tasvir etmek, herhangi bir sanatçı için zorlu bir iştir. Birçok insan suyun hareket ettiğine dair iyi bir zihinsel resme sahiptir ve eğer sanatçının eli bu hareketi tasvir ederken bir hata yaparsa, hemen fark edeceklerdir. Ancak görüntü bilinçli netlik değildir. Hatayı fark edebilirsiniz, ancak çok az kişi hareketin ne olması gerektiğini söyleyebilir. Bir barda sergilenen dörtnala koşan avcıların benzer bir resmine baktığınızda, komik göründüklerini ve hatta bunun nedenlerine, örneğin dörtnala giderken atın bacaklarının yanlış pozisyonuna veya yerden çok fazla uzaklığa işaret ettiğini görebilirsiniz. , ama bana gelince, o zaman sana dört nala koşan bir atı nasıl çizeceğini söyleyemem.

temsil etmek istediği her şeyi hayvanlar, insan vücudu, bulutlar, ağaçlar, dikkatli bir şekilde inceleyerek çalışmalarının doğruluğunu artırmak için bilinçli adımlar attı . Hem kendisi hem de çağdaşları akan su ile çok ilgilendiler.

O zamanlar su, evreni oluşturan dört elementten biri olarak görülüyordu ve sadece bir sıvıdan daha fazlasıydı. Su, yaşam süreçlerinin bir simgesiydi çünkü yaşam gibi su da akar. Doğar, büyür, hareket eder, değişir ve ölür. İlkbaharda bir damla, bir ırmak, bir nehir, akan bir ırmak, bir okyanus olur. Bir nehir, düz bir ova boyunca rastgele kıvrılabilir, yüz milyonlarca yıl önce deniz tabanında biriken antik kayalara derin kanyonlar açabilir , muhteşem bir şelaleye düşebilir veya alüvyon haline gelip ağzında dev bir yelpaze şeklinde deltaya dönüşebilir. Sakin bir deniz, köpükle kaplı azgın bir canavara dönüşebilir, ancak fırtınaya kapılmış bir deniz aniden tamamen sakinleşebilir. Novalis takma adıyla yayın yapan 18. yüzyılın sonlarında Alman şair Friedrich Leopold Freiherr von Hardenberg, suyu “mantıklı kaos” olarak nitelendirdi.

Fena bir karşılaştırma değil.

Derinlik kavrayışı

Garantili bir su kaynağına alışkınız, sadece musluktan akıyor. Bu sıradan gerçeği sağlayan muazzam mühendislik başarılarını nadiren düşünüyoruz . Ancak bölgemize hizmet veren Viktorya tüneli bozulursa bu tür sorular yeniden gündeme gelebilir ama şimdilik elimizi yıkamak ya da bir kovaya su doldurmak aklımıza gelmiyor.

Mütevazı bir musluktan daha iyi hangi araç , hassas kaosun derin özüne girmemizi sağlar?

Hiç musluktan su akışını izlediniz mi? Altında bir diş fırçasının yerini aldığı gözlemlendi mi, yoksa sadece görüldü mü? Kendi retoriğimden esinlenerek , muhtemelen hayatımda ilk kez yaptım.

bu sabah Musluğunuz benimkine benzer mi emin değilim ama böyle bir deneyi tavsiye ederim, her durumda birçok yeni şey öğreneceksiniz. Şimdi size gördüklerimi anlatayım.

Bilimsel gözlemin özü sistematiklikte yatar. Penisilinin antibakteriyel etkisi gibi birçok önemli keşfin tesadüfen yapıldığını, ancak daha sistematik yöntemlerle doğrulandığını ve geliştirildiğini kabul ediyorum. Daktilolu bir milyon insan eninde sonunda Hamlet yazacak ama bekleyebileceğimden emin değilim. Bu nedenle kendime sistematik bir görev belirledim. Akış hızı yavaş yavaş artarsa, musluktan akan suyun davranışı nasıl değişir?

Musluğu biraz açın. Ne olacak? Tabii ki su damlayacak. Sabit bir akış elde etmeyi başarırsanız, suyun düzenli olarak damladığını fark edeceksiniz - damlalar arasında sabit bir boşluk var.

Musluğu biraz daha açın. Düşmeler daha hızlı gerçekleşir, ancak düzenli olmaya devam ederler. Akışı küçük adımlarla değiştirmeye çalışın : aynı şey olur. Sabır. Bir bilim insanının hayatı, kısa ve ani dramalar ve heyecanlarla kesintiye uğrayan uzun sakin dönemlerden oluşur.

Bir noktada, düşen damlalar birleşir ve sabit bir akış oluşturur. Bul onu! Tamam, ama gerçekten ilginç bir noktayı atladığınızı söylemeliyim. Damlalar bir akışta birleşmeden önce, birbirine oldukça yakın olan birkaç geçiş ortaya çıkar. Sabırsızsanız ve akışı çok büyük adımlarla artırıyorsanız, geri dönün ve her şeyi baştan yapmaya çalışın.

Bu geçişlerden ilki, düşen damlaların ritminin değiştiği geçiştir. Sabit bir damla-damla-damla yerine, tuzak - tuzak - tuzak gibi bir şey belirir, yakın bir çift damla , sonra bir duraklama, sonra başka bir çift. Ritim hala düzenli, ama farklı.

İyi enstrümanlarla, ritimdeki diğer değişiklikler de muhtemelen fark edilebilir , ayrıca düzenli, ancak farklı. Ancak ne göz ne de kulak kontrol edemez. Sonra çok daha gizemli bir şey gördüm. Damlaların davranışı düzensiz hale gelir, hızla birbirini takip eder, damlaların düşüşünü hala görebilir ve duyabilirsiniz, ancak ritmik ses kayboldu, yerini çok daha karmaşık bir şey aldı.

Yani, üzerinde düşünmeyi gerektiren bir an vardır: Damlalar ritmini kaybeder.

Kısa bir süre sonra, dediğim gibi, damlacıklar birleşerek sabit bir akışa dönüşür. Akış oluştuğunda, yine de aşağıya damlalar halinde kırılabilir, ancak kısa süre sonra davranışı sabit hale gelir ve musluktan lavaboya uzanan ince bir koni şeklinde iplik düzleşir . Akışkan dinamiği böyle bir akış lamineri olarak adlandırılır : Akışkan , bir masaya dağılmış bir iskambil destesi gibi, yumuşak bir şekilde birbirine değen ince katmanlar (laminerler) halinde akar.

Jetin hızını normdan önemli ölçüde daha fazla artıralım. Akış laminer kalır , ancak jet iki parçaya bölündüğünde veya bir spiral oluştuğunda ekstra bir yapı oluşabilir.

Şimdi musluğu tamamen açın. Pürüzsüz laminer akış kırılır, su lavaboya büyük bir kuvvetle çarpar, akış köpüklü ve düzensiz hale gelir. Bu türbülanslı akıştır ve ikinci büyük geçişimiz laminerden türbülansa geçiştir.

Musluğu kapatın ve sıçramayı bir paspasla temizleyin. Deney bitti. Şimdi matematiğe geçelim.

Birikmiş dalgalanmalar

Türbülansa geçişin iki yolunu düşündük. Birincisi damlacıkların ritminde ortaya çıkar; ayrık bir dinamik sistemde hareket eder. Bu durumda, tek tek damlacıkların ayrıntılı yapısı göz ardı edilir. İkincisi, sürekli bir sistemde laminer akış türbülanslı hale geldiğinde meydana gelir. Her iki durumda da düzenli hareket aniden düzensiz hale gelir.

pratik mühendislik problemleri için de önemlidir . Türbülans, bir su kanalını veya petrol boru hattını tahrip edebilir, bir geminin pervanesini parçalayabilir veya bir yolcu uçağını tahrip edebilir. Türbülansla ilgili bazı pratik sorunları çözmek için mühendisler, temel kurallardan karmaşık istatistiksel yöntemlere kadar çeşitli yöntemler icat ettiler, ancak gerçek içsel doğası en yüksek düzeyde bir sorun olmaya devam ediyor.

Türbülansın temel bilimi, teknolojiden çok fizikle ilgilidir. Klasik matematiksel fizik türbülansın tezahürlerini nasıl tanımlar?

Euler denkleminden türetilen viskoz bir sıvının akışı için klasik denklem, Fransız Claude Louis Marie Navier ve İngiliz Sir George Stokes'un buluşudur. Navier ve Stokes'un kısmi diferansiyel denklemine uyan sıvı akışı deterministik ve tahmin edilebilir. Kaosun keşfinden önce, “düzenlilik” ile eşanlamlı olarak kabul edildi, ancak türbülans düzensizdir. Sonuç: bir şey denklemlerle pek uyuşmuyor.

Bu mantıksız değil. Bu denklemlerin, son derece idealize edilmiş, sonsuz bölünebilir ve homojen bir sıvıyı tanımladığını hatırlayın . Gerçek bir sıvı atomlardan oluşur (küçük katı toplardan kuantum olasılık girdaplarına kadar rekabet eden ayrıntı seviyeleri arasından seçim yapın). Türbülans , küçük ve hatta daha küçük girdapların oluşması nedeniyle ortaya çıkar, ancak atom altı boyutların girdapları fiziksel bir saçmalıktır. Eğer gerçek bir sıvı bu parçalanma seviyesinde Navier-Stokes denklemine uyuyorsa, girdaplar kendi atomlarının kümelerinden oluşmalıdır.

Dolayısıyla, muhtemelen türbülans, atomik seviyedeki mikroskobik etkilerden kaynaklanmaktadır. Atomik büyüklükle ilgili Navier-Stokes denklemlerindeki yanlışlıklar, fiziksel akış tarafından yayılır , boyut artar ve türbülans olarak gözlenir. Bu, Lery'nin 1934'te atom fiziğinin özellikle alakalı ve çekici olduğu bir zamanda yaratılan teorisidir.

Sonraki on yıl içinde fizikçi Lev Landau başka bir olasılığın da olduğunu fark etti. 1944'te yazdığı bir makale şu ifadeyle başlıyor: "Literatürde çalkantılı hareket birçok kez tartışılsa da, bu olgunun özü hala netlikten yoksundur." Landau daha sonra anahtar soruyu analiz etmeye devam ediyor: türbülans nasıl ortaya çıkıyor? " Yazara göre, türbülans başlatma süreci mümkün olduğunca tam olarak araştırılırsa sorun yeni bir ışık altında düşünülebilir."

Sistemi sabit bir durumda hayal edin. Yönetilebilir dış koşullar değiştirilirse, sistemin durumu kararsız hale gelebilir. Örneğin, uçakta yatan bir cisim , uçak yatırıldığında aşağı kayabilir veya çok fazla şişirilirse bir balon patlayabilir.

dengelemek için arabamı tamire götürdüğümde , tamirci, tekerleği dingil etrafında birçok kez döndüren tuhaf bir dişli karışımına koyuyor. Ekrandaki sayılara dayanarak, tekerlek jantını dengelemek için metal ağırlıklar ekler. Gerçek şu ki , dengesiz bir kole çok hızlı dönerse titrer. Tekerlek sallanması olarak bilinen bir durum oluşur.

Dinamikte vuruş temel matematiktir. Dayak, istikrarsızlık durumuna girmenin en kolay yollarından biridir.

Mevcut bir kararlı durum üzerine bir salınım bindirilirse, yeni bir periyodik hareket eklenir ve daha önce eşit olarak dönen tekerlek titreşmeye başlar. Bu durumda, üst üste binen iki periyodik hareket ortaya çıkar: dönme ve titreşim.

Landau, türbülansın oluşumunu vuruşlarda bir artış olarak değerlendirdi. Tamamen teorik olarak, erken aşamalarda türbülansın üç veya dört farklı periyodik hareketin üst üste binmesinden kaynaklandığına ve hızları yeterince arttığında periyodik hareketlerin sayısının sonsuz derecede büyüdüğüne inanıyordu.

Vuruşlara neden olan altta yatan mekanizma , keşfeden Eberhard Hopf'tan sonra Hopf çatallanması olarak adlandırılır. Lavabo ( kararlı durum) kararsız hale gelir ve periyodik hareketi temsil eden bir limit döngü ile çevrili bir kaynağa dönüşür (Şekil 9.4). 1948'de Hopf, Landau ile aynı doğrultuda çok daha gelişmiş bir teori önerdi. Hollandalı bilim adamı JM Bergeres yakın zamanda Navier-Stokes denklemlerinin basitleştirilmiş bir versiyonunu inceledi ve Hopf benzer bir taktik uyguladı. Çok alışılmadık bir şekilde açık bir çözümü olan farklı bir yaklaşık model önerdi ve çözümünün Landau senaryosuna göre atımların birikiminden geldiğini gösterdi.

Takip eden otuz yılda, Hopf-Landau teorisi kabul gördü ve geniş çapta uygulandı. Birkaç avantajı vardı. Teori basit ve açıktı ve frekanstaki artışın meydana geldiği mekanizma temel ve doğaldı. Benzer bir senaryo kullanan birkaç Hopf tipi model için denklemler ortaya çıkmıştır. Teori, Fourier analizi gibi klasik yöntemlerin uygulanmasına izin vererek, onu hesaplama için uygun hale getirdi.

Pirinç. 9.4. Bir vuruşun meydana gelmesi veya kararlı bir durumun periyodik hale nasıl geçtiği. Bu mekanizma Hopf çatallanması olarak bilinir: lavabo kararlılığını kaybeder ve bir limit döngüsünden geçerek bir kaynak haline gelir. (İzin alınarak çoğaltılmıştır. Іоіш ВѴіІеу & 8оiz ІДсІ.)

Farklı Senaryo

oldukça spekülatif olan ve gerekli deneysel desteğe sahip olmayan bir varsayımla bozuldu, ancak kırılmadı . İşleri daha da keskinleştirmek için, yeni fikirlerin akışkan fiziğinden değil topolojiden geldiğini varsayalım.

Paris'teki Doğa Bilimleri Enstitüsü'nde Belçikalı bir matematikçi olan David Ruelle ve onun Hollandalı konuğu Floris Takens, türbülansı topolojik dinamikler a la Smale açısından anlamaya çalıştılar . Merak ettiler: Tipik bir senaryo, türbülanstan önce gelen genel bir süreç var mı?

Tam olarak net değildi. Ancak Hopf-Landau teorisi belki de yanlışsa netlik nedir? Muhtemelen, biriken vuruşların her biri hem matematiksel hem de fiziksel olarak kendini göstermelidir ? Ancak, yalnızca birincisi gerçekte vardır.

Hopf ve Landau'nun sezgisi, Hamilton dinamiklerinden bazı eklemelerle ilerledi. Orada, enerjinin korunumu, birçok frekansı içeren yarı-periyodik hareketi banal yapan bir sınırlama getirir . Bununla birlikte, bu sınırlama, enerji tüketen sistemler, yani sürtünmeli sistemler için geçerli değildir ve viskoz bir sıvı akışında, sürtünme kendini oldukça belirgin bir şekilde gösterir.

Ruelle ve Takens aşağıdaki resmi çizdi.

Kararlı durumdan tek vuruşa ilk geçiş

enerji tüketen sistemlerde bile tipiktir, periyodik harekete yol açar. Burada zorluk yok.

Ek bir frekans ekleyen ikinci geçiş kuşkusuz gerçekleşebilir. İlk olarak, topolojik açıdan simit üzerinde iki boyutlu bir akış olan bir harekete yol açar . Bu hareket dışarıdan başlar, iki bağımsız periyodik hareketin üst üste yarı periyodik bir süperpozisyonunu andırır . Ancak uzun süre devam edemez, çünkü bu hareket ne tipik ne de geneldir. Pratikte, küçük bozulmalar bile onu yok eder.

Bu zamana kadar, simit üzerindeki tipik genel yapısal olarak kararlı akışlar zaten biliniyordu. Elektrik mühendislerinin iyi bildiği şeyi frekans engelleme 1 olarak tahmin ettiler (Şekil 9.5). Başlangıçta bağımsız iki periyodik hareket etkileşir ve ortak bir birleşik periyot ile periyodik olan tek bir birleşik harekete dönüşür .

Üç frekans üst üste bindiğinde, daha dramatik bir şey meydana gelir, birleştirme düzgün çalışmaz. Normalde, üç frekans engelleyemez bile: bunun yerine, Ruelle ve Takens'in garip bir çekici olarak adlandırdığı yeni bir nesne oluşturmak için birleşebilirler . Solenoid garip bir çekicidir, (muhtemelen) Lorenz çekicisi de öyle. Garip çekicilerin garip geometrileri vardır.

Ruelle-Takens teorisinin temeli, topologların bakış açısından, bir uçta bir saç tokası dengelemesine benzeyen Hopf-Landau senaryosudur. Firkete kararsızdır ve Hopf-Landau teorisi yapısal olarak kararsızdır. Saç tokasına hafifçe dokunursanız, hareketi bozulur ve masaya düşer: hareket denklemlerinde küçük değişiklikler yaparsanız, Hopf-Landau senaryosu dağılır ve garip bir çekiciye dönüşür.

Teorinin yanlışlanabilirliği

Tüm akışkanlar dinamiği bilim adamları, Takens ve Ruelle'nin önerisinden memnun kaldılar. Gerçekten de tartışmalıydı. Ancak, bu tekliften memnun olanlar, ondan ilham aldı ve yeni bir soru sordu: oldukça iyi, ama doğru mu?

Bir teorinin doğru olup olmadığını öğrenmenin bilimde eskiden beri geçerli olan bir yolu vardır. Bu bir deney.

Daha doğrusu deney, bir teorinin ne zaman yanlış olduğunu söyleyebilir, ancak asla onun doğru olduğuna dair mutlak kesinlik vermez. Matematikte bir teoremi kanıtlayabilirsiniz, ancak bir teoriyi kanıtlayamazsınız. Filozof Karl Popper'ın da vurguladığı gibi , bilimsel bir teorinin sınanması onu doğrulamak için değil , onu tahrif etmek için yapılır. Bir teori deneyle ne kadar çok çelişkiyi açıklayabilirse, gerçek olana o kadar çok benzer veya en azından altında çalıştığı koşulların kapsamı o kadar geniştir. Ancak, milyonlarca deneysel testten sağ çıksa bile bir teorinin kesinlikle doğru olduğunu kanıtlamak imkansızdır , çünkü bilirsiniz, milyonlarca kez yanlış olduğu ortaya çıkabilir.

Böylece, İsa'nın doğumundan sonraki üçüncü bin yılın arifesinde, bilim adamları Hakikat arayışını terk ettiler.

Bunu belirttikten sonra hata yapmamak için ellerinden geleni yaparlar. Ancak artık mutlaklar çağında yaşamıyoruz ve hiçbir şeyi çok ciddiye almamayı öğrenmekte çok yavaşız.

Bir teorinin bilimsel olarak kabul edilebilmesi için, prensipte test edilebilir olması gerekir. Korfu adasında bir batıl inanç vardır, eğer Tanrı'ya bir istekte bulunursanız, ne olduğuna bağlı olarak size iyi şans veya kötü şans getirir. Bu inanç bilimsel bir teori oluşturmaz, çünkü "şans" ölçülemez, ancak bir deneyin bu teoriyi, yapılsa bile nasıl çürütebileceğini açıkça görmek zor olduğu için.

yanlış olduğu anlamına gelmez . Tartıştığımız şey, bilimsel bilginin sınırlarıdır. Evrende bilimsel anlamda bilinemeyecek gerçekler olabilir. Bu nedenle bu tür anlaşmazlıkları çözmek çok zordur.

klasik laboratuvar

Garip çekiciler teorisini yanlışlamak mümkün mü?

Başlangıçta, bunun doğrudan yapılamayacağına inanılıyordu, çünkü garip bir çekiciyi nasıl bulacaklarını ya da yokluğunu nasıl ortaya çıkaracaklarını bilmiyorlardı. Buradaki nokta, Ruelle-Takens teorisindeki matematiksel çekicinin, fiziksel olarak ölçülebilir herhangi bir değişkenle ilişkili olmamasıdır . Bu nedenle, böyle bir teoriyi test etme girişimi, türbülansı bir sıvı içinde yüzen ve fiziksel aletlerle tespit edilemeyen görünmez canavarların hareketiyle açıklamaktan biraz daha iyi görünüyor.

Bunu aşmanın birkaç yolu var. Biri matematik ve fizik arasındaki etkileşimi geliştirmektir. Görünen o ki, önemli olmadığının söylenemeyeceği türbülans için bunu yapmak çok zordur . Diğeri ise sorundan kaçınmaktır. Belki de garip bir çekici kendini dolaylı olarak gösterebilir.

Hopf-Landau teorisi test için çok daha uygundur. Sadece hareket frekansının bileşenlerini ölçmek ve salınımların nasıl biriktiğini gözlemlemek gerekir. Birikme gerçekleşmezse, Hopf-Landau teorisi hatalıdır.

Yani, kişi Ruelle ve Takens'in haklı olduğunu değil, Hopf ve Landau'nun haksız olduğunu kanıtlamaya çalışmalıdır. Tarihsel olarak, her şey oldukça farklı gitti: deneyciler , Hopf ve Landau teorisinin doğruluğunu göstermek için çaba sarf ettiler .

Elbette, nasıl yapıldığını zaten hayal ettiniz mi? Sonuçta, Hopf-Landau teorisi birkaç on yıldır geniş çapta uygulanmaktadır.

Deneyler tamamen başarılı değildi. İlk birkaç aşama gözlemlendi, ancak dalgalanmalar biriktikçe, bunları doğru bir şekilde ölçmek giderek daha zor hale geldi.

Daha fazla ilerleme yeni bir fikre bağlıydı.

Austin'deki Texas Üniversitesi'nde fizikçi olan Harry Sweeney, kariyerine bir deneyci olarak faz geçişlerini inceleyerek başladı. Su kaynadığında, bir metal eridiğinde veya bir mıknatıs mıknatıslandığında , faz geçişleri meydana gelir, yani moleküler düzeyde yeniden düzenlenmesi nedeniyle bir maddenin durumunda mikroskobik değişiklikler meydana gelir. Bir anlamda türbülansa geçiş, bir sıvıda bir tür faz geçişidir. Osborne Reynolds ve Lord Rayleigh gibi bazı büyük akışkanlar dinamiği fizikçileri bunu düşünmüşlerdir. Bununla birlikte, analoji matematiksel olarak yararlı olamayacak kadar gevşek ve belirsiz görünüyordu.

Yine de, bu fikir Sweeney'nin düşüncesinde önde gelen fikirdi. Sıvılara uygulanabilecek faz geçişleri sırasında ince olayları incelemek için yöntemler var mı?

Akışkan akışını türbülanslı hale getirmeyi mümkün kılan bir deney yürütmenin birkaç yolu vardır. Bir deney tasarlamanın ilk aşaması, kullanılacak sistemin türünü belirlemektir. Temel bilimin “en iyi jet kanat kanadı şeklini seçmek” gibi özel hedefleri yoktur ve bu, bilim insanının sistemi istediği gibi seçmesine izin verir. Temel bilimlerdeki laboratuvar deneyleri için, sistemin kelimenin tam anlamıyla "parmak izi bırakmayan" değil "temiz" olması, ancak kurulumu ve çalıştırılması kolay olması, tekrarlanan uygulamada yeniden üretilebilen doğru sonuçlar vermesi önemlidir .

MM Couette tarafından icat edilen klasik bir laboratuvar sistemi vardır . Bireysel jetlerden oluşan bir akışta "jet kesme"yi incelemek için bir yöntem arıyordu ve biri diğerinin içinde olmak üzere iki silindirin düzenini buldu (Şekil 9.6). Sabit dış silindir ile dönen iç silindir arasında sürekli ve kontrollü bir kayma vardır . Böyle bir sistemde sıvı hareket eder.

Pirinç. 9.6. Taylor-Couette deneyi için araç (şematik olarak). İki silindir arasındaki boşluk sıvı ile doldurulur ve silindirler döner. Bu boşluk, açıklık için burada büyütülür, genellikle dış silindirin yarıçapının yüzde 10-20'sini geçmez .

dönen silindir ile bir daire içinde, hızlı bir şekilde ortada ve yavaşça dışarıda hareket eder. Bu tam olarak Quatte'in keşfettiği şeydir.

1923'te İngiliz uygulamalı matematikçi Geoffrey Ingram Taylor, bir iç silindirin ivmesini denedi ve

modüle edilmiş dalgalı girdaplar üretir. Bükülmüş ve örgülü girdaplar da vardır. Ayrıca berber burcuna benzer spiral şeklinde , dalgalı, modülasyonlu dalgalı ve iç içe geçmiş spiralleri andıran yapılar da vardır .

Ve yüksek hızlarda sistem çalkantılı hale gelir.

Tüm bu davranış çeşitliliği, tam olarak tekrarlanabilir bir şekilde, silindirler arasında belirli bir mesafe ile bu alet üzerinde elde edildi . Böylece Sweeney ve iş arkadaşı Jerry Gollub , klasik Couette-Taylor laboratuvarını kullanmaya karar verdi.

Lazer radyasyonu

O zaman, akan bir sıvının hızının ölçümleri, problar ve istenen jetlerin renklendirilmesi kullanılarak gerçekleştirildi. Bu yöntemler akışı bozdu ve çok hassas veya doğru değildi, ancak saha deneylerini yapan kişiler bu tür sorunlara adapte oldular ve gözle görülür iyileşmeler beklemiyorlardı. Sweeney çok daha hassas bir cihaz seçti: lazer.

Günümüzde lazerler yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır. Bir CD çalar aldıysanız, bir lazer de aldınız. Her Star Wars hayranı (yani filmi kastediyorum) , unutulmaz İmparatorluk muhafızlarının lazerlerle silahlandığını bilir. Lazerler, tüm dalgaların aynı fazda olduğu tutarlı bir ışık demeti yaratır , birbirlerini yok etmek yerine güçlendirirler. Bu, çok hassas ve doğru bir hafif kesici ile sonuçlanır.

Bir itfaiye aracının sirenini yanınızdan geçerken duyduysanız, itfaiye aracı uzaklaşmaya başladığında sesinin azaldığını fark etmişsinizdir . Bu, adını ilk kez 1842'de keşfeden Avusturyalı bilim adamı Christian Doppler'den alan Doppler etkisidir. Gerçekten de, ses dalgalarının bir itfaiye aracı yaklaştığında daha yüksek bir frekansı vardır, uzaklaştıkça azalır.

Aynı etki ışıkla da meydana gelir, ancak şimdi rengi frekanstaki değişikliği yansıtır. Bir itfaiye aracına bir lazer ışını yönlendirirseniz ve geri dönen ışığın rengini orijinaliyle karşılaştırırsanız, hareketinin hızını belirleyebilirsiniz.

Benzer şekilde, küçük alüminyum tozu parçacıklarını bir sıvıya püskürtürseniz, parçacıkların ve muhtemelen sıvının hızını belirlemek için bir lazer kullanabilirsiniz . Bu teknik, Lazer Doppler Hızı olarak bilinir.

Farklı frekanslara sahip dalgaların üst üste binmesiyle oluşan karmaşık bir sinyal varsa, sinyalin matematiksel bir analizini yapmak ve tek tek bileşenlerini çıkarmak mümkündür. Ayrıca her bir bileşenin değerini ve toplama katkısını da öğrenebilirsiniz. Bu, eğriyi sinüsoidal ve kosinüs eğrilerinin toplamı olarak temsil eden Fourier analiz yöntemiyle yapılır.

Bu analizin nihai sonucu, her bir frekans bileşeninin büyüklüğünü gösteren bir grafikte bir güç spektrumu şeklinde sunulabilir (Şekil 9.8). Şekil, güç spektrumları (sağda ) ile birlikte beş gözlem serisini (soldaki grafik) göstermektedir. Gözlem süresi ölçeği (saniye, 5) ve frekans ölçeği (hertz cinsinden: 1 Hz = saniyede 1 salınım) şeklin altında belirtilmiştir . Sol görüntünün üst kısmı, on saniyede yaklaşık bir salınım frekansıyla çok düzenli bir ritim göstermektedir. 0,1 Hz'e yakın bir frekansta tek bir tepe noktasına sahip olan sağdaki güç spektrumuna karşılık gelir. İkinci gözlem serisi çok daha az düzenlidir ve güç spektrumunun birkaç tepe noktası vardır. Eğitimli bir göz, bunların hepsinin 0,03 Hz ve 0,1 Hz yakınında bulunan iki temel frekans D ve /2'nin katlarının üst üste bindirilmesiyle elde edildiğini fark edebilir .

Güç spektrumu grafiklerindeki tepe noktaları, yakındakilerden çok daha yoğun olan iyi tanımlanmış frekans bileşenlerine karşılık gelir. Yarı periyodik bir sinyal, Şekil 9.8'in ilk üç görüntüsünde gösterildiği gibi, esas olarak keskin tepelerden oluşan bir güç spektrumu ile karakterize edilir. Gürültü, yani “rastgele” bir sinyal, geniş bantlı bir spektruma sahiptir ve şeklin altındaki grafikte gösterildiği gibi bileşen frekansları bulaşır. Dördüncü grafikte görüldüğü gibi iki frekansın karışımı da mümkündür.

Güç spektrumu, gözlemler için “frekansın parmak izi” dir , belirli davranış türlerinin varlığını belirlemenizi sağlar. Sweeney ve Gollub , sahip oldukları lazer verilerinden sıvı hızlarının spektrumunu elde etmek için bir bilgisayar kullandılar . Bunlar

Hopf ve Landau tarafından tahmin edildiği gibi, ardışık yeni frekansların ortaya çıkmasının gözlemlendiğinden emin oldu.

İşte tam da beklenen gelişme buydu.

İlk geçişi aradılar ve buldular, ardından deneyi birçok kez tekrarladılar ve çok temiz ve doğru veriler elde ettiler. O kadar açık ve gerçekler ki, hiçbir akışkan dinamiği fizikçisi onlara inanmadı. Kimse sonuçlarını yayınlamak istemedi

sen. Araştırmaya devam etmek için hibe başvuru programları reddedildi. Bazıları bu sonuçların yeni olmadığını söyledi, bazıları ise hiç inanmadı.

Korkusuz, Sweeney ve Gollub, bir sonraki geçişe devam ettiler ve onu bulamadılar. Yeni bir frekans yaratmanın bariz bir yolu yoktu . Bunun yerine, yavaş yavaş geniş bir frekans bandı ortaya çıktı (Şekil 9.9) ve bunun üzerine şunları yazdılar: “Bu. bulduğumuz şey kaotikti."

İletişim

Bilim harika. Olan her şeyi bilmek imkansız. Genellikle bilim adamları ihtiyaç duydukları şeyleri kişisel temaslar yoluyla bulurlar. Sweeney ve Gollub, Hopf-Landau teorisini test ettiler ve beklediklerini buldular, ancak Ruelve ve Takens'in bir alternatif önerdiğini henüz bilmiyorlardı.

Ancak diğerleri biliyordu. Bilimsel iletişim sistemi çalıştı ve 1974'te Belçikalı matematikçi David Ruelle Sweeney'nin laboratuvarına geldi. Ruelle'nin kaosu öngören bir teorisi vardı ve Sweeney'nin kaosu vardı ama teorisi yoktu. Geriye kalan tek şey, Ruelle'nin tahminlerinin Sweeney'nin bulgularıyla eşleşmesi için onları birbirine bağlamaktı .

İkincil kanıtlar vardı. Bilgisayar hesaplamaları , garip bir çekici varsa geniş bantlı bir frekans spektrumunun ortaya çıkması gerektiğini gösterdi.

Şimdi araştırma hızı arttı. Bilim adamları kaos hakkında ne kadar çok şey öğrenirse, teorik yönlerinin incelenmesine o kadar fazla matematikçi dahil oldu . İlk olarak Sweeney ve meslektaşları tarafından gerçekleştirilen, ancak çok kısa bir süre sonra başkaları tarafından tekrarlanan bir dizi deney, bir dizi çalkantılı akışta garip çekicilerin bulunduğunu oldukça açık bir şekilde gösterdi.

Başlangıçta sadece türbülansa uygulanan sonuçlar, en azından bazı laboratuvar sistemlerinde garip çekiciler teorisini iyi destekledi ve Hopf-Landau teorisinin su için yanlış olduğu ortaya çıktı. İronik olarak, Ruelle ve Takens tarafından tanımlanan dikkate değer matematiksel özelliklerin çoğunun deneysel verilerin yorumlanmasında uygunsuz ve hatta yanlış olduğu ortaya çıktı. Ancak, ana fikre gelince... sonra, ortaya çıktığı gibi, bir altın madeni bulmuşlar.

Ama bütün bunlar hala belirsizdi.

Gözlemler için başka açıklamalar olabilir. Garip çekiciler hipotezini yanlışlanabilir kılacak daha doğrudan bir yol bulmak gerekiyordu.

Bu farklı bir fikir gerektiriyordu.

hayali gözlemlenebilirlik

Ruelle ve Takens'in 1970 tarihli makalesi, türbülans teorisi olarak değil, böyle bir teorinin başlangıç noktası olarak bilinir. Onlar olmadan topoloji ile fizik arasında bağlantı kurmanın mümkün olmadığı bir şey önerdiler. Örneğin, ölçülebilen ve grafiksel olarak gösterilebilen ve sonuçlarda tuhaf bir çekici bulmayı sağlayan bir miktar varsa, o zaman böyle bir teori yanlışlanabilir . Deneyden sonra, elde edilen sonuçlarda garip bir çekici bulmak imkansızsa, teori yanlıştır.

deneysel gözlemlenebilirlik nedir? Bu, gözlemlenen sistemin durumuna bağlı olan bazı sayısal değişkenlerin varlığıdır . Bununla birlikte, türbülansın topolojik teorisi tam olarak neye bağlı olduğu konusunda herhangi bir bilgiden yoksundur. İlk bakışta , bu sorunun nasıl aşılacağını, böyle bir bağlantının kurulmasının nasıl dışlanacağını anlamak zordur. Bu durumda mümkün olan tek araştırma programı Ruelle-Takens teorisini test etmek, yani sıvı akışı için Navier-Stokes denkleminden garip çekiciyi çıkarmaktır . Bu problem, deneysel iyileştirmeden daha çok matematiksel gerektirir ; o zaman çözülmedi. Lorentz çekicisi, içerdiği yaklaşımlar nedeniyle dikkate alınmadı.

Ancak, başka bir yol var. Bir dizi gözlemden , ölçülen niceliklerin kesin değerlerine bağlı olmayan bir şekilde çekicinin şeklini bir şekilde yeniden oluşturmanın mümkün olduğunu varsayalım . O zaman özel ilişki önemsizdir.

Bu zarif numara, çalışmalarına yardımcı olacağını düşünen David Ruelle ve Norman Packard tarafından icat edildi ve Floris Takens, bunun gerçekten işe yaradığını kanıtlamayı başardı.

En basit haliyle, bir dizi deneysel gözlem bir zaman serisi oluşturur: düzenli zaman aralıklarında gözlenen bir değişkenin değerlerini temsil eden bir sayı listesi. (Seri düzensiz olabilir, ancak tartışmayı karmaşıklaştırmayalım .) Örneğin, belirli bir yerde öğle saatlerinde her gün gözlenen sıcaklık, aşağıdaki gibi bir şey içeren bir zaman serisi oluşturur.

17.3, 19.2, 16.7, 12.4, 18.3, 15.6, 11.1, 12.5, ...

santigrat derece.

Diyelim ki bu verileri garip bir çekici ile uyumlu hale getirmek istiyoruz. Sorun şu ki, gözlemler tek boyutta yapılırken çekicinin üç boyutlu olarak ele alınması . Örneğin, bir lazer Doppler kaydırma ölçer, belirli bir noktadaki akış hızına karşılık gelen yalnızca yansıyan ışının frekansını elde etmenizi sağlar . Çekicinin tek bir boyuta düzleştiğini söyleyebiliriz ve sadece dış hatlarını görüyoruz.

Çekiciyi başka yönlerden görmek mümkün olsaydı, tıpkı bir mimarın bir binanın şeklini plan, cephe ve yan izdüşümüne göre aktardığı gibi, onun üç boyutlu görüntüsünü yeniden yaratmak mümkün olurdu. Üç boyutlu bir çekiciyi yeniden oluşturmak için üç farklı yönden bilgi gereklidir.

aynı gözlemleri içeren bir zaman serisinde bu ek yönleri bulmanın hiçbir yolu olmadığı açıktır . İki tür gözlem daha gereklidir.

Ruelle ve Packard, aynı zaman serilerinden iki hayali gözlem türü daha üreterek, zaman değerlerini değiştirerek hipotezi test etmeyi önerdiler (Şekil 9.10). Bir zaman serisi yerine şimdi üçünü karşılaştırıyoruz: sırasıyla bir ve iki boyut kaydırılmış orijinal ve iki kopya:

Pirinç. 9.10. İki boyutlu bir grafik üzerinde Packard-Takens yöntemiyle çekicilerin yeniden yapılandırılması üzerine bir bilgisayar deneyi : (a) zіn / + 8Іn2/ periyodik zaman serisi kapalı bir döngü oluşturur; (b) zіn + zіn     iki frekanslı bir zaman serisi bir torus projeksiyonu oluşturur; (c) üç frekanslı zaman serisi

zip i + zip + zip y/Зі iki boyutlu bir grafik üzerinde net bir yapıya sahip değildir. Üçüncü koordinat, yarı-periyodik yapısını göstermek için kullanılır.

1. sıra	17.3,	19.2,	16.7,	12.4,	18.3,	15.6,	11.1,	12.5
2. sıra	19.2,	16.7,	12.4,	18.3,	15.6,	11.1,	12.5,
RyadZ	16.7,	12.4,	18.3,	15.6,	11.1,	12.5,

Böylece, matematiksel bir şeker elde ederiz: orijinal tek boyutlu olandan oluşturulan üç boyutlu gözlemlerin bir zaman serisi . Sadece ardışık sütunları sayıların üçlüleri olarak okuyun. İlk kukla gözlem, 3B uzayda 17.3 doğu, 19.2 kuzey ve orijinden 16.7 yukarıda olan bir noktayı temsil eden bir üçlü (17.3,19.2,16.7) tarafından verilir. Bir sonraki nokta sayılarla verilir (19.2,16.7,12.4), vb. Zamanın değişmesiyle bu üçlü uzayda hareket eder. Ruelle ve Packard, bu üçlülerin yollarının, çekicinin şekline topolojik bir yaklaşım olan bir iz oluşturduğunu varsaydılar ve Takens kanıtladı (Şekil 9.11).

Pirinç. 9.11. Garip çekicinin (burada Lorenz çekicisinin) Packard-Takens yöntemiyle kurtarılması (Şekil 7.4 ile karşılaştırın)

Daha büyük bir çekici için daha fazla değiştirme zaman serisine ihtiyaç vardır, ancak aynı genel fikir işe yarar. Çekici topolojisini yeniden yapılandırmak için bir hesaplama yöntemi vardır.

tek boyutlu zaman serileri ve hangi gözlemsel sonuçların kullanıldığı önemli değil.

Bunu daha verimli yapmanın başka yolları da var . Bazı yöntemler, gözlemleri diğerlerinden daha iyi temsil eder ve bunlara çan ve ıslık eşlik edebilir. Bununla birlikte, bu fikir , matematiksel teoride yer alan herhangi bir fiziksel değişkeni tanımlama ihtiyacını çok iyi ortadan kaldırır !

tuhaf kimya

Kimyasal reaksiyonlar salınımlı olabilir. Bu fenomen ilk olarak 1921'de William Bray tarafından hidrojen peroksitin bir iyot katalizörü ile su ve oksijene ayrışması sırasında gözlemlendi . Ancak o zamanlar kimyacılar bunun imkansız olduğuna ve termodinamik yasalarının salınımları yasakladığına inanıyorlardı. Bray'in keşfini geliştirmek yerine, deneysel yönteminin yanlış olduğuna inanarak çabalarını hatayı açıklamaya odakladılar.

Bu düzenleme neredeyse kırk yıl boyunca işlemeye devam etti. 1958'de Rus kimyager VR Belousov , sitrik ve sülfürik asitler, potasyum bromat ve seryum tuzlarından oluşan bir karışımla çalışarak renkli periyodik salınımlar elde etti. Bu zamana kadar Ilya Prigogine, her termodinamik dengenin termodinamiğin olağan yasalarıyla tutarlı olmadığını göstermişti ve bilim adamlarının bu tür sonuçları ciddiye almaya daha hazır oldukları ortaya çıktı. 1963'te AM Zhabotinsky , seryum tuzları yerine demir tuzları kullanarak Belousov'un tarifini değiştirdi ve muhteşem kırmızı ve mavi renk varyasyonları elde etti. İnce bileşen katmanlarından oluşan kimyasal bir çözeltide dairesel ve sarmal dalgaların oluşabileceğini gösterdi . Günümüzde birçok salınımlı kimyasal reaksiyon bilinmektedir ve dinamik etkiler periyodik olanlardan daha karmaşık hale gelmiştir.

Göreceli olarak yeni bir çalışmaya örnek olarak, 1983'te Sweeney ve işbirlikçileri J.-K. tarafından yayınlanan bir makaleyi ele alalım. Eller ve Reuben Simow RIuzisz'de. Belousov-Zhabotinsky reaksiyonunda sıvıya değil, kimyasal türbülansa ve kimyasal kaosa adanmıştır.

Deney sırasında, bromür iyonunun konsantrasyonundaki zamanla değişim belirlendi. Veriler çeşitli ma-

tematik analiz. Güç spektrumunu buldular ve bu sayede salınımların taşıyıcı frekanslarını belirlediler. Yazarlar , ikinci “hayali” zaman serisini oluşturarak karşılık gelen dinamik çekicileri (Şekil 9.12, sol) yeniden yapılandırdılar. Garip çekicinin tipik geometrisi açıkça görülebilir. Şekil 9.12'deki soldaki görüntüdeki noktalı çizgiyi geçtiğinde fonksiyonun değerini çizerek, sağdaki şekilde gösterilen Poincare haritasını elde ettiler . Eğrinin uç noktasına yakın gruplanan noktalar , kaotik olmasına rağmen ana dinamiklerin aslında oldukça basit ve lojistik gösterimden biraz farklı olduğunu göstermektedir.

Sonuçlar oldukça ayrıntılıdır ve garip çekicilerin bilinen tüm matematiksel özellikleriyle uyumludur. Her durumda, görüntüler bizi hemen buna ikna ediyor. Lorentz çekicisinin bazı analoglarının görüntülenmesi için uygun bir bilgisayar grafik ekranında elde edilebilirler . Aslında , elde edilen sonuçlar, 1976'da Otto Rössler tarafından önerilen Lorentz çekicisinin versiyonuna çok benzer (Şekil 9.13).

kaos vardır . Doğanın kaosun matematiğini ne kadar bildiğini inanılmaz buluyorum . O muhtemelen

Pirinç. 9.13. Rössler çekici.

matematikçilerden çok daha önce biliyordu. Kaotik dinamikler fikri sadece işe yaramaz, aynı zamanda umduğundan çok daha iyi çalışır. Her iki durumda da, akışkan süreklilik modelleri tarafından tahmin edilen çok ince etkiler - atom seviyesinde yanlış olduğunu bildiğimiz modeller - sonsuz bölünebilir bir süreklilik ile bir atom denizinin yerini alan yaklaşımlar altında var olmaya devam ediyor. Bunu bariz bir şey olarak reddetmek kolay, ama sanırım bu sadece bir temenni . İnsanoğlunun “her şeyin yanlış olabileceğini” gösteren tüm tecrübelerine rağmen inançlarımızın doğru olmasını isteriz . Ancak bu durumda, bu ünlü yasa nedense uygulanamaz. İçinde bir sır saklıdır.

