Matematik Dünyası....Dördüncü boyut
 |    |
Yazan: Raul Ibanez
Dördüncü boyut
Dünyamız başka bir evrenin gölgesi mi?
Moskova - 2014
Matematik Dünyası: 40 cilt halinde. T.6: Raul Ibanez. Dördüncü boyut. Dünyamız başka bir evrenin gölgesi mi? / Per. İngilizceden. — E.: De Agostini, 2014. — 160 s.
Nadiren, matematiksel teoriler yüksek bilimsel alanlardan kitle kültürü düzeyine iner. Bununla birlikte, 19. ve 20. yüzyılların başında, insanlar bizim üç boyutlu gerçekliğimizin ötesinde başka boyutların olasılığı karşısında büyülendiler. Evreni tanımlamak için dördüncü boyutu kullanan bilim adamları sayesinde bu fikir, kitlelerin hayal gücünü ele geçirdi. Filozoflar, ilahiyatçılar, mistikler, yazarlar ve sanatçılar dünyamızın çok boyutluluğu sorunuyla ilgilendiler. Ayrıca matematikçilerin araştırmalarını analiz etmeye ve diğer boyutların varlığının ne kadar gerçek olduğu hakkında spekülasyon yapmaya çalışacağız.
İçindekiler
Önsöz 7
Bölüm 1 Düz Ülke: Dördüncü Boyutun Romanı 9
Yazar: Edwin Abbott Abbott 10
Kitabın Amacı 12
Birinci Bölüm: Düz Ülke Dünyası 13
İkinci Bölüm: Diğer Dünyalar 17
"Düz Ülke" bağlamı 21
Düz dünyalar hakkında diğer fikirler 23
Bölüm 2. Boyut nedir? 25
serbestlik dereceleri 26
koordinatlar 28
Daha yüksek boyutlu alanların varlığı 32
Fiziksel ve matematiksel uzaylar 34
Çok boyutlu uzayların kullanımı nedir? 35
Mesaj Şifreleme 37
Arama motoru Goog1e 38
Bölüm 3. XIX yüzyılın geometrisinde devrim 41
Öklidyen olmayan geometriler 41
Çok boyutlu geometrinin doğuşu 46
İç ve dış geometriler 49
Riemann'ın katkısı 51
Bilimsel lobilerden kafelere 54
Bölüm
Muhteşem manzara 65
yüzyılın soygunu
Simetri: Aynanın İçinden Alice 68
Charles Hinton ve Dördüncü Boyut Felsefesi 71
Bölüm
Dördüncü Boyuttan Spiritizm ve Hayaletler 75
Teoloji ve dördüncü boyut 82
Tasavvuf, Teozofi ve Astral Evren 85
Bölüm 6. Edebiyatta Dördüncü Boyut 87
Altın Çağ 87
görelilik kuramının keşfinden sonra 97
Borges ve Dördüncü Boyut 100
bilim kurgu 102
Bölüm 7 Dördüncü Boyutu Görselleştirme 103
Hiperküp ve hiperküre 104
Ortografik izdüşümler
Merkezi projeksiyon 117
Hiperküp bölümleri 120
Hiperküp Açılımı 125
Uzay-zaman sürekliliği 129
Bölüm 8. 20. Yüzyıl Sanatında Dördüncü Boyut 133
Perspektif Yöntemiyle Kübizm ve Kırılma 134
Marcel Duchamp 143
20. yüzyıl sanatında çeşitli hareketlerde dördüncü boyut 148
fütürizm 149
Süprematizm 151
sürrealizm 152
Amerika Birleşik Devletleri Sanatında Dördüncü Boyut 154
son söz 155
Referanslar 156
dizin 157
Güçlü ve pozitif bir kadın olan anneme adanmıştır.
Ayrıca karım Anya’ya ve çocuklarım Aitor ve Vanessa'ya.
Önsöz
Nadiren, matematiksel teoriler yüksek bilimsel alanlardan kitle kültürü düzeyine iner. Bu olursa, o zaman sadece ayrı veya yüzeysel moda trendleri olarak. Ancak 19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında, insanlar bizim üç boyutlu gerçekliğimizin dışında başka boyutlu uzayların olasılığı karşısında büyülendiler.
Normal şartlar altında, Öklidyen olmayan geometrinin keşfi ve çok boyutlu diferansiyel geometrinin doğuşunun neden olduğu bu çifte devrim, kamuoyu tarafından fark edilmeyecek ve yalnızca onun geleceği için önemini anlayan bilim adamlarının dikkatini çekecekti. matematik, bilim ve teknoloji. Ancak dördüncü boyut, kitlelerin hayal gücünü ele geçirdi ve bir dizi popüler yayında sıkça tartışıldı.
Bu çılgınlığa matematikçilerin kendileri neden oldu, konferanslarda, makalelerde ve kitaplarda yeni fikirler yaydılar, önce bilim camiasına, sonra da genel halka yönelikti. Bu fikirler, bu kitap boyunca göreceğimiz gibi, kısa sürede tutundu.
Bilim adamları evreni tanımlamak için dördüncü boyutu kullandılar. Yüksek boyutlu uzayların çok kullanışlı bir araç olduğu kanıtlanmıştır. Filozoflar uzay kavramı, evrenin biçimi ve yapısı, insanlığın varlığı üzerinde kafa yormuşlardır. Daha genel olarak, ilahiyatçılar ve dini liderler dördüncü boyutu Tanrı, cennet ve cehennem, ruh, maneviyat ve daha yüksek bir gerçekliğin varlığı hakkında teoriler yaratmanın bir yolu olarak gördüler. Mistikler, spiritüalistler, teosofistler ve birçok hayali peygamber de evrenin kendilerine dördüncü boyut aracılığıyla vahyedilen resmini tasvir etmişlerdir.
Kitaplarında yazarlar, dört boyutlu varlıkların nasıl görünebileceği, doğaüstü yetenekleri, zaman yolculuğu, diğer boyutlara ve paralel dünyalar gibi dördüncü boyutun ilginç yönlerine değindiler. Sanat dünyasında bu, Rönesans perspektif yönteminden kopmak anlamına geliyordu.
ÖNSÖZ
yeni bir dilin ortaya çıkışı ve şimdiye kadar görülmemiş bir gerçekliğe giden yol. Bu nedenle, ekstra boyut genel halk için birçok olasılık açtı: birçok insan yeni fikirlere hayran kaldı ve şimdi bile bazı insanlar ruhlarımızın dört boyutlu bir uzayda yaşadığını düşünüyor.
Dördüncü boyut fikrinin yayılmasına en çok katkıda bulunan kitaplardan biri, bu matematiksel kavramla ilgilenenler için iyi bir başlangıç noktası olmaya devam eden Edwin Abbott'un Flatland adlı kitabıydı. Ve kitabımıza bu romanda sunulan fikirlerle başlayacağız.
Bölüm 1
Düz arazi: dördüncü boyut hakkında roman
Ben [Kare]'yim. Ama beni Üç Boyut Ülkesine götürerek, Majesteleri bana İki Boyut Ülkesindeki hemşehrilerimin içini gösterdi. İtaatkar hizmetkarınızı ikinci bir yolculuğa, Üç Boyut Ülkesini bir anlığına görebildiğim Dördüncü Boyutun kutsanmış bölgesine götürmekten daha kolay ne olabilir...
Küre. Ama bu Dört Boyut Ülkesi nerede bulunuyor?
I. Bilmiyorum ama çok saygıdeğer hocam bunu bilmeli.
Edwin E. Abbott. düz arazi
Flatland: A Novel of the Fourth Dimension, kuşkusuz dördüncü boyut fikrinin
matematikçiler, bilim adamları ve öğrenciler ile düşünürler, sanatçılar ve genel halk arasında yayılmasına ve yaygınlaştırılmasına en büyük katkıyı yapan kitaptır. 1884'te yayınlandı ve bugün hala popüler. Kitap samimi ilgi uyandırmaya devam ediyor, metnin internette ücretsiz olarak bulunmasına rağmen yeni baskıları basılmaya devam ediyor.
Bu, analojilerin yardımıyla okuyucuyu dördüncü ve diğer boyutların büyüleyici dünyasına tanıtan bir kurgu eseri kadar popüler bir bilim kitabı değildir. Yazar, bizi, daha büyük ve daha küçük boyutlu dünyalar olduğu fikrine götürmek için, iki boyutlu bir varlık biçiminde, bu tür varlıkların içinde yaşadığı düz dünyayı keşfetmeye davet ediyor - üç boyutlu ve bir -boyutlu. Bu, okuyucunun gerçekliği duyularımız tarafından algılananlardan daha fazla boyutla sunmanın karmaşıklığını deneyimlemesine olanak tanır. Aynı zamanda, bu tür algılanamaz boyutların var olabileceğini de kanıtlıyor. Yazar, üç boyutlu dünyamızın dışında var olan dördüncü bir boyutu hayal etmemize yardımcı olacak bir düşünce deneyi sunuyor.Kitabı okuyan bazı insanlar, bunun sadece matematiksel bir roman olduğu izlenimini bırakıyor. Ancak, Flatland bir şeydir
Flatland'in ilk baskısının kapağı.
Bu, Viktorya dönemi İngiltere'sinin sosyal bir hicividir - yazarın yaşadığı dönem, bu yüzden onu ilgilendiren teolojik sorunları tartışmak için metaforlar kullandı.
Matematiksel, sosyal ve teolojik birçok konuyu bir araya getiren kitabın ana fikri, okuyucular için sınırlı bir gerçeklik algısının zincirlerini kırmaya çalışmak ve zihinlerini yeni biçimlere, yeni fikirlere ve yeni bir dünyaya açmaya çalışmaktır. Olay örgüsü fikirlerinin basitliği ve kullanılan dil, bu kitabın geniş bir okuyucu kitlesi üzerinde güçlü bir etkisi olmasını sağladı. Kitabın yazarının bir Anglikan papazı olduğunu ve herkesin anlayabilmesi için vaazların basit olması gerektiğine inandığını belirtmek gerekir. Ayrıca okul müdürü olarak çalıştı ve bu nedenle her zaman öğretmenlik konularıyla ilgilendi. Ancak Flatland'in başarısı sadece kitabın kendi değerlerinin sonucu değil, aynı zamanda çok boyutlu bir evren olasılığına olan kamu ilgisinin bir sonucudur.Bu artan ilginin nedeni kuşkusuz Öklidyen olmayan geometrilerin gelişmesiydi.
Yazar: Edwin Abbott Abbott
Flatland'in kapağında gördüğümüz gibi, kitabın yazarı Kvadrat'tır (A Zdiage). Abbott bu takma adı belki bir kelime oyunu olarak kullandı.
Romanın Flatland'de yaşayan ana karakterine Kare denildiği için. Ayrıca yazarın soyadının (AbhoN AbhoN) tekrarından dolayı "Ab kareli" olarak adlandırılabilir.
Edwin Abbott Abbott 1838'de Londra'da doğdu. City of London School'da ve ardından klasik edebiyat, dilbilgisi ve teoloji eğitimi aldığı Cambridge Üniversitesi'ndeki St John's College'da eğitim gördü. 1862'de Abbott bir Anglikan rahibi olarak atandı ve bir yıl sonra evlendi. Henüz 26 yaşındayken City of London School'un müdürü oldu.
Bir eğitimci ve rahip olarak Abbott, sosyal sorumluluk sahibiydi ve aynı zamanda radikal görüşlere sahipti. Hem müdürlüğünü yaptığı okulda hem de İngiliz okullarının müdürlerinin konferanslarında yeni fikirler ortaya koymayı başardı. Abbott, eğitimin sosyal engelleri yıkmaya yardımcı olduğuna inanıyordu ve "Tüm Sosyal Gruplardan Gençlerin Hakları Hareketi"nin önde gelen bir üyesi olarak yoksul sınıfların hakları için savaştı.
Abbott hayatını dilbilgisi, edebiyat ve teoloji çalışmalarına adamıştır ve bu konularda 40'tan fazla kitap ve çok sayıda makale yazmıştır. Flatland, matematikle uğraşan tek eseridir. Abbott, özel bir matematik eğitimi olmadan nasıl oldu da dördüncü boyutla ilgilenmeye başladı ve bu fikirleri kamuoyuna taşıyan bir kitap yarattı?
Edwin Abbott, Flatland yayınlandığında 1884 te.
Abbott'un en iyi arkadaşı, onunla kapsamlı yazışmaları olan matematik öğretmeni Howard Candler, Uppingham Okulu'nda (Byppingham Okulu) öğretmenlik yaptı. Bu arada, dördüncü boyutun ana uzmanlarından biri olan İngiliz matematikçi Charles Hinton da bu okulda öğretmenlik yaptı. Abbott'un Hinton ile Uppingham'da tanışmış olması veya bu fikirleri arkadaşı Candler aracılığıyla öğrenmiş olması mümkündür. Her halükarda, dördüncü boyut kavramını, onu Viktorya dönemi İngiltere'sinin sınıflara bölünmüş toplumunun sosyal ve teolojik yapısı için bir metafor olarak kullanmak için yeterince açık bir şekilde anladı.
Kitabın Amacı
Gördüğümüz gibi Flatland sadece bir bilimkurgu romanı değil. Özünde, bu, zamanımızın acil problemlerini tanımlamak için geometrik şekiller ve boyutlar kullanan bir alegori. Boyutlarla ilgili matematiksel kavramların sunumuna ek olarak, kitapta iki satır daha açıkça izlenir: sosyal hiciv ve teolojik yansımalar.
Sosyal bir bakış açısından, Flatland, katı sınıf sistemi ve her türlü değişime karşı direnişiyle zamanın İngiliz toplumunun açık bir hicividir. Abbott, nüfusun en muhtaç kesimlerine, onları sosyal elitin ayrıcalıklı ayrıcalığı olan eğitim fırsatından mahrum bırakan zulmü anlatıyor. Ayrıca kadınların boyun eğdirilmesine ve yeni fikirlere muhalefete de karşı çıkıyor. Diğer saygın Abbott öncülleri, Gulliver'in Seyahatlerinde (1726) Jonathan Swift ve Alice Harikalar Diyarında (1865) ile Lewis Carroll gibi sosyal hiciv kullandılar.
Abbott, sosyal hicvin yanı sıra, diğer kitap ve makalelerinde daha açık bir şekilde değindiği, kendisini ilgilendiren teolojik konulara da değinir. Meydan kitabının kahramanının başka boyutlardaki ülkelere yolculuğu gibi bazı pasajlar, uhrevi gerçekliğin mistik deneyimi için bir metafor olarak yorumlanabilir. Ayrıca yazar, mucize inancını dini inançların temeli olarak eleştirir ve bilimin, Evren hakkındaki bilgileri geliştirerek insan ırkının ilerlemesini sağlayabildiğini, ancak bizi asla Tanrı'ya yaklaştıramayacağını göstermeye çalışır. Son olarak, Meydan'ın üçüncü boyutun ayinlerini açıklama girişimleri ile havarilerin müjdeleme faaliyetleri arasında belirli bir paralellik gözlemlenebilir.
Ancak Flatland'i zamanın diğer kitaplarından ayıran matematiksel içeriktir. Abbott'un zamanında, dördüncü boyut hakkındaki tartışmalar doruk noktasındaydı. Bunun ne anlama geldiğini anlamak ve bir şekilde görselleştirmek için birçok girişimde bulunuldu. 1952'de filozof ve teolog Karl Heim, dördüncü boyutu kavramada ciddi insan sezgisi sorununu şu şekilde tanımladı: “Matematik ve fiziğin ilerlemesi, bize Öklid dünyasının sınırlarının ötesine geçen şiirsel bir hayal gücünün kanatlarını verir. Birbirine dik üçten fazla koordinat ekseninin olduğu bir uzay hayal etme girişimi. Ancak dünyamızın ötesine geçme çabalarının tümü her zaman üç boyutlu bir Öklid uzayında son bulur.Dördüncü boyutu açmaya çalışırken, aşılmaz bir engelle karşı karşıyayız. Hiç şüphe yok ki daha yüksek boyutlu uzaylarda hesaplamalar yapmak mümkün ama biz bunları hayal edemiyoruz. Bir hapishanedeymişiz gibi, varoluşumuzun başlangıcında kendimizi içinde bulduğumuz boşlukta kilitliyiz. Benzer şekilde, iki boyutlu varlıklar üçüncü bir boyuta inanabilirler ama onu göremezler."
Dönemin temel araçlarından biri olan Abbott'un kullandığı çok boyutlu benzetmenin, bizi görünmezi "görme"ye yaklaştırdığı söylenebilir.
Birinci Bölüm: Düz Ülke Barışı
Flatland, yaşadığı garip bir macerayı anlatan kahramanın, matematikçi Square'in bakış açısından yazılmıştır. Sonuç olarak, evrenin yapısı hakkında çok şey öğrendi, ancak hikayesini yazdığı bir hapishane hücresinde sona erdi. Böylece kitabın ilk bölümü, onun dünyasının, iki boyutlu Flatland'in ve içinde yaşadığı toplumun bir tanımını verir. Sosyal hicivlerin çoğunu içeren kısım burasıdır.
Daha önce de söylediğimiz gibi, kahramanın dünyası düz, iki boyutludur. (“Büyük bir kağıt yaprağı hayal edin” diye yazıyor Abbott.) Düz çizgiler, kareler, beşgenler, altıgenler ve diğer çokgenler bu dünyada yaşıyor. Surlar, kışlalar ve idari binalar dışında, bu dünyanın sakinlerinin yaşadığı evler beşgen şeklindedir. Evlerin çatıları kuzeye yönlendirilir, çünkü yerçekimi güneye yönlendirilir, bu da yağmurun her zaman kuzeyden güneye "geldiği" anlamına gelir. Ayrıca evlerin biri erkekler, diğeri kadınlar için olmak üzere iki kapısı vardır.
Flatland'de tipik bir beşgen ev (Edwin Abbott tarafından gösterilmiştir).
Abbott, bu meraklı dünyanın sakinlerini anlatmaya devam ediyor. Kadınlar düz çizgi parçalarına benziyor; askerler ve nüfusun alt tabakalarının temsilcileri ikizkenar üçgen şeklini aldı. Orta sınıf eşkenar üçgenlerden oluşurken, beyler ve herhangi bir meslekten olanlar kareler ve beşgenlerdir.
Sonra asil sınıflar gelir. En alt seviyeleri altıgenler tarafından işgal edilir, ancak yukarı çıktıkça şeklin kenar sayısı artar. Son olarak, bir çokgenin kenar sayısı, şekil bir daireden ayırt edilemeyecek kadar büyük olduğunda, rahipler arasında sıralanır. Figürün iç açısı (bir ikizkenar üçgenin en küçüğü) açıkça kenar sayısıyla ilişkilidir ve şeklin sosyal konumunu ve eğitimini yansıtır. Buna ek olarak, tüccarlar arasında her zaman olmasa da, askerler ve işçi alt tabakalarında daha da nadir olmakla birlikte, erkek çocukların babalarından daha fazla bir tarafı vardır.Bir şekilde bir ikizkenar üçgenin oğlu eşkenar doğarsa, o zaman ebeveynlerinden alınır, ardından çocuksuz bir çift eşkenar üçgen tarafından evlat edinilir.
Kadınlar düz çizgilerin parçalarıdır - açılar yok, eğitim yok, sosyal haklar yok. Bu, Abbott tarafından kitabın pasajlarından birinde şöyle anlatılıyor: “Kadınlarımızın hobilerden yoksun olduğunu düşünmemeliyiz. Ama ne yazık ki tutku o anda zayıf cinsiyetten kişiye verilen şey her zaman makul değerlendirmelerden daha güçlü çıkıyor. Bunun nedeni elbette kadın bedeninin talihsiz konfigürasyonunda aranmalıdır. Kendi iç köşelerini elde etme ümidi olmayan kadınlar için (bu bakımdan ikizkenar üçgenlerin sonuncusundan bile daha aşağıdırlar), muhakeme yeteneğinden tamamen yoksundurlar, ne düşünce açıklığı ne de muhakeme gücü vardır, ne de eylemlerini önceden düşünme yeteneği, hatta hafıza. Bu nedenle, öfke nöbetlerinde kadınlar sözlerini hatırlamazlar ve herhangi bir farklılık tanımazlar.
Kadın
profesyoneller
Beyler Soylular Rahipler
Flatland sakinlerinin çeşitli sosyal sınıflarını temsil eden grametrikformlar.
Bu toplumda erkekler, özellikle üst sınıflardan olanlar, böyle bir durumun toplumdan ayrımcılığın bir sonucu olmadığını, yalnızca kadınların doğasının bir sonucu olduğunu öne sürerek, kadınların sosyal dışlanmasını ve haklarından yoksun olmalarını haklı çıkarmaya çalışırlar. kadınlar, vücutlarının ve boyutlarının konfigürasyonu.
Flatland insanları birbirlerini çeşitli şekillerde tanırlar. Alt sınıflar ve kadınlar bunu hissederek yaparlar. Eşkenar üçgenler, kareler ve beşgenler, diğer sakinleri sesleriyle ayırt etmek için işitmeyi kullanır. Üst sınıflar, diğer figürleri görünümleriyle ayırt eder. Flatland'in herhangi bir sakini dışarıdan düz bir çizgi gibi görünür, ancak bu dünyada tutulan sürekli sis, derinliği ve dolayısıyla başka bir figürün açılarını belirlemenize izin verir. Sisin etkisi nedeniyle görüş mesafe ile azalır; bu nedenle, ikizkenar üçgenlerde olduğu gibi açı küçük olduğunda, kenarları neredeyse anında bulanıklaşmaya başlar ve daha büyük bir açı için bu daha yavaş olur.Dokunma tanıma, okullarda, esas olarak uygulamalı eğitim yoluyla öğretilir. Derslerde, açıları yarım dereceden on dereceye kadar olan ikizkenar üçgenler kullanılır. Bu figürler, top yemi olarak bile kullanılacak yeterli zekaya sahip değildir ve bu nedenle okul dekoru rolünü oynarlar. Görsel tanıma bilimi ve sanatı üniversitelerde seçkinlere öğretilir, ancak geometri çalışmasını gerektirir.
Flatland'de Görünüşle Tanıma Sanatı (Edwin Abbott tarafından gösterilmiştir).
Flatland'deki tüm rakamlar doğrudur. Şeklin düzensizliği, ahlaki bir kirliliğin ve suç işleme eğiliminin bir işaretidir. Kvadrat kitabının kahramanı bunu şöyle anlatıyor: “Doğuştan gelen düzensiz figürler ebeveynlerinden sevgi görmezler, erkek ve kız kardeşler tarafından alay edilirler, en yakın akrabaları tarafından ihmal edilirler, toplum onları hor görür ve davranır. şüpheyle, sorumlu ve güvenilir ofisleri işgal etmeleri ve tüm faydalı işleri yapmaları yasaktır. Yanlış figürün herhangi bir hareketi polis tarafından kıskançlıkla izlenir. Son olarak, yanlış rakam reşit olma yaşına ulaşır ve inceleme için komisyonun önüne çıkar. Sapmalar çok büyükse şekil bozulur,aksi takdirde, bir devlet dairesinde yedinci sınıf bir memur olarak kapatılır. Yanlış kişi evlenemez. Sıkıcı bir faaliyete mahkum, önemsiz bir maaş alıyor ve doğrudan ofiste yaşayıp yemek yemek zorunda. Tatillerini bile aralıksız gözetim altında geçiriyor.
Flatland'de Şovenizm
Flatland'i ilk kez okuyanlardan bazıları, yazarını şovenizmle suçlayarak kitaba karşı çıktı. Ancak bu hiç de doğru değil: Abboy, kadın haklarının aktif bir destekçisiydi ve kadınların eğitim hakkı Hareketi'nin liderlerinden biriydi. 1870'te Oxford ve Cambridge üniversiteleri, 1920'ye kadar uygun eğitimi alabilecek durumda olmasalar da, kadınları okumaya kabul etmeye başladı. Kadınlar üniversiteye kabul edildi ve erkeklerle aynı düzeyde eğitim almalarına izin verildi, ancak hazırlanmalarına yardımcı olacak çok az okul vardı. İngiliz Yönetim Kurulu ve Pedagoji Derneği aracılığıyla Ebbop, kızlar için eğitim fırsatları yaratılmasına yardımcı oldu.
Sosyal merdivenin diğer ucunda rahipler var. “Rahiplerimiz iş, sanat ve bilimin tüm dallarında lider konumdadır. Perakende ve toptan ticareti, orduyu, mimariyi, sanayiyi yönetiyorlar, en önemli devlet işlerine karar veriyorlar, yasama, ahlak ve teoloji konularında en ağır söze sahipler. Kendileri hiçbir şey yapmadan, başkaları tarafından yapılması gereken ve yapılmakta olan her şeyin motivasyonu, nedeni onlar. Amaçları, Flatlanders'ın konfigürasyonu hakkında endişelenmektir, çünkü bu, her birinin rolünü ve kaderini belirler.
Yeni fikirlere ve kurulu toplumsal düzenin bozulması anlamına gelebilecek her şeye muhalefet, özellikle Flatland'in siyah-beyaz dünyasına rengin girmesi ve ardından sonunda tarafından bastırılan renklerin isyanı durumunda belirgindi. kadınların yardımıyla rahipler.