Böyle bir temsilin işe yaradığı harika mucizeden yararlanmadan önce çözülmesi gereken tek sorun bu değildir .

Basho'yu tekrar ziyaret etmek

Bu bölüme Basho'nun damlanın şiirsel çekiciliği hakkındaki şiirleriyle başladım. Şimdi matematiksel cazibesini göstererek sona geldi. Bir damlanın sesi genellikle bir ünlemden daha belirgin bir şaşkınlığa neden olur.

zevk, ama bu sesin uygunsuz bir yere düşen su damlacıklarından daha fazlası olduğunu gördük. Bu, mikro kozmosta kaostur.

Ek olarak, bir damlanın kaotik sesi, ayrık bir dinamik sistemdir; bu, sürekli olmaktan çok ayrı olarak gözlemlenmesi ve hassas bir şekilde analiz edilmesi daha kolaydır. Lazer yerine mikrofonu başarıyla kullanabilirsiniz.

Damlacıkların oluşumuna daha yakından bakalım.

Küçük bir su akışıyla, damlalar genellikle düzenli olarak düşer. Su yavaşça kenara doğru akar ve yüzey gerilimi artık yerçekimi kuvvetine direnemez hale gelene kadar şişen şişkin bir damla oluşturur. Damlanın kenarları büzülerek daralan bir boyun oluşturmaya başlar, damla kırılır ve süreç yeniden başlar. Aynı zamanda, damlaların düzenli ve ritmik olarak düşmesi pek de şaşırtıcı değildir.

Su akışı biraz daha fazlaysa, daha karmaşık bir şey olabilir. Oluşumu sırasında, damla salınım yapar ve istikrarlı bir kademeli büyüme durumuna geçemez . Sonuç olarak, kesin ayrılma anı sadece damladaki su miktarına değil, aynı zamanda salınımının sıklığına da bağlıdır. Bu koşullar altında, düzensiz , periyodik olmayan zaman aralıklarında damlalar görünebilir .

Açık bir benzetme var. Düşük hızda akışkan düzgün bir şekilde akar, ancak hız arttıkça türbülanslı hale gelir. Düşük hızda damlacıklar düzenli olarak oluşur ve hız arttıkça düzensiz hale gelirler. Belki her iki fenomeni de kontrol eden matematiksel bir mekanizma vardır?

Belki evet belki hayır. Sadece hava akımları gibi rastgele etkiler damlacık oluşumunu etkilediği için akışın düzensiz hale gelmesi mümkündür . Basho şu örneği verdi:

Gece rüzgar yine esiyor

Basho ağacının içinden

nasıl sızdığını duyuyorum

Bardağa yağmur fısıldıyor.

(Başo ağacı, evinin yakınında yetişen bir muz türüdür. Şair, şiirlerini yazdığı bu ağaca o kadar bağlıydı ki , adını mahlas olarak kullandı.) Yaprakların rastgele hareketi buradan kaynaklanmaktadır. ince dinamiklere değil, damlaların düzensizliğine. onların oluşumu.

Deterministik kaos mu? Yoksa bir kaza mı?

Robert Shaw ve California, Santa Cruz Üniversitesi'ndeki meslektaşları bu fikri deneysel olarak test ettiler. Düşen damlaları, düşen her damladan net bir ses alacak şekilde yerleştirilmiş bir mikrofona yönlendirdiler.

Bu sesler, damlaların düşüşünün gerçek dinamiklerinden birçok ayrıntıyı ortaya çıkarmayı mümkün kıldı. Damlacıkların hareketlerini büyüdükçe göstermezler, sadece ayrıldıklarında gösterirler . Dinamiklerinden bir dizi ayrık çerçeveye benziyorlar. Başka bir deyişle, bu sesler bir dizi çerçeve olarak da temsil edilebilen Poincare haritasına çok benzer bir şey oluşturur. Matematiksel olarak, aynı şekilde ele alınabilirler.

Santa Cruz Üniversitesi'nden işlenen deneysel verilerden matematiğin dinamiklerini incelemek. Ardışık düşüşler arasındaki zaman aralıklarını ölçtüler ve yaklaşık 5.000 gözlemlik bir dizi elde ettiler. Daha sonra tam olarak yukarıda anlatıldığı gibi Takens rekonstrüksiyon yöntemini kullandılar. Bir bilgisayar kullanarak, orijinali bir ve iki gözlem kaymasıyla değiştirerek iki “hayali” zaman serisi ürettiler, böylece 5000 üçlülük bir dizi oluşturdular.

Böylece, düşme sesinin dinamiklerini karakterize eden çekicinin topolojisini yeniden yapılandırmayı başardılar (Şekil 9.14). Aralık 1986'da Zsiepii / ic Artisan dergisinde yayınlanan makalelerinde bunu yazdılar:

Deneyin heyecan verici sonucu, bir musluktan düşen damlaların periyodik olmayan modunda kaotik çekicilerin gerçekten bulunmasıydı. Damlacıkların rastgeleliği, küçük dalgalanmalar veya hava akımları gibi tanımlanamayan etkilerden de kaynaklanabilir, ancak durum böyle olsaydı, bir aralık ile bir sonraki arasında belirli bir ilişki olmayacaktı ve veri grafiği yalnızca şekilsiz bir birikim gösterecekti. puan. . Grafiklerde bazı yapıların hiç gözükmemesi, bu durumda rastgeleliğin deterministik bir alt yapısına sahip olduğunu göstermektedir.

Veri

i

i

sabitleme. Birçok veri kümesi, basit bir çekme ve bükme prosedürünün işareti olan at nalı şeklindedir.

Garip çekici gerçekten bu sonuçtan sorumludur . Elde edilen veriler, Hénon'unkine çok benzer bir çekici ile çok iyi uyuyor.

Daha yüksek akış hızlarında, deneysel olarak elde edilen çekici çok karmaşık hale gelir ve yapısı tam olarak net değildir. Damlacık oluşumunun fiziği ile bu ampirik model arasında doğrudan bir bağlantı yoktur . Hala yapılacak çok iş var.

bazı çalkantılı olaylardan sorumlu olduğu açıkça kanıtlanmıştır . Ancak türbülans hakkında pek çok şey bir sır olarak kalıyor. Tamamen gelişmiş bir türbülans, eğer tuhaf çekiciler içeriyorsa, muazzam boyutlarda -bin, bir milyon boyutta- çekiciler gerektirebilir. Şu anda onlar hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz. Birçok türbülans etkisi, kanal duvarları gibi sınırlardan kaynaklanıyor gibi görünmektedir. Garip çekiciler teorisinde, sınırların etkisi henüz hesaba katılmamıştır.

açıklama olarak kaosa takıntılı olmamalıyız . Son zamanlarda, Rus matematikçi VP Maslov, bazı durumlar için Navier-Stokes denkleminin çözümünün benzersiz olmadığının bir kanıtını buldu. Aslında, denklemler akışı her ayrıntısıyla tanımlayamaz: belirli başlangıç koşulları için, en azından yaklaşık bir anlamda, birden fazla çözümü olabilir. Maslov, böyle bir etkinin “ mecazi olarak tanımlanabileceğini” söylüyor. Puşkin'in rahip ve işçisi Balda hakkında ünlü masalında Balda, suyu bir iple bükerek şeytanları çağırır. Böylece ipi yeterince hızlı çevirdiğinde şeytanlar deterministik olmayan bir şekilde çıldırmaya başlar ve türbülans yaratır.”

sonuçta umursamaz.

10. Bölüm

İncir Ağaçları ve Feigenbaum Anlamları

Bir aptal, bilge bir adamın gördüğünden farklı bir ağaç görür.

William Blake. Cehennem Atasözleri.

Yeni matematiksel kaos tekniği ve eski türbülans sorunu uzun süre ayrı ayrı var olamazdı. Yeni bir aracı eski bir göreve uyarlamaktan daha doğal ne olabilir? Bu yapıldı ve görev gerisini yaptı.

Ancak bilim her zaman beklenen yönde ilerlemez. Paniğe kapılmış sürü uzaklara kaçabilir, ancak her zaman ters yönde inatla yürüyen birkaç muhalif vardır. Bilimdeki bu muhaliflerden biri büyük, temel bir başarının yazarı oldu . İlk başta bu sadece büyük bir matematiksel başarıydı, ancak daha sonra türbülans teorisine de büyük bir katkı oldu. Yeni fikir, renormalizasyon olarak bilinen güçlü bir tekniğin geliştirildiği faz geçişlerinin fiziğinden matematiğe geldi . Kaosun bazı özelliklerinin evrensel olduğunu bir kez daha gösterdi - bunlar kesin denklemlere değil, tuhaf çekicinin niteliksel tipine bağlı. Ek olarak, yeniden normalleştirme, belirli kaos türlerini tespit etmek için deneyleri basitleştirdi. Bunu detaylandırmak için daha önceki bir konuya dönmek istiyorum: Voyager uzay aracı.

Uzay okyanusunda şişe

Voyagers'ın güneş sistemindeki büyük turu Uranüs'te bitmeyecek. Kendilerinden öncekiler olan Öncüler gibi, yıldızlararası uzayda uçmaya devam edecekler. Önümüzdeki 40 bin yıl içinde AC + 79 3888 yıldızına bir ışık yılı uzaklıktan yaklaşacaklar. Milyonlarca yıl içinde, muhtemelen diğer gezegen sistemleriyle çarpışarak galaksimizi geçecekler.

Bu gezegen sistemlerinden birinde akıllı yaşam olma ihtimali çok düşük olsa da , Voyager'lar gramofon kaydı içeren 12 inçlik altın kaplama bakır bir disk taşırlar (Şekil 10.1). Bu diskin girintilerinde, kıta kayması diyagramından bir süpermarkete ve Akadca “Repo”dan Beethoven'ın beşinci senfonisine kadar çeşitli seslere kadar 115 fotoğraf kodlanmıştır. Carl Sagan, "Bu kayıt, uzay aracı yıldızlararası uzayda gelişmiş bir uygarlıkla çarpışırsa çalınabilir " dedi. "Bu şişenin kozmik okyanusa fırlatılması, gezegenimizde yaşamın varlığına dair ikna edici kanıtlar." Böyle özel bir kozmik hareketin inatçı bir insan ruhunun dostça bir tezahürü mü yoksa potansiyel bir düşmana galaktik koordinatlarımıza ihanet eden tehlikeli bir ihanet mi yoksa nihayet anlamsız kibir mi olduğuna karar vermeyi taahhüt etmiyorum . Uzaylıların bu hazineyi, özellikle de Jane Goodall'ın şempanzesiyle olan resmini bulduklarında ne gibi sonuçlara varacaklarını merak ediyorum ve bence bu onlara yanlış bir fikir verebilir.

Ancak, onu geri getirmek için çok geç.

Voyager'a yerleştirilen üçüncü fotoğraf ise matematiksel tanımlar içeriyor. Geleneğe göre, ET temasının en iyi matematik yoluyla, muhtemelen evrensel düşünce ortamı olduğu için yapılır. Carl Friedrich Gauss bile, Sahra çölünde çizilen Pisagor teoreminin bir diyagramının Mars sakinleri tarafından teleskoplarla gözlemlenebileceğine inanıyordu. Diğer şemalar, asal sayı dizilerini ve 7r sayısının işaretlerini içerir. Mesajın yazarları, herhangi bir uygar, zeki ırkın onları tanıyabileceği ve gemiyi donatan yaratıkların entelektüel uygarlık düzeyini değerlendirebileceği varsayımından yola çıktı.

Bu planların göreve uygun olmayabileceğine ve sadece sınırlılıklarımızı göstereceğine inanıyorum . mm sayısı muhtemelen karasal matematik için önemli olmaya devam edecek, ancak bir milyon yıldan bahsetmiyorum bile, önümüzdeki on bin için temel öneme sahip bir nesne olarak kalacağına bahse girmem. Temel bilgi, Büyük Macellan Bulutu'ndan yeşil dokunaçlı matematikçilerin ne anlama geldiğini bilmiyorum. bilimsel olarak

James Blish'in bilimkurgu romanı Clash of the Saucers, gezegen-zeplin Chi'nin matematikçisi dünyevi bir matematikçiye benziyor, ancak yanlış anlamalar var: "Burada, örneğin, Retm kullanıldı ( 1 , Amalfi deneyinde hesaplamalarda kullanıldı) basit bir sabit olarak." Ne bir uyarı!

, muhtemelen bilinmeyen bir yapay kaynak tarafından gönderilen bir mesajı kaydettiğini varsayalım : bir dizi ikili flaş, ondalık sayılara dönüştürüldükten sonra, birçok kez tekrar eden bir dizi 4.669201609 içerdiği ortaya çıktı. ... Bilim dünyası, sinyalin 3.141592653'e eşit çıkmaması nedeniyle bir miktar hayal kırıklığını dile getirecekti, ki bu onun bu tartışmadaki hayal uçuşuna tekabül edecek, 7D rakamı olarak. Ama belki de dikkate değer başka bir sayıdır? Doğal logaritma e'nin tabanı, altın oran, Euler sabiti ve ikinin karekökü gibi temel matematiksel sabitlerin tablolarıyla onu yakalayacaklardı, ama boşuna. Artan hayal kırıklığı ile Katalan sabiti veya en küçük hiperbolik 3-manifold 1 ...

Hayır, 4.669201609'a yakın önemli bir sayı yoktur. Gökbilimciler, bu tür periyodik titreşimlerin doğal bir kaynağını, uzak bir nötron yıldızını, bir kara delikten gelen radyasyonu aramaya zorlanacaklar .

Ancak aynı sinyal 1976'da alınmış olsaydı...

Öfke değil - yeniden normalleştirme!

Mitchel Feigenbaum bir fizikçiydi. Uzak 1970'lerde Los Alamos laboratuvarında çalıştı. Bazı meslektaşları "işe yaradı" kelimesine itiraz edecekti çünkü hiç kimse , kendisi de dahil olmak üzere Feigenbaum'un tam olarak ne üzerinde çalıştığını bilmiyordu.

Doğrusal olmayan sistemlerle ilgilendi. O zamanlar, doğrusal olmayanları işlemenin ana yöntemi, parçacık fiziğinde, çoğunlukla onları icat eden fizikte Nobel ödüllü Richard Feyman'ın adını taşıyan Feyman diyagramları biçiminde kullanılan pertürbasyon tekniğiydi. Bir öğrenci olarak Feigenbaum, bu tür hesaplamaları gerçekleştirmenin yollarını araştırdı ve doğrusal olmayanlığı anlamak için yanlış bir yaklaşımı yansıttığına karar vererek onları terk etti.

Fiziğin çeşitli dalları, faz geçişleri ile ilişkilidir - örneğin bir sıvının gaza dönüştürülmesi gibi maddenin durumundaki değişiklikler. Faz geçişlerinin matematiği doğrusal değildir. Kenneth Wilson , Cornell'de yeni bir faz geçişleri teorisi bulduğunda, renormalizasyon olarak bilinen bir teknik yarattı. Feigenbaum bu yöntemi çok beğendi. Wilson'ın yöntemi, öz-benzerlik ilkesine, yani birçok düzeyde özdeş bir matematiksel yapıyı sürdürme fikrine dayanmaktadır. Artık klasik türbülansın tasviri şu yapıyı içerir: sürekli azalan girdapların sonsuz bir çağlayanı . Benzer bir şey Lewis Richardson tarafından Jonathan Swift parodisinde tarif edilmiştir:

Büyük kasırgalar, hızlarıyla beslenen daha küçük kasırgalar içerir.

Ve küçük girdaplar daha da küçük girdaplar içerir ve bu viskoziteye kadar devam eder.

Feigenbaum, Wilson'ın renormalizasyon yöntemini türbülansın tanımına uygulamayı düşünen yalnız değildi. Dışarıdan, türbülans, matematiksel ve fiziksel olarak tam olarak bir faz geçişine benzer. Tek fark, türbülans oluştuğunda, akış yapılarının dönüşümünün maddenin fiziksel yapısındaki değişimden daha hızlı gerçekleşmesidir. Bu nedenle, umut zayıf olmasına rağmen birkaç fizikçi bu fikir üzerinde çalıştı ve varsa bile kimse bunu nasıl gerçekleştireceğini bilmiyordu.

gerçek bir çalkantılı akışın tüm karmaşıklığına uygulamaya çalışmadı . Bunun yerine, Smale gibi, lineer olmayan diferansiyel denklemlerle hangi genel fenomenlerin tanımlanabileceğiyle ilgilendi. Ders kitaplarının bu açıdan gerçekten yararlı hiçbir şey içermediğine ve onları okumanın zaman kaybı olduğuna karar verdi. Böylece bildiği en basit lineer olmayan denklemle – eski bir dostumuz – lojistik haritayla başladı.

Lojistik haritalama birçok kişi tarafından incelenmiştir. Ekolojist Robert May, 1971'de onunla çalıştı ve onu doğrusal olmayan popülasyon modellerinin ilginç özelliklerini incelemek için kullanışlı bir araç olarak kullandı. Aynı yıl Nicholas Metropolis, Paul Stein ve Myron Stein, bu haritalamanın önceden düşünülenden çok daha karmaşık olduğunu gösterdiler. Paul Stein, Feigenbaum'u bu konuda uyardı ve bir süre sonra bu sorun onun kaynak malzemesi oldu. En basit doğrusal olmayan haritalama bile gerçekten anlaşılmaz ise, o zaman doğrusal olmayan dinamiklerin gerçekçiliğine nasıl güvenilebilir?

Bunu düşünen Feigenbaum, 1975'te bir konferansa katıldı ve Smale'nin dinamik sistemler üzerine bir konferansını dinledi. Smale, lojistik haritalamadan ve kaosa yol açan periyodun ikiye katlanmasından bahsetti. O zaman, şüphesiz ve gerçek matematiksel ilginin, tüm katlama dönemlerinin biriktiği, kaskadların sona erdiği ve kaosun ortaya çıktığı nokta olduğunu fark etti. Bundan bir kez daha ilham alan Feigenbaum, sorunu yakıt deposundan çıkardı ve gaza daldırdı.

Bilgisayarsız çalışmanın faydaları

Lojistik haritanın şu şekle sahip olduğunu unutmadınız.

xA ; x(1 - x),

burada x 0 ile 1 arasındadır ve k , 0 ile 4 arasında bir parametredir. Sahip olduğu birçok özellikten yalnızca, daha önce Feigenbaum'dan sonra incir ağacı (pd-igee) olarak adlandırdığım dönem katlamalı şelale ile ilgileniyoruz.

Yukarıda gösterildiği gibi, A parametresinin değeri arttığında bir incir ağacı ortaya çıkar; 3'ten yaklaşık 3.58'e. 0 ile 3 arasındaki k için yalnızca kararlı bir durum vardır. k = 3'te, döngü 2 olan bir periyot meydana gelir, k = 3.5'te periyot 4'e yükselir, k = 3.56'da tekrar ikiye katlanır ve 8'e eşit olur, vb. Art arda ikiye katlamalar daha hızlı ve daha hızlı birikir ve çekicinin artan k ile nasıl değiştiğinin görüntüsü, sonsuz sayıda daha kısa ve daha kısa dalı olan, dallara, ince dallara, ikili süreçlere dönüşen, her aşamada iki işleme ayrılan bir ağacı andırır. Smale, bir incir ağacının en dıştaki ikili dalında k yaklaşık 3.57 olduğunda ne olduğunu sordu ve Feigenbaum bir cevap arıyordu.

çeşitli ikilemelerin meydana geldiği k parametresinin değerlerinin tam sırasını hesaplamak . Bugün bunu masaüstü kişisel bilgisayarınızda otomatik olarak yapacaktınız, ancak o zamanlar uzun bir süreçti: delikli kart destelerinde hazırlanan görevler kullanılarak hesaplamalar yapıldı ve sonuçlar bir gün sonra yayınlandı; olağan küçük bir hatanın varlığında, bir sayfa kağıda, şanslıysa, kısa bir hata mesajı ile yazdırıldı. Bu nedenle, bir bilgisayar yerine Feigenbaum, Hewlett-Packard'ın 65 program için tasarlanmış programlanabilir bir hesap makinesini kullandı.

Görünüşe göre şansının nedeni buydu, çünkü hesap makinesi o kadar yavaş çalışıyordu ki, operatörün sonuçlar ortaya çıkmadan önce düşünmek için zamanı vardı. Nitekim başardı . Hesaplama, gerekli sayıya yaklaşılarak başladı ve ardından sonuç adım adım iyileştirildi. Bu nedenle, ilk yaklaşım ne kadar iyi seçilirse, tüm hesaplama için o kadar az zaman gerekir . Böylece zaman kazanmayı başarırsınız - bir hesap makinesi kullanıyorsanız tüm işin kilit noktası. Feigenbaum, kaskaddaki bir sonraki sayıyı kabaca tahmin etmeye çalıştı. Kısa sürede bir yolunu buldu. Ardışık sayılar arasındaki fark, oranlarının sabitliğinden oluşuyordu, birbirini izleyen her biri bir öncekinden yaklaşık dört kat daha büyüktü. Daha doğrusu, oran yaklaşık 4.669 idi.

Bir matematikçi bu geometrik yakınsama adını verir ve muhtemelen bunu düşünmez. Bununla birlikte, bir fizikçi için, özellikle de faz geçişleri hakkında bir şeyler bilen biri için, oranın sabitliği ölçekleme anlamına gelir . Fiziksel özellikler bu tür her durumda benzerdir, ancak daha küçük bir ölçekte ortaya çıkar. Türbülansta olduğu gibi büyük girdapların içindeki küçük girdaplar . Belirli bir yapı içinde, aynı yapının daha küçük kopyaları olmalıdır, boyutları ölçekleme faktörü tarafından belirlenir.

Feigenbaum, incir ağacının en dış dallarında, yapının boyutu 4.669'luk bir ölçekleme faktörü ile değişirken aynı kalan matematiksel bir yapının olması gerektiğini açıkça anladı. Bu yapı kendi içinde incir ağacının şeklidir . Kararlı bir çekici bir ağaç gövdesi oluşturur . 2 periyodu olan çekiciler iki daha kısa dal oluşturur. 4 periyodu olan daha kısa dallar onlardan büyür, daha sonra periyodu olan çubuklar

8, 16 periyotlu ikili dallar vb. Gövdenin dala, dalın dala, dalın dala, dalın ikili dala oranları, ağacın tepesine yaklaştıkça ona doğru meyleden 4.669 sayısına gittikçe yaklaşıyor.

Pirinç. 10.2. İncir ağacında kendine benzerlik: ideal olarak, her ikili dal orijinaliyle aynı şekle sahiptir, ancak daha küçüktür.

Aslında, bir dalı keserek, tüm incir ağacının yaklaşık bir kopyasını elde ederiz (Şekil 10.2). Aynı şey bir ikili süreci koparırsak olur. Her kopya orijinalden daha küçüktür ve boyutu, 4.669 değerine yaklaşan bir ölçek faktörü ile küçültülür. Ve aynı şekilde daha fazla indirgeme meydana gelir ve daha fazla, formdaki benzerlik daha büyük olur. Bu kendine benzerliktir. Bu tam olarak Wilson'ın yeniden normalleştirme yönteminin uygulanabileceği şeydir. Feigenbaum'un bundan sonra ne yapacağı konusunda hiçbir fikri yoktu ama doğru yolda olduğunu biliyordu.

Yılanlar ve ayılar

lojistik haritalamanın bazı ilgi çekici özelliklerini belirlediler. En az bir haritalamada daha benzer özellikler buldular , trigonometrik

x -> k 8ІП x

Bu sonuçlardan ilham alan Feigenbaum, trigonometrik haritalamayı kullanarak hesaplamalarını tekrarladı. Ve yine iki katına çıkan bir periyot buldu (Şekil 10.3). Yine yakınsama geometrikti ve Figo dallarının ölçekleme faktörü

ilk ağacın bir sabiti talip.

Pirinç. 10.3. İncir ağacı: trigonometrik ekranda periyot ikiye katlama kaskadı (Şekil 8.8 ile karşılaştırın).

Aslında bu şaşırtıcı değildi. En azından sayıların aynı özelliği ortaya çıkarılmalıdır: Sonlu bir uzaya sonsuz sayıda dalı sıkıştıracak kadar hızlı azalmak. Sabit ölçeklendirme muhtemelen bunu başarmanın en kolay yoludur.

Ve yine de bunda şaşırtıcı bir şey vardı. Ölçekleme faktörünün değeri .

Yine 4.669'a eşitti.

Muhteşemdi. Tamamen farklı formüllerle verilen iki eşlemenin aynı ölçekleme faktörüyle dallanması için iyi bir neden yok gibi görünüyordu , ancak hesap makinesi durumun böyle olduğunu gösterdi.

Belki de bu sadece bir tesadüftü. Belki bir sonraki ondalık basamakta bu sayılar farklıydı. Bu sorunu çözmenin en kolay yolu hesaplamaları daha doğru yapmaktı ve şimdi Feigenbaum bilgisayarı nasıl kullanacağını öğrenmenin zamanının geldiğini hissetti. "Önce düşün, sonra say." Bu slogan her bilim insanının bilgisayar terminaline kazınmalıdır.

Lojistik haritalama için Feigenbaum tam ölçeklendirme faktörünü çabucak buldu: 4.6692016090.

Trigonometrik gösterim için hesaplamayı tekrarladı. Her iki sayı da on ondalık basamağa eşittir.

Bu bir tesadüf olamazdı. Ama bunun olmasının nedeni nedir? Kafası karışan Feigenbaum, James Gleick'in Chaos'ta tarif ettiği analojiye döndü :

Ağırlık olarak adlandırdığı bazı soyut niteliklere sahip oldukları için bazı cisimlerin diğerlerinden daha ağır olduğuna karar veren ve bu fikri bilimsel bir bakış açısıyla araştırmak isteyen tarih öncesi bir zoolog düşünün. Aslında, ağırlığı hiç ölçmedi, ancak bu konuda adil bir fikri olduğunu düşünüyor. İrili ufaklı yılanlara, irili ufaklı ayılara baktığında, bu hayvanların ağırlığının boyutlarıyla bir şekilde ilişkili olduğunu tahmin ediyor. Bir terazi yapar ve yılanları tartmaya başlar. Şaşırtıcı bir şekilde, tüm yılanlar aynı ağırlığa sahiptir. Onun dehşetine, ortaya çıkıyor

her ayının da aynı ağırlığa sahip olduğunu. Daha da şaşırarak, ayıların yılanlar kadar ağır olduğunu fark eder. Hepsi tam olarak 4.6692016090 ağırlığındadır. Ağırlığın, önerdiği kalitede olmadığı açık .

Aslında bu bir gizemdi. Ama şimdi Feigenbaum, peşinde olduğu örnekte bir umut ışığına sahipti ve sıcak takipteydi.

Ancak bu parça beklediğinden farklıydı.

Fizik ve uygulamalı matematiğin geleneksel görüşü, dünyadaki en önemli şeyin incelenen sistemi tanımlayan denklem olduğunu varsayar. Suyun banyodaki hareketini incelemek için önce denklemler yazılır. Ardından banyoya ara verebilir ve matematiğe konsantre olabilirsiniz. Tıpkı bir bebeğin yetişkin olması gibi, ihtiyaç duyulan her şey denklemden akmalıdır.

Feigenbaum, bu zamana meydan okuyan uygulamayı takip etti ve banyoyu döktü. Bebek suyla birlikte dışarı atıldı. Ölçeklendirme faktörü, lojistik veya trigonometrik denklemden bağımsızdı. Önemli değildi.

Her şey doğru gibi görünüyor, doğru örneği buldu.

Ama hiç mantıklı gelmedi.

yeniden normalleştirme

Yeniden normalleştirme bilinen bir teknikti, bu yüzden soruna saldırmanın birçok yolu vardı. Feigenbaum hepsini denedi. Sonuçlarını gayri resmi olarak sundu ve birçok insanla konuştu. Yavaş yavaş ışık matematiksel karanlığa nüfuz etmeye başladı . Bu zamana kadar fikirlerini yayınlamaya hazırdı ve neler olup bittiğine dair oldukça eksiksiz bir resme sahipti. Wilson'ın yeniden normalleştirme yöntemi , başlangıçta amaçladığı gibi, ancak olağan teknik biçiminde değil, daha çok onun temel felsefesi olarak bu fenomenin altında yatar. Feigenbaum, ilki bu olgunun matematiksel yönlerine bakan ve ikincisi neden bu kadar çok farklı görüşün aynı ölçeklendirme faktörüne sahip olduğuna bakan iki makale yazdı. Argümanları hala kesin kanıtlardan yoksundu, ancak burada mucize olmadığına dair bir tartışma ve açıklama içeriyordu - bu sadece matematiksel yapının mantıksal bir sonucudur. Pierre Collet, Jean-Pierre Eskman ve Oskar Lanford, Feigenbaum senaryosunun doğruluğuna dair kesin bir kanıt bulan bu bilmecenin son noktalarını koydular.

Temel fikir çok güzel ve onu açıklamaya çalışacağım ama sizi uyarmalıyım ki resmin sadece küçük bir kısmını veriyorum ve tam olarak anlamak için çok daha fazla bilgiye ihtiyaç var.

Yeniden normalleştirme ile ne olduğunu hayal etmenizi sağlayacak bir benzetme ile başlayacağım. Size hatırlatmama izin verin, bir sürecin veya nesnenin küçük bir parçasını seçip büyütebilirseniz ve lojistik bir ekranın pencereleri gibi bütüne çok benzeyen bir şey elde edebilirseniz kendine benzer olduğunu . Benzer şekilde, türbülanslı bir akışkan içinde rastgele küçük bir girdap seçip büyük bir girdap ile sonuçlanabilir. Burada da belirli bir derecede artması gerektiğinden bir ölçekleme faktörü kullanılır.

daha küçük parçalar alarak ve onları tam boyutlarına büyüterek , ortaya çıkan resim , giderek daha büyük büyütmelerde görünen ardışık versiyonların neredeyse aynı görünmesi anlamında sabitlenebilir . Eğer böyleyse, sonsuz küçük bir başlangıç geometrisinden sonlu boyutlu bir resmi tanımlayan sınıra geçebiliriz. Bu prosedüre sistem renormalizasyonu denir . Yeniden normalleştirilmiş versiyonda, kendi kendine benzerliğin yaklaşık olmaktan ziyade kesin olması avantajına sahiptir. Orijinalin yalnızca sonsuz küçük geometrisine bağlı olan herhangi bir özelliği, yeniden normalleştirilmiş nesnenin son geometrisinden elde edilebilir.

kendine benzer yapıları genişleten, yaklaşıklıkları ortadan kaldıran ve gereksiz olan her şeyi filtreleyen bir mikroskoba işlevsel olarak benzeyen matematiksel bir numaradır .

Yeniden normalleştirmenin temel matematiksel özelliklerini açıklığa kavuşturacak bir benzetme bulmak için , büyük dairelerin parçası olan küçük yayların geometrisini düşünün. Dairenin küçük yayının sadece hafif kavisli düzgün bir eğri olması anlamında daire yaklaşık olarak kendine benzerdir. Arttırırsanız, yayın şekli pek değişmez ve hafif kavisli ve pürüzsüz kalır. Öz -benzerlik burada kesin değildir. Daha kavisli bir yay alırsak, o zaman bir artışla değişecektir, ancak sadece küçük bir miktar . Bununla birlikte, düz bir çizgi tam olarak kendine benzer: bir parça alır ve onu istediğiniz boyuta uzatırsanız, orijinali elde edersiniz.

Büyük bir daire bir karıncaya nasıl görünür? Muhtemelen düz. Benzer şekilde, içinde yaşadığımız geniş küre bize düz görünür. Sonsuz küçük bir karınca için sonsuz büyüklükte bir daire muhtemelen tam bir düz çizgi gibi görünür. Ancak, “sonsuz” ve “sonsuz küçük” gibi kelimelere dikkat edin. Bu tür ifadelere kesin bir anlam vermek mümkün müdür?

Yeniden normalleştirme yoluyla. Bir daireyi yeniden normalleştirmek için, tüm küçük parçalarını ve aynı uzunluğa gerilerek elde edilecek yayları düşünün ve ardından sonuçları karşılaştırın. Gördüğünüz, düz bir çizgiye giderek daha yakın olan ve sınır olarak düz bir çizgiye yönelen bir yay dizisidir (Şekil 10.4). Bu limit, dairenin "sonsuz derecede küçük" düzlemini yakalar ve yaklaşık öz benzerliği tam öz benzerliğe dönüştürür.

Pirinç. 10.4. Bir dairenin yeniden normalleştirilmesi, onun "sonsuz küçüklüğünün" düz bir çizgi olduğunu gösterir.

Ek olarak, düz bir çizgiye dönüştürme süreci biraz evrenseldir. Yeniden normalleştirmeyi tekrarlarsak, ancak bir elips ile başlarsak, tekrar düz bir çizgi elde ederiz. Aynısı aslında herhangi bir düzgün eğri ile olur. Orijinal eğri ne kadar düzgün olursa olsun, yeniden normalleştirme süreci onu düz bir çizgiye dönüştürür. Bu nedenle, düz bir çizgi, düzgün eğri yeniden normalleştirme prosedürü için "evrensel bir çekicidir".

Öte yandan, köşesi olan bir şekille başlar ve köşe her zaman görüntüde kalacak şekilde yeniden normalleştirirseniz, sınır eğrisi köşenin tepe noktasında kesişen iki düz çizgi olacaktır. Bu nedenle, düz bir çizgi yalnızca başlangıçta düzgün eğrilerin belirli bir sınıfı için evrenseldir.

Faz geçişlerini inceleyen fizikçiler, bu fenomenin evrensel olduğunu bulmuşlardır. Kritik üsler olarak bilinen bazı fiziksel nicelikler, matematiksel modelin doğruluğundan bağımsız olarak aynı değerlere eğilimlidir . Bunun nedeni, farklı modellerin renormalizasyondan sonra aynı görünmesi ve kritik özelliklerinin sadece renormalize modele bağlı olmasıdır.

Feigenbaum eşlemesi

Feigenbaum, aynı tekniğin incir ağacına da uygulanabileceğini fark etti. Bir incir ağacının ölçekleme faktörü kritik üsse benzerdir, bu nedenle faz geçişlerinde gözlemlenen evrensellik , seçilen gösterimden bağımsız olarak incir ağaçlarında her zaman görünen aynı ölçeklendirme faktörüne karşılık gelmelidir.

k parametresi değiştikçe değişen 1, 2, 4, 8, 16, ... periyotlarıyla periyodik döngülerin sıralı oluşumunu gösteren bir diyagram olduğunu hatırlayın .

Temel fikir, periyodun sonraki her iki katına çıkma işleminin aynı şekilde gerçekleştirilmesidir. 2 P periyotlu bir periyodik çevrim kararsız hale gelir ve 2 n + 1 periyotlu bir periyodik çevrim oluşturur. Bunun yapılma şekli, 2 P döngüsünün her bir noktasını ikiye bölmektir . 2n +1 döngüsünün oluşumundan hemen sonra detaylarına bakarsak, nokta çiftleri bulanıklaşır ve sadece eski 2n döngüsünü görebiliriz.

2n döngüsünde sadece bir nokta seçip ikiye ayrılmasını izlemenin matematiksel bir hilesi var . Sanki matematiksel bir mikroskopla 0 ile 1 arasındaki küçük bir parçaya bakıyormuşsunuz gibi. Bölme geometrisi, bu aralık dışında her yerde hemen hemen aynıdır. Bir fotoğraf böyle bir matematiksel mikroskopla çekilir ve standart bir boyuta büyütülürse , periyot iki katına çıktıkça ardışık görüntüler giderek daha benzer görünür. Dönem sonsuza yaklaştıkça incir ağacının tepesine yaklaşırsınız ve birbirini takip eden fotoğraflar giderek daha çok nihai görüntüye benzer hale gelir.

Yeniden normalleştirme analojisi artık açıktır. Matematiksel olarak, bu prosedürler aynıdır. Yani, limit eşlemenin ne olduğunu ve neye karşılık geldiğini daha iyi anlamak için bu benzetmeyi kullanmaya devam edebiliriz.

yalnızca belirli bir orijinal haritalama tarafından iyi bir şekilde desteklendiğini varsayıyoruz - lojistik , trigonometrik veya yalnızca bir tepe noktası olan başka bir harita. Buradaki kritik faktör , tıpkı çemberler ve elipslerin yeniden normalleştirildiklerinde düz çizgiler haline gelmesi gibi, tüm bu durumlarda aynı kalan limit eşlemenin biçimidir.

Evrensel sınır resmine uyan bir eşleme bulmak için, - bu " dairesel benzetmede" - düz bir çizginin onu olağandışı kılan belirli bir özelliği olduğunu gözlemleyerek başlıyoruz : yeniden normalleştirme altında tamamen aynı kalıyor - tamamen kendine benzer. Mikroskop altında büyütme sürecinde sınırlayıcı şekle yaklaşmayan, ancak her adımda aynı özdeş şekli yeniden üreten belirli bir haritalama bulabildiğimizi varsayalım. Yani, arketipi Şekil 10.2'de gösterilen çatallanma şeması tamamen kendine benzer. O zaman bu özel haritalama, kendine benzer düz çizgi ile yeniden normalleştirmede aynı rolü oynamalıdır . Böyle bir haritaya Feigenbaum haritası diyelim . Düz bir çizgi gibi, renormalizasyon sırasında değişmez . Feigenbaum, ilk haritalamadan bağımsız olarak, renormalizasyondan sonra bu özel haritalamaya, rastgele bir düzgün eğrinin düz bir çizgiye yaklaştığı gibi yaklaştığını kanıtladı.

Feigenbaum haritası söz konusu olduğunda, bir incir ağacı dalının ardışık ikili dallarının sabit bir oranda olduğu gerçeği, doğrudan tanımından kaynaklanmaktadır: sabit bir oran, ardışık fotoğrafların aynı bir şekli vermek için artması gereken orandır. Bu hız, Feigenbaum haritalamasının neye benzediğini anlayarak bir kez ve herkes için hesaplanabilir. Yalnızca bir Feigenbaum eşlemesi olduğu için yalnızca bir sayı vardır. Tesadüfen bu sayı 4.6692016090'dır. Eh, bu zaten bir şey.

Bununla birlikte, başka herhangi bir eşleme için, art arda büyütülen görüntüler birbirine çok benzemez, ancak Feigenbaum eşlemesine benzerler. Böylece incir ağacı aynı oranda çatallanır ve Feigenbaum haritasına yönelir. Böylece , limitte aynı oranı 4.6692016090 elde ederiz.

Elipsler ve daireler, kendine benzerlik özelliğine sahip olan düz bir çizgide yeniden normalleşir. Aynı şekilde, lojistik ve üç gonometrik harita , öz-benzerlik özelliği ile de karakterize edilen Feigenbaum haritasına yeniden normalleştirilir.

Feigenbaum, tüm sürecin daha karmaşık bir resmini verdi. Sayılarla değil, eşlemelerle tanımlanan çeşitli dinamik sistemler vardır . Bunlar, her adımda belirli bir görüntüyü mikroskoptan bakarak ve büyütülmüş bir fotoğraf çekerek bir sonrakine dönüştüren ayrı sistemlerdir . Feigenbaum haritası böyle bir sistem için çekicidir. Lojistik, trigonometrik veya diğer herhangi bir haritalama ile başladığımıza bakılmaksızın, dinamikler onun Feigenbaum haritalamasına olan yaklaşımını belirler. Bu nedenle, büyütme prosedürünün yalnızca son aşamalarına bağlı olan eşlemelerin özellikleri Feigenbaum eşlemesine yaklaşır.

Özellikle tek bir sayı 4.6692016090 vardır, çünkü bu dinamik sistemde tüm eşlemeler için tek bir çekici vardır . Feigenbaum sihirli sayısı, i sayısı gibi, doğal ve temel bir matematiksel sabittir. Büyük Macellan Bulutu'ndaki yeşil dokunaçlı matematikçiler dinamik olarak güçlüyse, bu sinyalin yaşanabilir evrenin başka bir bölümüne ait olduğunu anlayabileceklerdir.

Feigenbaum değerleri

Faz geçişlerini inceleyen fizikçiler, çeşitli matematiksel modeller için aynı sayısal sonuçların elde edilmesini mümkün kılan bu tür evrensellik biçimlerini kullandılar. Her zaman olduğu gibi bunun meşruiyetini kanıtlayamadılar, ancak bir şekilde kullanmayı öğrendiler. Modellerin kütlesi aynı sonucu veriyorsa, hesaplamalar için en basit olanı seçilmelidir.

Matematikçiler en iyi temsil biçimini seçerken, Feigenbaum çok daha iyi bir konumdaydı. Farklı eşlemelerin her zaman aynı ölçekleme faktörünü verdiğini kanıtlayabilirdi . Teorisinin katı versiyonunda, 4.669 sayısı operatörün bir özdeğeri olarak görünür . Özdeğer, belirli bir yönde toplam gücü ölçer. Oyun oynamayı seven fizikçiler 4.669'a Feigenbaum değeri diyorlar .

Feigenbaum'un anlamlarının evrenselliği mutlak değil, görecelidir . Ölçekleme faktörü, tek bir parabol benzeri ekstremumu olan ekranlar için her zaman 4.669'dur. Çoklu ekstremumlar ve bir parabolden belirgin şekilde farklı olan şekiller için, örneğin düz veya sivri bir ekstremum için, ölçekleme faktörü farklıdır (Şekil 10.5). Bununla birlikte, bu yeni sayı ile bir ölçeklendirme faktörü olarak nitelendirilen bir dizi eşleme vardır. Son derece çeşitli eşleme serileri, sabit bir ölçeklendirme faktörü ile evrensellik sınıfları oluşturmak için birleştirilir.

Pirinç. 10.5. Çoklu veya düz ekstremumlu eşlemeler, farklı Feigenbaum değerlerine yol açar.

Evrensel olanlara benzer doğrusal olmayan eşlemelerin dinamikleriyle ilgili başka sayılar da vardır. Örneğin, bir incir ağacı için 4.669 olan ölçekleme faktörü, k parametresi ile ölçülen dalların uzunluklarının veya daha doğrusu yatay izdüşümlerinin oranıdır . İncir ağacının görüntüsüne bakarsanız, küçük dalların büyükler kadar hızlı açılmadığını fark edeceksiniz. Dal açma hızı da evrensel bir sabit tarafından ölçeklendirilir, ancak farklıdır. 2.5029078750957'ye eşittir.

iki ucu keskin kılıç

kaotik modellerin deneysel doğrulaması için oldukça ilginç ve önemlidir . Birçok gerçek sistem , dönem katlama serileri içerir. Onlara biraz sonra bakacağız. Bu durumda doğal model , lojistik haritalamada olduğu gibi dinamik bir sisteme dönüştürülür. Feigenbaum tarafından elde edilen evrensel sonuca dayanarak, iki deneysel tahmin mümkündür. Birbirini izleyen ikilemeler arasındaki aralık büyüklüklerinin oranı yaklaşık olarak 4.669'a eşit olmalı ve dalların açılma oranı yaklaşık 2.502'ye eşit bir oran vermelidir.

Bu tahminleri test etmek için oldukça basit bir yöntem var. Gözlemler yapar ve sayıları hesaplarsınız. Teori şu şekilde çürütülebilir: eğer yanlışsa, bunun yerine 6.221 ve 0.074 gibi başka sayılar alırsınız. Bu teori temelde doğru kabul edildiğinden, Feigenbaum tarafından tahmin edilenlere yakın sayılar elde etmek mümkün olsaydı, gerçeklikle harika bir tesadüf olurdu .

Lütfen nicel tahmin sonuçlarının nitel modellere dayandığını unutmayın! Muhteşem!

Ama bu mucizenin bedelini ödemelisin. Bunu mümkün kılan fenomen - evrensellik - aynı zamanda , aynı evrensellik sınıfına aitlerse, deney sonuçlarının eşlemelerinde farklılık göstermediği anlamına gelir. Trigonometrik haritalama, lojistik haritalama ile aynı deneysel testi geçecektir. Aynısı, bir ekstremumu olan herhangi bir eşlemede de olacaktır.

Deneyin aslında tahmin edildiği gibi 4.669 ve 2.502'ye yakın sayılar verdiğini varsayalım. Bu nedenle, deneyin davranışının gerçekten de incir ağacına kaosa doğru tırmanan ayrı bir dinamik sistem tarafından tanımlandığından oldukça emin olabiliriz. Ancak tam olarak nasıl bir sistemden bahsettiğimizi söylemek mümkün değil . Bu farklı bir konu. Bu test, bir sistemin kendisine özgü bir sınıfa değil, tüm bir denklem sınıfına ait olup olmadığını belirler.

, bir modelin tek bir denklem özelliğine dayalı bir tahminin gerçeklikle karşılaştırıldığı geleneksel bir deney fikrinden önemli ölçüde farklıdır .

Öte yandan, 4.669 olan Feigenbaum değerinin evrensel olduğunu bilmediğimizi ve lojistik haritanın hakkında bir şeyler bildiğimiz tek ekstremum harita olduğunu varsayın . Feigenbaum'u teorisine götüren hesaplamaları tekrarlayarak, bu denklemden 4.669 sayısını çıkarabiliriz. Deney varsayımımızı doğrularsa, lojistik haritalama modeli lehine net kanıtlar aldığımızı düşünebiliriz . Ancak bu temelde, aynı niteliksel türden başka herhangi bir modelin de bize aynı sayıyı vereceğini anlayamayız!

Örneğin, başka bir yaşamda, alternatif bir evrende Galileo olarak doğduğunuzu hayal edin. Bir teori geliştirdiğinizde, fırlatılan bir nesnenin bir parabol tanımladığını görürsünüz. Bazı sayıları hesaplarsınız, bir deney yaparsınız ve iyi bir eşleşme elde edersiniz. İyi bir nedenle, parabolik bir bağımlılık olduğu sonucuna varıyorsunuz. Ve aynı değerleri veren, ancak parabolik bir ilişkinin varlığını göstermeyen başka birçok teori olduğu da aklınıza bile gelmiyor .

Bu nedenle, Feigenbaum'un evrenselliği keşfi iki ucu keskin bir kılıçtır. Belirli bir kaotik model sınıfına ait olmanın deneysel doğrulama sürecini nispeten kolaylaştırır, ancak aynı sınıftan modelleri ayırt etmeyi mümkün kılmaz.

Bu durumdan çıkmanın tek bir yolu var - daha hassas testler aramak: periyot ikiye katlama dizisinin yapısını detaylandırmak ve sadece birikim noktalarının yakınındaki davranışı incelemek değil , aynı zamanda ağacın dalını aramak da. merkezden en uzak.

en uzak dallarına yakın davranış gibi ) modeller arasındaki farkın sadece niteliksel değil aynı zamanda niceliksel olduğu da dikkate alınmalıdır . Bu tür amaçlar için, belirli bir evrensellik sınıfına ait herhangi bir teori, bir başkası kadar iyi yapacaktır.

çalkantılı fanteziler

Feigenbaum'un çalışmasına, akışkan hareketi için çok özel ve karmaşık bir denklem sistemi olan Navier-Stokes denklemleri ile tanımlanan türbülans hakkında düşünerek başladığını söylemiştim. Bu denklemleri orijinal hallerinde incelemek yerine, basitleştirilmiş, yapay bir denklemle – bir lojistik haritayla – çalıştı. Böylece paha biçilmez bir keşif yaptı: evrensellik. Daha gerçekçi olmalarına rağmen, hiçbir zaman doğrudan karmaşık denklemlerden alamadı. Bazen gerçekçilik bir engeldir.

Diferansiyel denklemlerin incelenmesi için matematiksel yöntemler, bir problemin diğeriyle değiştirilmesini mümkün kılan çeşitli tekniklerin kapsamlı bir listesini içerir. Bunların arasında , temel modeli değiştirmeden denklemlerin şeklini değiştirmeyi mümkün kılan değişkenlerin değişimi ve birlikte ele alınan değişkenler kümesini azaltan basitleştirme yöntemleri vardır. Bu tekniği Navier-Stokes denklemlerine uygulamak zordur, ancak bu engellere başvurmadan bu tür olasılıklar hakkında hayaller kurulabilir.

İlk olarak, matematiksel analizde Navier-Stokes denklemlerinden gerçek lojistik haritanın çıkarılmasına izin veren pek çok hile olduğunu belirtelim. Evrensellik olmadan , lojistik haritalama analizi sadece tek bir örnek olurdu ve muhtemelen belirli bir şeyi karakterize etmeyecekti: izole edilmiş, işe yaramaz bir hesaplama olurdu. Ancak türbülanslı akışlarda kaos, bükülme ve esnemenin varlığını gözlemlemek çok daha ilginçtir. Ve bükülme ve esnemenin ortaya çıktığı en basit sistemler , lojistik haritalamaya niteliksel olarak benzer. Çok yönlülüğü nedeniyle, bu tür herhangi bir sistem, aynı Feigenbaum değerlerinin elde edilmesini sağlar.

ekstremumlu bir gösterimi içeren derinden gizli bir matematiksel süreç varsa , o zaman aynı zamanda 4.669'luk bir ölçekleme faktörüne sahip bir periyodu ikiye katlama kaskadı da içerir. Böyle bir tahmin yapmak için bu eşlemeyi çıkarmak gerekli değildir. Tek yapmanız gereken , böyle bir eşlemenin belki de içlerinde bir yerde saklı olduğunu tahmin etmektir. Böyle bir tahmin, sıkı dürüst çalışmaya göre çalmanın tüm avantajlarına sahiptir.

Etik statüsü ne olursa olsun, bu oldukça iyi bir tahmin. Ortaya çıkan sayının 4.669'a dönüşüp dönüşmediğini görmek için bir deney yapabilirsiniz . Bu gerçekleşirse, Navier-Stokes denklemlerinde gömülü bazı kaotik dinamiklerin, garip bir çekicinin, bir ekstremumlu bir haritalamanın varlığının güçlü bir kanıtı var . Deneysel kanıtlar matematiksel bir teoreme karşılık gelir!

Tuhaf.

Bu şekilde düşünen Feigenbaum, türbülans değerlendirmesine yeni bir yaklaşım önerdi. Hopf ve Landau tarafından önerildiği gibi, ek, bağımsız salınımlar birikmemelidir. Ruelle ve Takens tarafından önerilen bir, iki çağlayan ve ağacın oluşturduğu kaos düşünülmemelidir . Dönemin kümülatif olarak ikiye katlanması ve daha da hızlanmasıyla oluşan bir rota yerine, kaosun meyvelerini üst dallarından toplamak için bir incir ağacına tırmanmayı önerdi.

Bu varsayım oldukça spekülatifti. Çok az kişi, bir akışkan için eskiden beri kullanılan kısmi diferansiyel denklem yerine basit, yapay bir ağacın yaprağını istedi. Feigenbaum'un teorisinde fiziksel içeriğin tamamen yokluğu da onu cezbetmedi. "Bu, kaotik bir dinamik sistem, ancak hangisi olduğu gerçekten önemli değil ve deney işe yarasa bile, onu seçmenize izin vermeyecek." Bilinç bulanıklığı, konfüzyon.

Ancak Feigenbaum'un listesi spekülatif değildi ve haksız sonuçlara yol açtı. Bu hayal gücü sayfası, tamamen doğrulanmış sonuçlara yol açtı. Çoğu insan kabul etmese de, haklı olmanın en iyi yolu buydu.

Gözün gördüğünden daha fazlasını gösteren bu fikrin ilk kanıtı, daha gerçekçi akışkan denklemleriyle bilgisayar hesaplamalarından geldi. Bazen onlardan bir dönem ikiye katlama çağlayanını çıkarmak mümkündü . Bu olursa, ölçekleme faktörü de hesaplanabilir. 4.669'a yakın sayılar çok sık ortaya çıktı.

aynı sayıyı verecek gerçek bir sıvı üzerinde gerçek bir deney yoktu .

Kaderin, karanlıkta el yordamıyla el yordamıyla arama yapan temel bilimin karakteristik bir başka zikzağı, ne Feigenbaum ne de onun teorisini zaten test etmiş olan deneyciler , sonuçlarının hiçbir şey vermediğini fark etmelerine rağmen, böyle bir deneyin zaten yapılmış olduğunun cehaletiydi. genel olarak.

Soğuk ve sessizlik

Sıvı helyum, dünyadaki en gizemli maddelerden biridir. Mutlak sıfıra yakın bir sıcaklığa soğutulduğunda , kuantum belirsizliğinin makroskopik tezahürleri nedeniyle beherden kendiliğinden dökülebilir . Kuantum teorisinde, sıvının bir beher içinde olduğundan ve helyumun bu kuantum boşluktan içeri girdiğinden kesinlikle emin olmak genellikle imkansızdır.

Sokakta etrafımızdaki sıvı helyumu tespit etmek, kaçtığı için değil, sadece çok düşük sıcaklıklarda, yaklaşık -270 ° Santigratta var olduğu için imkansızdır. Sadece laboratuvarda, sofistike yöntemler kullanılarak görülebilir. Ancak, düşük sıcaklıklı bir fizikçi olan Albert Lichaber için sıvı helyum eski bir dosttu ve bu onun sıvı helyum ile çok temiz ve anlaşılır deneyler yapmasına izin verdi.

Oda sıcaklığında, bir sıvıdaki tüm atomlar , ısının etkisi altında rastgele hareket eder. Atomik ölçekte durgun su kabı neye benziyor? Fırtınalar tarafından rahatsız edilen çalkantılı bir okyanustur. Termal etkiler "gürültü" üretir, yani deneysel verilerde rastgele bozulmalar oluşturur. Gürültü engellediği için atom ölçeğinde doğru sonuçlar almak mümkün değildir . Bir ziyafetin ortasında bir bülbül dinlemeyi andırıyor : şarkı, çevrenizdekilerin gevezeliğinde boğuluyor.

Gürültüden kurtulmak için öfkeyi durdurmak, yani termal hareketi yavaşlatmak gerekir. Başka bir deyişle, sıcaklık düşürülmelidir. En düşük sıcaklık, mutlak sıfır, yaklaşık -273°C'de meydana gelir. Böyle düşük bir sıcaklıkta hiç termal gürültü olmaz: atomlar bile donar.

katı halde donmuşsa bir sıvının akışını denemek imkansızdır . Bu nedenle mutlak sıfıra yakın sıcaklıklarda dahi donmayan bir sıvı kullanmalısınız. Helyum bu açıdan benzersizdir. Bu tür son derece hassas deneylerin yapılmasına izin veren tek maddedir. Bu nedenle, ister istemez, sıvı akışlarının yüksek hassasiyetli çalışmaları için, düşük sıcaklık fiziği uygulamak ve sıvı helyum ile çalışmak gerekir. Kuantum etkilerinden çok klasikle ilgileniyorsanız, bunun için en uygun olan helyumdur: -269 ° C'de klasik bir sıvı gibi davranır.

helyum girdapları

Lichaber, akışkan fiziği ve dinamiği alanındaki diğer birçok araştırmacı gibi , 1997'de konveksiyonla ilgilenmeye başladı. Sweeney ve Gollub gibi deneycilerin Hopf-Landau birikim teorisinden şüphe ettiğini biliyordu. Lichaber ressam olsaydı minyatürler, mühendis olsaydı İsviçre saatleri yapardı. Küçük, düzgün ve kesin şeyleri severdi. Onu ilk başta düşük sıcaklık fiziğine çeken tam da bu özelliklerdi . Bu tür çalışmalar için, başkalarının ihtiyaç duyduğu, sarma tünelinde akan bir sıvı akışı ile otuz metrelik kurulum yerine , Lichaber cepte taşınabilen bir aparat tasarladı. Akıntıyı kurduğu derenin enine kesiti bir kum tanesini geçmedi.

minik safir cihazlarla ölçülen , sıvı helyumla dolu küçük, kusursuz doğrulukta çelik bir odadır. Cihaz, bu tür bir veya iki cihaza sahip olmanızı sağlar. Enstrümanın alt kısmı , üst kısma göre bir dereceye kadar ısınabilir ve böylece daha sıcak sıvıları yükselten ve soğuk sıvıları azaltan bir sıcaklık inversiyonu yaratılır. Bu küçük konvektif hücre içinde, Lichaber neredeyse gürültüsüz konvektif akışlar oluşturabildi ve davranışlarını ölçebildi.

Yıllar önce, büyük fizikçi Lord Rayleigh, konveksiyonun kökenini açıklamak için bir mekanizma önerdi. Akışkan , paralel sıralarda kesilmiş ağaç gövdeleri gibi düzenlenmiş silindirik parşömenler oluşturur , böylece komşu parşömenler zıt yönlerde döner (Şekil 10.6). Bu sistem Lorentz tarafından incelenen sisteme benzer, ancak Lichaber yaklaşık bir matematiksel modelle değil, gerçek bir sistemle çalıştı.

Lichaber'in hücresi o kadar özenle tasarlanmış ve o kadar minyatür ki sadece iki parşömen sığabiliyor. Hücrenin dibi daha sıcak olsaydı, parşömenler bir çift balerin gibi titreşerek ve birbirinden biraz mesafe bırakarak sallanmaya başlardı. Bu yine klasik kavramlarla oldukça uyumluydu .

Daha sonra ne olduğu bilinmiyordu. Yeni bir salınım ortaya çıktı, ancak Horf-Landau salınımlarının aksine, periyodu zamana bağlıydı.

Pirinç. 10.6. Akışkan Akışında Paralel Kaydırmalar: Bitişik kaydırmalar zıt yönlerde döner.

mevcut dalgalanmalar Bir önceki dönemin tam olarak iki katı bir frekansa sahipti. Sıcaklıktaki yükselme derecesine bağlı olarak, belli belirsiz de olsa dört, sekiz ve muhtemelen on altı periyotluk bir frekansa sahip titreşimler yine de ayırt edilebiliyordu. Ek olarak, zaten -267°C'de farkedilir termal atomik gürültü ölçümleri bozdu.

, gözlemsel verilerden hesaplanan güç spektrumlarını kullanarak dalgalanmaları değerlendirdi (Şekil 10.7). Üzerlerindeki tepe noktalarının en belirgin frekanslara karşılık geldiğini hatırlayın. Burada, görüntüler önce tek bir tepe noktası, ardından birbirine daha yakın olan birkaç tane daha gösteriyor. Her seferinde işgal ettikleri alan yarı yarıya azalır. Bu, periyodun - frekansla ters orantılı - her seferinde iki katına çıktığı anlamına gelir. Sonuç, kaosu gösteren geniş alanlar içeren bir güç spektrumudur.

incir ağacı olan bir dönem ikiye katlama dizisi buldu . Onun için bu yeni ve gizemli bir fenomendi.

1979'da Feigenbaum ile temas kurdu. Artık gözlemlerine neyin sebep olduğunu ve onlarla ne yapacağını biliyordu. Bir sihirbaz olarak Fei genbaum, evrensellik tavşanını kaosun şapkasından çıkardı. Lichaber'in sadece periyot ikiye katlama dizisi için ölçekleme faktörünü hesaplaması gerekiyordu ve yukarıda belirtildiği gibi bu sayı 4.669'a yakın çıktı.

Yapılanlar, gelecekte daha doğru ve pahalı deneyler yapmak için oldukça yeterliydi .

Sonraki yıllarda, dünyanın dört bir yanındaki bilim adamları bir dizi

Pirinç. 10.7. Konveksiyonda incir ağacının varlığının deneysel kanıtı. Her yeni seri, önceki zirveler arasındaki mesafeyi tam olarak ikiye bölerek dönemin iki katına çıktığını gösterir. Kaosla biten dört dönem ikileme dizisi görülebilir.

Feigenbaum'un tahminini tam olarak doğrulayan deneyler ve yalnızca türbülanslı akışkanlarda değil, her türlü fiziksel sistemde: elektronik, optik ve hatta biyolojik. İnsanlar, yerler, kültür ve şimdi zaman hazırdı. Tüm koşullar gelişti.

Kaos sadece bir teori değil, bir gerçek haline geldi.

Büyük bilim, küçük bir incir ağacından doğdu.

Bölüm 11

gerçekliğin dokusu

Sahibiz

evrenin mikrop haritası, elimizde evrenin mikrop haritası var.

Miroslav Golub. Kanatlar.

Bir çiftçinin , inek sürüsünün verimliliğini artırmak için önerilerde bulunmak üzere bir grup bilim insanı tuttuğu söylenir. (Bu fıkrayı duyduysanız sözümü kesmeyin.) Altı aylık bir çalışmanın ardından bir rapor hazırladılar. Okumaya başlayan çiftçi, ilk cümledeki şu ifadeye rastladı: "Küresel bir inek düşünün."

Bu eski fıkrada saklı önemli bir anlam vardır. Doğada gördüğümüz formlar ile matematiğin geleneksel geometrik figürleri her zaman birbirine benzemez.

Ama bazen aynılar. 1610 gibi erken bir tarihte Galileo, doğanın dilinin matematik olduğunu ve "sembollerinin üçgenler, daireler ve diğer geometrik şekiller olduğunu" belirtti. Dinamikte kaydettiği önemli ilerleme, bu bakış açısını doğrular niteliktedir. Bununla birlikte, 1726'da John, daha sonra Swift , Laputia'ya Yolculuk kitabında Gulliver'in ağzından böyle bir felsefeyle alay etti. "Bir kadının veya hayvanın güzelliğini fark ettilerse, onu eşkenar dörtgenler, daireler, paralelkenarlar, elipsler veya diğer geometrik terimlerle tanımladılar."

The Fraktal Geometry of Nature adlı kitabında sık sık alıntılanan ifadesinde modern yankılarda bulunur : " Bulutlar küre değildir, dağlar koni değildir, kıyılar daire değildir, ağaç kabuğu asla pürüzsüz değildir ve yıldırım oluşmaz. düz çizgiler." IBM'in Yorktown Ofisi'nde ve şimdi aynı zamanda Jail Üniversitesi'nde çalışan genç bir araştırmacı olan Mandelbrot, seleflerinden farklı olarak bu konuyu ciddiye almaya karar verdi. 1950'lerin sonundan 1970'lerin başlarına kadar olan dönemde, doğal dünyanın yapılandırılmış düzensizliklerini tanımlamak ve analiz etmek için uygun yeni bir matematik türü yarattı ve karşılık gelen geometrik formlar için bir terim önerdi: fraktallar.

1970'lerde, kaos ve fraktallar üzerine yapılan çalışmaların emekleme döneminde olduğu zamanlarda, ikisi ilgisiz görünüyordu. Ancak gerçekte onlar matematiksel kuzenlerdir. Her iki teori de düzensizliklerin yapısını tanımlar, her ikisinde de geometrik hayal gücü her şeyden önemlidir. Bununla birlikte, kaosta geometri ikincildir ve dinamiklere hizmet ederken, fraktallarda geometri hakimdir. Fraktallar bize kaos biçimini tanımlamak için yeni bir dil verir.

Ölçüm terazileri

Kural olarak, fiziksel olayların bir ölçeği vardır. Örneğin, evrenin yapısı en iyi milyonlarca ışıkyılı ölçeğinde tanımlanır. Bir mikrobun yapısı mikrona yakın bir ölçekte incelenir. Olgular ve ölçüm ölçeği arasındaki böyle bir ilişkinin , aslında, onların doğası hakkındaki gerçek hakikatten çok sınırlı insan zihninin bir eseri olması mümkündür. Zihnimiz henüz evren gibi büyük nesneleri tüm ince detaylarıyla algılayabilecek durumda değildir. Bu yüzden onu galaksi kümeleri gibi büyük ölçekli yapılara ayırıyoruz ve ardından galaksi gruplarını, belirli galaksileri ve tek tek yıldızları vb. ayırıyoruz. Doğa ise tüm ölçeklerde aynı anda işlev görür. Olursa olsun, ancak doğayı anlamaya çalışırken, “doğal” ölçüm ölçeklerini tanıtmak zorunda kalıyoruz.

Bu yaklaşım, yalnızca küçük bir ölçek aralığında meydana gelen olaylar için iyidir , ancak çok çeşitli ölçeklerle karakterize edilen fenomenler için çok daha az uygundur . Böylece faz geçişleri sırasında milyarlarca atom aniden ve tamamen fiziksel özelliklerini değiştirir. Bu fenomenin mekanizması, mikroskobik ve makroskopik seviyeleri karıştıracak kadar geniş bir ölçek yelpazesini kapsar . Faz geçişlerinin matematiğinin zorluğunun nedeni budur.

Bu tür sorunlarla başa çıkmak için en yeni yöntemlerden biri emekleme aşamasındadır: yeniden normalleştirme. Gördüğümüz gibi , bu, bütünün daha küçük ve daha küçük parçalarını art arda artırarak kendine benzer bir nesnenin veya sürecin nihai sonsuz küçük yapısını bulmak için bir yöntemdir . Tanımı gereği kendine benzeyen nesnelerin kendi boyut ölçekleri yoktur: farklı ölçeklerde hemen hemen aynı görünürler.

Geleneksel geometrik şekiller - üçgenler, daireler, küreler , silindirler - büyütüldüklerinde yapılarını kaybederler. Yeterince büyük bir ölçekte bakıldığında bir dairenin ifadesiz bir düz çizgi haline geldiğini zaten görmüştük. Dünyanın düz olduğuna inanan insanlar, küçük adamların karakteristiği olan fikirlerden yola çıktılar. Mandelbrot, "fraktal" terimini, yapılarının ayrıntılarını çok çeşitli ölçeklerde koruyan çok farklı türdeki geometrik nesneleri tanımlamak için kullandı. Aslında, ideal bir matematiksel fraktal, yapısını sonsuz bir ölçek aralığında korur.

Kar taneleri ve kıyı şeritleri

Bir kıyı şeridi, doğal bir fraktalın iyi bir örneğidir (Şekil 11.1). Farklı ölçeklerde çizilmiş tüm kıyı şeridi haritaları, koyların ve burunların benzer konumlarını gösterir. Her koy kendi koylarını ve sırayla bunlara sahip olan daha küçük burunları içerir, vb. Aynı genel yapı , Meksika Körfezi'nde, de La Seine Körfezi'nde, Land's End yakınlarındaki Pendover Körfezi'nde, Acapulco kıyısındaki iki burun arasındaki boşlukta ve hatta tek bir burnun bireysel özelliklerinde büyütme altında görülebilir. Richardson'ın yukarıda alıntılanan parodisine ilham veren Swift'in dizesi, birçok fraktal arasında yaygın olan bir klişe biçimidir, o kadar etkileyicidir ki göz ardı edilemez:

Burada bir doğa bilimci, bir pirenin küçük pireler tarafından kurbanı olarak nasıl yenildiğini ve daha da küçük pireler tarafından ısırıldığını ve sonsuza kadar böyle devam ettiğini görür.

Aynı genel özelliklere sahip matematiksel bir eğri, 1904'te ortaya çıkan Helge von Koch'un “kar tanesi şekli” dir (Şekil 11.2). Üzerinde çıkıntılar ve çöküntüler art arda azalan şeklindedir -

Pirinç. 11.1. Kıyı şeridinin fraktal yapısı: Yakınlaştırdıkça yeni koylar ve burunlar ortaya çıkıyor, ancak resim hala kıyı şeridine benziyor.

Xia eşkenar üçgenler. Ancak, doğa kıyı çizgilerini eşkenar üçgenlerden şekillendirmediği için doğal bir kıyı şeridini Koch kar tanesi ile modellemek mümkün değildir. Bununla birlikte, kar tanesinin şekli, kıyı şeridinin önemli bir özelliğini yakalamak için çok iyi bir iş çıkarıyor: onların ölçeklenmiş davranışları. Doğal ve matematiksel fraktallar tüm ölçeklerde aynı yapıya sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda tüm ölçeklerde aynı yapının ortaya çıkmasına neden olan içsel sebeplerdir .

Sahil şeridinin on kat büyütülmüş küçük bir parçası hala bir sahil şeridi gibi görünüyor. Aynısı kar tanesinin kenar parçası için de geçerlidir. Kendi kendine benzerlik fikriyle zaten tanıştık . İlk durumda, yalnızca istatistiksel özellikler benzerdir: tam konumları değişebilse de, ölçekleme sırasında ortalama çöküntü ve pelerin boyutları aynı kalır . İkinci durumda, matematiksel olarak kesin bir temsille uğraşıyoruz.

Ancak, tüm doğal nesneler ölçeklerini bu şekilde değiştirmez. Burada bir örnek Swift'in piresidir. Bir metre zıplayabiliyor ama bin kat artırılıp bir fil kadar büyüse bin metreyi zor atlayabiliyor. Ayrıca bacakları vücudunun ağırlığını taşıyamazdı. Kıyı şeridinden farklı olarak pirelerin doğal bir boyut ölçeği vardır.

Pirinç. 11.2. Matematiksel fraktal, kar tanesi eğrisi.

Boyut bir ve bir çeyrek

Seçkin fizikçi Ernst Rutherford, "niteliksel", "tamamen nicel değildir" demişti. Bununla birlikte, bir fraktalın tüm ayrıntılarını nicel olarak ölçmek neredeyse imkansızdır. Neyse ki, bir fraktalın pürüzlülük derecesini sayısal olarak belirlemek kolaydır. Bu nicelik, iki matematikçi Felix Hausdorff ve AS Besikovich'in karşılık gelen yöntemi önermesinden sonra Hausdorff-Besikovich boyutu olarak adlandırılır . Artık yaygın olarak bir fraktalın boyutunu belirleme yöntemi olarak anılmaktadır.

Genellikle bir doğrunun tek boyutlu, bir düzlemin iki boyutlu ve uzayın üç boyutlu olduğunu varsayıyoruz. Ancak fraktallar dünyasında boyut daha genel bir anlama sahiptir ve bir tamsayı dışında bir sayı ile tanımlanabilir. Bir kıyı şeridinin fraktal boyutu tipik olarak 1,15 ile 1,25 arasında değişirken, bir kar tanesinin fraktal boyutu 1,26'ya yakındır. Yani kıyı şeritleri ve Koch kar taneleri eşit derecede pürüzlüdür.

İlk başta, bu fikir tuhaf görünebilir. Bir şeyin bir çeyrek boyutunda olduğunu nasıl söylersin? Ancak kar tanesi eğrisinin, birinci boyutlu düz bir eğriden çok daha kıvrımlı bir şekli olduğu açıktır - bu, şekil gölgelendiğinde açıkça görülür . Aynı fikir, gölgeli bir alanı 2 boyutlu bir yüzeyle karşılaştırırken daha az belirgindir. Bu nedenle , 1 ile 2 arasında bir değere sahip bir uzay boyutu açık bir anlam ifade eder. Hausdorff-Besikovich boyutu, sıradan uzay için olağan boyut ile aynı zamanda çakışırken bu fikir üzerine kuruludur. Böyle bir boyutun tam tanımı oldukça karmaşıktır ve burada verilemez, ancak ana fikri, keyfi (tamsayı değil) bir formun “(/ -boyutlu hacmini” tanımlamaktır <i. bu form, (/-boyutlu hacmin değerini sonsuzdan sıfıra değiştirdiği (/) değeridir.

Her formun kendi değeri (/) vardır, burada (/-boyutlu hacim böyle bir geçiş yapar. Cantor kümesi için (/ 1o§ 2/ Iots 3 = 0.6309 ... değeridir) ve için kanıtlanabilir. bir kar tanesi 1o§4 /lo§3 = 1.2619'a eşittir.

Koch kar taneleri ve Hausdorff-Besikovich boyutu , matematiğin eksikliklerini göstermek için oluşturuldu. Yazarları, yapay karışımlarının doğal dünya üzerinde bir etkisi olduğu önerisiyle alay edecekti. Ancak, Tabiat Ana en iyisini bilir.

“Geometriden Uzak Durun”

Genç Benoit Mandelbrot, yeğenine bazı tavsiyeler veren amcası Zolem Mandelbrot gibi bir matematikçi olmayı hayal ediyordu . Özellikle, gençliğinde matematiksel moda görsel temsiller yerine titiz analizlere odaklandığından geometriden kaçınmasını tavsiye etti. Amca, genç adama, bu tür kavramlara mükemmel bir şekilde karşılık gelen matematiksel bir çalışmayı takip etmesini ve örnek olarak kullanmasını tavsiye etti . Bu, Fransız matematikçi Gaston Julia'nın karmaşık analiz üzerine 300 sayfalık makalesiydi - hesap Julia, basit karmaşık sayı kümelerinin korkunç karmaşık formlar üretebileceğini gösterdi. Hemen hemen aynı zamanda , Julia'nın rakibi matematikçi Pierre Fato da aynı problemlerle uğraşıyordu. Birlikte hızla tüm alanı ele aldılar. En azından 1940'larda onlara öyle görünüyordu. Giulia ve Fato , ortaya çıkan formların yalnızca çok kaba temsillerini elde ettiler. Ancak Mandelbrot, amcasının tavsiyelerine uymadı. Hem önceki hem de şimdiki birçok genç gibi, büyüklerinin tavsiyelerini görmezden geldi.

Pirinç. 11.3. Menger Sünger, logaritmik boyutlu fraktal

1о ё 20/1о ё 3 = 2.7268

1958'de IBM çalışanlarını görünüşte alakasız çeşitli sorunlar üzerinde çalışmak üzere bir araya getirdi : dilbilimdeki sözcük sıklıkları, mesajların iletiminde hataların ortaya çıkması, türbülans, galaktik bulutsular, borsadaki fiyat dalgalanmaları, Nil Nehri'nin seviyesi. .... Ama 1960'ların başında, tüm çalışmalarının düzensiz olayların geometrik yapısıyla ilgili olduğunu zaten fark etmişti.

1975'te oluşturduğu ve harika kitabının başlığı için kullandığı “fraktal” kelimesiyle özetledi (gizledi) : Doğanın Fraktal Geometrisi. Aynı yıl dan dışındaydı . Bu kitap çok geometriktir, yani parlak ve zengin bilgisayar grafikleri kullanılarak yapılmış resimlerle doludur (Şekil 11.3). Bu yüzden Zolem Amca'nın buyruğuna uydu.

Fraktalların tanımlayıcı gücü hemen belirgindi. " Fraktal el sanatları" - dağların, kıyı şeritlerinin, ay manzaralarının ve hatta müziğin yapay, bilgisayar tarafından oluşturulmuş görüntüleri - gerçek nesnelere esrarengiz bir benzerlik gösterir. Fakat fraktallar teorisi salt betimlemenin ötesine geçebilir ve bilim için daha derin ve daha güçlü sonuçlara sahip olabilir mi? Yeni fenomenleri tahmin etmek ve doğa anlayışımızın sınırlarını zorlamak için kullanılabilir mi? Yoksa sadece açıklayıcı mı?

Matematikteki gerçek yeri nedir?

1970'lerin ortalarında, kaos teorisi sadece birkaç uzman tarafından biliniyordu. Mandelbrot'un kitabı kendi başına kaotik dinamiklerden bile bahsetmez , ancak doğrudan kaosla ilgili birçok konuyu içerir: akışkan türbülansı ve evrenin büyük ölçekli yapısı. Ve belki de en önemli fraktal türü olan Cantor kümesi, şüphesiz tuhaf çekicilerin geometrisini karakterize eden nesnedir.

Bugün, bu soruların çoğu daha fazla anlaşılmıştır. Özellikle, düzgün biçimler -daireler ve küreler- daha doğrusu onların çeşitliliği- ve fraktallar gibi kaba biçimler arasındaki geometrik ayrım, artık klasik matematiğin tanıdık çekicileri ile kaosun tuhaf çekicileri arasında kesin bir ayrım haline gelmiştir. Garip bir çekiciyi fraktal olarak tanımlamak olağan hale geldi.

Dahası, fraktal boyut - Hausdorff ve Besikovich tarafından icat edilen ve Mandelbrot tarafından yeniden diriltilmesine, iyileştirilmesine ve uygulanmasına kadar uygulamalı bilim adamları tarafından göz ardı edilen bu doğaüstü kesirli sayı - şimdi, dinamiklerinin çeşitli nicel özelliklerini kontrol eden çekicinin temel bir özelliği haline geldi.

Böylece günümüzde fraktallar bilimde iki farklı şekilde karşımıza çıkmaktadır. Düzensiz süreçler ve biçimlerle ilgili çalışmalarda birincil bir çalışma konusu ve tanımlayıcı bir araç olarak ortaya çıkabilirler . Veya altta yatan bazı kaotik dinamiklerden matematiksel çıkarımlar olabilirler. Bu kavramların farklılıklarını ve kapsamını göstermek için fraktalları modellemenin her iki yoluna da bakalım.

Silikon Vadisi

Fraktalların birçok doğrudan uygulaması, yüzeylerin fiziği ile ilgilidir. Yüzeyler, ilginç şeylerin gerçekleştiği yerlerdir . Pencereden dışarı bakın: Yaşam dediğimiz asil karmaşıklık, Dünya yüzeyindeki ince bir kabuk içinde yargılanıyor. Yüzeyler, birbirine yabancı dünyaların birbiriyle temas ettiği, rekabet halindeki rejimler arasındaki sınırlardır . Yüzeylerin topografyası bilim sayesinde önemli hale geldi. Antikorlar virüse bağlanır ve enzimler , etkileşen yüzeylerin lokal formlarının bazı benzerliklerinden dolayı DNA makromolekülü ile etkileşime girer. Çocuk felci virüsünün yüzeyi (Şekil 11.4) bir fraktaldır ve bu, çeşitli kimyasal moleküllerin onunla etkileşim şeklini etkiler. Endüstri için çok önemli olan kimyasal katalizörlerin işleyişi, yüzeylerdeki reaksiyonlarla belirlenir . Metalurji uzmanları, yüzeydeki çatlakların şekliyle ilgilenirler ve jeologlar bu tür oluşumları sıradağlarla bağlantılı olarak inceler. Aynı morfoloji farklı ölçeklerde gözlemlenebilir: Mikrofotoğraflar kullanılarak silikon yüzeyindeki dar bir çatlağın taranması , Büyük Kanyon'a benzediğini gösterir.

Yüzeylerin topografyası ile ilgili diğer phorialar da önemlidir. Cevherler, ana kayaçlarda nadiren eşit olarak dağılmıştır. Kil , gevşek bir şekilde paketlenmiş moleküler katmanlardan oluşan oldukça karmaşık bir yapıya sahiptir . Yani görünüşe göre sert kil topakları, moleküler kart evleri çökerse aniden bir çamur denizi haline gelebilir. Birkaç yıl önce Meksika depreminde de benzer bir şey oldu . Evrenin nihai kaderi, içindeki maddenin dağılımına bağlıdır.

içeren protein moleküllerinin manyetik özelliklerini araştırdı . Bir kristal manyetik alana yerleştirilir ve ardından çıkarılırsa, manyetizasyonunu belirli bir şekilde kaybeder. “Gevşeme oranı” ölçülebilir. Kristaller için, bir kristal üç boyutlu bir nesne olduğundan, her zaman 3'e eşittir . Ancak Stapleton, proteinler için 1.7'ye yakın değerler elde etti. Bu sonucun geometrileriyle açıklanabileceğini gösterdi . Tipik bir protein molekülü çok düzensiz bir şekilde katlanır ve buruşur. Buruşma bir fraktala benzer ve 1.7 sayısı fraktalın boyutu olarak düşünülebilir.

diğerlerinden daha pürüzsüz ve daha küçük bir fratal boyuta sahip . Beyaz kan hücreleri (Vecco) gibi, proteinler birbirlerine en iyi şekilde yüzeylerinin daha pürüzlü olduğu yerlerde yapışır ve pürüzsüz alanlar, proteinlerin daha gevşek bağlandığı enzim aktivitesinin yerleri gibi görünür . Yani fraktal geometri , biyologların önemli biyolojik moleküllerin yüzey yapısını nicelleştirmesine ve bunu işlevleriyle ilişkilendirmesine olanak tanır.

Toplama ve süzme

böceklerin çarptığı düşmüş karaağaç gövdelerini yaktığımız bir şöminemiz vardı . Hâlâ baca fırçaları kullanıyoruz: Fırça satın almak baca temizleyicisi kiralamaktan daha ucuz . Bacayı temizlemeyi hiç sevmedim, bu yüzden kurumun ilerlemesini izlemek için her zaman bir dizi gözetleme deliği kullandım.

Kurum, hafif ve serbest akışlı olduğu için her yerde toplanır. Hafiftir ve serbest akışlıdır, çünkü gevşek bir şekilde bağlanmış karbon parçacıkları agregasyonundan oluşur. Benzer işlemler , metallerin elektrolitik çökeltilmesi (galvanik kaplama) ve korozyon sırasında meydana gelir. 1983'te TA Witten ve Leonard Sander, yaygın olarak sınırlı toplama veya kısaca BLA olarak bilinen bu tür süreçleri tanımlamak için önemli bir model oluşturdu. BBA modelinde, bireysel parçacıklar , oluşturan agrega ile çarpışana kadar rastgele dağılır ve burada temas noktasında sıkışıp kalırlar (Şekil 11.5). Bu işlemin düz bir yüzey üzerinde bilgisayar simülasyonu, fraktal boyutu 1,7 olan düzensiz eğrelti otu yapraklarını çok andıran serbestçe dallanan yapılar oluşturur. Üç boyuttaki benzer süreçler, yaklaşık olarak 2.5'e eşit bir boyuta sahip fraktal kümelere yol açar .

Altın parçacıkları yüzeylere yayıldığında, önce duştan sonra küvette kalan su veya örümcek ağında çiy gibi kümeler oluştururlar. Bu kümelerin büyümesi, BLA modeliyle iyi bir uyum içindedir. Düz yüzeyler üzerinde yayılırken, altın kolloidler , model değerine yakın olan yaklaşık 1.75'e eşit bir boyuta sahip kümeler oluşturur. Dağıtılmış altının çok ilginç fraktal taşıma aşamaları da vardır. Altın girişi arttıkça, dallanan kümeler büyür ve bağlanmaya başlar. Bu, iyi tanımlanmış bir kritik duruma kadar devam eder, ardından hepsi tek bir kütlede birleşir. Bu süzülme geçişi olağanüstü bir öneme sahiptir ve çeşitli biçimleri birçok malzeme sisteminde bulunur. Percolation'ın kendisi de modellenebilir-

Pirinç. 11.5. Bir bilgisayarda elde edilen malzeme parçacıkları kümelerinin BLA'sı. (Aarnge'den yeniden basım izni, voi. 322, d. 791, ©Mastiiiap Majiranes Exci.)

Yağ ve su neden karışmaz

Çok benzer bir dallanma süreci, viskoz parmaklama, petrol endüstrisi için çok daha iyi anlaşılır ve önemlidir (Şekil 11.6). Kuyulardan petrol çıkarmak için, içlerine basınç altında su pompalanır. Yağ ve su karışmadığından, petrol endüstriyel kuyulardan dışarı itilir . Bununla birlikte, petrolden su sızma süreci şaşırtıcı bir şekilde karmaşıktır ve geri kazanılan petrol miktarı istenildiği kadar büyük değildir. Bu sürecin daha iyi anlaşılması, petrol üretiminin verimliliğinde bir artış umulmasını sağlar.

Pirinç. 11.6. Suya pompalanan yağın viskoz parmak izi. ( Mayange'dan yetkili yeniden basım, voi. 321, s. 668, ©Mastaian Magipe8 Exc.)

Bu sorunu araştırmak için kullanılan standart deney aleti Hele -Shaw hücresi olarak bilinir . Bunlar, aralarında ince bir yağ tabakası bulunan iki düz cam levhadır. Plakalardan birinin ortasındaki bir delikten su verilir. Başlangıçta su yuvarlak bir disk şeklindedir, ancak yağ/su arayüzü tamamen düz hale gelirse, kararsızlık meydana gelir ve içinde şişkinlikler oluşur, bunlar petrole nüfuz eden ve tüm numuneyi bir türe dönüştüren “parmaklara” dönüşür. deniz yıldızı. Bu parmaklar aynı türden bir kararsızlıkla karakterize edilir: çok genişlediklerinde ince parmaklara bölünürler. Bir bitkinin büyümesine benzeyen, çoğalan bir dallanma vardır . J. Nitman, X. Eugene Stanley ve meslektaşlarının deneylerine göre, bu sürecin boyutu yaklaşık olarak 1.7'ye eşittir. Bu, ELA modelinden elde edilen boyuta oldukça yakındır. Artık iki sürecin matematiksel olarak ilişkili olduğuna dair artan bir güven var.

Uygulamada, yağ geniş boş alanları işgal etmez, ancak taş veya kumdan oluşan malzeme parçacıkları ile karışır. Gözenekli bir ortamda viskoz parmakların oluşumunu inceleyen Feder Jene ve diğerleri , bu durumda fraktal boyutun yaklaşık 1,62'ye düştüğünü buldu. Bu, suyu gözenekli kayalara pompalamanın petrol geri kazanımı için daha az verimli olduğu anlamına gelir. Matematiksel analizin bu sonucu, petrol şirketlerinin değerli sıvıyı daha başarılı bir şekilde çıkarmasına yardımcı olabilir.

Evren ve Her Şey

Rutherford, "Laboratuvarımdaki genç bir adam evren kelimesini kullanmaya başladığında," dedi, "Ona kovulduğunu söylüyorum ." Ancak, Hayat, Evren ve Her Şey'in büyük sorusu ölümcül bir çekiciliğe sahiptir. Fraktologlar buna karşı bağışık değildir.

Uzun bir süre boyunca, gökbilimciler evrenin yapısının her yerde aynı olduğunu varsaydılar: homojen, eşit olarak dağılmış bir galaksi ve her ölçekte boşluk karışımıydı. Aslında, bu kavram bir paradoksa yol açar. 1826'da Wilhelm Olbere, yıldızların çapları ve onlardan gelen ışık, onlara olan mesafeyle orantılı olarak azalırsa, gece gökyüzünün eşit olarak aydınlatılması gerektiğini ve bunun açıkça gözlemlenmediğini gösterdi. Bu paradoksa önerilen çözümler genellikle ışığı galaksiler arası toz bulutları gibi uzak yıldızlardan koruyan mekanizmalara dayanır. Yakın tarihli bir öneriye göre, gece gökyüzü olduğu gibi görünüyor çünkü evren sonsuz bir süre boyunca var değil ve uzak yıldızların ışığı henüz bize ulaşmadı. Yeterince uzun süre beklersek, bu teori, Olbers'in önermesinin kanıtlanacağını savunuyor. Sadece birkaç milyar yıl sürer.

1960'larda Mandelbrot farklı bir öneride bulundu. Evrenin yapısı homojen olabilir - diye belirtti - ve bir fraktal olarak düşünülürse, tek tip bir dağılım varsayımı olmadan.

Pirinç. 11.7. Gökadaların Dünya'dan bin ışıkyılı bir bölge içindeki dağılımı. Bu dağılım bir fraktal mı?

Olbers paradoksunun nihai çözümü belirsizliğini koruyor, ancak evren gerçekten de homojenliğin izin verdiğinden çok bir fraktal gibi karmaşık bir yapıya sahip (Şekil 11.7).