İkinci Bölüm: Diğer Dünyalar
Kitabın "Öteki Dünyalar" başlıklı ikinci bölümü, kitap boyunca sosyal hiciv olmasına rağmen, çok boyutlu analojiler ve teolojik yönlere değiniyor. İlk olarak, garip bir rüyadaki Kare, dünyası sonsuz bir düz çizgi olan ve bu nedenle tek boyutlu olan Lineland'da kendini bulur. Çizgi segmentleri (erkekler) ve noktalar (kadınlar) tarafından iskan edilir. Kare, Lineland'in dışındayken, ilk başta kiminle veya neyle konuştuğunu anlayamayan bu dünyanın kralına hitap eder. Kare, krala kendisinin iki boyutlu bir dünyada yaşadığını ve her şeyi iki boyutlu olarak algıladığını açıklamaya çalışır, ancak kral onu anlamaz ve kare hepsini nasıl açıklayacağını bilemez.Tek boyutlu Lineland'da hareket eden bir noktanın bir segment oluşturduğu bir durumu tanımlamaya başlar - ki bu kral için açıktır - ancak segment "yukarı" hareket ederse, o zaman bir kare elde edersiniz. Ancak kral ne "yukarı" ifadesinin anlamını ne de "kare" kavramını anlayamaz. İki boyutlu matematikçi daha sonra krala iki boyutlu bir varlık olduğunu göstermek için Lineland'ı geçmeye karar verir. Ancak kral, gördüğü bölümlerin karenin farklı bölümleri olduğuna ve anlaşılmaz bir ortaya çıkma ve kaybolma yeteneğine sahip bir tür Linelander olmadığına inanmıyor.
Uyandıktan sonraki ertesi gün Square, Flatland'i içeren üç boyutlu bir dünya olan Spaceland'de yaşayan Sphere ile tanışır. King of Lineland'de olduğu gibi, Square de ilk başta sesin nereden geldiğini bulamıyor. Bu kez, Küre, bir Düzülkeli'ye üç boyutlu uzayın doğasını, "yukarı" yönde bir kare şekil büyürse, üç boyutlu bir küpün elde edileceği analojisini vererek açıklamaya çalışır. Öğrenci bu argümanları anlayamadığında, Küre, Daireler olan düz bölümlerinin görülebilmesi için Düz Diyarı geçmeye karar verir. Ancak Square, bunun sihirli bir şekilde ortaya çıkan, daha sonra zaman hızlanmış gibi hızla büyüyen ve sonra gizemli bir şekilde küçülen ve ortadan kaybolan bir rahip olduğunu düşünüyor.
Farklı boyutlar ve sosyal yapı ile ilgili bir dizi analoji ile devam eden üç boyutlu ziyaretçi, köşe (köşe) ve yüz sayılarına dayalı bir argüman sunar. Bir noktanın, bir doğru parçasının ve bir karenin köşelerinin sayısı, 1, 2, 4'lük bir geometrik ilerleme oluşturur ve bu, Küre'nin Kareye açıkladığı gibi, bir küpün köşelerinin sayısı olan 8 sayısı ile devam eder. . Ayrıca noktaların yüzleri yoktur, bir doğru parçasının iki (iki ucu) ve bir karenin dört yüzü (dört kenarı) vardır. Küpün yüzlerinin sayısına eşit olan 6 sayısıyla devam eden 0, 2, 4 aritmetik bir ilerleme ortaya çıkıyor.
Küre'nin Düz Diyardan nasıl geçtiğini gösteren bir çizim.
Açıklamalarının boşuna olduğuna ikna olan küre, sert önlemler alır ve kahramanımızı Flatland'den çıkarır; bu, Flatland'in ve tüm sakinlerinin üç boyutlu uzayda sabit bir kalınlığa sahip olması nedeniyle mümkündür. Dünyasını dışarıdan gören Meydan, öğretmeninin bahsettiği uzayın üçüncü boyutunun anlamını anlıyor. Sunulan tüm argümanlar hemen netleşti, ancak hepsi bu kadar değil. İyi bir matematikçi olarak, bu argümanların daha ileri gitmesine izin verdiğini anlıyor. Bir süre düşündükten sonra Küre'ye şöyle açıklar:
Aynı benzetmeyi boyutlarla da kullanırsak, o zaman belki de Küre'nin dünyasını içeren dört boyutlu bir uzay vardır. Şimdi Küre'nin kendisi şaşkın, bu argümanı ve dört boyutlu uzayın varlığı gerçeğini kabul etmeyi reddediyor: “Böyle bir ülke yok. Var olduğu fikrinin kendisi herhangi bir anlamdan yoksundur.
Çizgi segmenti
Bir nokta (sıfır boyutunda) belirli bir yönde hareket ederse, o zaman bir parça (1 boyutunda) elde edilir. Segment dik bir yönde hareket ederse, bir kare (2. boyut) elde edilir. Bir kareyi dik yönde hareket ettirirken bir küp (üçüncü boyut) elde edilir. Hiperküp (dördüncü boyut) küpü hareket ettirerek elde edilir.
Meydan
Söylediğimiz gibi, Abbott mucizelere inanmadı ve Hıristiyanların inançlarını onlara dayandırmamaları gerektiğine inanıyordu. Bu fikir, iki boyutlu varlıklara bir mucize gibi görünen şeyin aslında üçüncü boyuta geçerken kolayca açıklandığı "Düz Ülke"ye de yansır. İşte Meydan ve Küre arasında biraz ironik bir diyalog:
“Yeryüzünün en derin sırlarının, değersiz gözüme ifşa ettiği manzara karşısında şoke oldum, arkadaşıma dedim ki:
"Bir tanrı gibi oldum. Çünkü Flatland'deki bilge adamlar, her şeyi görme veya dedikleri gibi, her şeyi görme yeteneğinin yalnızca Tanrı'ya ait olduğunu söylüyorlar.
Yanıt olarak, akıl hocam şunları söyledi:
- Gerçekten mi? Uzay Ülkesi'nde, bilge adamlarınızın tanrı sanacağı birçok yankesici ve katil var, çünkü her biri Düz Ülke'ye baktığında şimdi sizden daha azını göremez. İnanın bana, bilge adamlarınız derinden yanılıyorlar."
Roman, kahramanın üçüncü boyutun sırları üzerine bir inceleme yazmaya ve düz dünyasının sakinlerine üç boyutlu uzayın varlığını anlatmaya çalıştığı için hapse girmesiyle sona erer. Burada kutsal yazılar ve kutsal havarilerin maruz kaldığı zulüm ile bir benzetme görebiliriz. Abbott'un bu bölümdeki dili bile, örneğin Square'in sözlerini alıntıladığında, İncil konuşmasına benzer hale gelir: "Uzay Ülkesi doktrininin havarisini ölüm ya da hapis bekliyor." Sosyal hiciv, yeni fikirleri yaymaya çalışanları cezalandıran bir toplumu tasvir etmekle ilgilidir.
"Düz ülke" bağlamı
Çok boyutlu analojiler ve boyutları açısından farklı uzayların incelenmesi, Abbott tarafından önerilen "Flatland"m ana fikirleridir. Aslında, o zamanlar, düz varlıkların yaşadığı iki boyutlu bir uzaya benzetme de dahil olmak üzere, yüksek boyutlu uzayları anlamak için yaygın olarak kabul edilen bir yaklaşımdı.
Farklı uzayları çalışmanın önemine ve çok boyutlu analojiler fikrine yapılan ilk referanslardan biri Platon'un Devlet'inde (Kitap VII) bulunabilir. Bu kitapta Sokrates, ideal bir devletin muhafızlarının alması gereken eğitimi Glavkon ile tartışır. Glavkon, aritmetik ve bir dizi sayı çalışmasıyla başlamanız gerektiğini açıklıyor. Ardından, savaş için gerekli bilgileri içeren düz geometriye geçmek gerekir (“Tabii ki, geometrinin savaşla ilgili kısmıyla ilgileniyoruz”) ve ayrıca hükümetle ilgili diğer tüm faaliyetler için. Sokrates sırada ne olması gerektiğini sorduğunda, Glaucon astronomi önerir.Sokrates önemli bir adımı atladığını not eder: "İkinciden sonra üçüncü boyutu düşünmek daha doğru olur: Küplerin boyutu ve derinliği olan her şeyle ilgilidir."
Platon'un bir alegorisi olan ünlü mağara miti, Düz Ülke'de ele alınan meseleler için temel bir referanstır. Burada ayrıca çok boyutlu bir analoji, yaşadığımız dünyayı bilme sorunu ve bu bilgiye ulaşmanın bir yolu olarak eğitim buluyoruz. Platon, doğuştan karanlık bir yeraltı mağarasında yaşayan, yalnızca mağara duvarını görebilecek şekilde (vücut, bacaklar, kollar, boyun) birbirine bağlı bir insan ırkı hayal etmeyi önerir. Arkalarında ateşin yandığı alçak bir duvar var. Ateş ve duvar arasında küçük insan, hayvan ve alet figürleri hareket eder ve ateş gölgelerini mağara duvarına yansıtır. Mahkumlar konuştuğunda sesleri duvarlardan sekiyor ve gölgeler konuştuklarını sanıyorlar.Üstelik kendilerini gölge sanıyorlar. Mağara sakinleri bu gölgeleri tek gerçeklik olarak kabul ederler ve kendilerinin ve bu figürlerin üç boyutlu uzayda yer aldığını anlamazlar. Bu hikayenin sonundan bahsetmek ilginçtir, çünkü bir yabancı onlara dünyanın gerçek resmini açıklamaya çalışır ama onlar onu deli olarak görürler.
Platonik mağara mitinin şematik temsili.
Mağara efsanesi ile dördüncü boyut arasındaki bir diğer bağlantı ise, tutsakların kendilerini iki boyutlu varlıklar sanmasıdır. Onların aslında üç boyutlu varlıklar olmaları, bizim dört boyutlu varlıkların üç boyutlu yansımaları olduğumuzu düşünmemiz kadar onlara da tuhaf geliyor.
XIX yüzyılın ortalarında. Mağara efsanesine benzer bir fikir, Alman psikolog ve fizikçi Gustav Fechner'in (1801-1887) "Uzayın dört boyutu vardır" adlı kısa öyküsünde ortaya çıktı, burada bir gölge adam bir projektör kullanılarak bir ekrana yansıtıldı.
Düz dünyalar hakkında diğer fikirler
Zaten 1880'lerin başında olan matematikçi Charles Hinton. 2B dünya ve içinde yaşayan yaratıklar hakkında bir dizi makale yazmıştır (4. Bölümde daha ayrıntılı olarak ele alacağız) ve The Flatland Incident veya How 2D People Discovered the Third Dimension adlı bir romanın yazarıdır. . Hinton ve Abbott'un kitaplarının aynı zamanlarda yazılmış olması sadece bir tesadüf değil.
BİR İLHAM KAYNAĞI OLARAK FLATLAND
"Flatland", birçok yazara benzer eserler yaratma konusunda ilham veren popüler bir klasik statüsünü kazandı. Dionysus Burger (1892-1987), "Flatlandia"nın devamı olarak "Sferlandia veya A Novel of Curved Space ve A Novel of Curved Space and an Expanding Universe Illustrated by the Author, Hexagon"u aynı nispeten basit olay örgüsüyle yazdı. Romanın kahramanı, Square'in torunu Hexagon, daha eşit bir toplumda yaşıyor. Çok büyük iki boyutlu bir üçgeni ölçerken, açılarının toplamının 180°'den büyük olduğu ortaya çıktı. Bu, aslında iki boyutlu dünyanın bir düzlem değil, bir kürenin yüzeyi olduğunu gösterdi.Matematiğin en ünlü çağdaş popülerleştiricilerinden biri olan Ian Stewart (d. 1945) bile Flatland'i ziyaret etme cazibesine karşı koyamadı, bunun açıklamalı bir versiyonunu ve hatta Flatland'in bir devamını, yani Flatland'i sadece daha büyük bir kapsam. Abbott'un klasik Square'inin soyundan gelen kitabın kahramanı Victoria Lane, fraktal boyut, gizli uzaysal boyutlar, hiperbolik geometri, kuantum mekaniği, görelilik, uzay-zaman tekillikleri ve zaman yolculuğu gibi daha modern kavramları araştırıyor.