Galaksilerin konumu çok doğru bir şekilde ölçülebilir, ancak üç boyutlu bir dağılım elde etmek için onlara olan mesafeyi tahmin etmek gerekir. Bunun için kullanılan standart yöntem, 1929'da Amerikalı astronom Edwin Hubble tarafından öne sürülen ve Hubble yasası olarak bilinen ampirik bir hipoteze dayanmaktadır . Gökbilimciler, bir yıldız veya galaksi tarafından yayılan ışığın rengini ölçebilir ve spektrumunu elde edebilir. Hubble yasası, bir galaksi bizden ne kadar uzaktaysa, spektrumunun kırmızı bölgeye kaymasının o kadar önemli olduğunu söylüyor - “ kırmızıya kayma”. Fizikçilerin sıvı hızını ölçmek için bir lazer kullanmalarına izin veren aynı Doppler etkisi iş başında : eğer evren genişliyorsa, o zaman daha uzak galaksiler daha hızlı kaçar ve kırmızıya kayma yaratır.

Yeni enstrümanlar ve fotoğraf emülsiyonları, soluk, uzak galaksilerin kırmızıya kaymasını ölçmeyi kolaylaştırdı ve evrenin çok daha ayrıntılı bir resmini elde etmeyi mümkün kıldı . Galaksiler eşit olmayan bir şekilde dağılmıştır. Büyük boşluklara sahip sünger benzeri bir ağ oluştururlar ve iğ şeklindeki ipliklere bükülürler. Tüm ölçeklerde, dağılım bloklu kalır ve fraktal boyutu 1.2'dir.

, galaksilerin dağılım istatistiklerini çeşitli şekillerde incelemek için fraktal modeller kullandılar . Yıldız tozu arasında bir takım galaksilerin gölgelenmesi gibi bazı etkenler, gözlemleri bozar ve sorun onların varlığını hesaba katabilecek yöntemler oluşturmaktır. Geller ve Hoochra , galaksilerin yerleşimi bilindiği zaman yapay bir fraktal modelle çalışmalarına başladılar. Engelleyici etkiler de modellenmiştir. Bozulma giderme yöntemleri daha sonra orijinal yerleşimi ne kadar iyi geri yüklediklerini görmek için oluşturulan fraktal model üzerinde test edildi.

En yeni sonuçlar, en büyük ölçeklerde evrenin bir fraktal olmadığını gösteriyor. Ancak bu durumda, birçok ölçekte kendine benzer olmayan bir yapının detaylarına sahip olan bir “multifraktal” ortaya çıkar. Evreni fraktal bir model şeklinde temsil etme olasılığı, çalışmanın kapsamına bağlıdır.

fraktal sahte

Fraktalların en eski “uygulamalarından” biri bilgisayar grafikleriydi (Şekil 11.8). Ay'ın yüzeyini yeniden oluşturmak için gerekli verileri bir bilgisayarda saklamak için, coğrafi kataloğunu yerleştirmek için çok büyük miktarda bellek gerekir. Ancak amaç kurgusal bir TV bilimkurgu draması yaratmaksa bu verilere ihtiyaç yoktur . Buradan çıkış yolu, istenen şekilleri kesin ayrıntılar olmadan yeniden yaratan "fraktal sahte" kullanmaktır.

Aslında, fraktallar ve bilgisayarlar cennette evlendi. Özyineleme, en güçlü programlama tekniklerinden biridir.

prosedür, kendisinin sıralı ve tekrarlı yürütülmesine bölünmüş bir prosedürdür. (Örneğin: bir tuğla duvar inşa etmek, bir sıra tuğla koymak, sonra o sıranın üstüne bir tuğla duvar inşa etmek. "Tuğla Duvar Yap" rutini kendi içinde tanımlanır. Rutinin ne zaman olacağını bilmek pratik olarak önemlidir. Bu durumda, duvar yeterince yükseldiğinde duracaktır.) Fraktallar da kendilerinin kopyalarına bölünür ve özyinelemeli geometri ile tanımlanır. Duvarlar için değil fraktallar için özyinelemeli süreç süresiz olarak devam eder.

Birkaç yıl önce Lauren Carpenter, fraktal bir manzara üzerinde uçmak hakkında bir CGI filmi yarattı ve Lucasfilm'in CGI bölümünden Peeksar tarafından işe alındı. Fraktallar Star Wars II filminde , Heaven's Gate filminde gezegenlerin Genesis kitabının manzarasını oluşturmak için ve Jedi'nin Dönüşü filminde uyduların yüzeyini oluşturmak için kullanıldı . Endor ve Ölüm Yıldızı'nın ana hatları. Peter Oppenheimer, soyut sanat (Şekil 11.9) ve yaşamı andıran stilize ağaçlar ve bitkiler (Şekil 11.10) yaratmak için bilgisayarda fraktal dallanma sürecini kullandı . Bütün bir yön yaratan Richard Voss, aktif olarak çalışmaya devam ediyor. Son zaferi, bilinçli bulutların bilgisayar tarafından yaratılmasıdır.

Bulutlar ve yağmur

Ceosai uydusundan elde edilen gözlemleri kullanarak gerçek bulut verilerini analiz etti ve bulutların sadece fraktal değil, aynı zamanda 7 büyüklük mertebesi içinde fraktal boyutu da koruduğu dikkat çekici bir sonuca vardı (Şekil 11.11). Bu tekdüzelik derecesi, doğal fenomenler arasında neredeyse eşi benzeri görülmemiştir ve bulutların doğal bir ölçeği olmadığı anlamına gelir. Bu beklenmedik bir şeydi. Atmosferin kalınlığı neredeyse 10 km'dir ve bulutlar onun konvektif olgusudur , bu nedenle, yaklaşık 10 km'lik karakteristik bir boyuta sahip oldukları ve tespit edilmelerine izin verdiği varsayılabilir.

Lovejoy ayrıca yağışları inceledi ve yağmur yağan alanların sınırlarının fraktal olduğunu buldu. Ayrıca,

fraktallar ve kaotik dinamikler arasında artan temaslar var. Türbülanslı akışlar, tam olarak fraktalların kaosla temas ettiği fenomenlerdir. Lewis Richardson'ın 1922'de önerdiği ve türbülanslı hareketi akışkan hareketinin enerjisinin giderek azaldığı ve giderek daha küçük girdapların oluşmasına neden olduğu bir girdaplar dizisi olarak temsil eden klasik türbülansa yaklaşımını zaten ele almıştık. Böyle bir süreç açıkça bir fraktaldır.

Gördüğümüz gibi türbülans, kaotik dinamiklerin taraftarları için çekici bir konudur. Albay'ın Leydisi ve Judy O'Cradey gibi, bu iki türbülans teorisi "gerçekten kardeştir". Garip çekiciler fraktallardır . Fraktalların doğal dünyanın düzensiz geometrisini modellemesine izin veren yapının çok karmaşıklığı, deterministik dinamiklerde olasılıksal davranışa neden olur. Itmar Prokasia, fraktallar ve türbülans arasındaki ilişki ve Lovejoy tarafından tartışılan ve daha önce bahsedilen bulut şekillerine uygulamalarla türbülanslı difüzyon hakkında kapsamlı araştırmalar yaptı . Harry Sweeney ve grubunun çalkantılı konveksiyonla ilgili deneysel verilerden tuhaf çekicileri nasıl yeniden oluşturduklarını daha önce anlatmıştım. Ayrıca belirlenen çekicilerin tuhaflığını doğrulamak ve tuhaflıklarını ölçmek için ortaya çıkan fraktalların boyutlarını da hesapladılar .

1986'da CR Sriniveison ve C. Minway , türbülansın fraktal bir bakış açısından büyüleyici bir deneysel çalışmasını yayınladılar. Sıradan bir sıvı ile çevrili türbülanslı jetleri düşündüler . Türbülanslı bir jetin yüzeyinin çok karmaşık bir yapıya sahip olduğu bilinmektedir. Aşağıdaki soruları cevaplamaya çalıştılar: türbülanslı bir jetin yüzeyi kendine benzer bir fraktal mıdır ve eğer öyleyse, böyle bir fraktalin boyutu nedir? Deneyleri, ilk sorunun cevabının “evet” olduğunu ve düz bir plaka üzerinde yükselen türbülanslı jetlerin ölçülen boyutunun 1.37 olduğunu gösterdi. Bu, üç boyutlu bir sıvı akışı için türbülans ve türbülanssızlık arasındaki ara yüzün yaklaşık olarak 2.37'ye eşit daha yüksek bir boyuta sahip olduğunu gösterir. Bir özette "Bu çalışmanın en önemli sonucu", " türbülansın bireysel yönlerinin yaklaşık olarak fraktallar tarafından tanımlanabilmesi ve fraktal boyutlarının ölçülebilmesidir." Ancak, "türbülans bir fraktaldır" formülünün koşulsuz olarak kanıtlanabilmesi için daha çok iş yapılması gerektiği konusunda uyardılar . Benzer bir uyarı, belirli tuhaf çekici teorileri için de yapılmalıdır: bunlar en iyi türbülans oluştuğunda çalışırlar , ancak tam gelişmiş türbülans için o kadar yararlı değildirler.

halı adam

Bilim tarihinde çok fazla ironi var. Bu türden çarpıcı örnekler , geometrik içerik eksikliği nedeniyle genç Mandelbrot'u saf matematikten saptıran Fateau ve Giulia'nın çalışmalarıdır . resimlerin olağanüstü güzelliği. Kaderin bu cilvesinden Mandelbrot'nun sorumlu olduğunu söylemeye gerek bile yok.

Poincaré'nin öğrencisi olan Gaston Julia, karmaşık düzlemin yinelemeli haritalanmasını inceledi. Bugün böyle bir cümleyi hemen bir sonuca varmadan pek yazamazsınız : “Aha! Bu ayrık dinamiktir!”. Bununla birlikte, Julia'nın çalışması sırasında, haritalama yinelemesinin dinamiklerle ilgisi olduğu fikri duyulmamıştı . Dinamikler sürekliydi, yineleme ayrıydı, kumdaki şurup gibiydiler.

Karmaşık sayı, x ve y'nin sıradan gerçek sayılar olduğu z = x + i/d/-T biçimindeki bir sayıdır. 'Karmaşık' sözcüğü, 'karmaşık' anlamından çok, 'birkaç bileşene sahip olma' anlamında kullanılır: iki gerçek sayı chiy , tek bir karmaşık sayı r'yi tanımlar. Ancak iki gerçek koordinatın düzlemde bir noktayı tanımladığını biliyoruz. Böylece, sayı eksenindeki konumlarını göz önünde bulundurarak gerçek sayıları görünür hale getirdiğimiz gibi, karmaşık sayılardan da, sanki karmaşık düzlemde yaşıyormuş gibi tam olarak bahsedebiliriz. Karmaşık sayıların kendi aritmetiği, cebiri ve analizi vardır, bunlar en önemlilerinden biridir.

Julia'nın teorisi, örneğin c'nin bir sabit olduğu r 2 : 2 + c gibi karmaşık eşlemeleri dikkate alır. Küçük ve zararsız bir matematiksel manipülasyonla, bunun lojistik haritanın karmaşık analoğu olduğunu gösterebiliriz . Buradaki fikir, c'nin değerini sabitlemek ve bu formül yinelemeli olduğundan, verilen bir r başlangıç değeri ile ne olduğunu görmektir.

Genel olarak, önemli ölçüde farklıdırlar. r'nin bazı başlangıç değerleri durmadan hızla sonsuza gider. Bir fırça aldığınızı ve karmaşık düzlemin noktalarını boyadığınızı hayal edin: eğer ekranın yinelenmesi sırasında sonsuza gitmezlerse, o zaman - siyah, aksi halde - beyaz. Böylece sonsuzdaki noktanın çekim havuzunun ana hatlarını çizmiş olursunuz. Julia kümesi onun sınırıdır.

Julia ve Fato'nun belirttiği gibi, ortaya çıkan şekiller inanılmaz derecede karmaşık olabilir. Modern bilgisayarlar bunları kolaylıkla çizmenize izin verir . Ayrıca, inanılmaz derecede güzeller. Aynı zamanda, denizatları, tavşanlar, yıldız tozu, dişli çarklar vb. Gibi sonsuz çeşitlilikte formlar oluşur (Şekil 11.12).

eski dostumuz lojistik eşleme x -> kx(1 - x) arasındaki analojiyi kullanmak istiyorum . Burada x ve %, k ve c ile aynı, benzer roller oynar . Her c değeri kendi Julia kümesine sahiptir, tıpkı her k'nin kendi çekicisine sahip olması gibi. (Benzetmeyi neredeyse sınırına kadar götürdüm. Aslında, Julia kümesi sonsuzdaki bir nokta için bir çekim havuzudur, yinelendikçe sonsuza giden bir dizi başlangıç koşuludur. Çekicinin kendisi sadece sonsuzdaki bir noktadır. Dayan bana, bu farkı görmezden gelirsek hayat daha kolay.)

Lojistik haritaya gelince, belirli bir k için hangi noktanın çekici olduğunu ve k ile nasıl değiştiğini gösteren bir resim oluşturduk . Bu bir çatallanma şeması ve bizi harika bir keşfe, incir ağacına götürdü. Ve burada Julia'nın belirli bir c için değişiklikleri nasıl ayarladığına ve karmaşık düzlemde hangi aralığa sahip olduğuna dair kısa bir genel bakış sunan benzer bir nesne var , ancak incir ağacı yerine bu sefer bir halı adam alıyoruz . Buna Mandelbrot seti demek daha doğru olur (Şekil 11.13). Ancak dimdik gövdeli ve yuvarlak başlı bir adam şeklindeki zencefilli kurabiyeyi çok andırdığını ve Almanca'daki "Mandel brot" kelimesinin "bademli ekmek" anlamına geldiğini ve bu kelimeyi dayanılmaz kıldığını görüyoruz. Almanca kelime oyunu kullandığımda , söz veriyorum bir daha yapmayacağım.)

b

Pirinç. 11.13. Mandelbrot seti veya "halı adam".

Julia kümelerinin var olduğu biçimlerin çeşitliliği muazzamdır. Tek ama kaba, ayırt edici özelliklerini düşünüyoruz: bazı Julia kümeleri bir parçayı kaplarken diğerleri birçok parçayı işgal ediyor. Yani ya bağlılar ya da ayrılar. Ayrıldıklarında toz parçacıkları gibi görünürler ve bağlantılı olarak eğriler veya karmaşık desenler gibi görünürler.

Bir halı adamı yaratmak için fırçamızı tekrar alın. Karmaşık düzlemde bir c noktası alın ve eşlemeyi tekrarlayın

Bu sonuç, meraklı, karmaşık geometrisi ile dikkat çekicidir, sürprizlerle doludur ve bir halı adamı gibi görünmektedir.

Heinz-Otto Pitgen ve Peter Ritscher tarafından yazılan Fraktalların Güzelliğini (Te Veaiu oi EgasTain) istemek, ödünç almak, çalmak veya (tavsiye ederim) satın almaktır. Bu, dünyadaki benzersiz, türünün tek örneği bir masaüstü matematik kitabıdır. Ancak çarpıcı görüntüleri, psychedelic sanatın bilgisayarlı taklitleri değil : derin, doğal ve harika bir nesnenin parçalarıdır - halıcı. Haklı olarak, insan tarafından şimdiye kadar icat edilen en karmaşık matematiksel form olarak konuşulur . (Fakat bu, insanları daha karmaşık şekiller icat etmekten alıkoymaz.) Ancak, sadece on satırlık kısa bir programla bir bilgisayarda çizebilirsiniz . Halı ustası “karmaşıklığı” yeni bir ışık altında sunar.

Mandelbrot kümesinin en çarpıcı özelliği, her düzeyde yakınlaştırma yapıldığında görülebilen, son derece karmaşık yapısının korunma şeklidir (Şekil 11.14). Halı adamının içinde böyle bir yolculuk , başka türlü elde edilemeyecek bir deneyim sağlar , ancak yolculuğun hızlı ve rahat olması için çok hızlı bir bilgisayara ihtiyaç vardır. Her seviyede, daha da şaşırtıcı bir yapının daha fazla ayrıntısı ortaya çıkıyor (Şekil 11.15): girdaplar , spiraller, denizatı, lambalar, sürgünler, çiçek açan kaktüsler , ince yılanlar, bobinler, böcek benzeri damlalar, şimşek zikzakları.

Böyle her durumda, halının derinliklerinde, belki de milyonlarca kez azaltılmış bulacaksınız (Şek. 11.16) ....

Minik halı erkekler.

Kendi halı altı erkekleri de dahil olmak üzere her ayrıntıda mükemmel. Lojistik haritalamadaki bir çatallanma manifoldu gibi, halıcı da kendisinin en mükemmel kopyalarını içeren pencerelere sahiptir.

Büyük pireler, küçük pireler...

Büyük halı adam, küçük halı adam.

Mandelbrot kümesinin bu kendine benzerliği, onun dikkat çekici özelliklerinden sadece biridir. Başka var. Mandelbrot kümesinin kenarında bir c noktası alın ve onu c'ye yakın bir şekle yeniden normalleştirin, birbirine yakın olan en küçük ayrıntıları bile geliştirin

Mandelbrot kümesi , her biri sonsuz küçük ölçekteki tüm olası Julia kümelerini içerir , bunlar birbirine bağlıdır ve her birinin kendi sabit c değeri vardır.

Bu hikayenin sadece başlangıcı. Bu düşünceden yepyeni bir konu - karmaşık dinamikler - ortaya çıkıyor. (“Karmaşık” burada “karmaşık sayılar” ile aynı anlamda kullanılır, “karmaşık” anlamında değil. Bu karmaşık olsa da güzeldir .) Karmaşık dinamiklerin uygulamaları arasında, şu yöntemler vardır: ardışık yaklaşımlarla denklemlerin çözümünün sayısal analizini gerçekleştirmeye izin verir . Fakat bazı eşlemelerin tekrarı değilse , ardışık yaklaşım nedir? Bu eski bir fikir, Sir Isaac Newton'a hatta daha öncesine kadar gidiyor. Fraktallar ve kaos, eski kemiklere yeni bir soluk getirdi.

fraktal inek

Kar tanelerinin basitliğinden Mandelbrot kümesinin karmaşıklığına kadar doğal bir matematiksel ilerleme var, ancak ne farklı bakış açıları ortaya çıkıyor.

Koch kar tanesi eğrileri, sonsuz uzunluğa sahip olmalarına rağmen sonlu bir bölgeyi çevreledikleri için matematikçilerin ilgisini çeker; süreklidirler , ancak her noktada yönleri yoktur. Bu ve benzeri birçok nesne yüzyılın başında matematiksel patolojileri dramatize etmek için icat edildi. Uzayı dolduran eğriler ve her noktada kesişen eğriler vardı. Voss dedi ki:

Akıl, doğada benzeri olmayan garip canavarlar yaratmıştır. Bu canavarları keşfettiklerinde (ve doğadan üstün yaratıklar oldukları için kendilerini tebrik ettiler), matematikçiler , çoğunlukla görünmez olan patolojik hayvanları matematiksel hayvanat bahçesine gönderdiler. Yarattıklarının doğa bilimcileri için yararlı veya ilgi çekici olabileceğini hayal edemiyorlardı . Bununla birlikte, doğa o kadar kolay şaşkına dönmüyor.

Saf matematikçilerin bu orijinal icatları ve bilimin diğer alanlarındaki görünüşte ilgisiz çeşitli çalışmalar, Benoit Mandelbrot tarafından yeni bir tür matematiksel doğa modeli yaratmak için onun hayal gücünde birleştirildi. Fraktallar, teori ve uygulamalarla ilgili hemen hemen tüm modern çalışmalar, onun 1975'te yayınlanan kitabından kaynaklanmaktadır. Bu, matematiksel hayal gücünün çalışmasının büyüleyici bir örneğidir.

Bununla birlikte, fraktallar teorisi gelişiyor. İlk varsayımlar, yeni ve daha derin araştırmaları teşvik ederek amacını formüle etmeyi mümkün kıldı . Gelişmekte olan herhangi bir araştırma alanında olduğu gibi , başlangıçtaki çekici sadelik, doğanın inatçı karmaşıklıklarına karşı koymak için hızla geriliyor. Örneğin, uygun fraktal boyut kavramı bir uygulamadan diğerine değişir. Önemli bir matematik problemi, tüm bu farklı boyutların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu anlamaktır . Hala net olmaktan uzak.

Fraktalların uygulanabilirliği geniştir, ancak evrensel değildir. Fraktal bir inek gerekli değildir, küresel olan kadar gerçekçidir. Bunun bir uyarı olarak söylenmesi gerekir: tüm uygulamaların gerçekten fraktal kavramını kullanması gerekmez. Yirmi yıl önce bir çift logaritmik plandan türetilen bir kuvvet yasası olarak temsil edilecek olan çalışma , şimdi fraktal boyutta sunulmaktadır . Bilimde de modalar vardır ve anlamada bu kadar önemli atılımlar sırasında moda sözcükleri takip ederler.

Fraktallarda birkaç moda sözcükten daha fazlası vardır. Fizikçi John Wheeler , "Yarın hiç kimse fraktallara aşina olmadıkça bilimsel okuryazar sayılmayacak " dedi. Fraktallar, matematiksel modelleme için doğayı temsil etmenin yeni bir yolunu açar. Gözlerimizi daha önce biçimsiz olarak görülen kalıplara açarlar. Yeni sorular sorarlar ve yeni cevaplar hazırlarlar. Ünlü bilim popülerleştirici Jean McDermott, "Fraktallar", "gerçekliğin dokusunu yakalar" dedi.

12. Bölüm

Hyperion'a dön

Radiant Hyperion, küresel ateşinin üzerinde hareketsiz oturuyor, dumanı tüten tütsüyü sakince içine çekiyor, İnsandan güneş tanrısına: henüz güvende değil.

Ve dünyevi korkunç canavarlara gelince,

Korkutucu ve sersemletici, titriyor, Ama ne bir köpeğin ulumasından, ne bir Kasvet kuşunun ağlamasından, ne de akrabaların ziyaretinden.

Bir cenaze çanının darbeleri altında, Ve dev bir siniri yırtan dehşetten, Ve Hyperion'a büyük acılar yaşatan.

John Kitz. Hiperion.

Dinamiklerin tüm tarihi boyunca devam eden iki kalıcı iş parçacığı vardır . Fikirlerimizin genişlemesi ve derinleşmesi. Thales'i gözleri göğe kaldırılmış, burnu hendeğe dönük olarak hatırlayalım; ve Jüpiter'in aylarını keşfeden ve bir taslakta sallanan bir kilise lambasını inceleyen Galileo . Newton'un yerçekiminin getirdiği büyük birleşme hem gezegenleri hem de top güllesinin uçuşunu ilgilendiriyordu. Astronomik gözlemler, istatistiklerin oluşturulması için ana uyarıcıydı, ancak aynısı çocukların büyümesinin incelenmesine izin verdi. Poincaré, monoklinik resmini ilk olarak Jüpiter ve Satürn'ün yerçekimi alanlarındaki toz parçacıklarının hareketinin matematiğinde gördü, ancak Smale'in bu konudaki anlayışı, radar problemi tarafından dolaylı olarak uyandırıldı.

Şimdiye kadar, kaos tartışmamız büyük ölçüde sıradandı, çoğunlukla laboratuvar duvarlarıyla sınırlıydı. Ancak evrenin devasa ölçeğinde bir kaos söz konusudur. Uyduların hareketinde, Plüton'un uzun vadeli davranışında, evrenin yapısında kendini gösterir .

Bölüm I'in başında, Satürn'ün uydusu Hyperion'un garip davranışından zaten bahsetmiştim: astronomik kaos. Bununla başlayalım.

uzay patatesi

Gök cisimlerinin en bilinen biçimi bir küredir, daha doğrusu bir küredir : Örneğin Dünya, kutuplarda yüzde birkaç oranında düzleşir. Buna karşılık Hyperion, ana eksenleri ( uzunluk, genişlik ve yükseklik olarak adlandırılır) sırasıyla 190 km, 145 km ve 114 km olan bir elipsoiddir. Uzay patatesleri (Şekil 12.1).

Kepler ve Newton'un keşiflerine göre, Hyperi'nin Satürn çevresindeki yörüngesi yaklaşık olarak eliptiktir. Elipsin çemberden sapması eksantriklik ile ölçülür . Hyperion'un yörüngesinin eksantrikliği yaklaşık yüzde 10'dur. Bu, güneş sistemindeki gezegenler ve uydular için alışılmadık derecede büyüktür, ancak aynı zamanda yörüngesinin biraz düzleştirilmiş bir daire olduğu anlamına gelir.

yörüngedeki konumu düzenli ve tahmin edilebilir. Onlarca yıl önceden hesaplayabilir ve sonucu iki ondalık basamağa alabilirsiniz. Bununla birlikte, Hyperion'u Güneşimizin uyduları ve gezegenleri arasında gerçekten benzersiz yapan şey bu değil , üç ekseninin yönü tarafından belirlenen yörüngedeki konumu ( abincie ). Gezegenlerin çoğu zayıf bir sahaya sahip bir futbol topu gibi yörüngede dönüyor, ancak Hyperion daha çok oyun sahasında zıplayan bir rugby topuna benziyor. Eğer biri onun merkez noktasının konumunu sabitleyebilseydi ve merkezin ona göre fiili hareketini gözlemleyebilseydi, o zaman mümkün olan her yönde neredeyse rastgele bir kıpırdanma görürdük.

Hyperion'un yörüngedeki konumu ve davranışı aynı fiziksel yasalar ve matematiksel denklemlerle tanımlanır . Konumu , bu denklemlerin bir düzenli ve davranışı, düzensiz bir çözümüne karşılık gelir. Hyperion'un yörüngede yuvarlanması rastgele etkilerden değil, dinamik kaostan kaynaklanmaktadır.

Hyperion neden kaotik? Neden diğer gök cisimleri düzenli bir şekilde davranıyor? Bunun sebebi patates şekli mi? Bu şekle sahip tüm cisimler kaotik midir?

Hiç de bile. Nedeni daha incelikli, daha karmaşık ve daha ilginç. Hyperion'un kaotik hareketi kozmik bir tesadüftür . Güneş sistemi tarihinin çeşitli zamanlarında, diğer gök cisimleri de dinamik kaos dönemlerine girer ve çıkar. Ama öyle oldu ki, Hyperion tam da insanlığın bu fenomenle ilgilenmeye başladığı sırada bu süreçten geçti.

vampir görseli

Katı bir cismin hareketi, ilk olarak Euler tarafından ele alınan klasik bir problemdir. Analizi tamamlayarak birkaç önemli ilke formüle etti. İlk olarak, cismin ağırlık merkezinin sabit olduğunu varsayabiliriz , daha sonra hareket ona göre düşünülebilir. İkincisi, vücudun hareketi, eylemsizlik eksenleri tarafından belirlendiğinden, vücudun şekli önemli bir faktör değildir . Bir katıda, şekli veya yoğunluğundan büyük ölçüde bağımsız olarak bir atalet elipsoidi oluştururlar . Bu, vücudun hayalet bir arkadaşıdır, sanki ona bağlı, ancak kütlesi yoktur ve açıkçası elipsoidaldir. Eylemsizlik elipsoidinin her ekseninin uzunluğu, dönme sırasında bu eksene düşen cismin eylemsizliği ile orantılıdır ve eksen ne kadar uzun olursa, sahip olduğu eylemsizlik o kadar büyük olur.

Vücut hareket ettiğinde, hayaleti - buna Doppel ganger diyelim - benzer şekilde davranır. Vücut düzgün bir şekilde dönüyorsa, hayaleti de benzer şekilde döner, vücut düşerse hayalet de düşer. Ancak, inanılmaz bir dönüşüm gerçekleşir . Vampir benzeri hayaletin vücudun maddi özünü emmesine izin verin ve devasa bir hayalet ortaya çıkar, bir tür ürkütücü beden, yaşayan bir kabuk gibi hala ona bağlı. Hareket nasıl değişiyor? Mümkün değil. Cisim ve hayaleti aynı eylemsizlik özelliklerine sahiptir, dolayısıyla hareketleri aynıdır.

Başka bir deyişle, katı cisimlerin hareketinin incelenmesi , karşılık gelen elipsoidler dikkate alınarak gerçekleştirilebilir. Hyperion'un patates yumrusuna benzemesi önemli değil, yine de hayaletinin elipsoidinin üç eşit olmayan ekseni var.

Buna rağmen, Euler katı cisim denklemlerine genel bir çözüm bulamadı. Klasik keşifler ve analizdeki gücümüz , yuvarlak simetrik bir tepenin hareketi gibi birkaç özel durumda bir çözüm bulmayı mümkün kıldı. Ancak matematikçiler bunu yaparken genel ilkeleri belirlediler. Örneğin, en basit hareket türlerinden biri, bir cismin eylemsizlik eksenlerinden biri etrafında dönmesidir. Bu hareket ne zaman sürdürülebilir? Cevap: eksen en uzun veya en kısaysa, ancak orta değilse.

Bunu deneysel olarak kolayca test edebilirsiniz. Kitap, üç eşit olmayan eylemsizlik eksenine sahip bir cismin erişilebilir bir örneğidir. Örtü altına gizlenmiş merkezi bir noktadan geçerler.

Pirinç. 12.2. Kitap ve atalet elipsoidi. Kitabın en kısa ekseninin (8) elipsoidin en uzun eksenine (b) karşılık geldiğine ve bunun tersi olduğuna ve iki orta eksenin (M) birbirine karşılık geldiğine dikkat edin.

ön kanadının ortasından geçer . En kısa eksen , kitabın üst kenarının ortasından alt kenarın ortasına kadar uzanır . Üçüncü eksen, sırtın ortasından kitabın dikey sağ kenarının ortasına kadar uzanır (Şekil 12.2).

En uzun atalet ekseninin kitabın en kısa ekseni olduğuna ve bunun tersi olduğuna dikkat edin. Bu bir hata değildir , kütlenin en hızlı değiştiği yerde dönme ataleti en fazladır. Kitap, en kısa malzeme ekseni etrafında belirli bir hızda döndürülürse, kitabın köşesinde bulunan eksenden en uzak noktalar daha hızlı hareket eder. Öte yandan, kitap en uzun malzeme ekseni etrafında aynı hızda döndürülürse, kitabın tüm noktaları eksene çok daha yakın bulunur ve bu nedenle daha yavaş hareket eder. Tesadüfen, belki de benim hayalet metaforum bu soruna iyi bir yaklaşımdır - hayalet gerçekten uygun bir atalet elipsoidi değildir, ancak karşılık gelen elipsoidal gövde , orijinal gövdeyle aynı atalet elipsoidine sahiptir. Atalet elipsoidinin ince olduğu yerde kalın, kalın olduğu yerde incedir.

Her durumda, bir kitap alın. Ağır bir şey (metaforik anlamda değil, maddi anlamda) en iyisidir: Savaş ve Barış kitabı veya sözlük . Avucunuzla cilt kapaklarından alın ve kitabı en kısa ekseni etrafında bükün. Bunu yaparak herhangi bir zorluk hissetmeyeceksiniz. Şimdi kitabı üst ve alt kenarlarından alın ve en uzun ekseni etrafında bükün. Yine, sorun yok. Sonuç olarak, yan kesimin ortasından alın ve orta eksen etrafında döndürmeye çalışın. Düzgün dönmeyi reddettiğini ve takla atmaya başladığını göreceksiniz. Bu, ortalama eksen etrafındaki dönüşlerin neden kararsız olduğunu açıklar. Bir dahaki sefere kayalık bir kumsalda olduğunuzda, eksenleri eşit olmayan (yaklaşık olarak) elips şeklinde bir kaya bulun ve orta ekseni etrafında döndürmeyi deneyin. Dayak yemesini durdurmanın çok zor olduğunu göreceksiniz.

Dönen bir yörüngenin geometrisi

1984 yılında, Massachusetts Institute of Technology'de bir gökbilimci olan Jack Wisdam, meslektaşları Stanton Peel ve Francis Mignard ile birlikte, Les Arcus dergisinde Hyperion'un Kaotik Dönmesi hakkında bir makale yayınladılar ve burada Hyperion'un kaotik davranması gerektiğini tahmin ettiler. Biraz basitleştirilmiş bir biçimdeki analizleri aşağıda ele alınacaktır.

Hyperion'un yörüngesi eliptiktir, ancak yavaş değişir . Bunu ihmal ederek, sabit parametrelere sahip bir elips kullanarak bir uydunun yörünge hareketini simüle edebilirsiniz . Hyperion yörünge değişikliklerinden çok daha hızlı hareket ettiğinden, bu yaklaşım oldukça kabul edilebilir . Hyperion'un hareketinin simülasyonu, uygun bir elipsoid tarafından gerçekleştirilir ve yörünge düzlemine dik olarak yönlendirdiğimiz uzun ekseni boyunca döner . Aşağıda bunun neden yapılması gerektiğini göreceğiz . Rastgele düşüşü , dönen yörüngenin geometrisi ile aşağıdaki gibi tanımlanabilir. En uzun atalet ekseninin yönünü sabitlediğimiz için, kalan açılardan biri Hyperion'un tam olarak nasıl döndüğünü belirlememize izin verecektir . Sadece kısa ekseninin nereye işaret ettiğini bilmemiz gerekiyor. (Orta eksen, diğer iki açıya göre dik açı tarafından belirlenir). Bu açıya dönme açısı diyelim . Hyperion'un yörüngesinin konumunu belirtmek için başka bir sayı gereklidir. Bu, mevcut konumu ile yörüngedeki bazı sabit noktalar arasındaki açıdır. Kolaylık sağlamak için, Satürn'e en yakın nokta olan yarı apsisli bir noktayı sabit bir nokta olarak seçeceğiz ve netlik için ilgili açıya yörünge açısı veya “gerçek anomali” diyeceğiz. Satürn'ün Hyperion'u çektiği kuvvet, zamanla değişen yörünge açısına bağlıdır. Sonuç olarak , Satürn'ün çekiciliği, belirli bir tipte zamanla değişen bir yerçekimi alanı ile temsil edilebilir.

Yani, gerekli denklemleri yazabilir ve üç bilinmeyenli en basit matematiksel modeli oluşturmayı bitirebilirsiniz. Birincisi dönüş açısı, ikincisi dönüş açısının değişim hızı ve üçüncüsü zaman veya ilgili yörünge açısıdır.

Satürn'ün yerçekimi, zamana bağlı bir kuvvet olarak kabul edilir. Sabit olsaydı, yani zamandan bağımsız bir sabit olsaydı, o zaman denklemlerin “bir serbestlik derecesi” ve kesin bir çözümü olurdu ve kaos imkansız olurdu. Bununla birlikte, yerçekimi alanının zamana bağımlılığı, denklemleri, kaosun geçerli bir davranış türü olduğu “bir buçuk serbestlik derecesine sahip bir sisteme” çevirir . (Serbestlik derecesinin fazladan yarısı zamanla yaratılır. Buna göre, n değişkenli bir Hamilton sistemi n/2 serbestlik derecesine sahiptir, çünkü değişkenler genellikle konuma bağlı moment çiftlerine girer. Bu durumda, açısı rotasyon ve değişim oranı böyle bir ikili oluşturur, bu nedenle bu zarif formülasyona zaman dahil değildir.)

Denklemler bilgisayarda sayısal olarak çözülebilir. Sonuçlar en kolay şekilde Poincare bölümü kullanılarak temsil edilir (Şekil 12.3). Bu şekil, dönme açısını ve düzenli aralıklarla değişim oranını göstermektedir. Noktalar , bu uydu parametrelerinin değerlerinde bir aralıktan diğerine, Poincare bölümündeki bir konumdan diğerine atlamaları temsil eder. Poincare bölümü, aralık sırasında noktanın nerede olduğunu görmenize izin vermez, ancak normal davranışı kaostan ayırt etmek istiyorsanız bu önemli değildir.

Poincare bölümü, bir dizi kapalı eğri ve büyük bir X şekilli bölge gösterir. Eğriler düzenli periyodik ve yarı-periyodik hareketlere karşılık gelir: her aralık, kapalı alanlardan biri boyunca düzenli hareketin bir nokta atlaması ile karakterize edilir.

Pirinç. 12.3. Hyperion için Poincare bölümü. Kaotik hareket alanı, tüm noktaları aynı yörüngeye ait olan noktalı bir çizgi ile gösterilir. Kapalı döngüler, düzenli yarı-periyodik hareket bölgelerini gösterir.

eğriler. Noktalı alan kaotik harekete tekabül eder: ardışık hareket aralıklarını karakterize eden noktalar , tüm noktalı alanı kaplayarak burada "rastgele" atlar . Hyperion, prensipte, bu yolların her biri boyunca hareket edebilir, ancak hareketinin enerjisi belirli bir yol seçer ve kaos önceliklidir.

Resimdeki her nokta Hyperion'un durumunu temsil eder: yatay koordinat dönme açısıdır, dikey koordinat bu açının değişim hızıdır. Bitişik yörüngeler arasında, noktalar bir konumdan diğerine atlar. Yarı-periyodik harekette, kapalı eğrilerden biri boyunca , oldukça düzenli olan hemen hemen aynı büyüklükteki adımlarla nokta sıçramaları meydana gelir.

, şeklin çoğunu kaplayan noktalı bir çizgi ile işaretlenmiş tüm bölgede oldukça rastgeledir . Yeterince uzun süre gözlenirse , burada tüm bölge yalnızca bir yörünge tarafından izlenir.

Dikkatli okuyucular ayrıca , büyük kaotik bölgenin hemen üzerinde yer alan, kollarında uzun izler bulunan ince bir X harfi şeklinde şekillendirilmiş, çok daha küçük ikinci bir kaotik bölge göreceklerdir . Bu başka bir kaotik hareket ama o kadar küçük bir alanı kaplıyor ki burada önemli değil.

gelgit sürtünmesi

Satürn'ün yerçekimi alanı da Hyperion üzerinde daha ince bir etkiye sahiptir. Yerçekimi kuvveti mesafe arttıkça azaldığından, Satürn, Hyperion'un yakın tarafını uzak taraftan daha güçlü bir şekilde çeker. Ek olarak, bu "gelgit" çekimi , Hyperion'un en uzun atalet ekseni etrafında en kısa olandan daha hızlı dönmesine neden olur, ancak her iki dönüş de Satürn'ün çekimi olmadığında daha kararlı olacaktır. Hyperion'un yatay bir yörüngede hareket ettiğini, eğik olduğunu ve bir tarafının Satürn'e dönük olduğunu ve diğerinin ters yönde olduğunu hayal edin . Satürn'e çıkıntı yapan tarafın yatayın altında yer aldığını kesin olarak varsayın. (Uzayda “yukarı” ve “aşağı” arasında bir ayrım yoktur, bu nedenle, bu dili, kendinize özgüllüğünü vermeniz için onu tanımlamak için kullanıyoruz.) Satürn, küçük parçacıkları kendine yaklaştıkça daha güçlü çektiği için, bu, uydunun daha güçlü olmasına neden olur. biraz Xia'yı düzeltin ve dönme ekseni dikeye yaklaşır. Oldukça uzun bir süre sonra, gelgit kuvvetlerinin etkisi , yörünge düzlemine dik olan dönme eksenini ayarlar. Bu sadece Hyperion için değil, tüm gök cisimleri için geçerlidir. Ancak, bu süreç uzun zaman alır ve iki çıkıntı üzerindeki kuvvetler arasındaki fark çok küçük olduğu sürece, diğer fenomenler bu etkinin tezahürüne müdahale edebilir.

Bilgelik deneysel bir benzetme önerdi: "Bu süreç, başlangıçta en uzun ekseni etrafında dönen, kısmen ıslatılmış kağıtla doldurulmuş bir şişenin atılmasıyla iyi bir şekilde gösterilmiştir." Dene. (Önce mantarın sıkıca vidalandığından emin olun.) En uzun fiziksel eksenin, şişenin ortasından boyundan dibine kadar uzanan simetri ekseni olduğunu hatırlayın, aynı zamanda en kısa eylemsizlik eksenidir. Büyük olasılıkla, şişenin en uzun ekseni etrafında dönmeyi reddettiğini göreceksiniz (her ne kadar ağzına kadar doldurulmuş bir şişeyle bile , bunu oldukça başarılı bir şekilde yapabilirsiniz, tıpkı Savaş ve Barış kitabında olduğu gibi. Bunun yerine, dönene kadar döndürün . en kısa fiziksel eksen - en uzun atalet ekseni.Sıvının şişe içindeki hareketi, bir tür gelgit sürtünmesi yaratır ve bunun üzerine Satürn'ün Hyperion üzerindeki etkisinin aynısını uygular.

, başka varsayımlar olmasına rağmen, dönme ekseninin neden genellikle yörünge düzlemine dik varsayıldığını açıklar . Neyse ki, bu sistemin daha kapsamlı bir analizinin gösterdiği gibi, modelin bu varsayımı karşılanmasa bile kaotik bölgedeki kaos ortadan kalkmaz. Dönme ekseninin yönünün yörünge düzlemine dik açılarla belirlendiği bu bölgede, sadece gelgit etkilerine bağlı gibi görünüyor, kaos aslında bu daha ayrıntılı modelin kararsızlığından kaynaklanmaktadır.

nasıl oldu sanki

Resmi tamamlayarak, sonunda Hyperion'un şu anki kaotik durumuna nasıl geldiğini hayal etmeye çalışabiliriz.

Uzak geçmişte, Hyperion'un dönme periyodu ("gün"), yörünge periyodundan ("yıl") çok daha kısaydı. Rotasyon düzenli ve yarı periyodikti. Satürn'ün gelgit kuvvetleri Hyperion dönüşünü yavaşlattığında (ıslanmış kağıt deneyinde gördüğümüz gibi), hayatında yeni bir dönem başladı. Bu durumda, yörünge düzlemine dik olan en uzun atalet ekseni dönme ekseni oldu. Bir gün Hyperion çok fazla enerji kaybetti ve kaotik bölgeye girdi. Milyonlarca yıllık eser birkaç gün içinde iptal edildi. Üç ila dört yörünge işgal eden Hyperion, her yöne yuvarlanmaya başladı.

Hyperion'un tahmin edilen kaotik yuvarlanmasının henüz doğrudan gözlemlerle tam olarak kanıtlanmadığına dikkat edilmelidir . Ancak Voyager tarafından elde edilen resimler kaotik taklalar içerir ve bilinen düzenli durumları içermez. Bu teori oldukça başarılı görünüyor. Ayrıca Hyperion tarafından yansıtılan ve yine düzensiz olarak değişen ışığın yoğunluğu analiz edilerek Dünya üzerinde uzun bir süre boyunca test edildi.

Hyperion, güneş sisteminde şu anda böyle bir yuvarlanma yaşayan tek uydu. Bununla birlikte, benzetme yoluyla analiz, düzensiz bir şekle sahip olan tüm uyduların , evrimlerinin bir aşamasında, kaotik bir yuvarlanma döneminden geçmesi gerektiğine inanmak için sebep verir . Mars'ın iki uydusu Phobos ve Demos, uzak geçmişte muhtemelen birkaç kez kaotik bir şekilde yuvarlandı. Aynısı Neptün'ün küçük uydusu Nereid için de geçerlidir.

Rezonans

Bütün bunlarda kaostan daha fazlası var. Sol alt ve sağ köşelerde, kaotik bölgenin kenarına doğru, düzenli davranış “adası” görülebilir. Hyperion'un her zaman bir tarafta Satürn'e döndüğü eşzamanlı hareketlere karşılık gelir (Ay her zaman Dünya'ya dönük olduğu için). Hyperion, belirli koşullar altında kaostan eşzamanlı davranışa geçebilir . Diğer adalar da benzer şekilde tedavi edilebilir. Örneğin, kaotik bölgenin üst kısmındaki küçük bir ada, bir yörünge periyodunda Hyperion'un iki dönüşüne karşılık gelir. Bu adalar Oenon, Hailey ve Chirikov'un sonuçlarını andırıyor: 8. bölüme bakınız. Bunlar , 1:1, 2:1 gibi asal sayılar olarak birbiriyle ilişkili periyotlarla hareketin çeşitli yönlerinin meydana geldiği bir rezonansa karşılık gelir; 3:1, vb. Dolayısıyla Satürn'ün bir başka uydusu olan Titan, 4:3 rezonans oranıyla Hyperion'a yakın bir yörünge periyoduna sahiptir . Hyperion'un bir yörüngeyi tamamlaması 21.26 gün, Titan ise 15.94 gün sürer. Oranları, 4:3'e oldukça yakın olan 1.3337 sayısını verir.