Hinton'un düz evreninde, gezegen-daireleri, çember-güneşin etrafında döner. Bu gezegenlerden biri olan Astria'da iki üçgen ırk yaşıyor: medeni birleşikler bilim ve teknolojiyi yarattı ve barbar İskitler savaşçılar. Bu kitapta Hinton, Abbott in Flatland'den daha fazla bilim ve teknolojiyle ilgileniyor. Özellikle iki boyutlu dünyanın fiziğini ve bazı mekanik aygıtları anlatır. Ve elbette romanda toplumsal konulara da değiniliyor: Yazar genç bir hanımla basit bir proleter arasındaki ilişkiyi anlatıyor. Kızın amcası, Astria'da üç boyutlu uzayın varlığına inanan tek kişidir.
Charles Hinton'ın An Incident in Flatland adlı kitabından bir çizim.
Eylem, düz bir daire olan ve üçgenlerin yaşadığı Astria gezegeninde gerçekleşir. İskitler batıda,, Unifler doğuda yaşıyor.
"FLATLAND"DAN "PLAN VE BERSUMU"YA
"Flatland" simülasyonu için bilgisayarların kullanılması, 1984 yılında "Planiversum. İki boyutlu dünyayla sanal temas" kitabının yayınlanmasına yol açtı. Yazarı, matematikçi Alexander Dewdney, 1941'de Kanada'da doğdu. Hinton'un tanımladığına benzer iki boyutlu bir dünyanın yönleri.Bunlar arasında siyaset, coğrafya, mimari, fizik, kimya, biyoloji, kültür, oyunlar ve hatta bu dünyanın sakinlerinin ne ve nasıl yediği yer alır.
Bölüm 2
boyut nedir?
biliyorum ki pek çoğu ... genelleştirilmiş [dört boyutlu] uzay kavramının bir cebirsel soyutlama biçiminden başka bir şey olmadığına inanıyor, ancak aynı şey cebirdeki sonsuzluk fikrimiz veya cebirdeki imkansız çizgiler hakkında da söylenebilir. geometri veya 0 derecelik bir açı oluşturan çizgiler, ancak hiç kimse bu kavramların kullanışlılığına itiraz etmeyecektir.
James Joseph Sylvester. Matematikçilere Çağrı (1869)
Bu bölümde boyut ve çok boyutlu uzay kavramları ele alınmaktadır. "Boyut" terimi sadece bilim ve teknolojide değil, aynı zamanda günlük yaşamda da yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu kelime çeşitli anlamlarda genellikle gazetelerde ve internette bulunur. Örneğin, "3D SRH Navigasyon" ifadesi, CP8 cihazının bir nesnenin dünya üzerindeki konumunu belirlemek için ihtiyaç duyduğu üç boyut kavramını kullanır: enlem, boylam ve yükseklik. Bununla birlikte "kutu ölçüleri 30 cm (uzunluk) x 15 cm (genişlik) x 15 cm (yükseklik)" ifadesi ürünün ebadını ifade eder. Hatta metaforik olarak yorumlanabilecek "İnternetin kültürel boyutu" ifadesi gibi bir şey bulabiliriz,
Bugün gündelik hayatımızda kullanılan 'boyut' veya 'ölçüm' kelimesi, terimin anlamı orijinal matematiksel fikirler popüler hale geldikçe evrimleşmiş olsa da, 19. yüzyıla kadar bilimde olduğu gibi aynı anlama sahiptir. "Başka bir boyutta yaşamak" ya da "başka bir boyuta seyahat etmek" gibi ifadelerde bile kelimenin anlamı hala aynı temel fikirlere dayanmaktadır. Bilim ve teknolojide de bu terim, kullanıldığı alana bağlı olarak birkaç farklı anlam ve değişen derecelerde karmaşıklık kazanmıştır. Örneğin, vektör uzayı boyutu, topolojik boyut, fraktal boyutlar gibi kavramlar var... Ancak, bu kitabın amacı terimleri açıklamak değil, sadece sezgisel bir boyut kavramını tanıtmaktır.
Özgürlük derecesi
İlk olarak, "Boyut nedir?" Sorusunu ele alalım. Genel olarak, uzayın boyutu hakkında konuştuğumuzda, fizikçilerin ve mühendislerin serbestlik derecesi dediği şeyi kastediyoruz.
Tek boyutlu uzayda, yalnızca bir serbestlik derecesine sahibiz, yani yalnızca tek bir çizgi boyunca ileri ve geri hareket edebiliriz. Bir trende her zaman ya raylar üzerinde ileri ya da geri hareket ederiz: tren başka hareketler yapamaz. Trenin üzerinde hareket ettiği raylar oldukça keyfi bir eğri oluşturur, ancak bu eğri tek boyutlu bir uzaydır. Karıncaların tarladaki yörüngelerini incelediğimizde bu yörüngelerin de eğri çizgiler olduğunu göreceğiz. Böcekler, karınca yuvasına geri dönerek veya av aramaya devam ederek yanlarında hareket eder. Benzer bir hareket - ileri ve geri - kral ve Lineland'ın diğer sakinleri için mümkün olan tek şeydir.
Basitleştirilmiş bir biçimde, böcekler eğri çizgiler boyunca her iki yönde hareket ettiğinden, karıncaların hareket yörüngeleri tek boyutlu boşluklardır.
Karıncalar bu şekilde hareket ederler çünkü diğer karıncaların geride bıraktığı feromon kokularını takip ederler. Ancak ilk karınca (yolu döşeyen) her yöne hareket edebiliyordu. Bir karıncayı masanın yüzeyine bırakırsak, ileri ve geri, ayrıca sağa ve sola ve bu yönlere herhangi bir açıda süründüğünü göreceğiz. Masa yüzeyi iki boyutlu bir uzaydır, yani iki serbestlik derecesine sahiptir.
İki serbestlik derecesine sahip bir masanın yüzeyindeki bir karınca öncüsü sadece ileri ve geri değil, aynı zamanda diğer yönlerde de hareket edecektir.
Bu karınca, Flatland'de yaşayan Square ile aynı hareket özgürlüğüne sahiptir. Deniz yüzeyinde bir gemi ve bir dağın yamacında bir tırmanıcı da iki boyutlu uzayda hareket ediyor. Bir geminin veya tırmanıcının dünya yüzeyindeki konumu iki parametre kullanılarak belirlenebilir: enlem ve boylam. Benzer şekilde, bir karıncanın bir masanın yüzeyindeki konumu, masanın her iki yanından olan mesafeler kullanılarak ayarlanabilir.
Bir gemi yerine bir denizaltı düşünürsek, belirli bir derinliğe kadar yukarı ve aşağı hareket etme yeteneği ekleyeceğiz. Benzer şekilde, bir helikopter havada farklı yüksekliklere yükselebilir. Dolayısıyla hem helikopter hem de denizaltı üç serbestlik derecesine sahiptir. Bu bizim doğal üç boyutlu alanımız.
Örneğin, bir helikopter her gün belirli bir saatte uçarsa, başka bir özgürlük derecesi ekleyebiliriz - zaman, ancak bu boyutta yalnızca ileri gidebiliriz, en azından bu bizim zaman algımızdır. Böylece hayatımız dört boyutlu bir uzay-zamanda gerçekleşir ve bu nedenle dört koordinat kullanılarak belirtilebilir.
Herhangi bir geminin Dünyanın herhangi bir okyanusundaki tam konumu, enlem ve boylam olmak üzere iki sayı kullanılarak belirlenebilir.
Koordinatlar
Serbestlik derecesi kavramını formüle ederken, uzaydaki konumu belirlemek için sadece sayısal değerlere değil, aynı zamanda uzayın boyutlarının sayısına da ihtiyacımız olduğunu gördük. 3B helikopter örneğinde, CP8 konumunu üç sayı (enlem, boylam ve deniz seviyesine göre yükseklik) kullanarak belirler ve böylece bir dizi koordinat, başka bir deyişle bir sayı grubu olarak matematiksel boyut kavramını kullanır.
Bir tren örneğini ele alalım. İki şehri, tren trafiğini kontrol eden merkezi bir istasyonla birbirine bağlayan bir demiryolu hattı hayal edin. Her trenin konumu, istasyondan bir yönde veya diğerinde uzaklık olarak tanımlanabilir (yönleri ayırt etmek için birini artı işaretiyle, diğerini eksi işaretiyle göstereceğiz). Bu nedenle trenin konumunu belirlemek için bir koordinat (xD ) yeterli olacaktır. Trenin olası tüm konumlarının uzayı, x'in tüm olası değerleri tarafından verilen koordinatların tek boyutlu uzayı ile tanımlanabilir.
Benzer şekilde, bir sayı kullanarak her aile üyesinin boyunu ayarlayabilirsiniz. Bazı evlerde bu değerler kapı çerçevesinde görülebilmekte ve bu sayede olası yükseklik değerlerinin tek boyutlu bir uzayının grafiksel bir temsili haline gelmektedir.
İki sayı ile (x ] - boylam, x 2 - enlem) iki boyutlu bir uzay olan dünya yüzeyindeki herhangi bir yerin konumunu tanımlayabiliriz. İki boyutlu uzayın daha soyut bir örneği, uzunluk ve genişlik olmak üzere iki boyut verilen fotoğraf çerçevelerinin oluşturduğu "uzay" olabilir. Bu uzayda, koordinatlardaki (29, 35) nokta 29 cm uzunluğunda ve 35 cm genişliğinde bir çerçevedir.
Benzer şekilde, bir ailenin üyelerinin boy ve kilosunu ölçersek, bu ölçümler de bir çift ölçülen değer tarafından verilen iki boyutlu uzayda noktalar olacaktır. Ancak bu noktaları kapı kasasında tasvir etmek mümkün olmayacaktır, bunun için tüm duvara ihtiyacımız var. Bu nedenle hiçbir aile bu verileri bu şekilde işaretlemez! Duvar, koordinat düzleminin bir temsili olacaktır. Boyu dikey, ağırlığı yatay olarak işaretlerdik. Daha sonra, her aile üyesi için bir çift sayı, duvarda bir nokta ile temsil edilecektir.
Mutfak duvarı koordinat düzlemi, kapı çerçevesi yükseklik ekseni ve süpürgelik ağırlık eksenidir. Dört nokta, dört çift sayıya karşılık gelir - her aile üyesinin boyu ve ağırlığı.
DECARTES UÇUŞU
Fransız matematikçi Rene Descartes (1596-1650), Yöntem Üzerine Söylem'in bir eki olarak yayınlanan Geometri adlı eserinde analitik geometrinin yanı sıra koordinat düzlemi kavramını tanıttı. Bir efsaneye göre, yatak odası tavanı boyunca bir sineğin hareketini düşündüğünde aklına Kartezyen bir uçak fikri geldi. Descartes, bir sineğin konumunun iki duvar arasındaki mesafelerle verilebileceğini fark etti. Böylece Descartes, bazı geometrik uzayda olan Öklid düzlemine koordinatlar - cebirsel bir araç - ekledi. Koordinatlar zamanımızda basit bir kavram gibi görünse de, o zamanlar Descartes'ın eserlerini okumakta zorlanan Isaac Newton'u (1643-1727) bile kavramak çok zordu.
saat
B = (-5, 3)
A = (4, 2), B = (-5, 3), C = (-2, -4) ve B = (5, ~3) noktaları olan koordinat düzlemi.
Üç boyutlu koordinat uzayı, sayıların üçlüleri (x p x r x 3 ) ile verilir. Daha önce de belirtildiği gibi, helikopterin konumu üç sayı ile belirlenir - enlem, boylam ve yükseklik. Benzer şekilde, daha soyut bir örnek, uzunlukları, genişlikleri ve yükseklikleriyle tanımlanan karton kutuları içeren bir boşluk olabilir.
3B koordinat uzayında çizilmiş bir kutu.
(a, b, c) noktasının koordinatları, uzunluğu a, genişliği b ve yüksekliği c olan kutunun boyutlarını belirler.
Genel durumda, n boyutlu uzaydaki bir noktanın koordinatları, n sayıdan (x p ..., * p ) oluşan bir demet (küme) tarafından verilir; burada n, uzayın boyutudur. Böylece uzaydaki her nokta bir demettir (x p ..., x) ve u-boyutlu koordinat uzayı tüm olası demetlerden oluşur. Matematiksel sembollerde bu şu şekilde yazılır:
\ u003d {( x 1 "-' x ): x p -"
Bilim ve teknolojinin birçok dalında, çeşitli veriler sayısal değer kümeleridir, bu nedenle koordinat uzayı kavramını bu sayı demetlerine uygulayarak bilgileri organize etmek, yerelleştirmek ve işlemek için geometrik araçları kullanabiliriz. Bu şekilde faydalı sonuçlar çıkarabiliriz. Tıbbi kan testlerinin sonuçları (sodyum, potasyum, glikoz, kolesterol ve diğer bileşiklerin kan seviyeleri) gibi çeşitli örnekler verilebilir. Bu sonuçlar, n'nin gerçekleştirilen klinik denemelerin sayısı olduğu, n sayıdan oluşan bir demettir. Diğer örnekler, öğrenci gruplarının listeleri, spor müsabakalarının sonuçları vb.
NORMAL MESAFE
Koordinat uzayı kavramı, bu uzayda iki nokta arasında normal mesafe olarak adlandırılan sabit bir mesafenin varlığını ima eder. Örneğin, üç boyutlu koordinat alanında K 3 p \ u003d (x p x 2 , x 3 ) ve p \ u003d (y g y 2 , y 3 ) iki nokta için, normal mesafe ifadeyle verilir.
d( A ) = V(X'* *')'••• * (/>-*.)'
bu da dünyamızı üç boyutlu bir Öklid uzayı yapar. Bu, günlük hayatımızda kullandığımız mesafedir. Elbette, bu uzaklık kavramı kolaylıkla n-boyutlu bir koordinat uzayına genelleştirilebilir.
V
on
MESAFE (C) x , '
5| <*,.«■),''' :
y, -
- i | 1 | | | | | : | | | | U
Düzlemdeki iki nokta (x g y 1 ) ve (x 2 , y 2 ) arasındaki mesafe (C) , Pisagor teoremi ile belirlenir, çünkü C, A \ u003d y 2 -y kenarları olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. 1 ve B\u003d x 2 -x 1.
Daha yüksek boyutlu alanların varlığı
Bu fikirlerin görünürdeki basitliğine rağmen, onlara alışması ve uygulamaya başlaması uzun zaman aldı. Matematikçiler, diğer bilim adamları ve filozoflar, yüksek boyutlu uzayların anlamını ve gerçekliğini hararetli bir şekilde tartışıyorlar. Örneğin Öklid'in Elementleri'nde bir noktanın boyutu olmadığı, düz bir doğrunun bir boyutu (uzunluğu), bir düzlemin iki boyutu (uzunluk ve genişlik) ve uzaydaki bir cismin üç boyutu (uzunluk, genişlik ve genişlik) olduğu tanımlanır. yükseklik). Ancak Aristoteles “Gökyüzünde” adlı çalışmasında dört boyutlu uzayın var olmadığını savundu: “Bir boyutta bölünebilen bir nicelik bir çizgidir, ikide bir düzlemdir, üçte bir cisimdir ve bunların yanında başka bir miktar yok, çünkü üç boyutun tümü boyut ve bölünebilen bir miktardır.üç boyut tüm boyutlarda, bölünebilir.
Claudius Ptolemy (c. 100-170 MS) ilk kez On Distance adlı çalışmasında dördüncü boyutun olmadığını kanıtladı. Ne yazık ki bu kitap günümüze ulaşmamıştır, bunu Yunan matematikçi ve filozof Kilikyalı Simplicius (490-560) sayesinde biliyoruz. Aslında Ptolemy, üç dik çizgiyi düşünürsek, diğer üçüne dik dördüncü bir çizgi çizmenin imkansız olduğunu söyledi. Dolayısıyla dördüncü boyut mevcut değildir. Bununla birlikte, Ptolemy yalnızca, üç boyutlu uzayımızda dört boyutu yeniden oluşturmanın imkansız olduğunu kanıtlıyor.
Daha sonra, cebirsel denklemlerin geometrik bir yorumunu vermeye çalışırken, daha yüksek boyutlu uzayların var olabileceği fikri ortaya çıktı, ancak bazı matematikçiler bu olasılığı "doğal olmayan" olarak nitelendirdiler. İngiliz matematikçi John Wallis (1616-1703) "Cebir" adlı çalışmasında dördüncü boyutu "doğada bir kimera veya bir centaurdan daha fazla mümkün olmayan bir canavar" olarak adlandırdı. Uzunluk, genişlik ve kalınlık boşluğu tamamen doldurur. Fantezi bile tarif edemez bu üçünün yanında nasıl dördüncü bir boyut var olabilir?
Dördüncü boyutun varlığını manevi düzeyde kabul etmeye çalışanlar da vardı. Örneğin İngiliz filozof Henry More (1614-1687), ruhların dört boyutu olduğunu savundu. Bu fikir, Bölüm 5'te göreceğimiz gibi, çok popüler hale geldi. Bu bağlamda, Alman filozof Immanuel Kant (1724-1804) şöyle yazdı: “Bütün bu olası uzay türlerinin bilimi, kuşkusuz, sonlu zihnin inşa etmeye muktedir olduğu en yüksek geometriyi temsil edecektir... Başka boyutlara sahip uzantılar varsa, o zaman Tanrı'nın onları gerçekten bir yere yerleştirmiş olması kuvvetle muhtemeldir. Dolayısıyla bu tür mekanlar bizim dünyamıza ait olmayacak, özel dünyalar oluşturmaları gerekecekti.
Kant bir eserinde sol elin sağın aynadaki görüntüsü olduğunu ve eli yansımasıyla tam olarak eşleştiremeyeceğimizi savundu. Ancak, August Ferdinand Möbius (1790-1868) ilk olarak, sağ elin varsayımsal dört boyutlu bir uzayda döndüğünde, onun ayna görüntüsü olabileceğini fark etti - sol el, üç boyutlu uzaya geri döner.
Bilim adamları için daha yüksek boyutlu uzayları hayal etmek zor olsa bile, sıradan insanların bunu anlaması çok daha fazla zaman ve çaba gerektirdi ve bu genellikle sezgisel bir düzeyde gerçekleşti. Bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi, yüksek boyutlu uzayların salt genellemelerinin ötesine geçen on dokuzuncu yüzyıl geometrisindeki devrim, bilim ve toplum için önemli bir andı ve daha yüksek boyutlu uzaylar dünyasına girişi işaret etti.
Fiziksel ve matematiksel uzaylar
Önceki iki bölümde, fiziksel ve matematiksel uzay arasındaki fark konusuna zaten değindik, ancak ayrıntılara girmedik.
Fizikçiler ve diğer bilim adamları için uzay kavramı, gerçeklik kavramıyla yakından ilişkilidir, ancak matematikçiler için bu tamamen doğru değildir. "Dört boyutlu uzay var mı?" kimin koyduğuna bağlı olarak farklı bir anlamı vardır. Fizikçiler için bu soru şuna benziyor: "Gerçek bir dört boyutlu uzay var mı?" Gerçek uzay ile gözlemlenebilir fiziksel dünyayı kastediyorsak, cevap elbette olumsuzdur.
Bu nedenle, fizikçiler dördüncü boyuttan bahsederken dört boyutlu uzay-zamana atıfta bulunurlar. Ancak matematikçiler için bu soru şu anlama gelir: "Dört boyutlu uzay kavramı var mı?"
Nihayetinde, bu fark matematiğin özü ve yaklaşımıyla ilgilidir. Matematikçiler sadece bizi çevreleyen fiziksel dünyayı incelemekle kalmaz, aynı zamanda ondan soyutlayabilir ve kendilerini fiziksel dünyanın sadece küçük bir parçası olduğu veya tamamen olmadığı fikirler, kavramlar ve matematiksel yapılar dünyasına taşıyabilirler. Matematikçiler, soyut sonuçlar, genel kavramlar elde ederek, yeni formlar ve araçlar yaratarak bu fikirler dünyasında çalışırlar. Gerçeklik ve matematik arasındaki büyük mesafeye rağmen, bu bilim gerçek dünyada başarıyla uygulanmaktadır. Nobel Fizik Ödülü sahibi Macar matematikçi ve fizikçi Eugene Wigner (1902-1995), "doğa bilimlerinde uygulamalı matematiğin açıklanamaz etkinliğinden" söz etti. Matematikçiler Edward Kasner ve James Newman, ünlü Mathematics and the Imagination (1989) kitaplarında farklı bir metafor kullandılar: “Bir matematikçi, bilimlerin asaletinin terzisidir. Giymek isteyenler için her türlü kostümü yapıyor."
Bu anlamda, matematikçiler doğal olarak kendilerini fiziksel gerçeklikle sınırlamadan daha yüksek boyutlu uzaylarla çalışırlar. Onlar için, mantıksal olarak tutarsız olmadıkça matematiksel kavramlar vardır. Bu nedenle matematikçiler dört boyutlu uzaydan bahsettiklerinde, uzay-zaman veya dördüncü bir uzaysal boyut hakkında düşünmek zorunda değiller.
EVRENİN BOYUTU
Duyularımız bize üç boyutlu uzayda yaşadığımızı söyler ve zamanı eklersek evrenimizin dört boyutlu olduğunu varsayabiliriz. Fizikçiler şu anda, evrenimizin daha yüksek boyutlardaki bir uzayda var olabileceğini öne süren sicim teorisi üzerinde çalışıyorlar: 10 ve hatta 26. Ancak bu boyutlar atom altı ölçeklerde mevcuttur, dolayısıyla onları algılama yeteneğimizin ötesindedir. Birçoğumuz onları hayal bile edemiyoruz! İlginç bir şekilde, Charles Hinton zaten 19. yüzyılın sonunda. dördüncü boyut teorisini açıklayarak bu olasılıktan bahsetti.
Sicim teorisi, halihazırda derin bir bilimsel ve felsefi devrim yapmış olmasına rağmen, henüz deneysel olarak kanıtlanmamıştır. Muhalifleri, tam olarak test edilemeyeceğini ve bu nedenle gerçekten bilimsel bir teori olmadığını savunuyorlar. CERN'de inşa edilen Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'nın ışık tutabileceği sorulardan biri de bu.
Çok boyutlu uzayların kullanımı nedir?
Matematiksel fizik alanında, çok boyutlu uzaylarla çalışmanın önemi uzun zamandır aşikardır. Fransız matematikçi Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Analitik Mekanik adlı kitabında, mekaniği ayrı bir koordinat olarak zaman da dahil olmak üzere birçok koordinat (serbestlik derecesi) cinsinden ele aldı. Daha sonra, İrlandalı matematikçi ve astronom William Rowan Hamilton (1805-1865), daha yüksek boyutlu uzaylar için mekaniğin denklemlerini yeniden yazdı.
Aşağıdaki örneğe bakalım. Bir yüzeyde kaymadan ilerleyen bir tekerleğin konumunu tanımlamak için dört koordinata ihtiyacımız var: tekerleğin yüzeyle temas noktasını tanımlamak için iki koordinat, biri dönüş açısı için, diğeri dönüş açısı için uzunlamasına eksen etrafında. Bu, tekerlek konum alanını dört boyutlu hale getirir. Hareket eklersek, hız için dört koordinat daha girmemiz gerekecek. Böylece bir yüzey üzerinde hareket eden bir tekerleğin konum uzayı sekiz boyuta sahiptir.
Bu diyagram, düz bir yüzeyde kaymadan dönen bir tekerleğin konum uzayının dört boyutlu olduğunu göstermektedir. Noktaların koordinatları x, y, a, 9'dur . İlk ikisi, xi y, tekerleğin düzlemle temas noktasını tanımlar. A açısı, boyuna eksen etrafındaki dönme açısıdır ve 0, dönme açısıdır.
Bilimin çoğu alanı (fizik, astronomi, ekonomi, biyoloji, tıp, makine mühendisliği ve diğerleri) çok boyutlu uzayları kullanır. Bu yaklaşımın önemi, çalışma nesnesi hakkında yararlı bilgiler elde etmek veya ilginç uygulamalarını belirlemek için geometrik ve matematiksel araçlarla çalışmamıza izin vermesi gerçeğinde yatmaktadır. Bu yöntemlerin günlük hayatımızda ne kadar yararlı olduğunu gösteren iki çarpıcı örneğe bakalım.
Mesaj şifreleme
Cep telefonları, internet, dijital TV'ler, müzik CD'leri, OTO filmleri, dijital kimliğin tümü, verilerin şifrelenmesine ve ardından şifresinin çözülmesine bağlıdır. Bu süreçte hata tespiti ve düzeltilmesi önemli bir unsurdur.