Yerel dilde, rezonans derin (gіс.) bir sestir ve Basho'nun görüntüsünde: Eski Göletin sessizliğini kırmak

Kurbağa suya atladı - Derin rezonans.

Matematiksel rezonans fikri bununla ilgilidir: Şair tarafından duyulan derin ses, titreşen cismin (burada su) farklı bölümlerinin birbiriyle uyum içinde hareket etmesinden kaynaklanır.

Rezonans, Hamilton dinamikleri için önemlidir ve genellikle kaos onunla ilişkilendirilir. Bunun nasıl olduğunu görmek için, önce Hamilton sisteminin klasik bir örneğini ele alalım - periyodikliğe yakın bir yörüngede hareket. Poincare bölümünde, bir dizi eşmerkezli daire ile temsil edilir (Şekil 12.4). Merkezi nokta periyodik yörüngeyi karakterize eder; onu çevreleyen her daire, hareketin yarı-periyodik olduğu birinciden bağımsız ikinci bir periyot içerir.

Pirinç. 12.4. Periyodik bir yörüngeye yakın Poinare bölümlerini temsil eden klasik resim. Her daire, iki farklı periyoda sahip yarı-periyodik bir hareketi temsil eder.

Bu resim olumlu basitlik özelliğine sahiptir, ancak bu basitlik aldatıcıdır. Aslında görebilenler için burada daha incelikli bir şeyin açık belirtileri var. Az önce fazladan sürenin birinciden bağımsız olduğunu söyledim . Gerçekte, bu her zaman doğru değildir. İkinci periyot bir turdan diğerine sürekli olarak değişir. İki periyodun oranını düşünün . İrrasyonel ise, periyotlar bağımsızdır. Ama eğer rasyonel ise, o zaman gerçekten periyodik bir hareket oluşturmak için birleşirler. Rezonans içindeler. Rasyonel sayılar yoğundur: Herhangi bir aralık, ne kadar küçük olursa olsun, rasyonel sayılar içerir. Ve klasik analiz, Poincare tarafından keşfedilenle aynı türden nedenlerle, rezonansların yakınında çalışmaz . Bu nedenle, yoğun bir klasik daire kümesinin yakınında , yankılananlar korkuyla beklediğinizdir.

Bu sakıncalara rağmen, klasik resim, integrallenebilir olduğu söylenen bazı çok nadir sistemleri temsil etmek için uygundur. Kaderin kötü bir cilvesinde, integrallenebilir sistemler tam olarak formüllerle çözülebilen sistemlerdir. Bu nedenle, açık çözümlerin varlığına yapılan klasik vurgu, bizi açık temsilleri olmayan sistemlerin incelenmesine götürür. Ancak, Poincare ve Birchhoff'un fikirlerinin rehberliğinde, tipik tablonun doğru bir görünümünü geliştirebileceğiz.

O inanılmaz derecede karmaşık. Figüratif temsili birkaç yıl önce fizikçi Michael Berry tarafından elde edildi:

Tek bir döngü şeklinde "önce" bükülmüş bir ince tel kablo düşünelim. Eşmerkezli plastik kabuklarla kaplıyoruz . Bu kapak ayrıca , birkaç turla sıkıca kapatmak için birincisi üzerinde bir spiral şeklinde bükülen ikincil bir sarma halkası tarafından kesintiye uğratılır . Bu ikincil döngüde üçüncü, dördüncü, - • • dönüşler vardır. Devam ederken, onu ikincil bir kabukla çevrelemek için birincil kabuğu kesiyoruz . Daha sonra bu işlemi sonsuza kadar tekrarlıyoruz. Tamamlandığında, içinde birkaç boş alan olacaktır. Her birini sonsuz uzunlukta, karışık bir tel ile dolduralım.

Plastik bobinler düzenli, yarı-periyodik bir hareketi temsil eder. İkinci kabuk rezonanstır, üçüncü kabuk ve benzerleri daha da ince çok kutuplu rezonansları temsil eder . Karışık bir tel, kaotik yörüngeleri karakterize eder.

Bu bir bilgisayar deneyi değil: bu bir teorem. Çok zor bir teorem. Andrei Kolmogorov böyle bir sonucun doğru olabileceğini ilk fark eden oldu ve şematik bir saldırı planı çizdi. Daha sonra dünyanın önde gelen matematikçilerinden biri ve dinamikler konusunda bir otorite olan Kolmogorov'un öğrencisi Vladimir Arnold, ciddi teknik zorlukların üstesinden geldiği kesin bir kanıt üretti . Elde edilen sonuç daha sonra Jørgen Moser tarafından genişletildi. Ortak çabaları, şimdi KAM teoremi olarak adlandırılan şeye yol açtı. (KAM, Kolmogorov-Arnold-Moser adlarının kısaltmasıdır). Bu teorem tarafından tahmin edilen düzenli yarı-periyodik yörüngeler KAM torus olarak bilinir. Bölüm 8'de açıklanan Chirikov'un çalışması, bir KAM torusunun varlığına ve dolayısıyla KAM teoreminin uygulanabilirliğine kısıtlamalar getirir.

Dinamik sistemler teorisinin temel ders kitaplarından birini yazan iki Amerikalı matematikçi Ralph Abraham ve Jerry Marden, ortaya çıkan resme “Kolmogorov'un Belirsiz Çekicisi” (Vashchi ANgasiog oi Ko1chogogov) anlamına gelen NAK (VAK) (Şekil 12.5) adını verdiler. Bu isim aynı zamanda bu durumda uygun olan Rigveda'dan şüphe tanrıçasının adıdır.

NAC, Mandelbrot fraktalları ve Feigenbaum'un incir ağacı ile aynı dağıtılmış kalite ile karakterize edilir: öz- benzerlik. NAC içindeki önemsiz derecede küçük adalar, ilk bakışta, eşmerkezli dönüşlerin klasik görüntüsüne benzemez. Ancak bu, resim grafiklerinin sınırlı olanaklarının yalnızca bir sonucudur. Her ada, bir bütün olarak NAC'nin tüm binasıyla aynı karmaşıklığa ve aynı niteliksel forma sahiptir. NAC'nin karmaşık kendine benzer yapısının deli bir matematikçinin hezeyanı olmamasına rağmen, gerçek şeyi temsil etmesine rağmen, tüm basit klasik resim atipik, yanıltıcıdır.

Kirkwood Gap ve Hilda Bush

Rezonansın karakteristik özellikleri, başka bir astronomik bilmecede, asteroit kuşağındaki boşluklarda belirgin bir şekilde ortaya çıkıyor. En büyük asteroit olan Ceros, 1802'de çelişkili bir adam olan Wilhelm Olbers tarafından keşfedildi. Çapı yaklaşık 690 kilometredir . Asteroitlerin en küçüğü, devasa kayalardan biraz daha büyüktür . Toplamda, yaklaşık on bin bilinmektedir. Çoğu asteroit, bazıları Güneş'e çok daha yakın olmasına rağmen, Mars ve Jüpiter'in yörüngeleri arasında yoğunlaşmıştır.

Asteroitlerin yörüngeleri, Mars ve Jüpiter arasında eşit olmayan bir şekilde bulunur: yörüngelerinin yarıçapları bazı değerler etrafında gruplanırken, diğer yarıçaplar tamamen yoktur (Şekil 12.6). Amerikalı bir astronom olan Daniel Kirkwood, bunu ilk olarak 1860 civarında fark etti ve en göze çarpan boşluklara dikkat çekti. Boşluk Güneş'in etrafında dönen bir cisim olarak görülüyorsa, yörünge periyodu Jüpiter ile rezonans içinde olmalıdır. Sonuç: Jüpiter ile rezonans bir şekilde rahatsız ediyor

Pirinç. 12.6. Asteroitler, Güneş'ten belirli bir mesafede gruplar (çalılar) ve diğer yerlerde boşluklar oluşturur. Bu muhtemelen Jüpiter ile rezonanslardan kaynaklanmaktadır. Grafik, belirli periyot oranları için nispi asteroit sayısını gösterir (Jüpiter periyodu: asteroit periyodu).

bu tür yörüngelerdeki cisimler ve onları rezonansın artık meydana gelmediği mesafelere sürükleyen bir tür kararsızlığa neden olur. Jüpiter'in özel rolü, diğer gezegenlere kıyasla çok büyük olmasından kaynaklanmaktadır.

Mevcut verilerde, özellikle 2:1, 3:1, 4:1, 5:2 ve 7:2 rezonanslar için boşluklar belirgindir. Öte yandan, 3:2 rezonans oranına sahip bir asteroit kümesi var , bu Hilda grubu.

Rezonanslar, gökbilimciler tarafından tuzak olabilecek bir şey olarak kullanılır. Ay her zaman Dünya'ya bakar, yörünge ve dönme periyotları arasında 1:1 rezonans vardır. Merkür, Güneş etrafında 88 günde, kendi ekseni etrafında 59 günde döner. 88'in üçte ikisi 59'a çok yakındır, dolayısıyla Merkür'ün yörünge ve dönme periyotları 2:3 rezonanstadır. Bu rezonanslar muhtemelen sabittir (veya gök cisimleri böyle bir ilişkiye girmeme eğilimindedir). Bu nedenle, rezonansların kararlılığı, gözlemlenen fenomenleri “açıklar”.

Ancak 3:2 oranıyla Hilda grubuna ait olmayan asteroitler ile ilgili açıklama, rezonanslara karşı kararsızlıkları gibi görünüyor . Kuşkusuz, bu zorluğu çözmenin tek yolu bir istikrarsızlık mekanizması geliştirmektir : belki de her özel durumda farklıdır. Gelecekte , Hilda grubunun ortaya çıkışını açıklayabilecek 3:2 rezonansında olağandışı bir şey ortaya çıkarılmalıdır.

Pirinç. 12.7. Asteroit yörüngelerinin eksantrikliği e, Jüpiter ile 3: 1 rezonansta. Bu zirveler, eksantriklikteki ani, önemli değişikliklere karşılık gelir. Yatay ölçek i milyonlarca yıl olarak verilmiştir.

Yüksek eksantrikliğin zirveleri

Yakın zamana kadar, sayısal yöntemlerde hiçbir uzman, bu tür rezonanslarla ilgili uzun vadeli etkili çalışmalar yürütme fırsatına sahip değildi. Ancak bilgisayar yöntemlerindeki ilerlemeler ve yeni teorik ilkelerin yaratılması, bu tür sorunlara biraz ışık tutmaya başladı. Özellikle 3:1 rezonansı günümüzde oldukça iyi anlaşılmıştır.

Bilgisayar hesaplamaları, Jüpiter ile 3:1 rezonansa izin veren yörüngeleri olan asteroitlerin çok düzensiz bir yol izlemesi gerektiğini göstermiştir. Yörüngelerinin eksantrikliği keyfi ve neredeyse rastgele değişebilir (Şekil 12.7). Bu, astronomideki dinamik kaosun başka bir örneğidir. Düzensizlikler, kozmik terimlerle kısa ama bilgisayar terimleriyle uzun olan bir zaman ölçeğinde mevcuttur: yaklaşık 10.000 yıl.

Gerçekten ne olduğunu görmek için milyonlarca yıllık zaman ölçeklerine bakmanız gerekir. Tipik bir kaotik traktör, yüksek eksantriklik "tepeleri" ile düşük eksantriklikler arasında yüksek eksantriklik patlamaları ile karakterize edilir . Düşük eksantrikliklerde, uzay cisimleri yaklaşık olarak bir daire çizer, ancak yüksek eksantrikliklerde çok daha uzun ve düzleştirilmiş eliptik yollara sahiptirler.

Poincare bölümünün hesaplamaları (Şekil 12.8) bu sonuçları açıklamaya yardımcı olur. Şekil iki ayrı kaotik grubu göstermektedir. Bir grup düşük eksantrikliğe sahipken, diğeri yüksek eksantrikliğe sahiptir. Bu nedenle, Poincaré bölümü, ardışık “anlık görüntüler” ile işaretlenmiş yörüngedeki bir cismin hareketini gösterir. Gruplardan birine aitlerse vücut sıçramaları sorunsuz gerçekleşir . Daha ayrıntılı bir analiz, vücudun çoğu zaman bir grup düşük eksantriklik içinde bir daire içinde hareket ettiğini gösterir. Aniden tuzağa düşer ve kendini bir grup tuhaflığın içinde bulur. Buradaki hareket oldukça hızlıdır, bu nedenle burada uzun süre kalamaz ve kısa, yüksek yoğunluklu bir zirve ile ilişkilendirilir.

Marslı Temizleyici

Peki 3:1 oranı için Kirkwood boşluğu nasıl hesaplanır?

Patlamalarda veya zirvelerde, asteroitlerin eksantrikliği artar . Bu, eksantriklikleri 0,3 veya daha fazla olan asteroitlerin Mars yörüngesini geçmeye başlamasına neden olur (Massro88ng). Bu, yörüngenin herhangi bir geçişinde, yörüngesini ciddi şekilde bozabilecek Mars'a böyle bir yaklaşma olasılığının olduğu anlamına gelir. Mars'ın yörüngesini sık sık geçen bir asteroid, sonunda ona o kadar yaklaşabilir ki, tamamen farklı bir yörüngeye fırlatılacaktır.

O zamana kadar, yüksek eksantrikliğin kaos yaratabileceği düşünülüyordu ve Mars ile kesişme makul bir mekanizma olarak görülmedi. Kirkwood 3:1 Gap çevresindeki asteroitlerin Mars'ın etkisinden arınmış olduğu varsayıldı, bu nedenle eksantriklikteki bu ani değişim için hiçbir sebepleri yok. Ama şimdi böyle bir neden - kaosun matematiği - var. Kirkwood'un 3:1 boşluğunun asteroitleri temizleyenin Mars olması gerçeğinden kaynaklanmış olması mümkündür ve bunun nedeni bu değildir.

Pirinç. 12.8. Jüpiter ile 3:1 rezonansa sahip asteroitler için Poincare kesiti, eksantrikliklerdeki zirveleri açıklayan iki ayrı kaotik bölge (grup) oluşturur.

Jüpiter'in herhangi bir eylemi. Jüpiter , asteroitlerin Mars'ın yörüngesini geçmeye başladığı ve Mars'ın onları soğuğa ve boşluğa ittiği bir rezonans yaratır . Jüpiter sadece bir fırsat yaratır ve Mars başarıya ulaşır.

Bu kaotik bölgenin sınırlarının asteroitlerin gerçek dağılımı ile 3:1 çakışması şaşırtıcı derecede iyidir (Şekil 12.9). Sınır , kaotik yörüngeler gibi, Mars ile kesişmeye yol açan çok yarı-periyodik yörüngeleri belirliyor. Bütün bunlar sınır belirlenirken dikkate alındı.

Mars'ın asteroitleri süpürmesine izin veren mekanizma, meteor yağmurlarının Dünya'nın yörüngesine ulaşmasına neden olabilir. Jüpiter ile 3:1 rezonansı, meteoritlerin asteroit kuşağından Dünya'nın yörüngesine hareket ederek atmosferde yandıkları yerin nedeni de olabilir. Tüm güneş sisteminin temel birliğinin daha net bir örneğini ve kaosun her yerde bulunuşunun daha iyi bir örneğini bulmak zor olurdu.

Pirinç. 12.9. Teorik ve gerçek verilere göre kaotik bölgenin sınırı 3:1 . Teoriye göre, iki çizgi arasındaki bölge asteroit içermemelidir . Daireler ve çarpılar, bu tahmini doğrulayan gözlemlenen değerleri göstermektedir.

Dijital planetaryum

3:2 rezonansının bir araya getirdiği Hilda'nın grubu nedir ? Diğer rezonanslar hakkında ne söylenebilir?

Bir süper bilgisayarın bile gök mekaniği olaylarını uzun vadeli bir ölçekte hesaplaması uzun zaman alır. Wisdom ve meslektaşları James Applegate, Michael Douglas, Jackta Gürsel ve Gerald Sussman, bu durumdan çıkmanın tek yolunun kendi bilgisayarlarını kurmak olduğuna karar verdiler. Tek amacı Newton yerçekiminin etkisi altında yaklaşık olarak dairesel yörüngelerde hareket eden az sayıda cismin davranışını hesaplamak olan oldukça özel bir makine yaratılmalıdır. Özel yapım bir makine , mevcut bilgisayarların eksikliklerinin giderilmesini mümkün kılacak ve yapılabilirse yolu kısaltmak mümkün olacaktı.

dijital bir planetaryum adını verdiler . Planetaryum, dişliler ve tekerlekler kullanarak gezegenlerin yörünge hareketini simüle etmek için eski bir mekanizmadır. Tıpkı 2 bin yıl önce Yunanlılar tarafından yaratılan Antikythera'daki mekanizmada olduğu gibi.

Dijital planetaryum paralel bir bilgisayardır, aynı anda birkaç görevi yerine getirir. Bu, Shai'nin hızını artırmasına izin veren bulgulardan biridir . Bir seri bilgisayar, program yürütmenin her aşamasında bellekten komutları çağırmak zorundayken , dijital bir planetaryum doğrudan bilgisayar donanımından birçok hesaplama yapar . Matematiksel olasılıkları çok daha geniştir. Örneğin, bir aritmetik işlemi gerçekleştirmek, VAX 11/780 kadar sürer ( Detaylarla ilgileniyorsanız, bu, 64 bitlik iki gerçek sayının çarpımı başına yaklaşık 1,25 mikrosaniyedir), ancak entegrasyonu yapar. on bilinmeyenli bir denklem için adım, VAX'tan yaklaşık altı kat daha hızlıdır. VAX, üç dosya dolabını kaplayan popüler (ama sürekli genişleyen ) bir araştırma bilgisayarıdır .

Dijital planetaryumun, güneş sisteminin sırasıyla 100 milyon yıl ve 100 milyon yıl boyunca, yani toplamda 200 milyon yıldan fazla bir zaman aralığındaki hareketlerini incelemek için kullanılması gerekiyordu. Plüton, uzun zamandır gökbilimciler için bir gizem olmuştur. Yörüngesi, diğer gezegenlere kıyasla çok daha büyük bir eksantrikliğe ve yörüngenin çok daha büyük bir eğimine sahiptir. Daha yakın zamanlarda, Wisdom ve Sussman, Pluto'nun inatçılığının başka bir örneğini buldu. Yörüngesinin kaotik olduğunu göstermek için (matematik modellerinde) bir dijital planetaryum kullandılar. Bunu yapmak için, çok benzer başlangıç koşullarını kullanarak gezegenin yörüngesini iki kez hesapladılar. Tahminlerine göre, birkaç yüz milyon yıl içinde bu iki yörünge, kozmik kelebek etkisi nedeniyle Plüton'u Güneş'in zıt taraflarına taşıyacak.

Baykuşların 2:1 ve 3:2 rezonansları. Onun yardımıyla, 2:1 rezonansının ( asteroit kuşağında bir boşluğun göründüğü) hatırı sayılır büyüklükte bir kaotik bölge olduğu zaten bulunmuştur . Ancak Hilda'nın çalısının bulunduğu 3:2 rezonans bölgesinde kaotik bölge yoktur.

Matematiksel olarak, her rezonans kendine özgü özellikleri olan benzersiz bir olgudur. 3/2 sayısının 3 veya 2 sayısına benzemesi dışında 3:2 rezonansının neden 3:1 veya 2:1 rezonansına benzemesi gerektiği açık değildir. 3 rezonansın en çarpıcı özellikleri : 2. Kaos olmadan, bir asteroidin aniden aşırı derecede eksantrik hale gelmesi için hiçbir neden yoktur ve teta'nın eksantrikliğinde bir artış olmadan , Mars gibi başka bir gezegenin olması için hiçbir neden yoktur. süpürüp atın. Hilda çalısı olgusunun kaos evreninde bir “ekolojik niş” bulması gerekiyor.

13. Bölüm

Doğanın istikrarsızlığı

Bitki ve hayvanların doğal doğurganlıklarının sınırı yoktur, ancak gıda ihtiyacı onların kalabalıklaşmasına ve birbirleriyle çarpışmasına neden olur. Bu nedenle, yavaş yavaş, serbest araziler, örneğin dereotu ve birkaç yüzyıl boyunca ıssız alanlar gibi yalnızca bir tür bitki ile kaplanabilir - örneğin İngilizler gibi yalnızca bir kişi tarafından işgal edilir.

Thomas Malthus. Nüfus İlkeleri Üzerine Bir Deneme (An Ezeau op ile Prgipsirie o{ Poriiaiiop).

Bir kişinin içinde sineklerin yaşadığı bir konteyner vardı.

Dünya şüphesiz saplantılarla dolu, ancak bu durumda durum farklıydı. Bu adam sürekli olarak alışılmadık derecede kötü bir ruh hali içinde olan bir ucube değildi , o, uzayı ve yiyeceği sınırlı bir sinek popülasyonunun evrimini inceleyen bir bilim adamıydı . Adı AJ Nicholson'dı, çevreciydi. Şimdi bu kelimeyi neredeyse her gün duyuyoruz, genellikle "yeşiller" siyasetiyle bağlantılı olarak. Ekoloji burada bizim - ve Dünya'da kalan canlıların - varlığımızı sürdürdüğü ortam olarak anlaşılmaktadır. Ekoloji, bir bilim nesnesi olarak çevreyi, özellikle hayvanlar ve beslenmeleri için gerekli bitkiler arasındaki etkileşimi inceler.

Başlangıçta, Nicholson'ın bir kapta 10.000 hava sineği vardı. Bir süre sonra nüfus birkaç yüze düştü (Şekil 13.1), sonra tekrar büyümeye başladı. Sinek popülasyonu önce konteyner boşluğunda büyüdü ve ardından kademeli olarak azaldı . Boş alanın varlığında sinekler çoğalmaya başladı ve sonra öldü. Yaklaşık otuz sekiz gün sonra döngü kendini tekrarladı. Asla aynı kalmadı, ancak belirli bir periyodik ritim etrafında dalgalandı.

Hayvan popülasyonlarının ritimleri ve rahatsızlıkları insanlar için her zaman hayati olmuştur. Beklenmedik bir çekirge belası açlığa ve ölüme yol açtı. Bitki zararlıları, tavşanlar, kangurular veya

Pirinç. 13.1. Hava sineği popülasyonlarındaki dalgalanmalar. Yatay çizgiler zamanı gün olarak gösterir.

possums harap tarım arazileri ve bahçeler. Salgınları beraberinde getiren bakteri ve virüs popülasyonları da yıldan yıla sayılarda dalgalanmalar yaşar. Hudson Hunting Trading Company'nin (Hinson Bay Trinity Company) raporlarında verilen Kanada'daki vaşak ve tavşanların bolluğu hakkındaki bilgiler, şüphesiz şu anda mevcut olan en önemli zaman serilerinden birini temsil ediyor .

Ağustosböceği, Noshoriega takımına veya emici böceklere aittir. Bu düzenin çoğu üyesi, üç ağustosböceği türü dışında kısa ömürlüdür. Bu ağustosböceklerinin yetişkin dişileri, ağaçların kabuğunda delikler açar ve orada birkaç hafta boyunca yatan yumurtaları bırakır. Yumurtadan çıkan larvalar yere düşer, içine girer ve ağaç köklerini yemeye başlar. On yedi yıl yeraltında kalırlar ve on üç yıl boyunca görünümlerini korurlar. Sonra yerden sürünerek yetişkin böceklere dönüşürler.

Yetişkin ağustosböcekleri sadece birkaç hafta yaşar. Çoğalmak için larva aşamasından geçmeleri gerekiyor gibi görünüyor .

Larvalar çıkış zamanını nasıl öğrenir? Bu gerçek bir gizem. Bir görüşe göre bunun nedeni, 13 veya 17 gibi asal sayıların potansiyel yırtıcıların daha kısa döngüleriyle rezonansa girmemesi ve böylece popülasyonun hayatta kalmasını sağlamasıdır. Ancak bu hala sadece spekülasyon.

Sunulan dalgalanmaların bazıları düzenli , diğerleri değil. Böyle dinamik bir resim sadece görsel bir temsil midir? Yoksa bu durumda “nüfus dinamikleri” terimi daha mı doğru? Fenomen periyodik hale gelir gelmez bu soruyu cevaplamak artık mümkün değil. Ancak kaosun anlaşılmasıyla birlikte çok daha doğru doğrulama yöntemleri ortaya çıkıyor. Popülasyonların ritimlerindeki bozulmalarda kaosun izini bulmak mümkün müdür? Çok mümkün.

Köpekbalıkları ve karides

Ekolojik sistemlerin bir tür dinamiğe göre değiştiği fikri uzun süredir ortalıkta dolaşıyordu. İtalyan matematikçi Volterra Vito, Birinci Dünya Savaşı sırasında hava kuvvetlerinde görev yaptı ve askeri hava gemileri inşa etti . İçlerinde yanıcı hidrojen yerine helyum kullanımını öneren ilk kişi oydu. Savaşın bitiminden sonra barışçıl problemlere yöneldi ve avcılarla av arasındaki etkileşimin matematiksel modellerini yarattı. Akdeniz'deki balık popülasyonlarının sayısındaki periyodik dalgalanmaları açıklamayı mümkün kılan bir diferansiyel denklemler sistemi buldu .

Volterra döngüleri (Şekil 13.2) sadece sözlü argümanlarla görsel hale getirilebilir. Diyelim ki az sayıda yırtıcı hayvan, diyelim köpekbalıkları, örneğin karides gibi çok sayıda av içeren sulara giriyor. Bu isimleri sadece resme hayat vermek için kullanıyorum. Karides popülasyonu, mevcut yiyeceklerle sınırlıdır ve buna ek olarak, avcılar tarafından azalmaktadır . Buna karşılık, köpekbalığı popülasyonu karides sayısı ile sınırlıdır. Başlangıçta çok sayıda karides vardır, bu nedenle köpekbalığı popülasyonu hızla artar ve köpekbalıkları tarafından yenen karides popülasyonu azalmaya başlar . Yakında çok fazla köpek balığı ve çok az karides olacak. Şimdi zaten aç köpekbalıkları yiyecek eksikliğinden ölüyor ve şişmiş olarak yüzeye çıkıyorlar. Sayıları azalıyor. Sonuç olarak, karidesler daha hızlı çoğalmaya başlar ve karides popülasyonları yeniden büyümeye başlar. Döngü tekrarlanır.

FTL tavşanları

bir üstel olarak tanımlandığı iyi bilinmektedir . Ortalama bir ailede gerekli görüldüğü gibi 2,3 çocuk varsa, nüfus artış hızı 2,3/2 =

Pirinç. 13.2. Avcı-av döngüleri Volterra.

n nesil sonra popülasyonda (1.15) n kişi olacaktır. ( 1.15 ) 5 , 2'ye çok yakın olduğundan, böyle bir popülasyon beş kuşakta ikiye katlanır. Bir neslin yaşı otuz olarak kabul edilirse, nüfus beş asırda on kat artar.

Nüfus artışının ilk matematiksel modeli, yaklaşık 1220 yılına dayanan Pisa Leonardo'nun eserlerinde bulunur. Bu Leo Nardo daha çok “Fibonacci” olarak bilinir, ancak bu isim kendisine yalnızca 19. yüzyılda tarihçi tarafından verilmiştir. matematik Giulio Libri, herhangi bir tarihsel temele sahip değildir. Leonardo'nun modeli bir tür testti, matematiksel ekolojiye önemli bir katkıdan çok bir bilmece gibiydi , ancak bazı önemli fikirleri öngördü. Bu model sadece tavşanların üreme davranışlarını hesaba katar . Leonardo, oldukça doğal bir varsayım olan bir çift tavşanla başladı. Bir sezonda bir çift yeni doğan tavşan büyür ve bir sonraki sezonda yeni bir çift üretebilir, bu da bir sezondan sonra üreme çağına girer. Ayrıca tavşanların asla ölmediğini varsayalım. n mevsimde nüfus büyüklüğü ne olacak ?

M p yetişkin çiftler ve ben p yeni doğan çiftler olsun ve ilk sezonda şöyleydi: Mі = 0, D = 1. O zaman büyüme yasası şu şekilde temsil edilebilir:

Lg+1 -T/d

-T / d + i \u003d M p + I p .

(n + 1)-inci sezonda, M n yetişkin çiftler, yeni doğanlar І n + і olacak M n yeni çiftler doğuracak . Ancak henüz üreme yeteneğine sahip değiller, bu nedenle bu sezondaki toplam üreme çifti sayısı M p + i , yetişkin çiftlerin sayısı M p ve son sezondaki yeni doğan çiftlerin sayısı I p .

Hesaplamalar yaparak, elde ederiz

p     M p     I p     Toplam

10     1     1

2     11     2

3     2     1     3

4     3     2     5

5     5     3     8

6     8     5     13

7     13     8     21

8     21     13     34

ve benzeri. Bunlar ünlü Fibonacci sayılarıdır, sonraki her biri önceki ikisinin toplamıdır. Burada gördüğümüz, ayrık bir dinamik sistemdir. Buradaki zaman aralığı mevsimdir ve sistemin durumu bir çift sayı (M p ,І p ) ile tanımlanır. Büyüme yasası dinamiktir.

Bu sorunun kesin bir çözümü var. Altın oranı t = (1 + ѵ / 5)/2 = 1.618034 olarak tanıtırsak. .., o zaman bunu kanıtlayabiliriz

M p , m p /l/5'e en yakın tamsayıdır,
I p , m p - 1 a/5'e en yakın tamsayıdır.

Bunun neden böyle olduğunu açıklamayacağım ama bu sonucu hesap makinenizle kontrol edebilirsiniz. Nüfus artışını sezon başına 1.618034 olarak temsil eden Leonardo modeli için çok iyi bir yaklaşımımız var .

Yine, bu üstel büyümedir. Hesap makinesinin hesaplama yapmasına izin verilirse, 114 nesilde tavşan sayısı evrende bildiğimiz her şeyi aşacaktır. Bundan çok önce, Dünya , ışık hızından daha hızlı büyüyen bir tavşan popülasyonundan oluşan bir kabukla kaplanacak!

Büyüme kısıtlamaları

Elbette bu çok saçma. Pratikte dış etkiler her zaman nüfusun büyümesini sınırlar ve onu ihtiyatlı sınırlara getirir. Büyüme, örneğin oksijen eksikliğinden değil, daha çok yer, yiyecek veya her ikisinin eksikliğinden dolayı sınırlıdır.

Bu nedenle, Leonardo'nun ayrık dinamikleri , nüfus artışının durmasını açıklamak için değiştirilmelidir. Ekolojik jargonda, "yoğunluğa bağlı nüfus artışı "ndan söz edilir, çünkü doğum oranı nüfus yoğunluğuna bağlıdır - belirli bir çevresel durumda gerçek nüfus boyutunun mümkün olan maksimuma oranı.

Leonardo'nun modeli yalnızca zaman -mevsimler açısından değil, aynı zamanda nüfus büyüklüğü açısından da ayrıktır. Denklemlerin analizini biraz basitleştirmek için tavşan sayısının sürekli olduğunu varsayıyoruz (ancak zaman kesikli kalıyor). Bunu yapmak için tavşan sayısını maksimum popülasyon büyüklüğüne oranıyla değiştiriyoruz. Şimdi x , 0 ile 1 arasındadır. Bu, çok küçük ayrık adımlara yol açar: eğer maksimum nüfus büyüklüğü , örneğin 1 milyar ise, o zaman bir adım 0.000000001'dir. Bu değeri bir kişinin fark etmesi çok zordur, ancak bir bilgisayar tarafından kolayca yapılır.

En basit nüfus artış modeli iteratiftir, Leonardo'ya göre, mevcut sezondaki nüfus yoğunluğu, bir önceki sezondaki yoğunluğuna tahmin anlamında bağlıdır. Başka bir deyişle, formda yinelemeli bir modelimiz, ayrık bir dinamik sistemimiz var.

^n+1 E(X n ),

burada xn, u sezonundaki nüfus yoğunluğudur ve E , belirli bir haritalamadır.

Üreme sürecinin özelliklerini ortaya çıkarmak için bir dizi farklı E temsili önerilmiştir . İlk başta , klasik ruh içinde düşünüldüğünde, her bir haritalamanın belirli dinamiklerle karakterize edildiği varsayıldı . Bu nedenle, daha iyi bir model bulma ve popülasyon biyolojisinin temelleri hakkında yeni bir şeyler öğrenme umuduyla, verilere en uygun olanı test etmek için yöntemler geliştirmek için çaba gösterilmiştir .

Ancak bu bir hata olabilir. Literatürde tanımlanan eşlemelerin çoğunun ortak bir özelliği vardır: tek bir tepe noktası olan eğrileri tanımlarlar. Bu nedenle, niteliksel düzeyde, neredeyse mantıksal bir haritalama gibi davranırlar. Özellikle, ikincisinin en çarpıcı özellikleri - özellikle dönem ikiye katlanan çağlayanıyla incir ağacı - hepsinin karakteristiğidir; 2 П'den farklı periyotlara sahip periyodik döngüler var , kaos ortaya çıkıyor.

aynı olduğunu söylememize izin vermez . Deneysel ekolojide gerçekten iyi veriler elde etmenin çok zor olduğu unutulmamalıdır. Dolayısıyla ciddi bir ayrımcılık sorunu var. Tüm bir model sınıfıyla daha uyumlu olan deneysel kanıtların olduğunu varsaymak muhtemelen en iyisidir .

Her halükarda, çevre koşullarını sınırlayan en basit nüfus artış modellerinin bile kapsamlı bir araştırmasının sonucu, bunların dönemsellik ve kaos yaratmaya muktedir olduğu anlayışı olmuştur . Gördüğümüz gibi, gerçek popülasyonlarda periyodiklik sürekli olarak ortaya çıkar. Ayrıca, heyecan verici bir sorun oluşturan rastgele dalgalanmalar vardır: dış etkilerin rolü ne kadar büyük ve gerçek deterministik kaos ne kadar olası?

koşulların kombinasyonları

Bunu dikkate alan ilk kişi, görünüşe göre, Eai/u/ge gazetesinde basit modellerin karmaşık davranışlarının yaygın oluşumuna ilişkin heyecan verici içgörüsüyle ilgili makalesinden daha önce bahsedilmiş olan Robert May'di. Son zamanlarda, Kraliyet Cemiyeti Belgeleri'nin bir sayısında , 1 Mayıs, insanların neden bu kadar uzun sürdüğünü fark etmesinin birkaç nedeni verdi.

x Procees1іpts ve 11іе Knowаі Zosіеіu 2 , voi. 413A (1987)

bir masaüstü hesap makinesi veya sadece kalem ve kağıt kullanan herkes için esasen bariz olan bir şey.

Ortak basit denklemlerin o kadar şaşırtıcı dinamikleri olduğu keşfedildi ki, kaosun modern bilimin merkezinde hak ettiği yerini almasının neden neredeyse on yıl sürdüğünü sormak boşuna değil. Cevabın kısmen, kaosun yaygın olarak kabul edilmesinin, insanların yukarıda bahsedilen pratik uygulamalar bağlamında bu tür sistemleri genelleştirmenin yollarını görmelerini gerektirdiğine ve kısmen de sayısal öğrenme yapabilen bilgisayarlar inşa etmenin zaman aldığına inanıyorum. kolay.

Bu sözler yukarıda yaptığım yorumla doğrulanır: yeni bir fikrin kök salması için gerekli olan koşulların - zaman, yer, kişi, kültür - çakışmasını gerektirir. Ve May'in söylemeye devam ettiği gibi, bu koşullardan bazıları başarıyı gözle görülür şekilde geciktirebilir, ancak hepsini değil. Bir kişi genellikle tüm koşulların eyleminden ne sonuç çıktığını anlamaktan acizdir. Bu aynı zamanda fraktallar için de geçerlidir: bulmacanın ayrı parçaları birkaç neslin gözlerinin önünde dursa da, yalnızca Benoit Mandelbrot'un özel yetenekleri onları bir araya getirmeyi ve ortaya çıkan resmin esası konusunda insanları ikna etmeyi mümkün kıldı.

Aslında, bazı biyologlar bir anlamda kaosa daha 1950'lerde aşinaydılar. Böylece 1950'de PAP Moran böcekleri incelerken ve 1954'te VE Ricker balık popülasyonlarını incelerken kararlı çözümler, periyodiklik ve hatta kaos buldu. Ancak, şu anda yalnızca kararlı çözümler ilgi çekiciydi ve yalnızca masaüstü hesap makinelerinde sıkıcı çalışmalarda gözlemlenen kaos ne anlaşılır ne de güvenilirdi.

Ancak 1970'e gelindiğinde, gerekli faktörlerin bileşimi nihayet şekillendi. Bu faktörler göz önüne alındığında , sayısal simülasyonda kaosun ortaya çıktığını fark etmemek mümkün değildir. Yinelemeli programlarla uğraşan herkes - programlaması çok kolay - kaostan kaçınmanın onu bulmaktan çok daha zor olduğunu bilir.

Tabii ki, kasten arıyorsanız.

Bakteriler her yerdedir, ancak onları mikroskop olmadan göremezsiniz. Tiki galaksileri her yerdedir, ancak teleskop olmadan hafif bulanık yıldızlara benziyorlar. Atom altı parçacıklar yalnızca her yerde değil, her şeyin bir parçasıdır, ancak gerçek varlıklarını göstermek için milyonlarca dolar değerinde büyütme gerekir . Bilim tarihinde, yeni araçların icadı her zaman anında bilimsel ilerleme sağlamıştır. Bizim durumumuzda, bilgisayar çok belirleyici bir araç haline geldi. Ancak bu tek başına yeterli değildir. Ayrıca yeni bir aracın önemli bir şey keşfettiğini anlamak bir bilim adamının zihnini de alır. Ve bu yeni aracın onu neden bulduğunu anlamak için daha da fazla zeka gerekiyor.

Kelebekler hakkında detaylı rapor

Nicholson'ın sinek sinekleriyle ilgili verilerine daha yakından bakalım.

Nicholson, sineklerini düzenli fakat sınırlı bir protein diyetinde tuttu. Nüfus arttığında, sineklerin üremesini engelleyen yiyecek eksikliği vardı. Daha az yumurta bırakıldı ve sinek popülasyonu azalmaya başladı. Sonunda, yeterli yiyeceğe sahip en güçlü bireylerden oluşan küçük bir grup kaldı ve nüfus yeniden büyümeye başladı.

Yukarıda, yinelemeli bir avcı-av sürecinin döngüsel davranış üretebileceğini gösterdim. Benzer argümanlar , Nicholson'daki kelebek popülasyonundaki periyodik dalgalanmaların nedenini bu durumda da anlamamıza yol açmalıdır. Gerçekten de , yaklaşık iki yıl sonra, deneysel verilerin ana özelliği, yaklaşık otuz sekiz günlük bir süre ile net düzenli dalgalanmalar haline geldi.

Ama bu da doğru değil. Birçok tepe kopyalanmaz. M şeklindeki pikler, A şeklindeki piklerden daha yaygındır. Bu, bazı ek yüksek frekanslı salınımların ana periyoda bindirildiğini gösterir.

Piklerin genliği, üç döngüden sonra tekrarlanan modele göre oldukça düzenli bir şekilde modüle edilir. Küçük zirveler ortalama olanları takip eder ve onlar da büyük olanları takip eder. Sonra tüm döngü tekrarlanır. Ayrıca, yaklaşık 450 gün sonra dalgalanmalar daha az düzenli hale gelir.

Pirinç. 13.3. Hava sineği bolluğundaki dalgalanmalara dayalı zaman gecikmeli model.

Alışıldığı gibi, düzenli döngülerin doğal bir popülasyondaki en karmaşık davranış türünü temsil ettiğine inanıyorsanız, bu görüşü desteklemek için popülasyonu etkileyen ek faktörler bulmanız ve Nicholson verilerini açıklamanız gerekir. Yemek sabit miydi? Sinekler arasında hasta var mıydı ? Sayım ne kadar doğruydu? Ancak bugün, gözlemlenen tüm üfleme etkilerinin, doğrusal olmayan tüm kesikli dinamikler için ortak olduğunu kesin olarak biliyoruz. Periyodiklik, yarı- periyodiklik, kaos.

Birçok biyolojik olay zaman gecikmelerini içerir. Örneğin bir organizmanın hastalığı, bir kuluçka döneminden önce gelir. Bu, bir kişinin enfekte olduğu andan semptomların başlangıcına kadar geçen zamandır. Ve bu çok belirgin bir gecikme olabilir (su çiçeği için 14 ila 15 gün ve AIDS için beş ila on yıldır). Üreme döngüleri gebelik dönemini içerir. Yiyecekten yoksun bırakılan bir hayvan, önce sahip olduğu fazla yağı kullanır ve ancak o zaman ciddi şekilde açlıktan ölmeye başlar.

Zaman gecikmeleri de dahil olmak üzere çok basit modellerin, sinek popülasyonlarında otuz sekiz günlük bir büyüme ve küçülme döngüsünü taklit edebildiği gösterilebilir (Şekil 13.3). Düz teorik eğriler ve deneysel verilerin pürüzlü eğrileri çok benzerdir.

Georg Oster daha fazla analiz yaptı. Nüfus büyüklüğünün iki ana faktör tarafından belirlendiği bir model oluşturdu . İlk faktör gecikmelerdir: bunlar, “yumurtaların” olgunlaştığı ve yetişkinlerin özelliği olan üreme yeteneği kazandığı “hamilelik dönemleridir”. İkinci faktör, yetişkin üreme hızının beslenme desteğine doğrusal olmayan bağımlılığıdır. Bu modelde elde edilen sonuçlar (Şekil 13.4)'de gösterilmiştir. Kararlı durumlar, 3 ve 6 gibi çeşitli periyodik durumlar ve iyi tanımlanmış kaos içerirler .

Zaman gecikmelerini dinamik olarak simüle etmenin tek yolu, iki yaş sınıfına sahip bir model kullanmaktır. Sınıfların yeni doğanlar ve yetişkin çiftler olduğu Leonardo'nun tavşanlarının modeli hemen hemen aynı. Gecikme, ancak doğan tavşanların ilk sezonda ürememesi nedeniyle oluşur. Bu süre zarfında yetişkin tavşanlara dönüşürler. Bununla birlikte, Leonardo'nun modelindeki büyüme oranları doğrusaldır ve herhangi bir kısıtlamanın yokluğunda tavşan popülasyonu katlanarak artar . Auster modeli, doğrusal olmayan bir nüfus azalması içerir.

Bu model, ana döngü üzerine bindirilen ve M şeklinde bir çift tepe oluşumuna yol açan yumurtlamada periyodik olarak patlayıcı bir artış yaratabilir. Ayrıca piklerin frekansında bir artışa neden olabilir ve bu da kaosa yol açar. Oster , gerçek verilerle sadece nitel değil, aynı zamanda nicel benzerlikler elde edene kadar araştırmasına devam etti. Böylece, Nicholson'ın gözlemlediği dinamiklerin tüm içsel özellikleri, tek bir deterministik yasanın sonucudur. Bunun için ek efekt gerekmez.

tehlikeli denge

Yakın zamana kadar, popülasyon biyologları, en azından örtük olarak, popülasyonların doğal durumunun sabit olduğuna inanıyorlardı, ancak pratikte bu arzu edilen "doğadaki denge", genellikle nüfus yoğunluğuna ve çevresel gürültüye bağımlılık tarafından bozuluyor . Deneyciler her zaman gürültülü verilerden altta yatan kararlı veya periyodik durumları çıkarma zorluğuyla karşı karşıya kalmışlardır . Ancak, durağan durumlar ve periyodiklik oluşturan basit dinamikler de kaos yaratabiliyorsa,

o zaman temel durumun kendisi kaotik olabilir ve temel durumun yapısını çıkarma sorunu çok daha incelikli hale gelir.