Dijital çağımızda, bir resim, müzik veya metin olsun, mesajları şifrelemek, bilgilerin sıfır ve bir dizilerine çevrilmesini gerektirir. Buna ikili şifreleme denir (her 0 veya 1, bit olarak adlandırılır - İngilizce "ikili basamak" ifadesinin kısaltması). Bu tür diziler, k ile göstereceğimiz sabit uzunlukta "kelimelere" bölünür . 4 bitlik (4 basamak içeren) dizelere onaltılık basamaklar
denir. Toplamda böyle 2 4 = 16 rakam vardır ve 8 bitlik dizilere bayt denir (2 8 = 256 parça vardır). A8CII kodlaması, çeşitli karakterleri ifade etmek için 256 olası kod içerir, başka bir deyişle, bu kodlar kullanılarak 256 yazdırılabilir karakter kodlanabilir.Her "kelime"nin biti, yalnızca 0 ve 1 değerlerini almasına rağmen bir koordinat olarak düşünülebilir . kelimeler, boyutların sayısı kelimelerin uzunluğuna eşittir. Örneğin, onaltılık UN kelimesi, dört boyutlu koordinat uzayında bir nokta (0, 0, 1, 1) ile tanımlanır. Bu alanda, bu geometrik uzayın noktalarının (ikili "kelimeler") ne kadar uzakta olduğunu ölçmenin bir yolu olan mesafeyi tanımlayabilirsiniz. Örneğin, iki sözcük arasındaki sözde Hamming mesafesi, bu sözcüklerin farklılık gösterdiği basamak sayısıyla belirlenir (örneğin, UN ve 1011 sözcükleri 1 mesafede bulunur).Bu koordinat uzayında aritmetik, cebir, analiz ve geometrinin tüm matematiksel araçlarını kullanabiliriz.
Ancak, uydudan veya e-postadan veri aktarırken veya şifreli verileri okurken (örneğin, müzik CD'lerinde) hatalar meydana gelebileceği göz önüne alındığında, işler o kadar basit değildir. Bu durumda iki sorunumuz var: Belki alınan bilginin hatalı olduğunu bilmiyoruz ve hangi bitlerin yanlış olduğunu da bilmiyoruz. Bu nedenle, kelimelerin uzunluğunu ve dolayısıyla koordinat uzayının boyutunu artıran ek kontrol kodlarının kullanılması gerekir.
Hataları tespit etmeye yardımcı olan bir kod örneği, matematiksel bir formül kullanılarak oluşturulan ek bir harf içeren bir İspanyol vergi kimlik numarasıdır. Bu nedenle, sayının en az bir basamağı yanlışsa, harf istenenden farklı olacak ve bu da hatayı tanımlamaya yardımcı olacaktır.
Amerikalı mühendis Richard Wesley Hamming'in kendi kendini düzelten kodu şu şekilde düzenlenmiştir: matematiksel bir algoritma kullanılarak her onaltılık kelimeye üç bit daha eklenir (örneğin, BM kelimesi 0011101'e dönüşecektir). Ek olarak, bu kod, kelimenin bitlerinden birindeki bir hatayı düzeltebilir.
Hamming kodu çok basittir, ancak çok daha karmaşık başka hata algılama ve düzeltme kodları da vardır. Örneğin, CD'lerde ve sivil uydulardan telemetride kullanılan, sırasıyla 65 ve 265 bitlik kelimelerin kullanıldığı Reed-Solomon kodu, yani her kelime, 65 ve 265 boyutlu bir koordinat uzayında bir noktayı temsil eder. . Bu nedenle, koordinat uzayında matematiksel aparatların kullanılması, özellikle hata tespiti ve düzeltmesi için kodlar oluştururken çok faydalı olur.
Arama motoru Google
Şu anda, Google arama motoru İnternet'teki ana arama araçlarından biri haline geldi ve çok sayıda kullanıcısı var. Bu başarının nedenlerinden biri verimliliğidir, çünkü her arama sorgusu için sistem hızlı bir şekilde sıralı bir sonuç listesi döndürür ve bunlardan ilki kural olarak aradığımız şeyi içerir. Arama sonuçlarının sıralanma şekli, yani her sayfaya sayısal bir derecelendirme atanması, karmaşık matematik kullanır - doğrusal cebir, çizge teorisi ve olasılık teorisinin bir karışımı.
Goog1e sistemi gibi arama motorları geliştirirken, hem matematiksel hem de teknik problemlerin çözülmesi gerekir. Başka bir deyişle, asıl soru arama sonuçlarının nasıl sıralanacağıdır. Belirli bir web sayfasının sıralamasının, ona bağlanan diğer sayfaların sayısına bağlı olduğu varsayılabilir. Ancak, az sayıda bağlantı bulunan ancak bu arama için çok önemli olan sayfalar vardır. Bu nedenle, bu model kullanıcılar için dezavantajlıdır. Ayrıca, sıralamalarını yapay olarak artırmak için web siteleri tarafından kolayca kullanılabilir.
GOOGLE'ın yaratıcıları Sergey Brin ve Larry Page, bir sayfanın sıralamasını, bağlantı sayısına göre değil, belirli bir arama için bu sayfanın önemine göre belirlemek için bir algoritma geliştirdi. Bu algoritma, bir cebirsel denklem sisteminin çözülmesini gerektirir. Aslında problem lineer cebire, yani belirli bir matrisin özvektörlerinin ve özdeğerlerinin hesaplanmasına indirgenmiştir. İnternetteki web sayfalarının önemini bir dizi sayı ile belirtirsek (x 1 xD, burada n, İnternette bulunan sayfaların sayısıdır, x, belirli bir web sayfasının önemini gösteren bir sayıdır i, o zaman problem, elemanın n -boyutlu uzayında aramaya indirgenir (x g .... x ), belirli bir denklem sisteminin çözümüdür. 2006 yılında internette yaklaşık 600 milyar web sayfası olduğu tahmin ediliyordu. Bu sayı, söz konusu alanın boyutlarının sayısına karşılık gelir. Böyle bir uzay kesinlikle çok boyutludur!
İNTERNETİN DEĞİŞTİRDİĞİ ALGORİTMA
1998'de, California'daki Stanford Üniversitesi'nde iki genç bilgisayar bilimi öğrencisi olan Larry Page ve Sergey Brin, Büyük Ölçekli Köprü Metni İnternet Arama Sisteminin Anatomisi biraz gizemli başlıklı bir araştırma projesini bitiriyorlardı. Sayfaların bir listesini önemlerine göre sıralamak için kullanılan basit ve zarif bir algoritma olan PaAeAapk'ın ilk sürümünü içeriyordu. PaAePapk, birkaç yıl içinde Gaboo, AHash ve diğer birçok arama motorunu atlayan Coo&Ie arama motorunun temeli oldu. Google arama, İnternet aramasıyla bile eş anlamlı hale geldi ("google" kelimesi henüz sözlüklere girmedi, ancak konuşma dilinde aktif olarak kullanılıyor).
RabePack algoritması gerçekten zarif ve basittir ve şu şekilde yazılabilir:
* IV I / \u003d (1-d) + s / X
nerede IV - sayfa değerlendirmesi); - y sayfasına bir bağlantı içeren / sayfasının derecelendirmesi; sayı c/ - serinin yakınsaması için gerekli olan 0 ile 1 arasında bir değere sahip zayıflama katsayısı; n. - IV. sayfadaki diğer sayfalara verilen bağlantıların sayısı; - sayfaya bağlantı içeren toplam sayfa sayısı).
Herhangi bir sayfanın derecelendirmesi, her birinde toplam bağlantı sayısına bağlı bir ağırlık faktörü ile, ona bağlanan tüm sayfaların derecelendirmelerinin toplamıdır.
Bölüm 3
yüzyıl geometrisinde devrim
Geometrik aksiyomlar deneysel veriler değildir. Tüm olası olanlar arasından hipotez seçimini yalnızca fiziksel fenomenlerin gözlemi belirler. Bu veya bu seçim yalnızca diğer olası seçeneklerden daha uygun olabilir. Bu nedenle, hangi geometrinin doğru olduğu sorusu - Lobachevsky veya Öklid - mantıklı değil. Hangi koordinatların daha doğru olduğunu sormak gibi - Kartezyen veya kutupsal.
A. Poincare. Geometrinin Temel Hipotezleri Üzerine (1887)
Nadiren, matematiksel problemler genel ilgiyi çeker. Ancak, XIX yüzyılın iki geometrik devriminden sonra dördüncü boyutun soruları. toplumun derinliklerine nüfuz etmiştir. Bilim adamları ve filozoflar, ilahiyatçılar ve medyumlar, yazarlar ve sanatçılar, müzisyenler ve şairler - genel olarak halkla ilgilendiler.
Öklidyen olmayan geometriler
MÖ 300 civarında. e. İskenderiyeli Öklid, o dönemde bilinen tüm geometrik, aritmetik ve cebirsel bilgileri topladığı ana eseri The Elements'i yayınladı. Çalışmaları, temel kavramların sunumu ve mevcut bilgilerin düzenlenmesiyle başladı; Öklid daha sonra tümdengelim yöntemini ve diğer şeylerin yanı sıra sezgi, analoji ve simetri gibi daha resmi olmayan yaklaşımların önemli bir rol oynadığı bir ispat sistemini kullandı.
İncil ile birlikte, Başlangıçlar tüm zamanların en etkili kitaplarından biridir. Tekrar tekrar kopyalandılar, birçok dile çevrildiler ve matbaanın icadından sonra sürekli olarak yeniden basıldılar. İki bin yıldan fazla bir süredir bu eser bir ders kitabı olarak kullanılmış ve matematiksel düşüncenin standardı olmuştur.
Öklid'in en önemli başarılarından biri, tüm diğer teoremlerin aksiyomlar ve tümdengelim yöntemiyle çıkarılabileceği bir grup temel varsayımın seçilmesiydi. Böylece, düzlemdeki geometri için ilk önce bazı sezgisel tanımlar verildi: bir nokta, bir düz çizgi, bir açı, vb. Sonra aksiyomlar formüle edildi - kanıt gerektirmeyen açık gerçekler. Örneğin, “aynı olan birbirine eşittir” veya “bütün parçadan büyüktür”. Ve son olarak, Öklid'in geometrisinin temelini oluşturan, ancak bunları kanıtlamamasına rağmen, beş önermesi:
Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir çizgi çizilebilir.
Sınırlı bir çizgi, düz bir çizgide sürekli olarak uzatılabilir.
Bir daire herhangi bir merkezden herhangi bir çözümle tanımlanabilir.
Tüm dik açılar birbirine eşittir.
İki doğruyu kesen bir doğru, iki doğrudan daha az iç tek taraflı açılar oluşturuyorsa,
bu iki doğru, açıların ikiden küçük olduğu tarafta, sonsuza kadar uzayacaktır.
Modern terimlerle beşinci postüla şu şekilde formüle edilmiştir: “Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, sadece bir doğru çizilebilir,
İskenderiye Öklidleri
Principia'nın yazarının hayatı hakkında ne kadar az şey bildiğimiz şaşırtıcı. İskenderiye'deki müzeden sorumlu olduğu için İskenderiyeli Öklid olarak anılır. Bu kurum, muhteşem bir kütüphane ile birlikte, o zamanın tüm bilgilerinin deposuydu.
Öklid, genellikle alaycı olsa da, alçakgönüllü ve nazikti. Şehrin hükümdarı Ptolemaios'a, geometri öğrenmenin "Başlangıçlar"dan daha kısa bir yolu olup olmadığını sorduğunda, "Geometrinin asil bir yolu yoktur" diye yanıtladı. Ve bir öğrenci geometrinin faydasının ne olduğunu sorduğunda, Öklid ona "çalışmalarından yararlanmak istediği için" üç madeni para vermesini emretti. Tarihçiler, Öklid'in kendisine atfedilen tüm bu metinlerin aynı yazarı olup olmadığından emin olmasa da, Öklid'in optik, astronomi, geometri, müzik ve didaktik gibi çok çeşitli başka konularda da eserler yazdığına inanılmaktadır.
verilenle kesişmiyor. Açıkçası, bu aksiyom öncekilere bağlı değildir. Ayrıca formülasyonu daha uzundur ve kondisyon içerir. Birçok matematikçi, beşinci önermenin önceki aksiyomlardan çıkarılabileceğini düşündü ve kanıtlamaya çalıştı. Bazıları hayatlarının sonuna kadar bunu başardıklarından emindiler, bazıları ise bunun bir varsayım olarak kabul edilebileceğinden bile şüpheliydi. İki bin yıldan fazla bir süredir birçok ünlü matematikçi, paralel problem olarak da adlandırılan beşinci postüla problemiyle mücadele ediyor.
Bu sorunu çözmedeki kilit nokta, İtalyan matematikçi Girolamo Saccheri'nin (1667-1733) eseriydi. Beşinci önermeyi öncekilerden türetmek yerine, tam tersi yöntemi kullandı. Kanıt, iki dik açı L ve O ve eşit kenarlar AB ve CO olan bir dörtgene dayanıyordu . Diğer eşit B ve C açıları için üç olasılık var:
B \ u003d C \u003d 90 ° (dik açıların hipotezi veya Öklid hipotezi);
B \u003d C\ u003e 90 ° (geniş açıların hipotezi);
B = C < 90° (dar açı hipotezi).
İki dik açılı Saccheri dörtgeni.