Geçmişte, biyologlar genellikle ortalamaların oranlarına bakarak yalnızca ortalamaları incelerlerdi. Bu, ortalama sıcaklık ve basınç değerleriyle açıkça tanımlanan gaza termodinamik yaklaşımı anımsatır . Bu yaklaşım gazlar için yeterince iyi, ancak popülasyonlar için çok kötü. Belki de bu, gaz moleküllerinin sayısına kıyasla çok daha az sayıda popülasyondan kaynaklanmaktadır. Ayrıca çevresel gürültü (yırtıcı hayvanlar , iklim, uygun gıdanın varlığı veya yokluğu) bireyleri önemli ölçüde etkiler. Popülasyonlardaki değişiklikler de bireyler düzeyinde meydana gelir. Ayrıca, çeşitli yerel etkiler nedeniyle nüfus dinamiklerinin kendisi de çok belirgin şekilde değişebilir . Böyle bir analiz oldukça yakın zamanda yapıldı. Lahana kelebeği gibi bir bahçe zararlısının kartopu çalılarının dağılımı üzerine yapılan çalışmalarla ilgilidir . MP Hassel ve Meem tarafından elde edilen veriler , bu durumda üç aşamalı bir mekanizmanın çalıştığı sonucuna varmamızı sağlıyor. İlk olarak, böceklerin siteler arasındaki ilk dağılımı çok heterojendir. İkinci olarak, kelebeklerin parsellerdeki dağılım yoğunluğu değişebilir, dolayısıyla yoğunluğa bağlı dinamik etkiler sahadan sahaya değişir. Üçüncüsü, çevresel gürültü her özel durumda farklı davranır.

Böyle bir sistemin davranışını analiz etmek için, kişi önce dinamikleri incelemeli ve ardından ortalama değerleri bulmalıdır, tersi değil. Örneğin, farklı popülasyon yoğunluklarına sahip bir düzine yerleşim yeri düşünüldüğünde ve her popülasyonun ortalama büyüklüğü nesilden nesile değişiyorsa, ortalama yoğunluğa sahip homojen bir popülasyon için aynı sonucun elde edileceği düşünülmemelidir . Bunun nedeni, popülasyonların dinamiklerinin doğrusal olmaması ve doğrusal olmayanlıkların araçlarla tanımlanmamasıdır.

Bir benzetme yapacak olursak, şu problemi ele alalım: Bir arabanın 30 km mesafeyi 20 km/sa hızla gitmesi ve 60 km/sa hızla geri dönmesi gerekir. Arabanın ortalama hızı nedir? Hızları toplayıp sonucu ikiye bölersek ortalama 40 km/s hız elde ederiz. Ancak bu doğru değil. Orada ve geri seyahat süresi aynı değil: araba tüm yol için bir buçuk saat sürecek ve dönüş yolculuğu için sadece yarım saat sürecek. Böylece toplam süre iki saattir. Bu süre ortalama 60/2 = 30 km/sa hıza karşılık gelir. Yanlış cevabın nedeni, hızları toplayıp sonucu ikiye böldüğümüzde yanlış ortalamayı elde etmemizdir, çünkü hız zamanla ters orantılıdır ve bu doğrusal olmayan bir ilişkidir. Başka bir deyişle, ortalamayı doğru yere koymanız gerekir.

Dolayısıyla kaotik dinamikler, gerçekten yeni ve yorumlanması zor veri analizi problemlerini ortaya çıkarmaktadır. Bununla birlikte, sürekli yanılsamalar içinde yaşamaktansa, net ama zor problemlere sahip olmak daha iyidir.

Suçiçeği

Bakteriler ve virüsler canlı varlıklardır ve popülasyonlarının sayılarını değiştirme şekli gerçekten önemlidir. Bir kızamık salgını sırasında, kızamık virüsü popülasyonunun büyüklüğü, yayılmasını ve enfeksiyonun gücünü belirler. Dolayısıyla nüfus dinamiklerinin epidemiyolojiye doğrudan bir uygulaması vardır. Örneğin, önceki bölümde yapılan açıklamalar, hakkında hiç şüphe duymadığınız, kötü ve ölümcül bir hastalık olan AIDS'in epidemiyolojisi için esasen değişmeden geçerlidir. Bu hastalığın sendromuna insan immün yetmezlik virüsü (HIV) neden olur ve dağılımı da son derece heterojendir. Bu hastalık bir tür cinsel davranışla ilişkilidir, bu nedenle hastalığın ortalama kuluçka süresine ve ortalama cinsel davranışa dayanan AIDS çalışmaları yanıltıcı olabilir. AIDS'in yayılmasının doğası dikkatli bir çalışmayı hak ediyor çünkü hastalığın kontrolü ve hatta belki de tedavisi büyük ölçüde iyi bulaşma modellerinin varlığına bağlı.

Genel olarak nüfus dinamikleri ve özel olarak kaos, AIDS'i yönetmek için kullanılabilecek bir şey sunabilir mi? Bu soru şu anda saf spekülasyon. Bununla birlikte, belirli hastalıkların salgınlarının kaosla ilgili olduğuna inanmak için belirli nedenler vardır. Deneysel verilerden kaotik dinamiklerin çıkarılması sorunu yukarıda tarafımızdan türbülans bağlamında ele alınmıştır. Çekici topolojisini yeniden oluşturmak için “hayali” zaman serilerini kullanan Packard ve Takens yönteminden de bahsettim. Bununla birlikte, bu yöntem, prensipte, yalnızca fiziksel laboratuvarlarda elde edilenlerle değil, herhangi bir zaman serisiyle çalışır. Genişletilmiş salgın zaman serileri tıbbi kayıtlardan bilinmektedir.

hastalık çekicilerinin yeniden yapılandırılması için Takens-Packard yöntemini uyguladı . Daha önce New York ve Baltimore'da kabakulak , kızamık ve suçiçeği hakkında toplanan verileri kullandılar.

toplu aşılama uygulamasının ortaya çıkışı (Şekil 13.5). Her hastalık için, ayda meydana geldiği vaka sayısını içeren bir zaman serisi vardır . Sonuçları, her özel durumda iki boyutlu bir çekicinin ortaya çıktığını gösterdi (Şekil 13.6). Kaosun varlığını açıkça gösteren tek boyutlu bir Poincare bölümüne sahiptir . Oluşumunun dinamikleri, lojistik olana niteliksel olarak benzeyen tek bir tepe noktası ile görüntülenerek kontrol edilir. LF Olsen ve H. Degn tarafından Kopenhag kızamık verilerinin bağımsız bir analizi, hemen hemen aynı bir görüntüyle sonuçlandı ve sonuçların sadece tesadüf olmadığını düşündürdü. Hayvan popülasyonlarına dönersek Schafer, Hudson ticaret evi verilerinde vaşak tavşanı popülasyonlarında da kaos olduğunu gösterdi.

modellerken, transfer süreçlerini içeren spesifik fizyolojik modeller kullanılır. Kaos yaklaşımı, deneysel verilere odaklanarak ve altta yatan dinamikleri belirlemeye çalışarak bunları tamamlar. Bu yöntemin ana dezavantajı, oldukça uzun zaman serilerine ihtiyaç duyulması ve nadiren elde edilebilmeleridir. Bu iki yöntemin birlikte kullanılması, ortaya çıkan tahmini önemli ölçüde iyileştirebilir.

Kalp yetmezliği!

Epidemiyoloji, kaosun potansiyel olarak önemli tek tıbbi uygulaması değildir. Kaotik dinamikler artık habis hücrelerin kontrolsüz davranışlarının modellenmesinde, içgörülerin analizinde ve genetik araştırmalarda kullanılmaktadır. Kalbin çalışmasındaki düzensizliklerin ayrıntılı bir analizi de yapıldı (Şekil 13.7) ve dikkatimi bunun üzerinde yoğunlaştıracağım. Çalışma, Leon Glass ve Montreal'deki McGill Üniversitesi'ndeki meslektaşları tarafından yapıldı.

Normal insan kalbi, her gün ve her yıl, dakikada elli ila yüz kez hiç durmadan atar.

Bununla birlikte, birkaç farklı çarpıntı meydana gelebilir. Bazıları, çeşitli kalp kasları birbiriyle ritim içinde çalışmayı bıraktığında fibrilasyon gibi bir kişiyi öldürme yeteneğine sahiptir. Açıkçası, kalp atışının dinamik doğasını anlamak önemlidir.

Nihayet

Pirinç. 13.5. New York ve Baltimore'da Kızamık. Solda ham veriler, sağda güç spektrumu.

Kalp atışlarının matematiksel modelleri bizi 1920'lere, W. Mobitz, Balthasar van der Pol ve J. van der Mark'ın çalışmalarına götürür. van der Pol'in modeli, daha önce limit çevrimi olan bir model örneği olarak bahsedilen bir vakum tüpündeki salınımlar için denklemleriyle yakından ilişkilidir. Van der Pol ve van der Mark bile kaosa sürüklendi, ancak o zaman kimse bunun önemli olduğunu düşünmedi. Bu nedenle, yaygın olarak bilinmemekle birlikte, doğrusal olmayan dinamikler, ilk günlerinden beri fizyolojik süreçlerle ilişkilendirilmiştir. Doğrusal olmayan dinamiklerdeki yeni gelişmelerin kalp atışlarının analizine yeni yaklaşımlar sunabilmesi şaşırtıcı mı?

İnsan kalbinin düzensiz davranışlarından kaotik dinamiklerin sorumlu olduğu oldukça tartışmalıdır . Üst üste binen salınımların öldürdüğü gerçeğinden hiçbir şekilde dinamikler sorumlu tutulamaz : yarı periyodik ve hatta periyodik salınımlarla,

VIIIgpog'lar

Pirinç. 13.6. Şekil 13.5'teki kızamık verileri için garip çekicilerin (solda) ve Poincare bölümünün (sağda) yeniden yapılandırılması

çok fazla genlikle atan kalp işini oldukça iyi yapar. Yoksa sabit durum - iğrenç olmak için - gerçekten sadece öldüğümüzde mi ortaya çıkıyor? Bu soruyu yanıtlamak, ölümcül kalp yetmezliği hakkında veri elde etmek kadar zordur : Bu gibi durumlardaki sağlık personeli - oldukça doğal olarak - hastanın nasıl öldüğünün ayrıntılarını kaydetmek yerine yaşamı için savaşmayı tercih eder.

zorunlu jeneratör

Parasistolik ritimler olarak adlandırılan önemli bir kardiyak aritmi türü, iki düzenli periyodik uyaran üst üste bindiğinde ortaya çıkar . Çok çeşitli dinamikleri kapsayan basit bir matematiksel model , sıradan bir zorunlu osilatördür (kіskesі Koіаіоr). Doğal jeneratör, periyodik olarak değişen dış kuvvetler tarafından uyarılır . Bu ilginç bir duruma yol açar

Pirinç. 13.7. Faz yakalama fenomeni: kalp atışında düzensiz dalgalanmalar. Geniş ve dar tepeler arasındaki düzenli desenin kaybolmasına dikkat edin.

soru şudur: iki salınımlı rejimin etkileşimi nasıl gerçekleştirilir? Küçük at nalı kullanarak, bir itici gücün etkisi altında Van der Pol osilatörünün kaotik hale gelebileceğini zaten gördük . Bu nedenle, parasistolik ritimlerde benzer bir şey yaratmamız olasıdır.

Kaosla uğraşan fizikçilerin ve matematikçilerin kendi favori zorunlu salınım jeneratörleri vardır. Smale'in at nalı gibi, dinamiklerin en basitleştirilmiş versiyonunu temsil ediyor ve hala temel özellikleri koruyor. Doğrusal olmayan bir osilatör olarak bilinir ve daha çok bir flaş fotoğrafına, bir zorunlu salınım üreteci için ayrı bir Poincare bölümüne benzer. Sistemin durumu , daire üzerindeki işaret ile belirlenir. Her ayrık zaman adımından sonra, bu işaretin kaydırıldığı açı, katı bir kurala göre değişir, ancak ek olarak, dönmeye periyodik olarak değişen bir bozulma eklenir. Örneğin, i zamanındaki açı r'ye eşitse, o zaman i + 1 zamanında açı x + 1 + 8/n i'ye eşit olabilir . Burada xx + 1, jeneratörün doğal hareketini karakterize eder ve zіnі kuvvetin etkisini temsil eder. Daha genel bir durumda, geçişin sonucunu x + k + A 3m değeri olarak düşünebiliriz, burada k sabiti , kuvvetin frekansına göre doğal jeneratörün frekansını ve A değerini ayarlamamıza izin verir. - efektin genliğini değiştirmek için.

Bu tür sistemlerde çok ilginç bir şey olur, kaosun keşfinden önce bile biliniyordu. Aşamayı devralırlar. Bu, itici gücün frekansı ve salınımın doğal frekansı, bazı basit sayısal oranlarda olan "adımlara" karşılık geldiği zaman olur. Örneğin, üç itici güç periyodu, dört doğal salınım periyoduna karşılık gelir, ardından 3: 4 faz kaybolur. Bir astronom, bu titreşimlerin rezonansa girdiğini fark edecekti: temelde aynı şey.

A sıfır ise yani itici güç yoksa sistemin dinamiği basittir. Her zaman adımında x'in değerine yalnızca k eklenir , dolayısıyla n zaman adımından sonra x'in değeri x + pc olur . k 360' rasyonel bir faktör ise, dinamik periyodiktir; değilse ve k 360' irrasyonel bir faktörse, dinamikler periyodik değildir.

A sıfırdan farklıysa, o zaman itici kuvvetin etkisinin neden olduğu doğrusal olmama, belirli bir rasyonel değerden k'nin küçük bir yer değiştirmesi durumunda bile devam eden periyodik çözümlerin ortaya çıkmasının etkisine yol açar . Rus matematikçi Vladimir Arnold'dan sonra Arnold dilleri olarak bilinen faz yakalama bölgelerine yol açar . Aşağıdaki Şekil 13.8'de, çarpık üçgen bölgeler şeklindedirler.

, fizyolojiye bağlılıkları fikrine alışmış olan matematikçilerin pozisyonlarını ortaya çıkardığı komik bir hikaye anlattı . Arnold, 1987'de ölen Rus matematiğinin önde gelen isimlerinden Andrei Kolmogorov'un öğrencisiydi. Kolmogorov'dan bahseden Arnold şunları kaydetti: “ Öğrencinin bireyselliğine tamamen saygı duymasıyla diğer profesörlerden ayrılıyordu. Çalışmama müdahale ettiği tek bir olayı hatırlıyorum : 1959'da, daire öz haritalama hakkındaki makalemden kalp atışlarına başvurular bölümünü çıkarmamı istedi ve şunu ekledi: işe üfleme. Kalp atışı teorisine bir uygulama 25 yıl sonra L. Glass tarafından yayınlandı, ben bu teoriyi gök mekaniğine uygulamak zorunda kaldım.

, Kolmogorov'un matematikçileri büyük bir dikkatle ele aldığı ve biyolojinin kendi uygulamaları üzerinde çalıştığı konusunda yaygın olarak kabul edilen görüşe ironik bir dokunuş katıyor .

kraliyet hoşgörüsü

Şimdi konudan çıkmalıyız çünkü faz yakalama yeni matematiksel yöntemler gerektiriyordu. Ancak, yalnızca daha önce bu amaç için kullanılmamış olmaları anlamında yenidir. Gerçekte, bu yöntemler , matematiğin en güzel fikirlerine ait olmalarına rağmen, daha önce hiçbir pratik amaç için kullanılmamıştı . Sayı teorisi diyorum.

"Matematik," dedi Carl Friedrich Gauss, " bilimlerin kraliçesidir ve aritmetik, matematiğin kraliçesidir." Aritmetik ile, 2 + 2 = 4 değil, sayılar teorisini kastediyordu ve kralın nilüfer beyazı ellerini kirletmeme arzusu, onun tamamen zeka eksikliğinden kaynaklanmıyordu. Sayı teorisinin bariz konusu - sıradan tamsayılar arasındaki yapılar ve ikilemler - bilime doğrudan bir uygulaması yoktur. WW Rose Bell 1896'da sayılar teorisi hakkında şöyle yazmıştı : "Bu konu kendi içinde özel bir ilgi ve zarafet içeriyor, ancak içerdiği içeriğin pratik önemi çok az. " ”, sayı teorisi, dinamik gibi geleneksel uygulamalı konuların tam tersi olan, olabildiğince saftır .

Bundan başka bir şey yok.

Sayı teorisi, faz kilitlemenin güzel ve karmaşık örneklerini dikkate değer ayrıntılarla açıklar. Örneğin, Farey dizileri olarak bilinen tasarımlar kullanılarak faz kilit bölgelerinin bulunabileceği sıra. Farey dizisi, 0 ile 1 arasındaki tüm p/n rasyonel sayılarından oluşur ve bunun için (4 belirli bir sayıyı aşmaz ) artan sırada yerleştirilir . Örneğin, q 5'i geçmiyorsa, aşağıdaki Farey dizisini elde ederiz.

0 1 1 1 2 1 3 2 3 4 1
15435253451

Ve bu, kaotik dinamiklerde sayı teorisinin kullanıldığı tek durum değildir. Çok uzun zaman önce, genellikle - pratik uygulamalar açısından - en yararsız olarak kabul edilen matematik dalı, dinamik sistemler teorisinde aniden yeni bir anlam kazandı. Ian Perceval ve Franco Vivaldi az önce klasik sayı teorisinin kaotik simit eşlemelerine güzel bir uygulamasını yayınladılar . Sadece birkaç ay önce, kaotik dinamiklerde aktif olan bir matematiksel fizikçi olan Predrag Kvitanovitz'in şunları söylediğini duydum: “Temel referanslarım, klasik sayılar teorisinin kutsal kitabının yazarları Hardy ve Wright'tır.

tavuk kalbi

Şimdi faz kaybı hakkında yeterince şey söylendi, hadi kaosa geri dönelim.

, faz kilitlemenin meydana geldiği frekanslarda bir dizi değişikliğin doruk noktası olarak zorunlu salınımların üretecinde ortaya çıkar. Bu nedenle, kalpteki yarı-periyodikliği ve kaosu araştırmak için Glass ve meslektaşları, kendi görüşlerine göre özellikle kalp atışlarına uyarlanmış bir doğrusal olmayan osilatör modeli oluşturdular ve üzerinde faz yakalamayı analiz ettiler.

Sadece bir model oluşturmakla kalmadılar, aynı zamanda deneysel olarak da test ettiler (Şekil 13.8). İnsan kalbinde değil elbette. Bunun yerine tavuk embriyosundan alınan kalp hücrelerini kullandılar. Bu tür hücreler kendiliğinden titreşebilir ve bu, doğal bir jeneratöre karşılık gelir. Pratikte, kalbin ventrikülündeki hücreler ayrılır ve daha sonra bir kültür ortamında restore edilir. Ortaya çıkan hücre kümeleri, yaklaşık 200 mikron çapındadır ve dakikada 60 ila 120 kez bir oranda büzülür.

Ardından, titreşimli kütleye bir cam mikro elektrot yerleştirilir, böylece küçük periyodik akım şokları ihtiyacınız olan kuvveti yaratacaktır. Pratikte, minyatür bir tavuk kalbi , aynı derecede minyatür bir kalp pili gerektirir. Elektriksel darbelerin frekansını ve genliğini değiştirerek, çeşitli faz kilidi ve kaos biçimlerini yeniden üretmek mümkündür .

yapısız kaosun aksine yüksek yapısı nedeniyle deneysel olarak tespit edilebilir . Deney, kaotik öncesi faz kilitlemesini çok ayrıntılı olarak tespit ederse ve modelin kaosu öngördüğü yerlerde düzensiz davranış sergiliyorsa, bu, kaosun gerçek dünyada var olduğuna dair dolaylı da olsa güçlü bir kanıttır. Çalıştığınız şirkette kaos yaşayabilirsiniz.

Glass'ın sonuçları, tavuk kalp hücrelerinin kümelerinin kaotik atımlar yaşayabileceğini gösteren teorik zorunlu salınım modeliyle çok iyi uyuşuyor.

tıbbi matematik

200 mikronluk bir kalp hücresi toplamının gerçek bir kalbe çok az benzerlik gösterdiği ve ayrıca yapay bir elektrik enerjisine çok az benzerlik gösterdiği açıktır.

Pirinç. 13.8. Zorla kalp atışlarının uyarılma modeli üzerine teori ve deney .

smeker doğasına uymuyor. Dinamik teori ve fizyolojik deneylerin iyi bir uyum içinde olması daha da dikkat çekicidir . Şu anda, gerçek kalp atışlarını incelemek için kaotik dinamiklerin uygunluğunu tartışmak zordur.

Canlı organizmaların çok çeşitli davranışları vardır . Bazıları o kadar karmaşıktır ki matematiksel tanımlarını hayal etmek bile imkansızdır. Bana göre, anne sevgisinin matematiksel bir teorisini oluşturmak zordur ve yanlış yola sapmış bir deha yaratabilseydi, dünyanın daha iyi bir yer olacağından şüpheliyim. Ancak birçok teori oldukça basittir ve kalbin dinamikleri şüphesiz duygusal psikodinamiklerden daha basittir.

Birçok organ özel ekipman olarak çalışır. Karmaşık ekipman üreticileri, şüphesiz , organizmanın her bakımdan yeteneklerinden çok uzaktır. Ancak, kendi kalpleri çalışmayı reddederse insanları hayatta tutacak kadar iyi yapay kalpler yaratmayı zaten biliyoruz . “Makine” görüntüsünden bahsetmişken, son zamanlarda sadeliği ve öngörülebilirliği hakkındaki Viktorya dönemi fikirlerimizi terk ettik. Kaotik dinamiğin derslerinden biri, basit bir sistemin bazı durumlarda çok karmaşık davranabileceğinin anlaşılmasıdır.

uygulamalardan ayıran uçurumun üzerinden atladığını fark etmeye başlıyorlar . Matematikçiler , doğrusal olmayan dinamiklerin gerçekliğiyle yüzleşmek için kavramlar ve yöntemler geliştirir . Gerçek dünyanın birçok dinamik olgusunun özüne nüfuz etme perspektifleri açılır. Vücudun nasıl çalıştığının fizyolojisi - kalp, akciğerler, karaciğer, böbrekler, tiroid bezi, kemik eklemleri ve insan makinesinin daha az belirgin olan diğer bölümleri - matematiksel anlam kazanmaya başlar.

Bir sorunu anlamak, onu düzeltmekle aynı şey olmasa da, her tamirci, nedenini anlamadığınız bir şeyi düzeltmenin ne kadar zor olduğunu bilir. Dinamik sistemler teorisi artık tıbbi bilginin ilerlemesinde önemli bir rol oynamaktadır, ancak Glass'ın kalp çalışanlarına belirttiği gibi, "tam anlayış ancak doğrusal olmayan matematiği deneysel fizyoloji ve klinik kardiyoloji ile bütünleştirerek elde edilebilir."

14. Bölüm

Elveda Derin Düşünce

Derin Düşünce, "Gerçekten bunun için gitmiyorsun," diye sordu.

"Bize söyle!"

"Çok doğru," dedi Derin Düşünce.

"Büyük Sorunun Cevabı..."

"Evet ...!"

"Yaşam, Evren ve Her Şey Hakkında..." dedi Derin Düşünce.

"Evet...!"

"Dır-dir...?" Derin Düşünce sordu ve durakladı.

"Evet ...!"

"Bu mu...?"

"Evet...!!!...?"

"Kırk iki," dedi sonsuz bir ciddiyetle ve sakinlikle.

Douglas Adams. Bir Otostopçunun Galaksi Rehberi.

Evrenin en büyük bedenlerinin hem de en hafif atomun hareketini tek bir formülde tarif etmek" ve ardından "bu verileri analiz için göndermek" için emirleri uygulamaya hazır olduğunu varsayalım . Belki de Douglas Adams'ın kahramanları Lunkowl ve Fowchke'nin Otostopçunun Galaksi Rehberi'nde aldığından daha önemli bir tepki olabilirdi .

Kapsamlı ve önemli zeka

Ya da belki değil.

Oldukça tartışmalı bazı maddi düşünceleri bir yana bırakalım , meselenin özü olsalar da, felsefi açıdan çok önemli değiller. Yani, Büyük Zekanın bu denklemleri nasıl yazabileceğine dair sindirilemeyen soruyu görmezden geleceğim, çünkü Evrenin her noktası en az altı değişkenle karakterize edilmelidir : üç eksen boyunca konum ve hız. Bu, Evren bunun için mantıklı bir şekilde var olsa bile, yaratılamayacak miktarda kağıt ve mürekkep gerektirecektir. 17. yüzyılın isimsiz şairinin dediği gibi:

Bütün dünya kağıt olsa, Denizler mürekkep olsa, Bütün ağaçlar ekmek ve peynir olsa, O zaman ne içerdik?

Ayrıca, Geniş Akıl'ın beyninin nasıl var olabileceği sorusunu da cevapsız bırakacağım, onun her şey hakkında tek başına düşünmesine ve asıl işini yapmasına izin vererek - Yaşam, Evren ve Her Şey denklemlerini çözmek için. Evreni aşan ve onu analiz edebilen bu beyin, muhtemelen Evrenin dışında olmalıdır. Bu durumda ortaya çıkan zihinsel durum Heisenberg belirsizlik ilişkisine benziyor: Kapsamlı Zeka Evrenin bir parçasıysa, örneğin analiz konusundan daha fazla ihtiyaç duyduğu değerleri, şeylerin sayısını düşünmek için. (Şek. 14.1.)

Geniş Zekanın her şeyi bildiğini varsayarsak, Laplace'ın düşüncesinin oldukça iyi bir başlangıç noktası vardır. Eğer evren gerçekten de deterministik matematiksel yasalara uyuyorsa, o zaman Geniş Zeka onun davranışını tahmin edebilecektir.

Bu oldukça belirsiz felsefi pasaj, aşırı uçlara giderek saçmalık elde etmenin ne kadar kolay olduğunun mükemmel bir örneğidir. İnsanüstü değil de insan ölçeğinde anlamlı sonuçlara ulaşmak istiyorsak, o zaman daha gerçekçi gereksinimler oluşturmalıyız. Mayıs ayında, resim büyük ölçüde değişiyor .

, Geniş Zeka'dan, diyelim ki, muazzam bir entelektüel güce sahip olan, tüm insanlığın toplamından daha büyük olan Anlamlı Zeka'ya indirgenmesinden bahsediyorum . (Bu arada, tüm insanları bir araya getirirseniz, ortak beyinlerinin gücü olumsuz olabilir, ama muhtemelen ne demek istediğimi anlamışsınızdır.) “Bu Büyük, gerçekten Büyük zeka. Bu büyük zekanın zihnimizin ne kadar önemli, son derece büyük ve ürkütücü olacağına inanamayacaksınız” sözleriyle yine Adams'tan alıntı yapıyor. Ayrıca,

Pirinç. 14.1. Geniş İstihbaratın İkilemi.

Zarları Önemli Zeka lehine daha güvenle atmak için, görevinin önemli ölçüde daraltılmasına karşıyım. Bilindiği gibi, sadece önemli bir zekanın değil, aynı zamanda gerçekten yetkin herhangi bir kişinin - bir matematikçinin - denklemleri sadece prensipte değil, pratikte de yazabileceği, açıkça ulaşılabilir sınırlara sahip minyatür bir Evren vardır. Yani, Hill'in problemi olarak adlandırılan üç cisim probleminin tepesi kesik bir modeli var. Neptün, Plüton ve kozmik toz ile ilgilenir.

Gök Mekaniği'nde üzüntüyle belirttiği gibi , bu sorun homoklinik bir tablo şeklinde kaosa yol açar. Dinamikler kaotik ise , varsayımsal makinemiz yalnızca başlangıç koşulları sonsuz hassasiyetle bilindiğinde doğru tahminlerde bulunabilir. Ancak bilgisayarın sayısal değerleri depolaması için sonsuz belleğe ihtiyacı vardır. Kısacası, Önemli İstihbarat faaliyetlerine başlayamayacaktır bile.

Ve şimdi biz akıllı hayvanlara bir mesaj. Dinamik sistem kaotik hale gelirse , o zaman mevcut durum hakkındaki bilgimizin doğruluğu ile onun hakkında mümkün olduğunca ayrıntılı olarak konuşabileceğimiz zaman periyodu arasında bir değiş tokuş olur. Aynı zamanda, en azından ortalama değerler açısından bir tahmin yapabilmek için gözlemlerin doğruluğu düşünülemeyecek kadar yüksek olmalıdır.

Öte yandan, sistemlerin uzun vadeli davranışlarından ziyade genel, niteliksel doğası hakkında çok doğru tahminlerde bulunabiliyoruz . Bu tahminlere niceliksel sınırlar koyabilir ve istatistiksel özellikleri belirleyebiliriz.

Kazanmak imkansızsa, kapıyı hareket ettirmelisiniz.

tasarımcı kaosu

Kaos bize birçok ders verdi. İlk mesajı geneldir: "Sonuçlara atlamayın." Düzensiz fenomenler , karmaşık denklemler veya rastgele terimli denklemler gerektirmez .

Bu yazıda iki önemli nokta var.

Birincisi, bakiye hesabındaki “kredi”dir: Şanslı, akıllı ve iyi denklemler oluşturabiliyor olsanız bile , modellenen sistemi anlamakta zorlanabilirsiniz. Denklemler çok basit olsa bile , sistemin davranışı karmaşık olabilir. Karmaşıklığın derecesi, bakış açısına ve sorulan sorulara bağlıdır.

İkinci bölüm, "Geliyor", aynı yorumları içerecektir. Karmaşık görünen bir olgu aslında basit olabilir, yani basit ama kaotik bir modelle tanımlanabilir.

doğrusal olmayan dinamiklerin ana türleri hakkında bilgi birikimini kullanarak gerçek fenomenlerin makul modellerini inşa etmesi gereken bir tasarımcının kaosu içindeyiz .

Bazen bu mümkündür, örneğin kalp atışları, kızamık salgınları ve belki de Hyperion'un rotasyonu modelleri oluşturmak mümkündü . Kaosla flört ettikten sonra, bu yaklaşımın gerçekten uygulanabilir olduğu fiziksel sorunları daha iyi anlamaya başlarız .

Ancak, bu her zaman böyle değildir. Örneğin, kaotik dinamiklerin hava durumu tahminlerinin kalitesini iyileştirebileceğine dair hiçbir kanıt göremiyorum , bu soruna ana katkısı, sorunun aptallığını fark etmemizdir. Birkaç gün için tahminler mümkündür, bir hafta için harika olurdu, ancak bir ay için umut yok.

Bu benim kişisel kanaatimdir. Belki yarın bir deha tüm bunları değiştirebilir, belki de hava denklemlerinin çözümlerinin cevap vermediği durumlarda başka yöntemler başarılı olabilir. Zaman gösterecek. Kesin olarak bildiğim tek şey paramı alacağım.

İki bilgisayar hakkında bir hikaye

Kaosun varlığı, bilimlerin kabul edilen bölümünü kesen sorunlar yaratır. Araştırma bilim insanının birincil motivasyonunun, bundan elde edilen sonuçlar değil , problem çözme süreci olduğu anlaşılmalıdır . Araştırma bilimcisi için, problem üzerinde böyle bir zafer elde etmek , sonuç uğruna problemi terk etmesine izin vermek , bir Pirus zaferidir. Bir gün belirli bir doktor tüm hastalıklar için evrensel bir tedavi bulursa, tüm tıp mesleği darbe alacaktır. Dolayısıyla araştırmacı-matematikçi için kaosun varlığı bir felaket değil, yeni ve heyecan verici bir araştırmanın olasılığıdır. Önümüzdeki birkaç on yıl boyunca hepimizin üretken bir şekilde çalışmaya devam etmesine izin veriyor.

Bu nedenle, araştırmadaki başarı, incelenen soruna bir çözüm bulup bulamayacağımıza göre belirlenmez. Temel insan aptallığı mevcut durumu koruyor: sonuçta, bir gün her şeyi çözebileceğimize dair ciddi bir tehlike yok . Bu nedenle, bilim adamları, yalnızca kısmen evcilleştirilebileceğini fark ederek, topuklardaki kaosu takip etmeye çalışarak çalışmaya devam ediyor.

Kaosun gerçekten ortaya çıkardığı sorunlardan biri sayısal analiz, yani bilgisayarların hesaplamaları gerçekleştirme şeklidir. Lorentz çekicisinin çizimi örneğini kullanarak bu probleme bakalım . Bunu elde etmenin genel yolu, Lorentz denklemlerini sayısal olarak çözmek ve sonuçları ekrana çizmektir. Görünüşe göre, daha kolay ne olabilir? Ancak bu çekici kaotiktir - bu yüzden onu çizmeye çalışıyoruz - ve kaotik bir çekicide, bildiğimiz gibi, başlangıç koşullarına güçlü bir bağımlılık vardır. En küçük hatalar program çökmesine neden olur. Lorentz çekicisi hakkında bildiklerimiz, diferansiyel denklemin yaklaşık çözümümüze dayanmaktadır, başka bir şey değil!

Birkaç kez kaotik dinamiklerin ilginç bir özelliğiyle karşılaştık: farklı bilgisayarlarda çalışan aynı program farklı sonuçlar veriyor.

(İki farklı mikrobilgisayar erişiminiz varsa , "aynı" başlangıç değerleriyle üzerlerinde lojistik bir haritalama yapmaya çalışın ve birkaç yüz iterasyon bekleyin.) Literatürde sayısal olarak iki mikrobilgisayarda elde edilen kaotik bir sistemi ele alan bir makale var. yaklaşık elli ondalık basamak doğruluğu ile farklı süper bilgisayarlar. Bu bilgisayarlar biraz farklı işletim sistemlerine sahip olduklarından, sayısal hesaplamaları farklı şekillerde yaparlar ve kısa sürede tamamen farklı cevaplar vermeye başlarlar. Hava durumunu hesaplasalardı, biri sıcak cephenin yaklaştığını söylerken diğeri kar fırtınasını tahmin ederdi. Bilgisayarların yanılmaz olduğunu düşünüyorsanız, tekrar düşünün.

Ancak, yüz kişi Lorenz çekicisini yüz farklı bilgisayarda çizerse, hepsi aynı resmi alır.

Bir anlamda, bu daha önce ifade edilmiş olan aynı bakış açısıdır. Lorentz denklemleri için başlangıç değer probleminin çözümünün, bilgisayara girilecek sayısal değerleri tam olarak belirtmek olduğunu düşünüyorsanız, kendinizi kandırıyorsunuz. Ancak, bir çekicinin yörüngelerini değil de şeklini çizdiğinizi düşünüyorsanız, o zaman iyi durumdasınız demektir. Dikkatinizi çekiciden uzaklaştıran küçük böcekler çabucak durur, bu tam olarak bir çekicidir. Çekicinin içinde sadece kazaya yol açan hatalar kalır .

Bu, işe yarayan bir argüman. Ancak, tamamen haklı değildir. Bunu matematiksel olarak kanıtlayan bazı teoremler vardır. Bazıları, kabaca konuşursak, aslında diferansiyel denklemin bir yörüngesinin çizildiğini veya buna oldukça yakın bir eğri olduğunu iddia ediyor, ancak düşünülen yörünge bu değil . Bu yorumlama güçlükleri, söz konusu teoremlerin insanların onlara atfettikleri şeyi gerçekten söyleyip söylemediği konusunda bazı şüphelere yol açmaktadır.

tekrarlanamaz deneyler

Aynı zorluklar, bizi deneysel doğrulama hakkında genel kabul görmüş fikirleri düzeltmeye zorlar. Geleneksel olarak, her şey bir tahminin yapıldığı bir teori ile başlar ve daha sonra onu çürütmek için bir deney yapılır. Eğer deney teoriyi çürütmezse, o zaman tahminin doğru olduğunu söyleriz ve -bu kulağa mantıklı olmaktan çok pragmatik geliyor- teorinin doğru olduğuna inanırız.

Müthiş. Diyelim ki dün gece suyun yokuş yukarı akıp akmadığını görmek için bir deney yaptım ve aktığını öğrendim. Fizik öldü.

Bana inanmıyorsun? Size deneyi anlatayım...

Ne olmuş? Bu fenomen tekrarlanıyor mu? Ne yazık ki, hayır, yapamam...

Bu tür kanıtları kabul etmiyorsun, değil mi? Oldukça doğru . Kesin olması için, bir deneyin tekrarlanabilir olması gerekir. İki bilim insanı aynı deneyi farklı laboratuvarlarda yaparsa, aynı sonuçları almaları gerekir . Elbette çeşitli yan etkiler sonucu etkileyebilir, ancak bunlar dikkate alınmalı ve hariç tutulmalıdır . Örneğin Bombay'da hava Novosibirsk'ten çok daha sıcaktır: bu nedenle, bir maddenin sıcaklığını incelemek için Hintli bir bilim adamı buzdolabında deney yapmalı, Rus bilim adamı ise ısıtma kullanmalıdır.

Ancak, verilen başlangıç koşulları için kaotik yörünge deneyle tekrar üretilemez. Ve bu, iki süper bilgisayarın hikayesinin açıkça ortaya koyduğu gibi , gerçekten de tekrarlanamaz bir tahmindir. Belirli bir bilgisayarda “deneyin” tekrarlanabilir olduğunu iddia edebilirsiniz . Ancak, farklı laboratuvarların farklı ekipman kullanmasına kesinlikle izin verilmelidir.

Şunlar. kaos, teorimiz deterministik olsa bile , tüm tahminlerinin tekrarlanabilir deneylere yol açmadığını gösteriyor. Yalnızca başlangıç koşullarındaki küçük değişikliklere dayanıklı değerler testler için iyi adaylardır. Örneğin, çekicinin topolojisi veya fraktal boyutu gibi.

Bu, örneğin kaotik türbülans modelinin sıvıyı bir bütün olarak tanımlayıp tanımlamadığını değerlendirmenin mümkün olduğu, ancak doğrudan veya dolaylı olarak (Galileo gibi yerçekimi kuvvetlerinin etkisi altında hareket teorisini test etmek) imkansız olduğu anlamına gelir. akışkanın belirli bir malzeme noktasının dinamik Navier-Stokes denklemlerini sağladığından emin olun. Teorinin bazı detayları pratik testlere tabi değildir.

Tüm bu gereksinimler - ve doğruluğun tanınması - deneyciler tarafından ileri sürülmektedir. Bunu önceki bölümlerde gördük. Kaotik sistemleri araştırmak için başka deneysel yöntemlere ihtiyaç vardır. Kaosun en önemli katkılarından biri , görselleştirme ve ifade açısından güç spektrumlarını, Poincare kesitlerini ve zaman serilerini aşan çekiciler kullanarak deneysel verileri temsil etme olasılığıdır .

Rüyada kaosa yürümek

yalnızca kaotik dinamiklerin özelliği olmayan başka etik sorular da vardır .

The Seekers (Uyurgezerler veya deliler) adlı kitabında bilimsel bir keşfi, büyük hatalardan esinlenen bir dizi olay olarak tasvir eder . Yeni temel fikirler bulunduğunda, onları doğru dürüst değerlendirecek kimse yoktur; ve yeni fikirler bulan insanlar yanlış anlamalarını sağlayamazlar. Bu nedenle ilerleme, tesadüflerin (accisiepi;) ve tesadüfün (segepsiiryu) birleşiminden gelir.

Tabii ki, bu kitabın çok kaba bir yeniden anlatımı. Ve her şey deliler tarafından yaratılabilseydi bilim bu kadar ileri gidemezdi . Bilimin en büyük güçlerinden biri olan gelişen kısmı, tesadüfi ya da değil, öngörülemeyen keşifleri bilinçli bir şekilde kullanır ve onları sadece meraktan, anlamdan daha fazlası ile amaçlarına yönlendirir.

Ancak kaosla ilgili hikayemde delilerden vazgeçilemez. Burada bildirilen önemli keşiflerin çoğu aynı gerçekçi olmayan ruha sahiptir. Bu araştırmayı yapanlar yanlış anlaşılmış , destek alamamış, bilim kurumunun olumludan çok olumsuz görüşüne rağmen sebat etmiştir. Buna karşı koymak için, bir güven kredisi olarak, yeni ve alışılmışın dışında fikirlerin desteklenebilmesi için gidişatı tersine çevirmeye istekli olmalıyız . İstenirse, bu tür durumları sunma konusunda biraz daha alıştırma yapılabilir , ancak her durumda bilimsel muhafazakarlığın varlığını dikkate almak gerekir. Öncüler, yarattıkları ormanı kesmeyi beklemelidir, aksi takdirde bilim tüm zamanını yarı pişmiş dengesizleri sübvanse etmek için harcardı.

Kalbinde matematikçi olan insanları bir araya getiren, kaos üzerine yapılan tüm erken çalışmalardan geçen bir iş parçacığı var . Hepsi meslek olarak matematikçi değildi. Yani Lorentz bir meteorologdu, Oenon bir astronomdu, Feigenbaum bir fizikçiydi, May bir biyologdu, ancak "gerçek dünya"nın aşırı derecede yoğun bir şekilde yoğunlaşması tüm kanıtları yok edeceği ve çalışmaları asla mümkün olmadığında matematiksel içgüdülerinin onlara rehberlik etmesine izin verdiler. basit bir görev basitleştirmesinden daha fazlası haline gelir. Lorentz denklemlerinde fizik arıyorsanız, orada neredeyse hiç yok. Gerçek dinamiklerdeki en iyi yaklaşımlar , o sırada meslektaşları tarafından fark edilen Lorentz'in sonuçlarına benzer bir şey vermedi . Onlarca yıl sonra, onlardan biri olan William Malkus, ekşi bir ifadeyle şunları söyledi: “Elbette, bu bakış açısını tamamen atladık. Ed, bizim fiziğimiz açısından değil, genelleştirilmiş ve soyut bir model açısından düşündü, ancak davranışının gerçek dünyanın bazı yönlerini karakterize ettiğini hissetti.

Başka bir deyişle, Lorentz bir meteorolog değil, bir matematikçi gibi düşündü.

Gerçek Matematik için Kampanya

Kaosun keşfi, birçok insanı ve birçok nesnenin geliştirilmesini gerektirdi. Nitel dinamiklere topolojik bir yaklaşım geliştirmek ve önemli genel sorular sormak saf matematikçileri aldı . Cevapları gerçek dünyayla ilişkilendirmek fizik gerektiriyordu. Teorinin anlamını test etmek deneycileri aldı. İyi grafiklere sahip güçlü, yüksek performanslı bilgisayarlar tasarlamak ve inşa etmek için elektronik mühendislerine ihtiyaç vardı.

En önemli katkı hangisiydi?

Salak soru. Hangisi daha önemli: kalp mi, akciğer mi yoksa beyin mi?

Herhangi birini kaldırın ve öleceksiniz. Sadece kombinasyon bir şeye değer.

Ancak bir matematikçi olarak bir şey söylemek istiyorum.

gerçeklikle temasının olmaması nedeniyle eleştirir . Kaos tarihi - modern keşiflerden sadece biri - bu tür eleştirilerin uygunsuz olduğunu gösteriyor. Akciğeri kan pompalamadığı için eleştirmek gibi.

"Hedef odaklı" bir bakış açısından , akışkanlar dinamiği alanındaki zengin bir araştırma programından türbülansın anlaşılmasında bir atılım beklenebilir. Aslında, bu çalışmalar garip çekicilere yönelik bir atılıma yol açmadı, ancak onlar olmadan birçok soru cevapsız kalacaktı. Temel teorik fikirler, nesnesi şimdiye kadar sıvı akışlarıyla bağlantısını kaybetmeyen topolojiden geldi . Anahtar deneysel araç, o zamanlar “problem çözme” aracı olarak yaygın olarak hafife alınan lazerdi. Ve bu aracı kullanan deneyciler fizikçilerdi; sıvılar değil, faz geçişleri bayrağı altında çalıştılar.

Bilim, birbirine bağlı karmaşık bir yapıya sahiptir. Fikirler her yerden gelebilir . İyi bir fikir bulaşıcı bir hastalık gibidir: yayılır. Hiç kimse bunun nereye varacağını tahmin edemez, hiç kimse fikri öngörülen sınırlarla sınırlayamaz. Fikirler, şunu söyleyen güzel etiketlerle gelmez:

DİKKAT - Topoloji!

Gerçek dünya ile temasa izin verilmez.

Ne yazık ki, birçok insan yaptıklarını zımnen kabul ediyor.

Matematiği soyut diye eleştirmek, onun özgüllüğünü tamamen görmezden gelmek demektir. Matematiğin çalışmasını sağlayan şey soyutlamadır . Matematiksel bir fikrin çok sınırlı bir uygulamasına konsantre olmayı mümkün kılan aşırı somutluk, matematiğin en önemli araçlarından mahrum bırakan bir soygundur: analoji, genellik ve basitlik. Matematik, teknoloji transferinde birincil öneme sahiptir. Bu Euler'in zamanında doğruydu: elektrostatik ve akışkanlar dinamiği arasındaki analoji matematikçiler için açıktı ve diğer tüm insanlar için saçmaydı. Bu bugün de geçerlidir: Türbülanslı akışlarda kaosu incelemek için icat edilen bir yöntemin kızamık salgınlarının analizinde de nasıl işe yaradığını az önce gördük.

Ancak, teknoloji transferinin daha fazlasına ihtiyacı var. Birinin bunu aktarması gerekiyor. Bu nedenle, matematikçiler yalnızca yaptıklarına devam etmeye teşvik edildikleri sürece, dış dünya onların ne dediklerini anlasın ya da anlamasın, tüm keşifleri, yeterli sayıda insan edinilenleri uygulamak için çaba göstermeye istekli oluncaya kadar, yalnızca yapay biçimler olarak kalacaktır. matematik dışındaki problemlere bilgi. Kaos tarihi böyle insanlarla dolu. Fizikçiler, biyologlar, mühendisler, kimyagerler, fizyologlar, gökbilimciler gibi tüm bilimlerden geldiler ve matematikçiler gibi davrandılar. Onlar gerçek "uygulamalı matematikçiler" ve kelimeyi anlamlı hale getirdiler.

Matematiği aldılar...

...ve uyguladım.

kuantum kaolojisi

Fizik tarafından heyecanlanan matematiksel hayal gücünde kaos ortaya çıktı. Ama o nereden geldi?

Temelinde desenler öneren koşullarda düzensizliklerin olduğu her doğal fenomenden .

Onlar için depo yok.

İlginç bir yön var - kitabın en başında Einstein'ın mektubundan bir alıntı olmasına rağmen şimdiye kadar görmezden geldiğim kuantum mekaniği. Bunun hakkında konuşmadım, çünkü yeterli dayanağım yoktu, kaotik dinamiklerin bildiğimiz kadarıyla Einstein'ın problemine cevap verebilecek nitelikte olduğunu gösteremedim. Bununla birlikte, kaos kuantum mekaniği ile ilgilidir, bu yüzden bu ihmali düzeltmek için gereken çok az şeyi yapmama izin verin.

Konuyu iyi bilen bir fizikçi olan meslektaşım Michael Berry'nin 1987 Bakerian Konferansı'ndan açılış ve tartışmayı ödünç alıyorum. Royal Society'deki bu prestijli konferanslar Henry Baker tarafından kuruldu ve Berry başlangıçta Baker'ın gençlik yıllarında "kaoloji"nin " dünyanın biçimsiz ve boş olduğu" bir dönemde kaosun incelenmesi anlamına geldiğini söyledi. . 1.1. Şu anda, kaoloji artık aktif bir teoloji alanı değil, daha modern bir yorum için serbest bırakılan bir terim, yani deterministik kaos çalışmaları.

atom ölçeğinde evrenin modern fiziğidir . Kuantum mekaniğinde, enerji gibi nicelikler sürekli değildir: ayrık parçalar veya kuantalar halinde iletilirler. Tek bir kuantumun boyutu, Planck sabiti olarak bilinen küçük bir sayı ile verilen, yok denecek kadar küçüktür. Ve parçacıklar hiç de sıradan parçacıklar değil , kuantum mekanik dalga fonksiyonu tarafından tanımlanan dalga-parçacık ikiliğinin gerçekleştiği nesnelerdir.

Kuantum mekaniğini genel insan düzeyinde yorumlamak kolay değildir. Gerçekten de, bir düşünce okulu , kuantum dünyasının ve duyularımızın dünyasının ortak hiçbir yanı olmadığı için bunu yapmanın bir anlamı olmadığını savunuyor. Diğerleri aynı fikirde değil ve farklı yorumlar sunuyor. Popüler sunumda, dalga fonksiyonu maddi bir noktanın durumunu değil, tüm olası durumlarının bir üst üste binmesini temsil eder ve bir gözlem yapıldığında dalga fonksiyonu tek bir duruma “çöker” . Bu çöküşten önce sistemin verilen durumda bulunma olasılığını temsil eder.

Bu anlatımı pek sevmiyorum. Albert Einstein da aynı şeyi düşünüyordu. İçeriği göstermek için Max Born'a yazdığı mektubu biraz daha alıntılayayım:

Sen zar atan bir tanrıya inanıyorsun ve ben de nesnel olarak var olan ve benim vahşi, spekülatif bir şekilde benimsemeye çalıştığım bir dünyada mükemmel bir yasa ve düzene inanıyorum. Kesinlikle inanıyorum, ancak birinin benim bulduğumdan daha gerçekçi bir yol, daha doğrusu daha karmaşık bir neden keşfedebileceğini umuyorum . Kuantum teorisinin başlangıçtaki büyük başarısı bile beni temel bir zar oyununa inandırmayacak, ancak genç meslektaşlarınızın yaşlılığın bir sonucu olarak bu konuda yorum yapacaklarını gayet iyi biliyorum.

Bu mektuba rağmen, kuantum mekaniği olayları tam olarak kuantum mekaniğinin gördüğü gibi oluyor; ve radyoaktif bozunma istatistikleri, örneğin belirli kalıpları takip ettiği sürece , hiç kimse belirli bir atomun ne zaman bozunmak isteyeceğini tahmin edemez. Ya Tanrı zar atıyor ya da kader dediğimiz daha derin oyunu oynuyor.

Einstein'a katılıyorum, ancak henüz anlamadığımız daha derin bir oyunun ikinci fikrini daha çok seviyorum.

Şimdi ... sonunda klasik mekanikte gözlemlenen rastgeleliklerin çoğundan deterministik kaosun sorumlu olduğunu anladık. Kuantum mekaniğinde gözlemlenen rastgelelikten kuantum kaosu da sorumlu olabilir mi? Şimdi kaderi açıklığa kavuşturabilir miyiz , yani Tanrı'nın daha derin oyununu anlayabilir miyiz?

Şu an değil. Daha derin bir oyun varsa, bizim için hala erişilmezdir - zeki maymunlar. Bize doğru yolda rehberlik edecek gerçek bir kişiye umutsuzca ihtiyaç duyuyoruz.

Sıradan kuantum sistemlerindeki kaos, kendisini klasik sistemlerden farklı şekilde gösterir. Kuantum mekaniğindeki kaosun, dalga fonksiyonunun rastgeleliğinde kendini göstermediğini, beklenen gözlemlenebilir değerlerde kaotik bir değişiklik olduğunu biliyoruz. Bazı kuantum mekanik sistemlerini klasik muadillerini tanımlamak için kullanılan terimlerle tanımlamayı mümkün kılan bir yarı-klasik yaklaşım yöntemi vardır .

Uzun uzadıya düşünülen bu tür sistemlerden biri de kuantum bilardodur. Benzer bir klasik sistem, geleneksel olmayan bir masadaki bir bilardo topu gibi, bir alanın sınırından aynı açıda sıçrayan elastik bir parçacıktır (Şekil 14.2). Daire gibi bazı tablo şekilleri düzenli dinamiklere yol açar. Bunimoviç'in stadyumunu anımsatan diğerleri kaos yaratır. Bu iki durum arasındaki fark bir örnekle gösterilebilir; bilardo topunun yollarındaki farklılıktan kaynaklanmaktadır.

Karşılık gelen kuantum sistemi, bilardo masası tarafından sınırlanan bölgede tanımlanan ve belirli bir noktada kuantum mekaniksel bir parçacık bulma olasılığını tanımlayan bir dalga fonksiyonudur . Klasik kaos, kuantum manzarasında da yollar yaratır . Sınıfta düzenli ve kaotik davranış arasındaki fark

bir kuantum sisteminde, bir kuantum sistemindeki enerji seviyelerinin istatistiksel özelliklerindeki farklılıklardan kaynaklanır (Şekil 14.3). Bu seviyeler arasındaki farklar muhtemelen rastgele dağıtılır ve yaklaşık olarak düzgün bir eğri ile tanımlanır. Bir kuantum sistemi için enerji seviyesi sapmalarının bu eğriden dağıtılma şekli, klasik sistemin düzenli mi yoksa kaotik mi olduğuna bağlıdır. Paradoksal görünse de, düzenli bir klasik sistemin kuantum analogundaki enerji seviyeleri daha az düzenli olma eğilimindeyken, kaotik bir klasik sistemde daha düzenli olma eğilimindedirler! Bunun nedeni, etkinin kendisi örneklerle güvenilir bir şekilde belirlenmiş olmasına rağmen, gizemli kalıyor.

Ancak kaotik bir klasik sistemin kuantum analoğunun kaotik davranmasına gerek yoktur. Önceki bölümde bahsedilen doğrusal olmayan osilatör buna bir örnektir. Klasik doğrusal olmayan osilatör, önce karmaşık bir dizi faz kilidi oluşturur ve ancak o zaman kaotik davranır. Bununla birlikte, kuantum mekaniksel karşılığı hiçbir zaman yarı-periyodiklik durumunun ötesine geçmez : dinamik davranışı kaotik değil düzenlidir.

Fizik açısından bakıldığında, bu biraz mantıklı. Klasik kaos fraktal çekiciler içerir, yani tüm ölçekler için bir yapıya sahiptir. Ancak kuantum mekaniğinde, en azından şu anda yaygın olarak inanıldığı gibi, Mayıs'ta yapı yoktur.

Pirinç. 14.3. İki sistemi nicelendirirken Şekil 14.2, dalga fonksiyonlarının enerji seviyeleri arasındaki boşluklar farklı istatistiksel özelliklere sahiptir. Teorik ortalamadan (eğri) sapmalar, bilardo (noktalı çizgi) ve stadyum (vurgulanmış) için gösterilmiştir.

Karargah, Planck sabitinden daha küçük. Yani, kuantum etkileri, gerçek kaos için çok önemli olan ince ayrıntıları yumuşatır.

Kemikler ve determinizm

daha derin bir kuantum belirsizliği türü hakkında çılgın, tamamen spekülatif bir varsayım sunabiliriz : dalga fonksiyonu.

ama kaotik bir fonksiyonla değiştirildiği kuantum mekaniğinin yeni bir versiyonunun olduğunu varsayalım . Her radyoaktif atomun, radyoaktif bozunma ve atomun radyoaktif olmayan bir duruma geçişiyle sonuçlanan bazı iç dinamiklere maruz kalması mümkündür . Böyle bir dinamik varsa, kaotik olabilir ve eğer kaotik ise, bozunmanın rastgeleliği deterministik bir açıklamaya sahip olabilir. Kısacası önemli olan, Tanrı'nın zar atıp atmadığı değil , bunu nasıl yaptığıdır .

Aynı açıklamalar, kuantum açıklamalarının aksine , klasik düzeyde de iyi görünüyor. Önemli olan sistemin rastgele olması değil, rastgeleliğin neden oluştuğudur.

Olasılık teorisi üzerine çoğu metnin ilk kavramları arasında, doğru madeni para ve "zar" metaforunun bu amaç için en uygunsuz (iparrurgia) buluş örnekleri olduğunu göstermek için nedenler verebilirim. En azından rastgelelik fikrimizi yeniden düşünene kadar.

İdeal bir kemikten bahsediyorum, mükemmel bir şekilde esnek olmayan bir yüzeye atılan, mükemmel bir şekilde esnek olmayan bir küp, kesin bir sürtünme yasasına tabi ve Newton mekaniğine uyar . Matematiği doğru bir şekilde sunabilmem için bunu söylemem gerekiyor. Bana öyle geliyor ki, gerçek bir kristali rastgele yapan şey bu modelde de görünmelidir. La Place şapkası takan herkese , Geniş Zekanın, zarın atıldığı anda son durumunu belirleyebildiği açıktır. Bir video kamera ve bir süper bilgisayarla, en azından prensipte, kalıp düşmeden sonucu tahmin edebilmeliyiz.

Tam olarak fantezi değil. Amerikalı bir kaolog olan J. Dean Farmer, olasılık tahminini büyük ölçüde iyileştiren bir rulet dönüşü teorisi geliştirdi. Ve kumarhaneye girmekte zorluk çekiyordu.

Her halükarda, ne olacağını doğru bir şekilde tahmin edebiliyorsanız, o zaman şansın yeri neresidir?

Zar için hesaplama yapamam ama basitleştirilmiş madeni para için yapacağım. Bu, karmaşıklığın nasıl ortaya çıktığını göstermek için oldukça yeterlidir. Madeni para modelimiz, dikey bir düzlemle sınırlanmış, birim uzunluktaki düz bir doğru parçasıdır. Madeni para, zemin seviyesinden atıldığında, dikey bir v hızı ve saniyede r dönüş hızı r alır . Yer seviyesine geri döndüğünde hareket etmeyi durdurur ve o anda en üstte olan taraf bir atışın sonucu olarak kabul edilir.

g yerçekimi ivmesi ise, madeni paranın yer seviyesine dönmesi 2 g / d saniye sürecek ve bu süreçte 2 g/ d devir yapacaktır. İlk (koşullu - kartal) ve son (kuyruk) yüzeyler arasındaki sınır, dönüşün tam yarısında, yani 2rv/d bir tam sayının yarısı olduğunda bulunur. Bu bir tamsayıysa, yazılar/turalar arasındaki sınır vr = qIV/^ sayısıyla verilir.

Eğer r ve u değerlerini tam olarak kontrol edebilirsem, madeni parayı da istediğim şekilde indirebilirim . Ancak pratikte bu değerleri ancak belirli sınırlar içinde kontrol edebiliyorum.

480V 520

Pirinç. 14.4. Dönen bir madeni para için başlangıç koşulları , olası kaderine göre gruplara ayrılmıştır . Siyah şeritler baş, beyaz şeritler kuyruktur.

480 ila 520 cm/sn arasında değişen v hızı ve saniyede 18 ila 22 devir arasında r hızı oluşturabilmeme izin verin .

v ve r'ye nasıl bağlıdır ?

Bu cevabı yukarıdaki formülden alabilirsiniz. Olası v ve r değerlerinin dikdörtgeni şeritlere bölünmüştür: kafalar için siyah, kuyruklar için beyaz (Şekil 14.4).

Başlangıç hızının ve dönüş hızının bilinen herhangi bir değeri tek cevabı verir. Sadece sonuç belirleyici değil, aynı zamanda ne olacağını önceden söyleyebilirim.

Yalnızca v ve r'nin belirli bir aralık içinde olduğunu biliyorsam, sonuç tahmin edilemez. Yapabileceğiniz en iyi şey, dikdörtgeni bir tür hedef olarak düşünmektir. Her yazı tura atışı bir dart atışıdır: eğer dart siyah şeritte - turalarda, beyazda - tura yapışırsa. Dart vuruşları dikdörtgen üzerinde eşit olarak dağılmışsa, tura gelme olasılığı siyah şeritlerin kapladığı alanla orantılıdır.

Rastgeleliğin kaynağı budur - başlangıç koşullarının seçimi. Doğru bir şekilde kontrol edilemezse, tahmin edilemez.

Laplace'ın determinizmi bir kez daha yenildi, ama farklı, daha incelikli bir şekilde. Madeni paranın modeli kaotik değil, tamamen düzenli bir sistemdir.

Üstelik değişim...

Kaos sıcak bir konu, en yeni trend. Ve bilimsel yayınların manşetlerinde sıcak bir konu ortaya çıkar çıkmaz, bir zamanlar bunu bilen insanlar olduğu ortaya çıkıyor.

Geçmişe baktığımızda, çoğu zaman hiçbir şeye benzemeyen ama şimdi netleşen nesneler görürüz. Buradaki hile, bir şey hakkında çok şey bilmek o kadar önemli değil, onun hakkında bilgi sahibi olduğunuzu bilmek önemlidir. Yani, değerlendirme için, içinde gerçekleştirilebileceği bir bağlama sahip olmak önemlidir.

Eski nesiller bu resmin bazı kısımlarını gördüler ama asla bir araya getirmediler. Doğru soruları soracak motivasyonları yoktu ve cevapları bulma yöntemlerini bilmiyorlardı. Büyük Resmi değil, izole ayrıntıları gördüler.

Bununla birlikte, örneğin Poincaré'nin çağdaşlarının anladığından daha fazlasını gördüğü açıktır. Bunu doğrulamak için Poincaré'nin bir denemesinden oldukça uzun bir alıntı yapmak istiyorum. Neredeyse yüz yıl önce yazılmış olmasına rağmen, yukarıda söylenenlerin çoğunu bu metinde bulacaksınız. Poincare tarafından yazılan bu makalenin başlığı: Şans.

"Bizden kaçan çok önemsiz bir neden, etkileyemeyeceğimiz önemli bir etkiye neden olduğunda , o zaman bu etkinin kazara meydana gelmesinden söz ederiz. Eğer zamanın ilk anında doğa yasalarını ve evrendeki durumu tam olarak bilseydik , daha sonraki herhangi bir anda evrendeki durumu doğru bir şekilde tahmin edebilirdik. Bununla birlikte, doğa yasaları bizim için bir sır olmasa bile , başlangıçtaki durumu ancak yaklaşık olarak bilebiliriz. Bu bilgi, sonraki durumu aynı derecede tahmin etmemize izin veriyorsa , o zaman ihtiyacımız olan tek şey budur ve olgunun öngörülebilir ve yasaya göre kontrol edilebilir olduğunu söylüyoruz. Ancak, bu her zaman olmaz. Başlangıç koşullarındaki küçük farklılıklar , nihai sonuçta çok büyük farklılıklar yaratabilir, daha sonra başlangıçtaki küçük bir hata, sonunda büyük bir hataya yol açabilir. Tahmin yapmak imkansız hale geliyor ve rastgele bir fenomenle uğraşıyoruz.

Meteorologların hava durumunu tahmin etmesi neden bu kadar zor? Neden yağmur yağıyor, neden görünüşte rastgele kasırgalar kendiliğinden ortaya çıkıyor ve neden bu kadar çok insan bir güneş tutulması için dua etmeyi saçma bulurken yağmur veya güneş için Tanrı'ya dua etmeyi tamamen doğal buluyor? Atmosferin kararsız dengede olduğu bölgelerde genellikle büyük bozulmaların meydana geldiğini görüyoruz . Meteorolog, mevcut dengenin kararsız olduğunu, bir yerde bir siklonun ortaya çıkacağını, ancak bunun nerede olacağı belirsiz olduğunu anlar: herhangi bir noktada onda bir derece yukarı veya aşağı sapma - ve siklon burada ortaya çıkar, orada değil ve bağışlayabileceği ülkelerde yıkıma neden olacaktır. Bütün bunları bir derecenin onda biri hakkında bilseydik tahmin edebilirdik, ancak gözlemler ne oluşum yerine yeterince yakın ne de yeterince doğruydu ve bu nedenle olan her şey tesadüfen ortaya çıkıyor gibi görünüyor.

örnekteki kadar önemli değil . Elin, değişen yüz kırmızı ve siyah sektöre bölünmüş bir ölçek üzerinde döndüğünü varsayalım. Ok kırmızı bölgede durursa kazanırım, yoksa kaybederim. El, örneğin on ya da yirmi dönüş yapabilir, ancak rulet çarkına uygulanan kuvvete göre daha hızlı veya daha yavaş durur. Önemli olan, bu momentumu sadece binde bir veya ikide bir değiştirmenin , iğneyi siyahta veya bir sonraki kırmızı sektörde durdurabilmesidir. Kassal anlamdaki bu çabalar ayırt edilemez ve en hassas enstrümanlarda bile gözden kaçar. O yüzden hareket etmeye başlayan bir okun nasıl hareket edeceğini önceden kestirmek mümkün değil , bu yüzden kalbim titriyor ve tüm umutlarımı şansa bağlıyorum.

Ardından Poincare, deneyin rolü hakkında bazı düşünceler ifade ediyor ve sözleri yine yukarıda söylediklerimle uyumlu:

Bir hipotezi test etmeniz gerektiğinde ne yaparsınız? Sayıları sonsuz olabileceğinden tüm sonuçları kontrol edemeyiz . Bu nedenle , bazılarını test ederiz ve eğer başarılı olurlarsa, hipotezin doğrulandığını beyan ederiz.

çizgili kader

Evrenin faz uzayı, madeni paralar gibi, çizgilerle kaderlere bölünmüştür. Milyar-boyutlu faz uzayı milyar-boyutlu bantlarla bölünmüştür, ama bu, tabii ki, durumu daha da kötüleştirir. Evren düzenli, kaotik olmayan bir sistem olsaydı bile, bu yine de doğru olurdu. Kaosun etkisi altında, şeritler sonsuz incelir ve sos ve spagetti gibi karışarak muhteşem bir belirsizlik oluşturur.

Oranları tahmin etmenin tüm deterministik yöntemleri kötüdür. Burada kullanılacak en iyi şey olasılıktır. Bu anlamda, zar gerçek rastgelelik elde etmek için zayıf bir yöntemdir, deterministik kaos çok daha iyidir.

Öte yandan, gerçek rastgelelik nedir? Poincare, ruletin de deterministik olduğunu vurguladı. Belki de gerçek bir rastgele olay yoktur. Her şey önceden belirlenmiş ama biz kaderin yapısını göremeyecek kadar aptalız. Herhangi bir kapalı sistemde, değişmez bir yasa hüküm sürer. Rastgele olaylar, bu yasalara bakılmaksızın dış etkiler onların düzenli işleyişini bozduğunda meydana gelir.

Dış etkilerden bağımsız kapalı sistemler yoktur ve olamaz ve bu anlamda rastgele bozulmalar her zaman mümkündür . Ancak, tamamen tatmin edici olmayan bir şekilde rastgeledirler. Yeterli bilgiyle, geleceklerini tahmin edebileceğinizi hissediyorsunuz.

Deterministik kaos nedeniyle olaylar rastgele hale gelirken, diğer yandan değişmez yasalara göre tanımlanmış kapalı bir sistem içinde bile rastgele olaylar meydana gelir. Bu olasılığın en değerli örneklerimiz olan zarlar, rulet çarkı, madeni paraların fırlatılması, davranışlarını dış olayların kaprislerinden çok kaosa yaklaştırıyor. Dolayısıyla, bu gözden geçirilmiş anlamda, ne olursa olsun, bir kemik rastgelelik için iyi bir metafordur. Bu, rastgelelik kavramına ilişkin iyileştirmemizdir . Gerçekte, faz uzayının deterministik ama kaotik bantlarının gerçek olasılığın kaynağı olması mümkündür.

Kuantum belirsizliği muhtemelen benzerdir. Mükemmel duyulara sahip sonsuz bir akıl -Tanrı, Büyük Zeka veya Derin Düşünce- muhtemelen belirli bir radyum atomunun ne zaman bozunacağını, belirli bir elektronun ne zaman yörüngeden çıkacağını tam olarak tahmin edebilirdi. Ancak sınırlı zekamız ve kusurlu duyularımızla bunu yapacak bir hile bulamıyoruz.

Aslında, evrenin sadece bir parçası olduğumuz için, tahmin etme çabalarımız onun yapmak üzere olduğu şeye denk gelebilir . Bu tür bir problem çok eskidir ve bana sonsuz bir gerileme gibi görünen şeyi düşünmek istemiyorum: Her halükarda, atomları yapılan hesaplamaların sonuçlarından etkileniyorsa bir bilgisayarın nasıl çalışabileceğini bilmiyorum.

Aydınlatma ve destek

Birinin, gerçekleri “alkol direği kullanan bir alkolik gibi, aydınlatmadan çok destek için” kullandığı söylenmiştir.

Alkolikler ve sokak lambaları, bilimsel altkültürün içinde ve dışında titreşir. Bu konuyla ilgili bir olaya alkolik yürüyüşü denilebilir. Hareketine bir elektrik direğinden başlar ve rastgele kuzeye, güneye, doğuya ve batıya doğru hareket eder. Nereye gidiyor? Hareketinin istatistiksel düzenliliği nedir? Bu rastgele mi yoksa kaos mu ?

Composition Poisere apsis Nitap Keason 1 adlı kitabında , bir alkolik ve bir elektrik direğiyle ilgili başka bir olayı anlatır . yeniden ifade edeceğim. Sarhoş dizlerinin üstüne çökmüş ve bir direğe asılı fenerin ışığında bir şey arıyor. Yoldan geçen bir polis , “Ne yapıyorsun?” diye sorar.

"Anahtar arıyorum memur bey."

"Onları o lambanın altında mı kaybettin?"

"Hayır, memur. Onları karanlık bir yolda kaybettim.”

"Öyleyse neden onları lambanın altında arıyorsunuz?"

"Burada onları görmeye yetecek kadar ışık var."

Weizenbaum'a göre bilim bu alkolik gibidir. Bilinenden ilerler, yani ışığın olduğu yerden başlar. Pek çok insan , bilim insanlarının ne kadar hayal gücünden yoksun olduklarını göstermek için bu küçük hikayeden alıntı yapıyor . Analojinin neden kötü olduğunu açıklamaya çalışsa da Weizenbaum'un kitabını okumak istemiyorlar.

Bu kötü çünkü bilimde sesin - anahtarlar düştükten sonra - karanlıkta oradan çıktığını bilmiyoruz. Anahtarların var olup olmadığını bilmiyoruz . Aslında karanlığın varlığından bile haberdar değiliz, ancak bunun nedeni olduğundan şüpheleniyoruz.

bilgisayar ve insan zihninin olanakları. Moskova: Radyo ve iletişim, 1982.

her biri, bu kadar sık bir ışık titremesi, parçalarından biri veya diğeri tahmin edilir. Bu nedenle lambanın altında bildiklerimizi arıyoruz, anahtarları değil, yeni bir aydınlanma kaynağı arıyoruz. Lorenz çekicisi, hava tahminlerini iyileştirmemize yardımcı olamaz. Temel işlevi, mevcut yaklaşımların şüpheliliğini göstermektir. Bir asker gibi, gerçekle yüzleşmek, onu görmezden gelmekten daha cesurca daha iyidir. Ve dolaylı olarak, kaos hala hava durumu tahminlerini iyileştirmeye yardımcı olabilir... Veya salgınları kontrol etmenin, kalp hastalıklarını önlemenin veya sadece evreni anlamanın daha iyi yolları.

Lambanın altında aramak zorunda kalıyoruz . Elimizde kalan tek şey bu. Ancak bu yaklaşım şimdiye kadar işe yaradı. Lambanın ışığı yavaş ama emin adımlarla yayılır. Bildiğimiz her şey bize bu şekilde geldi.

Kaos tamamen aynı durumda. Yeni bir ışık titremesi, hiç bilmediğimiz karanlık bir köşeyi aydınlatıyor. Bu köşe eskiden hayaletlerle, konuşulmamış varsayımların endişeleriyle doluydu . Meşaleyi kaldırarak ışığı daha da parlak hale getiriyoruz ve orada ne olduğunu görüyoruz. Onlar iskeletler, batıl inançların kuru sarı kemikleri.

Kaosun saçtığı en parlak ışık ışınları, karmaşıklığın doğasına odaklanır. Artık basit denklemlerin hem basit hem de karmaşık çözümleri olabileceğini ve karmaşık denklemlerin hem karmaşık hem de basit çözümleri olabileceğini biliyoruz. Denklemin çözümle ilişkisini, davranışıyla modelin biçim olarak değil, anlamla ilişkisini yöneten şey!

Kaos meşalesi bizi nereye götürüyor? Bunu söyleyemeyiz. Kaosun geleceği nedir? Karanlıkta gizlidir. Şimdi , özellikle zararlı bir hayaleti kovduğumuz için tatmin olmalıyız. Bu tek , sınırsız zaferdir.

15. Bölüm

Zarlar yuvarlanıyor...

Özellikle geleceğe dair bir tahminde bulunmak çok zor.

Niels Bohr.

Tanrı Zar Oynar kitabı ne zaman ? oldu pub _ _ _ yeni bir bölüm içeriyordu. Kaos tarihini güncellemek için , teori ve deneyin alışılmadık bir şekilde birbirine uyduğu sadece iki çalışma seçtim. Her iki durumda da, hatırladığınız gibi, iki dönen silindir arasında bir sıvının araştırıldığı Taylor-Couette sisteminde meydana gelen fenomenler düşünülür.

Borsa fiyat hareketini tahmin etmek gibi diğer kaos uygulamalarını seçebilirim . Kaotik zaman serilerinin işlenmesi için, özellikle faz uzayının yeniden yapılandırılması için geliştirilen yöntemler , adil oyun hisse senedi fiyat tahmini dahil olmak üzere her türlü veri için kullanılabilir. Bununla birlikte, faz uzayı rekonstrüksiyonu, düzensiz verilerde gizlenmiş deterministik, ancak muhtemelen kaotik örüntüleri gün ışığına çıkarır. Analizin onunla başlamasına izin veren böyle deterministik bir model açıkça varsa, yeniden yapılandırma başarılı olacaktır. Ayrıca, bu tür modeller özellikle değişken sayısı az olduğunda kullanışlıdır. ( Aslında , sistem birçok değişken içerebilir, ancak çekicinin küçük bir boyutu olmalıdır.) Bu tür oldukça genel modeller, fizik bilimlerinde iyi bilinmektedir. Bu yöntemin başarılı bir şekilde çalıştığı bazı örnekleri zaten inceledik ve şimdi bunun için daha fazla kanıt vereceğim. Finansal veriler söz konusu olduğunda, bunlarda deterministik örüntüler olup olmadığı, varsa nasıl bulunacağı sorusu hemen akla gelmektedir. Kaosla ilgili yeni fikirler elbette bu tür sorulara yeni yaklaşımlar getiriyor.

ama öncelikle bu tür kalıpların var olduğundan emin olmak için çok fazla özenli hazırlık çalışması yapmanız gerekir . Bu arada bu konuda kesin bir şey söylemenin bir yolu yok, bariz başarılardan bahsetmeyi tercih ediyorum.

Söylenenler dikkate alındığında bile, Couette-Taylor sistemine sürekli başvuru, yazara karşı bir saplantı gibi görünebilir . Laboratuvarın duvarlarının dışında, doğal fenomenler dünyasında gerçek sorunlar varken, insan yapımı bir yapay laboratuvar deneyine neden bu kadar çok dikkat ediliyor?

"Tekrar edelim, Kral Harold..."

Bunun birkaç cevabı var, ancak hiçbiri kesin değil . Tartıştığımız şey - mikro kozmosta - aslında teori, deney ve doğa arasındaki ilişkidir. Bu büyük, kafa karıştırıcı ve tartışmalı bir konudur. Burada sadece pratikte çalışan bir bilim adamının pragmatik yanıtını vermeye çalışacağım: İşe yarayan Taylor-Couette sistemidir. Doğa kavranamayacak kadar geniştir , karmaşıktır, karmaşıktır ve kontrol edilemez güçlere tabidir. Bir laboratuvar deneyi, gerçeklik ve teori arasında, doğal dünya ile insanın işleyişinin zihinsel temsilleri arasında bir aracıdır . Bir laboratuvar deneyinin amacı , dünyanın küçük bir parçasını izole etmek ve kırılana kadar test etmektir . Bunu gerçek dünyada yapmak zordur. Bunu teori örneğiyle gösterelim : kuyruklu yıldızlar felaketlerin alametleridir. Bu teoriyi test etmek için, özellikle gökyüzünde Halley kuyruklu yıldızının yokluğunda Kral Hastings'in ikinci bir savaşını yürütmeyi içeren bir deney gereklidir . Zor. Böyle bir deneyi kontrol etmek mümkün olsa bile, olanların teoriyi yanlış kabul etmesine izin veren birçok başka sebep olurdu. Ayrıca, herhangi bir savaşta , bir tarafın kaybı her zaman diğerinin zaferidir!

Laboratuvar sistemleri hayal gücümüzü doğal olanlar kadar heyecanlandırmaz , ilham verici ve harika olamazlar . Ancak bilim insanı için, belirli etkileri izole etme ve kontrollü koşullar altında onları yeniden araştırmayı mümkün kılma gibi büyük bir avantaja sahipler. Bu nedenle, teorinin başarısızlığını açıklayan nedenlerin sayısı birkaça indirgenmiştir. Deneyle uyuşmayan bir teori ölür, ancak daha sonra kullanmak için yararlı bir şey kalır.

Her yöntem güvenilir olmaktan uzaktır ve en iyi deney bile tam olarak kontrol edilemez. Ancak dediğim gibi, bu yaklaşım işe yarıyor ve şu ana kadar daha iyisini bulamadık. Sallanan lambanın periyodunun sabit göründüğünü fark eden Galileo'yu, alev sütunları üzerinde uzayda yol alarak güneş sistemine on iki yıllık bir giriş yapan Voyager'lardan yalnızca birkaç nispeten kısa adım ayırdı . Sallanan lamba, bir laboratuvar sarkaçına ve onun aracılığıyla, insanlığın mekanik yasalarını incelediği birkaç düzine eşit derecede basit deney sistemine dönüştürüldü. (Elbette zorlanmadan değil!) Mekanik, Newton'u yerçekimi yasasını formüle etmeye yönlendirdi ve insanlık, sonunda , Voyager'lara güç sağlayan uzay aracını uçurabilen ve kontrol edebilen motorlar yaratmak için çalışabildi.

mühendislik yapılarının inşasına kadar bir dizi adımla da başarılmıştır . İmbikli simyager ve kurbağa bacaklı aristokrat, destansı Voyager yolculuğunun ve onu mümkün kılan teknolojinin manevi babalarıdır.

Bilimsel yöntemin sınırları vardır. Cevaplayamadığı birçok soru var. Örneğin, kuyruklu yıldızların kıyameti haber verme yeteneği konusunda sessiz kalıyor. Ancak burada da bazı başarılar var: bazen daha önce tamamen umutsuz görünen bir soruyu cevaplamamıza izin veriyorlar. Çok uzun zaman önce, yıldızların kimyasal bileşimini belirleme sorunu yanlış kabul edildi. Bugün, bu sorun, karakteristik kimyasal elementlerin absorpsiyon spektrumundaki belirli koyu çizgilerle ayırt edildiği , yıldızların yaydığı ışığı analiz eden geleneksel bir spektrograf tarafından çözülmektedir . Bilim ilerliyor, daha önce yanlış görünen soruları yanıtlıyor. Bilim için kuyruklu yıldızları kaderin işaretleri olarak düşünmekten daha ilginç bir soru, kuyruklu yıldızların yörüngeleri, kimyasal yapıları, kuyruklu yıldızların oluşumu ve kader sorularını bilimin dışında bırakmak istememek, depremlerin oluşumu için doğal mekanizmalar, volkanik olaylardır. patlamalar ve sel.

Bütün bunlar bizi Taylor-Couette akışından oldukça uzaklaştırıyor, ama bu bizim bakış açımız. Doğa da Taylor-Couette akışından uzaktır, ancak bir şey diğerine yol açar. Taylor-Couette akışının bilim insanı için çekici yanı, oldukça geniş bir fenomen yelpazesi yaratacak kadar karmaşık ve teorik bir teknik olarak kullanılabilecek kadar basit olmasıdır. Bu kullanışlı bir test tezgahı. Bu şekilde elde edilen verilerin anlaşılması daha az yapay olan diğer sistemlere aktarılabilir veya bir teknoloji olarak benzer durumlarda kullanılabilir. Genel olarak teknoloji, kontrol edilebilecek kadar basit yapay sistemlerin yaratılmasıdır .

Her ikisi de Taylor-Couette sistemi hakkında bir soruyla başlayan bu sürecin iki örneğine bakacağız. Her biri , bu özel sistemi , bütünün çok daha geniş alanına girmenin uygun bir yolu olarak kullanır . İlki bizi sıvı türbülansı sorununa geri getiriyor. İkincisi, Taylor-Couette cihazının en yapay olan bu özelliğine dairesel simetrisine atıfta bulunur ve simetriye sahip herhangi bir dinamik sistemin davranışı hakkında önemli sonuçlar çıkarır . Henüz hiçbiri şaşırtıcı yeni teknolojilere yol açmadı, ancak her biri zamanını bekliyor! Kurala uyalım: Önce temel bilimler, ardından uygulama dolar ve sentleri mutlaka gelir.

Gazete Layige'de kaos

En prestijli bilimsel gazetelerden biri , haftalık olarak yayınlanan, bir dergi gibi olan ve bilimin en son noktalarından kısa makaleler içeren Maige'dir . Biyolojide özellikle güçlüdür: Mauire'nin tipik manşetleri "Marker DNA analizi , kar kazının tek kuluçkalarında çoklu annelik ve babalık olduğunu ortaya çıkarır" veya "Drosophila sarmal geni, nükleik yapışkan parmaklarla proteini kodlar" şeklindedir. Bununla birlikte, Maiig'de , hızlandırıcı fiziğinden jeolojide zirkona kadar birçok bilim dalından makaleler alıntılanmıştır . Bunların arasında, yıllık endekste bile listelenen kaos var.

Lauige'in 27 Temmuz 1989 tarihli 6231 Sayısının kapağı , bilgisayar grafiklerinde işlenmiş renkli bir girdap gösteriyor. Görüntü , “BA8EN RNOVIIS VEYA SNAO8” parlak kırmızı başlığı altında kanarya sarısı bir arka plana karşı çekildi . Bu sayıda , Oxford Üniversitesi Clarendon Laboratuvarı'nda çalışan Tom Moulin ve TJ Price'ın, hafif türbülanslı bir sıvı akışında garip bir çekici keşfeden dikkatli ve son derece doğru bir deneyi anlatan bir makalesi yer alıyor. Bence bu, zayıf türbülans ve kaosun yakından ilişkili olduğunun en güzel kanıtı. Ancak Moulin ve Price'ın asıl çalışmalarından bahsetmeden önce küçük bir ara vermek istiyorum.

Solucan ve elma

Bu matematiksel hikaye aslında 1979'da Kanada'daki Guelph Üniversitesi'nde, o zamanlar çatallanma teorisi üzerinde çalışan Kanadalı bir matematikçi olan Langford Bill ile gerçekleşti. Hatırladığınız gibi, Bölüm 8'de çatallanmaların, bilinen durumların kararsız hale geldiği durumlarda dinamik bir sistemin yeni durumlarını bulma yöntemi olduğunu söylemiştik ve nasıl devam ettikleri sorusu ortaya çıkıyor . Teori bir sihirbazın şapkası gibidir: ilk bakışta boş görünür, ancak her an ondan bir tavşan veya bir güvercin çıkabilir. Çatallanma, temel matematiksel modele niteliksel olarak farklı bir çözüm olan yeni bir durumun oluşumudur . Langforth'un çalışması , temel çatallanma türlerinin ne olduğunu ve birbirleriyle nasıl etkileşime girdiklerini anlamayı amaçlayan genel bir programın parçasıydı . Bu tür bilgilerin potansiyel uygulamaları çok geniştir ve uygulamalarının tipik örneklerini basitçe listelemek yeterli olacaktır. Ancak projenin başlatıcısı temel bilimdi ve olası pratik uygulamalardan heyecan duymadan onu desteklemek istiyorum. Sizden az da olsa bir matematikçi gibi düşünmenizi ve bundan nasıl para kazanılacağına bakmak yerine büyük, yapısal ve genel sorulara odaklanmanızı istiyorum. (“Peki, ne işe yarayacak, Bay Faraday?” diye sordu birisi, elektrik deneylerine atıfta bulunarak, sesinde büyük bir şüpheyle. bundan," diye yanıtladı.)

Çatallanmalar sistemin iki özelliğinde meydana gelir: sabit ve Hopf. Sistemin durağan durumu zamanla değişmez ve yeni bir durağan durum yaratan durağan çatallanma olması şaşırtıcı değildir. Örneğin, bir presin altına çelik bir çubuk yerleştirilirse, şeklini koruyacak ve basınç yükü belirli bir kritik değere ulaşana kadar düz kalacak, ardından bükülecektir. Bu durumda, durumu yalnızca yük nedeniyle değişir . Herhangi bir aşamada, eğer yük sabit bir durumda "donmuşsa", çubuğun durumu da donar: her yük değerine karşılık gelen bir dizi sabit durumdan geçer . Yüklü durum, yüksüz durumdan önemli ölçüde farklıdır ve yükteki artış kritik bir değere ulaştığında, çubuğun durumu dallara ayrılır. Çubuk - veya daha doğrusu matematiksel modeli - sabit bir çatallanma geçirir.

En basit sabit çatallanma - eyer düğümü , kendisine Poincare tarafından verilen adı taşır. Burada iki farklı durum “yoktan” yaratılır ya da -işleri ters sırada yapmayı tercih ederseniz- iki farklı durum birleşir ve birbirini yok eder. Genellikle iki durumdan sadece biri kararlıdır, bu nedenle pratikte aniden ortaya çıkıp kaybolması şeklinde gözlemlenir. Eğik bir düzlemde yatan bir yumurta hayal edin. Eğim açısı küçükse, yumurta denge durumundadır, ancak eğim artarsa, er ya da geç yumurta stabilitesini kaybeder ve yuvarlanır. Eğim açısı arttıkça yumurtanın bulunduğu stabil durum ortadan kalkar (Şekil 15.1). Hesaplamaları yaparsanız, kararlı ve kararsız durumları birleştirerek bunun gerçekleştiğini görebilirsiniz. Sonuncusu kaybolur .

Hopf çatallanması, kararsız bir duruma giden bir sistem tarafından deneyimlenen en basit çatallanmadır. Sistem davranışını tekrar tekrar tekrarladığında periyodik olarak oluşur . Bunu Bölüm 9'da zaten ele aldım, bu yüzden yeni bir örneğe gerek yok.

çatallanma türlerinin birbirleriyle nasıl etkileştiğini merak etti . Bazı sistemlerin aynı anda iki farklı türde çatallanma geçirmesine izin verin, böylece durağan durum ve yeni ortaya çıkan periyodik durumlar birbirleriyle rekabet etmeye başlasın. sistem içinde olamaz

Pirinç. 15.2. Sistemin iki özelliğinin etkileşiminde yarı-periyodik hareket : Hopf ve kararlı durumlar...

kararlı -> periyodik -> yarı periyodik -> kaotik.