Dar açıların hipotezi hakkında, geniş açılar hipotezi hızla bir kenara atılır Saccheri şunları söyledi: "Dar açılar hipotezi kesinlikle yanlıştır, çünkü düz bir çizginin doğasına aykırıdır." Hem Saccheri hem de Alman matematikçi Johann Heinrich Lambert (1728-1777), tam olarak dar açı hipotezinden kaynaklanan ilginç geometrik sonuçlar elde etti.
Sadece 19. yüzyılda Gauss, Lobachevsky ve Bolyai nihayet bu sorunu çözdü, ancak Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss keşiflerini o dönemin uzayın doğası hakkındaki felsefi doktrinleriyle çeliştiği için yayınlamadı.
Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobachevsky, Öklid'inkinden farklı olan yeni bir geometriyi ilk ilan eden kişi oldu. Lobachevsky buna "hayali geometri" adını verdi ve şimdi hiperbolik geometri olarak biliniyor. Verilene paralel sonsuz sayıda çizginin belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan geçtiği Saccheri dar açı hipotezine karşılık gelir. Lobachevsky, çalışmalarını 1826'da çalıştığı Kazan Üniversitesi'ndeki bir konferansta sundu ve ardından Kazan Vestnik dergisinde "Geometri İlkeleri Üzerine" başlıklı bir dizi makale yayınladı.En önemli eserlerinden üçü yeni geometrinin bir tanımını içerir: "Geometrinin İlkeleri Üzerine" (Rusça), "Paralel Çizgiler Teorisi Üzerine Geometrik Araştırma" (Almanca) ve son kitabı "Pangeometri" (Rusça). ve Fransız).
Amatör bir matematikçi ve Avusturya-Macaristan ordusunda subay olan Janos Bolyai (18021860), soruna biraz farklı bir bakış açısıyla yaklaştı. Yalnızca ilk dört postülayı kullanarak bir mutlak geometrik teori geliştirdi ve elde edilen geometrik sonuçların beşinci postülaya bağlı olup olmadığını araştırdı. Onun makalesi
IMMANUEL KANT VE ÖKLİD GEOMETRİ
Rönesans'tan sonra, Tanrı'nın imajı, genel olarak matematik ve bilim alanında önemini kaybetmeye başladı. Daha sonra, 18. yüzyılda, dünyanın mimarı olarak Tanrı'nın rolü daha da azaldı. Napolyon'un Fransız matematikçi Pierre Laplace'ı (1749-1827) ana eseri Gök Mekaniği'nde Yaratıcı'dan bahsetmediği için kınadığı söylenir.
Ama sonra filozoflar kendilerine şu soruyu sordular, doğanın matematiksel yasalarının kendisi doğru mu? İskoç filozof David Hume (1711-1776), dünya hakkındaki bilgimizin duyularımız yoluyla alındığından öznel olduğuna inanıyordu. Başka bir deyişle, hiç kimse nesnel bir fiziksel dünyanın varlığını garanti edemez ve bu nedenle bilimsel yasalarından bahsetmenin bir anlamı yoktur.
Kant, Saf Aklın Eleştirisi'nde (1781), uzay ve zamanın, zihnin gerçekliği dikkate aldığı temelde algı ve sezgi biçimleri olduğunu savundu. Mekân kavramı zihnimizde yer aldığından, doğuştan gelen zihinsel yetilerimizin bir parçası olan Kant'ın "a priori sentetik yargılar" olarak adlandırdığı belirli doğrular şeklini alır. Geometri basitçe onları takip eder. Öklid geometrisi ve üç boyutlu uzay bu gerçeklerin apriori bir parçasıdır. 1832'de, Gauss'un yakın arkadaşı, matematikçi Farkas Bolyai'nin (1775-1856) ve paralellikler sorunu üzerinde de çalışan babasının çalışmalarının bir eki olarak yayınlandı. Bunun hakkında oğluna şunları yazdı: “Tanrı aşkına, sana yalvarıyorum, bu konuyu bırak. Ondan şehvetli tutkulardan daha az korkma,
Öklid geometrisi Hiperbolik geometri Eliptik geometri L + B + C = 180°. A 4- B + C < 180 °. A +
B 4- C > 180 °.
Hem bir üçgenin açılarının toplamı hem de belirli bir doğruya paralel olan ve onun dışındaki bir noktadan geçen doğruların sayısı geometrinin türüne bağlıdır: Öklid, hiperbolik veya eliptik.
İlk başta, hiç kimse bu dahilerin çalışmalarıyla ilgilenmedi. Lobachevsky'nin yazıları çoğunlukla Rusça idi ve Bolyai makalesini ek olarak yayınladı. Matematik topluluğu bu konuya ancak Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın "Geometrinin altında yatan hipotezler üzerine" (1854) tarafından aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağımız bir dersten sonra ilgi gösterdi.
NIKOLAY IVANOVICH LOBACHEVSKY (1792-1856)
Lobachevsky portresi ile Sovyet damgası.
Öklid dışı geometrinin babası, hayatını Kazan Üniversitesi'nde çalışmaya adayan mütevazı, çok iyi yetiştirilmiş ve ciddi, yorulmak bilmeyen bir işçiydi. Kendi üniversitesinin Fizik ve Matematik Fakültesi'nden mezun olduktan sonra orada ders vermeye başladı ve kısa süre sonra fakülte dekanlığı görevini aldı ve ardından Kazan Üniversitesi'nin rektörü oldu. Bu görevi 19 yıl sürdürdü. Matematik alanındaki çalışmalarına paralel olarak bu pozisyonda olağanüstü sonuçlar elde etti. Üniversite binalarını iyileştirdi ve yenilerini inşa etti, kütüphaneyi düzenledi (bazen kitapları kişisel olarak sınıflandırdı), bir laboratuvar ve yeni bir klinik açtı ve en iyi öğretmenleri ve bilim adamlarını işe aldı. Lobachevsky, geometriye ek olarak şunlarla da ilgilenmektedir.
trigonometrik seriler, olasılık teorisi, mekanik ve integral hesabı gibi matematiğin diğer alanlarını inceledi. En önemli geometrik olmayan çalışması "Cebir veya Sonlu Hesaplama" idi.
bölümler. Riemann, belirli bir doğruya paralel ve onun dışında bir noktadan geçen doğruların bulunmadığı, eliptik geometri olarak adlandırılan geniş açı hipotezinden yola çıkan bir geometrinin varlığı olasılığına dikkat çeken ilk matematikçiydi. . Onun fikri, sonsuz uzay hipotezini sınırsız uzay hipotezi ile değiştirmekti. Örneğin, bir küre sonludur ancak sınırsızdır.
Çok boyutlu geometrinin doğuşu
1822'de Gauss'un Eğri Yüzeylere İlişkin Araştırmaları'nın yayınlanmasıyla birlikte, üç boyutlu Öklid uzayında eğrileri ve yüzeyleri incelemek için diferansiyel ve integral hesabı kullanan yeni bir geometri dalı ortaya çıktı. Newton ve Leibniz'in çalışmalarında bu hesabın keşfinden hemen sonra, matematikçiler bu güçlü aracı eğrilerin analizi için kullanmaya başladılar ve ardından Euler ve Monge bunu yüzeyler için de kullanmaya başladılar.
Bununla birlikte, Gauss'un çalışması bile, üç boyutlu uzayda yüzeylerin sistematik ve kapsamlı bir çalışmasını içermez. Gauss, henüz Hannover'de üçgenleme yöntemi üzerinde çalışırken ve ayrıca astronomik araştırmalarıyla jeodezi ve haritacılık problemleriyle uğraşırken yüzeylerle ilgilenmeye başladı. Eğri Yüzeyler Üzerine Genel Araştırmalar'da geometrik uzaylarda yüzeyleri inceleyerek yeni bir bilimsel yöntem keşfetti. Yüzeyleri yerel koordinatlar olarak adlandırılan x 1 ve * 2 koordinatlarıyla tanımlanabilen nesneler olarak düşünmeye başladı . Gauss'tan önce yüzeyler sadece katıların sınırları olarak düşünülürdü.Sıradan geometri, düzlemdeki ve uzaydaki nesneleri kendi bütünlüğü içinde incelerken, yeni diferansiyel geometri, eğrilerin ve yüzeylerin bireysel yerel özelliklerine odaklandı.
Uzaydaki yüzeyler, yerel koordinatlar olarak adlandırılan iki O ve V koordinatıyla yerel olarak tanımlanabilen geometrik nesnelerdir . Yerel bir harita (T), bir matematikçinin incelenen nesnenin belirli bir alanını gözlemlediği (iki boyutlu bir görüntü elde edildiği) bir teleskoptur.
uzay K3
(ÇÜ hakkında uçak
qi, Y)~(X(u, Y), Y(u, V))
Bahsedilen çalışmada Gauss, yüzey yönelimi kavramını ve yüzey eğriliğini ölçmek için ana araç haline gelen, her noktasında yüzeye dik vektörler içeren normal vektörlerin yönelimle ilgili alanını tanıttı. Bu araçlar, bugün Gauss eğriliği K ve ortalama eğrilik N olarak bilinen iki tür yüzey eğriliği belirlemeyi mümkün kıldı. Gauss, tanımın aksine, eğriliğin K'nin yalnızca yüzeyin iç geometrisine bağlı olduğunu gösterdi. Yüzeyler teorisinin temel teoremi, sözde Terometa EAinm. Ayrıca iç geometrinin diğer temel unsurlarını, özellikle jeodezikleri bir yüzeydeki iki nokta arasındaki en kısa mesafe olarak tanımladı.Ayrıca, açılar arasındaki ilişki gibi içsel geometriden ilginç sonuçlar elde etti.
Formül, 180° (veya L radyan) ile bir jeodezik üçgenin açılarının toplamı arasındaki farkın Gauss eğriliğine bağlı olduğunu gösterir.
Bir kağıt şeridi alıp iki ucunu birleştirirseniz, iki yüzeyi olan bir bant alırsınız - dış ve iç, yani çift taraflı. Ancak yapıştırırken kağıdın bir ucunu açarsak, tek taraflı bir yüzey olan bir Möbius şeridi elde ederiz. Bunu kontrol etmek için, bant boyunca bir kurşun kalemle bir çizgi çizmek ve tüm banttan geçerek çizginin başa döndüğünden emin olmak yeterlidir. Bu kasetin sadece bir tarafı var.
JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855)
Gauss, şüphesiz tüm zamanların en seçkin matematikçilerinden biridir. Çocukken, matematik için olağanüstü bir yetenek gösterdi, bu nedenle, genç dehanın mütevazı kökenlerine rağmen, eğitimi Dük Wilhelm Ferdinand tarafından finanse edildi. Böylece, 1795'te Gauss, Göttingen Üniversitesi'nde matematik okumaya başladı. 19 yaşındayken, bir cetvel ve bir pergel kullanarak 17 kenarlı düzgün bir çokgenin oluşturulabileceğini göstererek klasik geometri problemlerinden birini çözdü. En önemli keşifleri hakkında kısa notlar aldığı ünlü bilimsel günlüğüne ilk girişiydi. 21 yaşında en önemli eseri olan Aritmetik Araştırmaları yazdı. Gauss, hesaplamaların yardımıyla, tüm Avrupa'da tanındı.
Enrique Morente'nin Gauss Karikatürü.
Asteroit Ceres'i kendi en küçük kareler yöntemini kullanarak yörüngeye oturttu. 1807'de Göttingen Üniversitesi'nde astronomi başkanlığını devraldı ve gözlemevinin direktörlüğüne atandı. Cebir, sayı teorisi, diferansiyel geometri, Öklid dışı geometri, kalkülüs, jeodezi, astronomi, hata teorisi, fizik, manyetizma, optik ve elektrik dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında keşifler yaptı. Ölümünden sonra, Hanover Kralı George V, ona Matematik Prensi adını verdi ve Gauss onuruna bir hatıra madalyası verilmesini emretti.
İç ve dış geometriler
İç ve dış yüzey geometrisi arasındaki fark nedir? İç geometri, yüzeyin kendisinin, o yüzeyde yaşayan varlıklar tarafından tanımlanabilecek geometrisidir. Gauss, meslektaşlarına yazdığı mektuplarda, iki boyutlu uzayda yaşayan varsayımsal bir güveden bahsetti. Yüzeyler teorisinin temel teoremi olan Tieometa EAumm, Gauss eğriliğinin yüzeyin kendisinde bulunan geometri tarafından belirlendiğini belirtir. Bu değer, yüzeyin iç eğriliğini karakterize eder. Dış geometri, yüzey ile dış üç boyutlu uzay arasındaki bağlantıyı yansıtır ve yüzeydeki çizgilerin ortalama eğriliğini belirler.