Tüm bunlar, en basit durağan çatallanma ile en basit periyodik çatallanma birleşince doğal olarak ortaya çıkıyor... Beklenenden çok daha fazlası ortaya çıkıyor! Yani, çatallanma teorisi sadece eskilerden yeni durumlar yaratmakla kalmaz, aynı zamanda iki yeni, tamamen beklenmedik durum türleri de yaratır. Bunun gerçekten mümkün olması, kısmen, bu konunun çekiciliğidir. Sihirli bir sihirbazın şapkası takan bir tavşan popülasyonu, genellikle beklenenden çok daha fazlasına yol açar.

Bölüm 9, dönen silindirler arasındaki akışkanla yapılan klasik Taylor-Couette deneyini tartışır. Langford, fark ettiği çatallanmalar dizisi ile Taylor-Couette geçişleri arasında açık bir analoji olduğunu fark etti.

Taylor girdabı - dalgalı girdap -
modüle edilmiş dalgalı girdap - türbülans.

Taylor girdapları kararlı akışlardır, ancak bu akışkanın hareket etmediği anlamına gelmez, sadece her noktadaki akışkan hızının değişmediği anlamına gelir. Dalgalı girdaplar zaman içinde periyodiktir.

Modüle edilmiş dalgalı girdaplar yarı periyodiktir; iki farklı periyodik hareketi birleştirirler . Sonuç olarak, türbülans rastgelelik ve kaosun bir tezahürü olarak ortaya çıkar.

Bu maç kesin.

Ancak görünüşler aldatıcı olabilir. Langford başka bir soru sordu: Bu dizi sadece bir tesadüf mü yoksa sağlam bir matematiksel temeli var mı? Teknik zorluklardan biri, Taylor-Couette sisteminin herhangi bir çatallanmada zil gibi çalan dairesel simetriye sahip olmasıdır ve bir matematik makinesinin benzer şekilde davranması için gerçekte ne olduğunu anlamak gerekir. Ancak 1985'te türbülansa (muhtemelen) son geçiş dışında her şeyin standart Taylor-Couette akış modelinden türetilebileceği biliniyordu. Bu, Nice'de çalışan Gerard Joss ve Pascal Chosset, Martin Golubicki ve ben Houston'da bağımsız olarak kuruldu . Ayrıca standart model çerçevesinde kaosa geçiş yapma olasılığı da vardır, ancak henüz hiç kimse bunu akışkan akış denklemlerinden titiz bir türetme ile doğrulayamamıştır.

kanıtlayıcı sezgi

Bu sırada, Taylor-Couette akışında garip bir çekicinin varlığına dair kendi görüşlerine ve deneysel kanıtlarına dayanarak, Langford tarafından keşfedilen çekici ile dikkate değer benzerliğini ortaya koyan Tom Moulin ortaya çıktı.

Moulin, Clarendon Laboratories'de (Ciagenpsiom labogaiogy) çalışmaktadır. Laboratuvarına yapılan kısa bir ziyaret bile , bu tür çalışmalarda çok önemli olan özen ve detaylara gösterilen özenin kanıtıdır. Lauder'de açıklanan deneyin amacı, iki silindirin farklı dönüş hızlarında Taylor-Couette odasının farklı noktalarında sıvı hareketinin hızını ölçmekten ibarettir . Bu şekilde elde edilen veriler , hızlı bir masaüstü bilgisayarda bir faz uzayı yeniden yapılandırma programı kullanılarak işlendi (bkz. Bölüm 9). Ancak, tüm bunlar bu kadar basit olmaktan uzaktır.

İlk olarak, silindirler çok az toleransla hassas olmalı ve motor ve dönen parçaları mümkün olduğunca titreşimsiz olmalıdır. Aksi takdirde, bir bilgisayarda işlenecekleri gerçek sinyal ile birlikte gözlemleri etkileyecek ve ortaya çıkan faz desenini bozacaktır. Bu nedenle, hem silindirler hem de lazer optik bir masaya - yaklaşık iki metre uzunluğunda, yarım metre genişliğinde ve beş santimetre kalınlığında bir mermer levha - yerleştirilir. Bu, lazer ışınının tam olarak hizalanacağını ve deney sırasında öyle kalacağını ummamızı sağlar. Sıcaklık dalgalanmaları, sıvı akışını o kadar belirgin şekilde etkileyebilir ki , faz uzayını yeniden yapılandırırken garip bir çekici bulma olasılığını bırakmazlar . Bunu önlemek için silindirler, bir derecenin yüzde biri hassasiyetle sabit bir sıcaklığın muhafaza edildiği bir cam kutu içine alınır. Cihaz , sıvı hızındaki en küçük değişikliklere karşı duyarlıdır; bu, ne yazık ki, bir sokak satıcısının arabasının veya park halindeki bir arabanın hareketinden kaynaklanan zemindeki en küçük titreşimlere de duyarlı olduğu anlamına gelir . Bu nedenle, tüm kurulum, mermer masa ve üzerindeki her şey, dış etkenlerden kaynaklanan herhangi bir titreşimi sönümleyebilen, yaklaşık yarım metre kalınlığında bir kauçuk köpük blok üzerindedir. Son olarak, veriler kaydedilmeli ve işlenmelidir. Elektronik ekipman, lazer ışık demetinin frekansındaki değişiklikleri yakalar, bunları dijital forma dönüştürür ve gönderir.

sabit periyotlar açıkça keyfi bir şekilde değişir: bu sefer kaosa dikkat çekiyoruz.

deneysel verilerin karmaşık bir matematiksel analiziyle tanıtılan matematiksel değişkenler alanında çizilir . Çekicinin geometrisi, sıvı akışlarının herhangi bir fiziksel özelliği ile doğrudan ilişkili değildir (ancak ölçülen hızların zaman serileriyle nasıl karşılaştırılabileceklerini görmüş olsak da). Kaos ve türbülans üzerine erken çalışmaları rahatsız eden ve topolojisinin fiziksel bir yorumunu gerektirmeyen faz uzayı yeniden yapılandırma yöntemlerinin geliştirilmesine yol açan işte bu problemdi. Ancak burada geriye dönük olarak, sıvının bandın her noktasındaki davranışını deneysel olarak gözlemleyerek böyle bir yorum yapabiliriz . Kabaca söylemek gerekirse, bant merkezi tüpün bir ucunda olduğunda, bu sadece iki Taylor girdabı içeren bir duruma karşılık gelir: birbirinin üzerine yığılmış iki yağlı çörek . Tüpün diğer ucunda, yarı kalınlıkta dört girdap ile karakterize edilen bir durum ortaya çıkar. Akışkan akışının yapısı veya modeli dönüşümlü olarak iki veya dört girdap içerir, ancak bu düzensiz ve tahmin edilemez bir şekilde gerçekleşir. Matematikçiler artık bu davranışa neden olan tipik koşulları biliyorlar ve deney , Taylor-Couette sisteminin matematiğinin teorik olarak anlaşılmasını sağlıyor .

Bu olağanüstü deneysel sonuç hakkında çok daha fazla şey söylenebilir , ancak ana, etkileyici özelliği açıktır. Faz uzayı yeniden oluşturma tekniği , türbülanslı akış verilerindeki gizli yapıyı ortaya çıkarır. Bu yapı, Langford'un on yıl önce sezgisel ama çok genel matematiksel ilkelere dayalı olarak önerdiği tuhaf çekicinin tıpatıp aynısıdır.

Görmek? İş böyle yapılır!

Yapılandırılmış türbülans

Geleneksel olarak, düzen ve kaos madalyonun iki yüzüdür, iki zıt zıttır. Bununla birlikte, etrafımızdaki evrenin bu kadar siyah beyaz bir resminin bir yanılsama olduğunu zaten gördük, aslında evrensel düzenden evrensel kaosa değişen sürekli bir davranış spektrumu olan tüm gri tonlarını içeriyor. Gerçekte, evren , mevcut rejimi umursamadan basitçe ilerliyor ve kendi işini yapıyor gibi görünüyor . Düzen ve kaos, insan algısının ona dayattığı, - neredeyse “hiç yoktan” dedim, - elbette, sürekli felsefi ve metodolojik işkencelerin kaynağı olan içsel fikirlerden gelen kavramlardır. Artık düzen ve kaos arasındaki yakın bağlantıları biliyoruz : aynı matematiksel sistem , kontrol değişkeninin basit bir şekilde değiştirilmesi nedeniyle bir durumdan diğerine geçebilir . Aslında , aynı matematiksel sistem, koşulların ayarlanmasının doğruluğuna bağlı olarak, düzenli veya kaotik bir durumda olabilir: Hyperion'un biraz farklı bir enerjisi olsaydı, düzenli olarak yuvarlanırdı ve kaotik değil.

Siyah/beyaz ayrımının izleri hala var: değişkenlerin ayarına bağlı olarak, gözlemlenen durum düzenli veya kaotik. Aksini beklemiyoruz, ancak son zamanlardaki bazı keşifler, düzen ve kaos arasındaki ilişkiye dair anlayışımızın genişletilmesi gerektiğini gösteriyor. Her sistem, hem düzen hem de kaos yönleriyle aynı anda görüntülenen tek bir durumda var olabilir .

Aslında bu, deneylerde zaman zaman gözlemlendi , ancak bunun nedenini ancak şimdi anlamaya başlıyoruz. Bir kez daha , Taylor-Couette sistemi burada uygun bir başlangıç noktasıdır , ancak şimdi hedefimiz oldukça farklı. Couette-Taylor sistemindeki en genel türbülansın yapısı yoktur. Akışkan, iç silindirin etrafında rastgele, rastgele bir şekilde akar. Ancak en az iki tür yapısal türbülans vardır, mutlaka duymuşsunuzdur! Kitapların büyük çoğunluğu türbülansın bir yapısı olmadığını veya herhangi bir yapı varsa bunun tuhaf çekici bölgesinde saklı olduğunu iddia ediyor ve ben şimdi türbülansın saf, doğrudan gözlemlenebilir bir yapıya sahip olabileceğini savunuyorum. Taylor-Couette sistemindeki örnekler türbülanslı Taylor girdapları ve sarmal türbülanstır (Şekil 15.6).

Çalkantılı Taylor girdapları en basit olanıdır ve bir bakıma özellikle gizemli değildir. Tam olarak Taylor girdaplarına benziyorlar - silindirik eksen boyunca yoğun bir şekilde paketlenmiş paralel şeritler - ama her biri kendi başına türbülanslı. Normal Taylor girdabı düzgün, laminer akış içerirken, bu daha şiddetli kuzenler sadece vorteksin katmanlı yapısını korumakla kalmaz, aynı zamanda her girdap içindeki laminer akışı türbülanslı bir akışla değiştirir. Aksine, sarmal türbülans, düzgün bir ortam içinde türbülanslı akış bölgelerini içerir. Yamalar kabaca aynı şekli korur, ancak silindirin etrafında ve spiral yollarla hareket eder. Bu bölümler birbiri ardına düzenli olarak yer almaktadır.

Tek bir akışta birleşen böyle tuhaf bir düzen ve düzensizlik karışımını hangi mekanizma belirleyebilir ?

Şu anda bildiklerimiz kesin bir cevap değil, daha ziyade bu fenomenin bazı temel matematiksel mekanizması hakkında , ana özelliklerinde doğru olan çok olası bir varsayımdır. Teknik nedenlerden dolayı Taylor-Couette akışındaki yapılandırılmış türbülanslı durumlardan sorumlu olduğu henüz kesin değil , ancak diğer sistemlerde, özellikle elektronik devrelerde benzer bir rol oynadığına inanmak için iyi nedenlerimiz var . Akışkan türbülansı ile elektronik arasında bir benzerlik olabileceği fikri sizi şaşırtabilir , ancak teknoloji transferinin temeli olan matematik, kendilerini çok farklı fiziksel biçimlerde gösterebilen bir fikirler ağıdır .

utangaç simetri

Yapılandırılmış türbülansı anlamanın anahtarı simetri ile ilgilidir. Couette Taylor cihazı oldukça simetriktir, bu nedenle türbülanslı olanlar dahil tüm akış yapıları benzer şekilde davranır. Simetriyi kullanmak için bu kavramı tam olarak formüle ediyoruz. Konuşma dilinde "simetri" kelimesi iki farklı anlamda kullanılır. Birincisi oldukça yanlış, "zarif oranlar" gibi bir şey. Görünüşe göre, William Blake kaplanı “utangaç simetri” olarak adlandırırken aklından geçen tam olarak buydu . İkinci anlam daha spesifiktir , bir formun özelliklerinin tekrarını ifade eder. İlk anlam şairlere hitap ediyorsa, ikincisi - matematikçilere.

denizyıldızı, şeklini ve konumunu değişmeden bırakan dönüşümler. Bu dönüşümlerin her birinin denizyıldızının simetrisini belirlediği söylenir.

En önemli simetri türleri şunlardır:

• bir nokta bırakan dönüşler - dönüş merkezi - değişmeden;

• bahsedilen aynada görülmesinin bir sonucu olarak yansıma ;

• döndürme veya yansıma olmaksızın bir yönde hareket ettiren ötelemeler .

Örneğin kare, dönme ve yansıma simetrisine sahiptir, ancak öteleme simetrisi yoktur. Öte yandan, kare bir karo ile kaplanmış sonsuz bir düzlem de öteleme simetrisine sahiptir: eğer karonun tek bir karesi

direğin tüm uzunluğu boyunca hareket ettirin. Onları aynı numaraya geri çevirirseniz, eşleşmeleri gerekir. Yani sarmal spirallerin simetrisi, döndürme ve ötelemenin bir birleşimidir . Aslında, Taylor-Couette sistemindeki hemen hemen tüm akışlar, Couette akışı dışında bir dereceye kadar simetriye sahiptir, ancak her zaman cihazınkinden daha azdır. Bu olaya simetri kırılması denir .

Bulanık simetri

Türbülanslı akışlar hakkında ne söylenebilir?

Teknik açıdan, simetrileri yoktur. Türbülanslı bir akışı çevirirseniz, orijinalinden farklı bir türbülanslı akış elde edersiniz. Translasyondan önceki ve sonraki akışkan parçacıklarının birbirine karşılık gelmesi benzer olabilir . Örneğin, çeviri bir santimetre ile gerçekleştirilsin. Bir simetri dönüşümü olarak, çevrilen akışın her parçacığı orijinal akışın parçacığıyla aynı hıza sahipse, ancak her türbülanslı akışta akışkan kendi rastgele yolunda hareket ediyorsa böyle bir öteleme mümkündür.

Ancak, hepsi bu değil. Türbülansın ince yapısını görmezden gelir ve onu ek bir doku olarak kabul edersek, akışın birçok simetrisi vardır. Aslında çalkantılı bir yayın yapıyorsanız yayın öncesi ve sonrası yayında herhangi bir değişiklik görmeniz çok zor olacaktır. Türbülanslı bir akış, bir tür yapı oluşturan yerel özelliklere sahip değildir .

Çalkantılı Taylor girdapları görünür bir yapıya sahiptir: girdap katmanları, şeritler görebilirsiniz. Türbülanslı akışta ince ayrıntılar yoksayılırsa, yalnızca bulanık Taylor girdapları görünür ve (bulanık resmin ince ayrıntıları yoksayılırsa) akış Taylor girdaplarıyla aynı simetriye sahiptir. Böyle türbülanslı bir akışın birçok simetrisi vardır: tam sayıda girdap genişliği ile dönme, yansıma ve öteleme. Bununla birlikte, ince ayrıntılar hesaba katılırsa, bu simetriler kaybolacaktır, çünkü örneğin öteleme simetrisi, farklı girdaplar içindeki akışın aynı olduğunu ima eder, ancak aslında durum böyle değildir.

türbülanslı bölümün özelliği olan ince ayrıntıları görmezden gelirseniz, spiral türbülans da bir dereceye kadar simetriye sahiptir. Tüm akış modelini her seferinde aynı açıyla döndürür ve ardından doğru aralıklarla çevirirseniz, bölümleri birbiriyle tam olarak eşleşir. Bununla birlikte, türbülanslı akışın ince detayları geri yüklenirse simetri tekrar kaybolur: Her bölümün içindeki akış diğeriyle aynı olsaydı bozulmazdı, ancak gerçekte durum böyle değil.

Fikir bu, ancak burada matematiksel bir sorun var: Akışın ince yapısının nasıl ortaya çıkarılacağı açık değil. Henüz bunun için yeterince gelişmiş bir “bulanık simetri” teorisi yoktur. En az bir çözüm varsa, o zaman yeni bir matematik dalının temeli olabilir! Sorunun çok sıkıcı bir çıkmaza yol açtığına dair kanıtlar da bulunabilir. Bununla birlikte, daha az kesin bir çözüm mümkündür: bulanık simetri gerçek olacak şekilde her şeyi yeniden yorumlamak. Bu yaklaşımın avantajı, çok fazla çabadan tasarruf edilmesidir: gerçek simetri ile çalışmak için kullanılan matematiksel yöntemler , problemin yeni bir formülasyonu için yeniden geliştirilmek yerine hazır olarak kullanılabilir.

Bu yüzden temellere geri dönüyoruz ve basit ama önemli bir soru soruyoruz: Bir sistemin simetrisi dinamikleri nasıl etkiler? Özellikle simetri kaosu nasıl etkiler? Şimdi bu soruya dönüyoruz.

kübik kaos

olarak Taylor-Couette akışından çok daha basit olan. Sadece bir tür simetriyle ilgili bir şey, tüm çeşitleriyle değil.

En basit simetri, koordinat ekseninin orijinine göre haritalamadır. Sağdaki 5 cm'lik bir nokta , soldaki 5 cm'lik bir noktayla eşlenir ve aynısı diğer tüm mesafeler için de geçerlidir. Yani, dönüşüm her noktayı eksi kendisine gönderir: x - x. Orijine eksene dik açıda bir ayna yerleştirirsek, her nokta ayna görüntüsüne girer . Bu nedenle, orijine göre simetrik bir haritalama diyoruz .

Şimdi eksene aynı simetriye sahip dinamik bir sistem yerleştirmemiz gerekiyor. Ne anlama geliyor? Bir nesnenin simetrisini anlamak kolaydır, ancak dinamik bir sistemin simetrisi nedir? Simetrinin bir dönüşüm olduğunu bir kez daha hatırladığımızda her şey netleşir. Nesneler dönüştürüldüğü gibi dinamik sistemler de dönüştürülebilir. Dinamik bir sistem, uzayda birbirine göre hareket eden bir nokta bulutudur ve buluttaki her noktayı dönüştürmek için aynı dönüşüm kullanılır. Bu nedenle, dinamik bir sistemi belirli bir açıyla döndürmek için, bir nokta bulutunu ve bu açı boyunca hareket ettikleri yönleri döndürmek yeterlidir.

Sonuç olarak, dinamik bir sistem, dinamikte simetrik olarak bağlı noktalar her zaman simetrik olarak bağlı yerlere hareket ediyorsa, belirli bir simetriye sahiptir. Örneğin, orijinden yansıma için: sağdan 5 cm'lik bir nokta sağdan 7 cm'lik bir noktaya hareket ederse, soldan 5 cm'lik bir nokta soldan 7 cm'lik bir noktaya hareket etmelidir. Yani 5 -> 7 ise - 5 -> - 7. Kısacası simetri korunmalıdır.

En basit kaos modelimiz, lojistik harita x -> kx(1 - x), Bölüm 1, 8 ve 10'da tartışılmaktadır. Ne yazık ki, yansıma ile korunmamaktadır. Gerçekten de, örneğin, k = 4'ü alın. O zaman x = 0,5 değeri 4(0.5)(0.5) = 1 ile eşlenir, ancak -0.5 değeri 4(-0.5)(1.5) = -3 ile eşlenir ve değil birine.

Küçük bir düşünce, biraz farklı bir eşlemenin simetriyi koruduğunu gösterir: yani, kx(1 - x2 ) . İkinci x'teki kareye dikkat edin, bu nedenle x(1 - x 2 ) = x - x 3'e kübik harita denir . Örneğin, burada k = 4, x = 0,5 için 4(0.5)(0.75) = 1.5 değerini ve x = -0.5 için sırasıyla 4(-0.5)(0.75) = -1.5 değerini alırız. simetrik olarak bağlıdırlar. Bunun olmasının iyi bir matematiksel nedeni var, ama burada ayrıntılara girmeyeceğim, ne olduğunu söylemem yeterli.

x ve x , orijine göre simetrik olan tek x kuvvetleridir .

Lojistik haritalama ile yaptığımız en ilginç şey, k'yi değiştirirken bir çatallanma diyagramı çizme yeteneğiydi - k ile birlikte çekicinin değişiminin bir resmi . Ünlü incir ağacı ortaya çıkıyor - kaosa giden yol (Şekil 8.8). Aynı yaklaşımı kübik eşlemeye uyguladığımızda Şekil 15.10'u elde ederiz . Her zamanki gibi, x'in değeri dikey olarak ve k - yatay olarak değişir .

Pirinç. 15.10. Pozitif x değerleri için bir kübik haritanın çatallanma diyagramı .

Pirinç. 15.11. Negatif x değerleri için bir kübik eşlemenin çatallanma diyagramı .

şemsiye. Bu haritalamanın ilk kısmı çok tanıdık geliyor: kendi incir ağacına ve kaotik şeritlere sahip, neredeyse karşılık gelen lojistik haritalama gibi.

İkinci bölümde yaşananların sebebi nedir? Bir çekici patlaması meydana gelir : k kritik bir değere ulaştığında boyutu aniden ikiye katlanır . Buna ne sebep olabilir?

Açıkçası, bu diyagramda olmayan bir şey var , ancak simetriden dolayı olması gerekiyor. Pirinç. 15.10, her k için pozitif bir x başlangıç değeri ile elde edilir. Bunun yerine negatif bir başlangıç değeri alırsak, Şekil 15.11'i elde ederiz. Tam olarak birincisine benziyor, ancak ters çevrilmiş bir görüntü değil . Burada dinamik sistemin simetrisi x'in işaretini değiştirir, hareket eder ve görüntüyü tersine çevirir. Böylece, muhtemelen simetri kullanarak, onsuzdan daha fazlasını elde edebilirsiniz. Tam ekran (Şekil 15.12), Şekil 15.10 s Şekil 15.11 birleştirilerek elde edilir. Sadece bazılarını değil, tüm çekicileri gösterir. Çatallanma diyagramı artık simetriktir ve üzerinde olabilecek her şeyi görebilirsiniz.

Eğer k küçükse ve 0 ile 1 arasında yer alıyorsa, o zaman tek çekici nokta x = 0'dır, yani çatallanma diyagramında yatay bir çizgimiz olur. x = 1'de bir geçiş vardır, ancak incir ağacından farklı olarak, periyodu 2 olan bir çekiciye geçiş değildir . Bunun yerine iki ayrı nokta çekici ortaya çıkar: biri pozitif x için diğeri negatif için. Bu, Şekil 15.10 ve Şekil 15.11'de görülebilir: her biri yalnızca tek bir geçişi ve buna karşılık gelen tek noktalı çekiciyi karakterize eder. Bu iki nokta çekici bir simetri ile birbirine bağlıdır, bu da herhangi bir çekici için aslında onun ters çevrilmiş versiyonunun olduğu anlamına gelir - aynı zamanda bir çekici olan x-uzayının başlangıcından bir yansıma.

periyoduna bölünür . Simetri nedeniyle, negatif karşılığı da aynı şeyi yapıyor ve simetrik olarak birbirine bağlı iki incir ağacı görüyoruz. Uçlarında, büyüyen bantlar şeklinde olağan kaotik bir biçim vardır : sistemin şimdi iki tuhaf çekicisi vardır. Pozitif x ile başlayarak pozitif bir çekiciye ulaşırsınız ve negatif x ile başlayarak negatif bir çekiciye ulaşırsınız .

Ne kadar uzak o kadar iyi. Şimdi ana olayın açıklamasına dönüyoruz. Patlamayı ilk gördüğümüz noktada, şimdi iki garip çekici birleşiyor. Tek bir çekici oluşturmak için bir araya gelirler ve birincisi ile birlikte onun tersine çevrilmesini de içerirler. Birleşik çekici, orijinden itibaren bir ayna yansıma simetrisine sahiptir.

Pirinç. 15.12. Bir kübik eşlemenin tam çatallanma diyagramı.

yeni keşfedilen simetri

Bu örneğin basitliği (en azından Taylor-Couette sistemiyle karşılaştırıldığında!), bizi iki temel ilkeye götürür:

• Simetrik dinamik sistemler genellikle simetri dönüşümleri ile birbirine bağlanan birkaç bireysel çekiciye sahiptir .

• daha büyük simetriye sahip garip bir çekici oluşturmak için birleşebilir .

Sıradan çekiciler dünyasında simetri , çekiciler parçalandıkça kaybolmalarına yol açarken, tuhaf çekiciler dünyasında simetri, çekiciler birleştiği için büyümelerine yol açar. Aslında, yukarıda söylenenler göz önüne alındığında bu oldukça anlaşılabilir, çünkü tuhaf çekiciler, kombinasyonu nispeten doğal olan karmaşık nokta kümelerini içerir. Aksine, iki kararlı durumun - iki noktanın - birleşimi çok az anlamlıdır ve - eğer bir anlam ifade ediyorsa - başka bir tekil nokta yaratmaktan ibarettir.

geçmişe bakarak mantıklı açıklamalar yapabilmesi şaşırtıcı . Doğru fikri bulmak gerçekten önemli olanla başlar.

Maryland Üniversitesi'nden Celsus Grebogi ve Jim York, bu fenomeni bir kriz olarak adlandırdı. Simetri ilişkisi Pascal Chosset, Mike Field ve Martin Golubicki tarafından bilgisayar simülasyonları ile incelenmiştir. Düzenli bir çokgene benzeyen bir simetriye sahip zarif, güzel çekicilere sahip ayrık dinamik sistemler tanıttılar (Şekil 15.13).

Müthiş. Şimdi, düzen (simetri) ve düzensizlik (kaos) özelliklerini tek bir nesnede birleştiren çekiciler yaratmak için simetrinin dinamiklerle nasıl birleştiğini anlıyoruz.

Bu anlayış pratikte bize nasıl yardımcı olur?

Çalkantılı Taylor girdaplarının ve sarmal türbülansın bu mekanizmadan kaynaklandığına dair muzaffer deneysel doğrulamayı bildirmek istiyorum. Ancak araştırmalar devam ettiği için henüz yapamıyorum. Taylor-Couette akışı gibi sistemlerde simetrik garip çekicileri tespit etmek için doğrudan deneyler gerçekleştirmede ciddi teknik zorluklar vardır . Pahalıdırlar, zaman alırlar ve henüz kimse bunları uygulamamıştır.

Ancak, Warwick Üniversitesi'ndeki Doğrusal Olmayan Sistemler Laboratuvarı'nda Peter Ashwin ve Greg King, çok daha uygun bir sistem üzerinde deneyler yaptılar ve gözlemleri yukarıda sıralanan iki ilkeyi doğruladı. Cihazları, üç (veya daha fazla) aynı osilatörün simetrik olarak birbirine bağlandığı bir elektronik devredir (Şekil 15.14). Zorlanmış alternatif akım salınımları sistem üzerine bindirilir ve sürekli bir sinyal değil, bir Poincare ekranı alacak şekilde ayarlanmış bir osiloskop kullanılarak gözlemler yapılır . Ortaya çıkan veriler, simetriyi hesaba katarak ana çekiciyi izole etmek için bir bilgisayar tarafından işlenir. Şekil 15.15 ve Şekil 15.16'da bu durumda elde edilen tipik sonuçlar gösterilmektedir: üçlü eksenel simetriye sahip kaotik çekiciler ve simetri nedeniyle artan tekillikler. Bu yapıların bir bütün olarak aynı olmadığı gerçeği , devrede ortaya çıkan voltajların zaman serilerini ve bunlara karşılık gelen güç spektrumlarını veya başka herhangi bir "klasik" aracı düşünürsek açıkça ortaya çıkar. Yapılarını ortaya çıkarmak için bunlara yeni bir bakış gerekiyor.

Meydan.

Şimdi bildiğimiz gibi, sıvılarda simetrik kaos ve yapısal türbülans arasında herhangi bir ilişki mümkündür, ancak elektronik devrelerde düzensiz salınımlar ile “elektronik türbülans” durumunda ne olduğunu bilmiyoruz. Aslında bu iki türbülans arasında bir bağlantı var: Matematiksel teknoloji burada bir kez daha ortaya çıkıyor. Kaos fikirleri olağanüstü hareketlidir.

uyarı sözü

Son olarak sizden bir ricada bulunayım. Kaotik dinamiklerin gelişiminin şu andaki aşamasında, sınırsız spekülasyonlara kapılmamak önemlidir. Konu heyecan verici, modaya uygun, birçok disiplini aşıyor ve çok hızlı gelişiyor. Bu gibi durumlarda, anlayışın yokluğunda her şey çok kolay görünüyor.

Tuzağı görmeyen insanlar tarafından ele alınırsa , iyi fikirler gözden düşebilir . Çoğu zaman bu, “bilime bağlı kalanlara” olur. Kaos uygulamak için bu işi bilen bir matematikçiye ihtiyacınız var. Bir süper bilgisayarla karşılaştırıldığında, bir matematikçi nispeten ucuz bir ekipmandır.

dünya para birimi dalgalanmaları veya Kentucky Derbisinin galibi tahmini gibi yarım yamalak fikirlerle her şeyi havaya uçurmak da çok kolay . Tabii ki, bu tür alanlarda beklentiler var ve özellikle insan doğasının bencil tarafına hitap ederken çok cesaret verici. Ancak, sonuçlar henüz tamamlanmış olmaktan uzaktır. Çok sık, dizginsiz spekülasyonlar, gerçekten yararlı kaos uygulamaları geliştirme olasılıklarına zarar verir. Gerçek tanımlamanın, görünüşte rastgele sistemlerde gizli kalıplar oluşturan deterministik kaosla ilgili olduğunu unutmayın. Teori , "kaotik" görünen her şeyin gizli bir açıklaması olduğunu ima etmez , yalnızca deterministik bir nedenin neden olduğu fenomenlerle ilgilidir. Matematik sihir değildir.

Bence temkinli iyimserlik en doğru yönelimdir. Bu nedenlerle, bu bölümü yazmaya başladığımda

Pirinç. 15.16. Birleştirilmiş elektrik jeneratörlerinde simetri ile geliştirilmiş çatallanma.

dikkatli laboratuvar araştırmaları tarafından sağlanan bu önemli matematiksel fikirleri vurgulamaya karar verdiniz. Örneğin Dow Jones gibi heyecan verici bir şey değil ama doğruyu söylediğimden emin olabilirim.

Emtia fiyatlarının, hisse senetlerinin, hisse senetlerinin ve küresel ekonominin diğer yönlerinin hareketleri , kaos uygulamaları üzerine gelecekteki çalışmalar için mükemmel bir alanı temsil etmektedir. Ayrıca başka birçok uygulama var: jeolojik kayıtlar, X- ışını yıldızlarının parlaklıklarındaki değişiklikler, yapıların depremlerin neden olduğu titreşimlere tepkisi, floresan lambaların titremesi... Piyasa analistleri zaten matematiksel yöntemler kullanıyor ve belki de kaos önerebilir . onlara bazı iyileştirmeler. Zaman serilerinden çekici rekonstrüksiyonu gibi kaos araştırmalarında kullanılan araçlar ve terminolojinin piyasa tahmini sorununa biraz ışık tutabileceğini düşünüyorum. Aslında, bu yöntemlerin olanaklarını keşfetmek için şu anda devam eden araştırma projeleri var ve bazı finansal verilerde yapıların bazı göstergelerini zaten buldular. Aynı şekilde, böyle bir yöntemin kesin sonuçlara varabilmesi için daha çok çalışma yapılması gerektiğine inanıyorum . Kaosu gerçek dünyaya uygulama olasılıklarını değerlendirirken yaratıcı olmalı , ancak gerçek başarısını değerlendirirken muhafazakar olmalıdır.

Her şeyi çözen büyük teorilere inanmıyorum. Fransız topolog René Thom'un yıllar önce söylediği gibi, "Her şeyi açıklayan hiçbir şeyi açıklamaz." Kaos bir araçtır, bütün bir alet cephaneliği değil. Yeni bir araç olarak en iyi nasıl kullanılacağını bulmak zaman alır. Ve bu anlamda, kaos bir istisna değildir: Hala onu nasıl kullanacağımızı öğreniyoruz. Bazı insanlar öğrenme sürecinde hata yapar: Kaosu uygulamaya yönelik her girişim mutlaka başarılı olmayacaktır. Ancak herhangi bir uygulama girişiminin kaderi bu, kaos "geldi" ve bizi terk etmeyecek. Kaosun geleceği umut verici görünüyor, ancak öngörülemez olduğu da açık.

Bu, tüm keşiflerin ortak bir şakasıdır: nereye gittiğinizi ancak oraya vardığınızda bileceksiniz.

İlahi ile zar oyunu

Şans, bir işaret vermek istemediğinde tanrının takma adıdır.

Anatole Fransa.

ALLAH ZAR OYNAYSA...

O KAZANIR

Daha fazla okuma

Tarafsız Yehova, Musa'nın talimatlarını almış, Taşa emanet

Doğru düşünce: Gerçekten ne söylemek istediğimi hep unuttum.

Christopher Morely.

Yıldızlarla işaretlenmiş başlıklar matematiksel olarak ileri düzeyde eserlerdir! Ne kadar çok yıldız, o kadar ciddi iş!

Genel işler

Lashay Seeik, Skaoz: Makipd a Hesh Zseyepse Delve Vork: Vikip§ Prezz, 1987) Bir çevirisi var: James Glake. Kaos. Yeni bir bilimin yaratılması. Petersburg: Amfora , 2001.

Pua Rgіgоgіpe, Prot Veipd io Vesotipd (Zap Ghapsizso: XV. N. Ggeeshap, 1980) Bir çevirisi var: Ilya Prigogine. Var olandan ortaya çıkana. Moskova: Nauka, 1985.

Ed Вегій, ]Ѵko doі Еіпзіеіп'з О$ісе? (Eeacling, Mazz.: Acison-Xvesiay, 1987)

Іan Zielvagі;, Tke Prowitz o/Maіketаііісs (Охіогі: Охіогі іnіѵеrziіu Prezs, 1987).

Bölüm 1-4: Tarih

ET Veii, Tke Veveiortepі o/ Maіketаііісz (Vesѵ Vork: МсСгаАV-Нііi, 1945)

ET Veii, Meno o/Maіketаііісz (2 cilt)

Carri V. Bouyer, A Hiziogoo o/ Maіketаііісz (Кесв Вогк, .k>1sh ХVііеy, 1968)

ZNPtap Vgake apd IE Vgaikip, Mescapisz ip Zikhieepik-Sepiigu IIaiu (Önemli: Univiѵerzіu ve Prezz, 1969)

ZNІІtap Vgake, 'CaCheo's Exegіtеnіz'deki Tke Hoie oі Mnzіs' , 3сіепіі^с Аteguican (Lipe 1975), s. 98-104.

V. b. Nigd apsi LL Kіrlіnѕ, Tke Ogіdіpz ve Cgoshіk o/ Rkuzіsаі Zsіepse (2 cilt.)

Moggіy Kііpe, Mаіketаііісаі Tkoidk / Modegp Tіtez'e Apsіеpі var (Oхоогсі: Охіогсі Ипіѵегзііу Prezz, 1972)

Moggiz Kiipe, VѴѴѴѴѴеіегп Сііге'de Maіketaііісz (HartonSzlvoogіІі: Рсппіп Вокз, 1972)

Tieosioge M. Rogier, Ziaiiiiziiisai Tkіpkіpd'den Tke Wise (Öncelikle: Prііѕіоn ipіѵеrzііu Prezz, 1986)

Іan Parsіѵаі, 'Chaos a sciepse Iog iiiie geai lvog_cG, Resh Zsіеpіііzі (21 Ekim 1989), s.42-7

8ieriiep M. 8і§1er, Tke Nisiogu o/ Zіаііізііісz (Сатгі<іге, Mazz.: Veikpar Prezz, 1986)

Hісііагсі 8. ХѴезіІаіІ, Ееѵех аі Кезі: a Віodgarku of Іzaas Yeshiop (Satіgісіgе: Сatbіzіsііu Prezz, 1980)

5-10. Bölümler: Matematik

**K,аіріі АЪгаІіат ансі Leggaki E. Magzdep, Meskapіsz'dan RoipAaiіopz

(Hea<іn§, Mazz.; Befatip/Sptmіn^s, 1978)

Ваіріі АъгаІіат ансі Sygіzіorііеg В.

(4 ses.) (Zapia Spig: Aegiai Prezz, 1983.)

Latez R. Sgііsіyеісі, L. Boupe Eagmer, Jogman N. Raskarz, apsi Hojerі 8. Zalvi,

'Kaos', Zsiepiifis Ategisan (Ves. 1986), s.38-49

**Prestra§ СѵііаноѵіС, Scaoz'da Вpіѵеrzaіііu (Brіzіоі: Аsiat Hіlger, 1989)

*B, oregi b. Vehapeu, Vupatіsаі Zuzіetz'in bir Skаоіі's olan Vehapeu, (Mepio Parc: Vepiatіp-Sitіpіn §8, 1986)

• * Lot Spekpiieiter apsi RYIR Noitez, IVoplіpeag Ozsіііііаііоnz, Vupatісаі Zuzіetz ve Bifigsáііоnz o/ Veсіоr Віеіlz (Kılıç Vоrk: sprіnger, 1986)

• Nao Bi-ben, Skaoz, (Syngaroge: VorgiO Sciepiis, 1984)

Bou§1as Noiziasііeg, 'Meіata ^ісаі Tketaz: sіnge Aііgasіоrz', SciepіDs Amégican (Mov. 1981), s. 16-29

• E. Aiiiee Lusksop, Perspresiivies o/ Ropipeag Vupatiss 1

• *Kobezi 8. Makao apsisi LatezV. Meizz, Natіііopіap Vupatiсаі Zuzіetz, (Brіzіоі, Asiat Hіlger, 1987)

Liiggen Moseg, " Iz ike 8o1ag 8uziet 8iaBye?'

• *Hein2 Ceorg§ 8ciusieg, Beiegmіnіnіzііc Scaoz: an іnіgo(ісііоn ("VѴеіпІііеіт: Ріііуіпізіііс" , 1984)

8 gün\ѵагі, tamam! Saiazigorka! (Pariz: Veiinn, 1982) [Fransızca ama Amerikan çevirisi var.]

Rusça çevirisi var: Ian Stuart. Felaketin gizemi. M.: Mir, 1989.

Іap Zіelvagѣ, 'Tie Iаѣige оі ZіаЫШу', Zresiaіаііopz in сіепсе ve

Teskpoiodu, ses.10 (1988), s.310-24

Іan Bieuvag, 'Porgaіії oi skaoz', Desh Zsіеnіzі (4 Kasım 1989), s. 42-7

• LMT Tkotrzop apd NV 8іе\vagі, Dopііpeag Vupatiss apd Skаoz, (Ieuu

Vork: Lobn \Viltey, 1986)

Ваѵід ТгіНоп, ' Kaos , Repsіiit'ten kurtarılır', LU'? 37-40 _

Eganso vivii, 'An ekhregitenі \vi1b taіletetaІісz', Аеу Сіепііізі (28 Ekim 1989), s. 46-9

Bölüm 11-15: Uygulamalar

• *İTİBAREN. IVV Loser (Edz.), C. Looss ve VV Loser (Edz.), Chopiniag Vupatiss ve Tigris Ense (Bondon: Pitman, 1983)

Michaei V. Begry, 'C)uanshp Pwusicz op ile Edge oi Chaos', Aery Sciepidiosis (Jov. 19, 1987), s. 44-47

IB Ersein, K, Kisip, R. We Kerreg ve M. Orban, 'Oscillialling

Cetica I Neasiops', ZsiepiDs Ategisan (Mag. 1983), s. 96-108

• Lepz Eedeg, Pragiaiz (Helve Wagk: Remitit Prezz, 1988)

Bir çevirisi var: Jane Feder. Fraktallar. M.: Mir, 1989.

• DV. СііНіпгэг ve C. Ваngeltaug (edz.), Tke Rkusіsz o/ Zіgisіige

Horntaiop, (Berlin: 8pringeger, 1987)

• *Aryn V. Hoiden (şarkı), Schaos (Mapseslier: Mapsles Invisible Press, 1986)

• 8. A. Levip (şarkı), Zidiez ip Maіketаісаі Віоіоdu (2 vоіdоv.) (“VvasypDop, VS: MaіеtaііісаІ Azzosіаііop оі Аtegiса, 1978)

Vepoіѣ MapdeІЪgoІ, Tke Rgasiai Seoteigu o / Chaiige (8ap Propsizso: AV. N. Ggeetap, 1982)

Bir çevirisi var: Benoit Mandelbrot. Doğanın fraktal geometrisi.

M.: 1997.

Kojere Mau, 'Te caoiic ruiubtz oi IIIe', Aege Schiepiusi (18 Jojetjere 1989), s. 37-41

That Miiiiip, 'Tigliiiepіtes Іog Yaііdz', Yeіi Zsіііzі (11 Moѵetzher 1989), s. 52 - 5

Carri Miggau, 'Zoiag zuziet zІaye mi?' Yesh Zsiepіzі (25 Kasım 1989), s. 60

-dört

Tit Paiter, 'A lѵеаіег еуе op iprgеdісѣаbіІііѣu', Аеу > Сіепііізі (11 Jovieter 1989), s. 56-9

Hein2-Oio Reitingen ve Pejer N. Bischier, Tye Veaiu o/Pragiaiz (Jelve Vork: Springeger, 1986)

Trieosiog Scillwink, Sepziiiive Cigaos (Nelve Vork: Schoskeen Books, 1976)

81eplen sco11, 'Ciosks anci ciiaos und cietizigu', Neue Schienzius (2 Vesmer 1989), s. 53-9

Jan 81eѵvar6, Chez Parciais (Pariz: Veniip. 1982) [Fransızca, ancak bir Amerikan çevirisi var.]

Çeviri sırasında eklenen literatür

Wigner Yu. Doğa bilimlerinde matematiğin anlaşılmaz etkinliği

ukah (Wigner Yu. Simetri üzerine etütler. M.: Mir, 1971. S. 182-198.)

Akhromeeva TS, Kurdyumov SP, Malinetsky GG, Samarsky AA Durağan olmayan yapılar ve difüzyon kaosu. Moskova: Nauka, 1992.

Klimontoviç Yu. P. Türbülanslı hareket ve kaosun yapısı. Moskova: Nauka, 1990.

Poston T., Stuart I. Felaket teorisi ve uygulamaları. M.: Mir, 1980.

Samarsky AA, Galaktionov VA, Kurdyumov SP, Mikhailov AP Modları

yarı doğrusal parabolik denklemler için problemlerde ağırlaştırma ile. Moskova: Nauka, 1987.

Samarsky AA, Mikhailov AP Matematik modelleme. Moskova: Nauka, 1997.

Cam L., Makim. Saatlerden kaosa. Hayatın ritimleri. M.: Mir, 1991.

Kapitsa SP, Kurdyumov SP, Malinetsky GG Synergetics ve gelecek tahminleri . Moskova: Nauka, 1997.

Sinerjide yeni. Denge dışı yapılar dünyasının gizemleri. M.: Nauka, 1996. (Sibernetik Dizisi: Sınırsız Olasılıklar ve Olası Sınırlamalar )

Malinetsky GG Kaos. yapılar. Hesaplamalı deney. Doğrusal olmayan dinamiklere giriş. Moskova: Nauka, 1997. (Sibernetik Dizisi: Sınırsız Olasılıklar ve Olası Sınırlamalar)

Benzer Yazılar