Her ikisi de sıfıra eşit Gauss eğriliğine sahip olduğundan, düzlem ve silindirin yerel iç geometrileri aynıdır. Bir sayfa kağıt alır ve iki zıt ucu birleştirirseniz, bir silindir elde edersiniz.
Bu küçük deney, yüzeyin geometrisini (metrik) değiştirir. Her iki yüzey de içten düzdür ve üzerlerinde yaşayan canlılar dışarıdan bakmadıkça birini diğerinden ayırt edemezler. Aynı zamanda, üç boyutlu uzayda, düzlem eğri değildir (ortalama eğriliği sıfırdır) ve ortalama eğriliği pozitif bir sabit sayı olan silindir eğridir.
Düzlem (K = 0, H = 0); yarıçaplı bir silindir (K = 0, H = 1/r > 0); yarıçaplı küre r(K = H = 1/r2 > 0).
Gauss eğriliği sabit ve pozitif olan bir kürenin iç geometrisinin bir düzlemin iç geometrisinden farklı olduğuna dikkat edin. Bu nedenle kürenin sakinleri, eğri bir yüzey üzerinde yaşadıklarını, onu aşmadan anlayabilirler. Bu, jeodezik üçgenin açılarının toplamının 180°'den büyük olup olmadığı kontrol edilerek yapılabilir. Gauss bunu Dünya yüzeyi için kanıtlamaya çalıştı, ancak ölçümlerindeki hata çok büyüktü. Bunun önemli bir sonucu, geometriyi (mesafeler, en kısa yollar, alanlar ve yönler) koruyan Dünya yüzeyinin doğru haritalarını oluşturmanın imkansızlığıdır. Ayrıca, çoğu yüzey için Gauss eğriliğinin değeri noktadan noktaya değişir.Pozitif, negatif ve sıfır Gauss eğriliği (dış,
Torus yüzeyinin noktaları eğriliğe bağlı olarak farklı renklerde vurgulanır - pozitif, sıfır veya negatif.
YÜZEYLERDEKİ GEOMETRİ MODELLERİ
Öklidyen olmayan bir geometri modeli oluşturmak için, uzayı bir yüzey olarak temsil etmek gerekir ve üzerindeki jeodezik çizgilere (iki nokta arasındaki en kısa mesafelere) düz çizgiler denir. Diferansiyel geometri, Öklid'in varsayımlarının hangi yüzeylerde geçerli olduğunu belirlemeye yardımcı olur. Bu tür yüzeyler, 1 ve 2 numaralı varsayımları sağlamak için jeodezik olarak eksiksiz olmalıdır (jeodezik çizgiler sınırsızdır) ve 3 ve 4 numaralı varsayımları sağlamak için sabit bir Gauss eğriliği K'ye sahip olmalıdır. Dolayısıyla, K = 0 ise, o zaman düzlemdeki Öklid geometrisi geçerlidir. K > 0 ise, geniş açı hipotezi ile bir eliptik geometri modelimiz (örneğin, bir küre üzerinde) vardır.Bu durumda, taban tabana zıt noktalardan sonsuz sayıda jeodezik çizgi geçtiği için birinci varsayım yerine getirilmez. Kürenin taban tabana zıt noktaları belirlenebilir, ancak daha sonra üç boyutlu Öklid uzayının dışında soyut bir yüzey elde ederiz. K < 0 ise, dar açılar hipotezi ile bir hiperbolik geometri (psödosfer) modelimiz vardır. Bu model aynı zamanda jeodezik olarak tam değildir ve bu nedenle üç boyutlu Öklid uzayının dışındaki soyut bir yüzeye genelleştirilmesi gerekir.
Riemann'ın katkısı
Her durumda, Gauss tarafından başlatılan devrim, üç boyutlu Öklid uzayında gerçekleşti. Çok boyutlu durumlar hala öndeydi, ancak şimdilik sıradan analitik geometri, ilk üç boyutun (bir çizgide, bir düzlemde ve üç boyutlu uzayda) koordinat uzaylarının incelenmesiyle ilgiliydi. Söylediğimiz gibi, daha yüksek boyutların varlığını kabul etmek, bilim adamları ve filozoflar için kolay bir iş olmadı. Ancak, XIX yüzyılın ortalarında. çok boyutlu uzaylar analitik geometrinin doğal bir uzantısı olarak ortaya çıktı. Bununla ilgili iki önemli eserden biri İngiliz matematikçi Arthur Cayley'in (1821-1895) "Chapters from Analytic Geometry in n Dimensions" adlı makalesidir.İkinci temel çalışma, Alman matematikçi ve filozof Hermann Grassmann'ın (1809-1877) Lineer Uzantı Üzerine Dersler'di.
Ardından Riemann'ın Göttingen Üniversitesi'nde sunduğu "Geometrinin Altındaki Hipotezler Üzerine" raporu geldi. Harika geometrik fikirler içeriyordu:
Gauss tarafından verilen bir yüzey kavramını genelleştiren, n -boyutlu bir geometrik uzay
(diferansiyellenebilir manifold olarak adlandırılır) kavramı..
Mesafe kavramını genelleştiren bir metrik tensör kavramı ve türevlenebilir
manifoldlar üzerinde metrik ilişkilerin incelenmesi (Riemann geometrisinin doğuşu).
Eğrilik kavramının ve bir yüzeyin içsel geometrisinin diğer elemanlarının Riemann n-
boyutlu manifoldlarına genelleştirilmesi.
U boyutlu bir türevlenebilir manifold kavramı, yerel olarak l yerel koordinatlar ..., xn ve ayrıca dönüşümlerinin yasaları cinsinden tanımlanabileceği gerçeğini içerir. Bir geometrik uzay (bir diferansiyellenebilir manifold), gerçek bir uzayla zorunlu olarak ilişkili değildir, ancak tanım tarafından verilen genel koşulların karşılandığı herhangi bir nesne olabilir.
Dahası, Riemann, uzay kavramının sıradan bir Öklid mesafesi olarak verilen bir mesafeyi ima ettiğine göre olağan matematiksel ve felsefi yaklaşımı terk etti. Bununla uzay (n-boyutlu türevlenebilir manifold) ve mesafe kavramlarını ayırdı ve buna Riemann metrik tensörü denir. Böylece, aynı alanda, elbette farklı eğrilik değerlerinin ilişkilendirildiği üç mesafe olabilir. Bu nedenle Riemann geometrisi, Lobachevsky ve Bolyai tarafından geliştirilenden çok daha genel anlamda Öklidyen olmayan bir geometridir, çünkü daha fazla boyut ima eder ve eğriliği farklı noktalarda farklı değerler alabilir.
Riemann ayrıca fizik problemleriyle derinden ilgilendi ve doğanın fiziksel güçlerini - yerçekimi, elektrik ve manyetik - birleştirmeye çalıştı. Ona göre, çekim kuvvetleri uzayın geometrisinin ve eğriliğinin bir sonucudur. Tanıttığı yeni geometrinin doğa güçlerini genelleştirmeyi mümkün kılacağını umuyordu.
BERNHARD RIEMANN (1826-1866)
Gerardo Basabe nin Riemann karikatürü.
Riemann kısa ömründe sadece birkaç makale yayınladı, ancak bunlar son derece değerliydi, çünkü içlerinde en zor matematik problemlerinden bazılarını çözmüştü. Ayrıca yeni kavramlar ve yöntemler tanıttı ve uzay fikrini kökten değiştirdi. Utangaç bir insandı ve topluluk önünde konuşmaktan kaçınıyordu ve kötü sağlığı nedeniyle sık sık sinir krizi geçirdi. Çocukluğu mütevazıydı, bu şaşırtıcı değil: bir çobanın oğluydu, ancak bu, hesaplamalar için fantastik yeteneklerin ve özel bir matematik yeteneğinin tezahürünü engellemedi. Henüz okuldayken, genç Bernhard, Legendre'nin sayılar teorisi hakkındaki kitabını, haftada 900 sayfadan oluşan kitabını okudu.İlahiyat ve Felsefe Fakültesi'nde okumaya başlayan Riemann, kısa sürede matematiğe ilgi duymaya başladı.
Berlin Üniversitesi'nde okumaya gitti. Orada teori üzerine fikirlerini geliştirmeye başladı.
Göpingen Üniversitesi'nde Gauss'un danışmanlığında bu konuda bir doktora tezi yazmış olmak. 1859'da Riemann asal sayılarla ilgili tek çalışmasını yayınladı. Uzun yıllar bu alana düşkündü, formüle etti
matematikteki en ünlü varsayımlardan biri.
Onun fikirleri, 20. yüzyılın fiziğinin temelidir. Özellikle görelilik teorisinin temellerini attılar. 1905'te Alman fizikçi Albert Einstein (1879-1955), Hollandalı fizikçi ve matematikçi Hendrik Lorentz (1853-1928) ve Fransız matematikçi Henri Poincare (1854-1912) ile birlikte özel görelilik teorisini tanıttı. Kısa bir süre sonra, Alman matematikçi Hermann Minkowski (18641909) dört boyutlu Riemann manifoldunu, uzay-zamanı, ışık hızını içeren uzaysal metrik Riemann tensörü ile ilişkilendirdi. Einstein'ın genel görelilik teorisi 1916'da bu uzay temelinde geliştirildi.
Bilimsel lobilerden kafelere
Riemann'ın tezinde sunulan güzel fikirler kısa sürede Avrupa'nın eğitim ve araştırma kuramlarına yayıldı. Çok boyutlu diferansiyel geometri, Öklidyen olmayan geometrilerle birlikte matematiksel ve bilimsel çevrelerde popülerlik kazanmaya başladı. Araştırma devam etti. Öklidyen olmayan geometriler alanında, yeni uzay modelleri inşa edildi ve geometrilerin mantıksal çelişkiler içermemesi için daha tutarlı hale getirilmeye çalışıldı. Diferansiyel geometride, Riemann tarafından yapılan bina, Eugenio Beltrami (1835-1900), Gregorio Ricci- Curbastro (1853-1925) ve Tullio Levi-Civita (1873-1941) gibi ünlü İtalyan matematikçiler tarafından ve Almanlar tarafından devam ettirildi. matematikçi Alvin Bruno Christoffel (1829- 1900).O zamanın bilim adamları, zarif Riemann teorisini uygulamaya çalıştılar ve ilk başta kolay olmasa da (örneğin, fiziğin daha da geliştirilmesi gerekliydi), 20. yüzyılın bilimi. bu yeni geometri alanının gerçek anlamını gösterdi.
Aynı zamanda, matematikçiler ve bilim adamları, konferanslar düzenleyerek, bilimsel dergilerde ve kitaplarda makaleler yayınlayarak akademide Öklid dışı geometriler ve Riemann geometrisi hakkında bilgileri yaymaya başladılar ve yavaş yavaş bu fikirler genel halka açık hale geldi.
Dördüncü boyutun en aktif destekçilerinden biri Alman matematikçi Hermann von Helmholtz (1821-1894) idi. 1860'larda ve 1870'lerde Almanya, Fransa, İngiltere ve ABD'de makaleleri yayınlandı. Helmholtz, bazı çağdaşları gibi, yaşayan iki boyutlu varlıkların görüntüsünü de kullanmıştır.
Alman fizikçi Hermann von Helmholtz, Öklid dışı geometri ve varsayımsal çok boyutlu dünyalar üzerine birçok eser yazdı. Fikirleri dünya çapında halk arasında popüler oldu.
bir küre üzerinde ve diğer yüzeylerde. Bu yaratıkların kendi Öklidyen olmayan geometrileri vardır; örneğin geometrilerinde bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° olmaz. Dördüncü boyutla ilgili olarak Helmholtz, Popular Lectures on Science (1881) adlı eserinde onu hayal edemeyeceğimizi yazmış ve onu doğuştan kör olan ve renkleri hayal edemeyen bir kişiye benzetmiştir.
Bazı bilim adamları ciddi sorular üzerinde çalışırken, diğerleri daha sıradan problemleri çözüyordu: iki boyutlu canlıların nasıl yemek yediği, mide-bağırsak sisteminin nasıl çalıştığı, nasıl hareket ettikleri, gözlerinin neye benzediği, görüşlerinin nasıl çalıştığı - bu ve benzeri sorular, tabii ki, genel halk için daha ilginçti. O günlerde, "dördüncü boyut" ifadesi herhangi bir çok boyutlu uzayla eşanlamlı hale geldi ve Öklidyen olmayan ve çok boyutlu geometri kavramları sıklıkla tanımlandı.
Geometrik devrimin ölçeği, bu soruların 19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın başlarında en önemli bilimsel ve felsefi tartışmaların konusu haline gelmesine yol açtı. Bunların en önemlileri, bilimsel gerçek, bilim ve gerçeklik arasındaki bağlantılar, daha yüksek boyutlarda uzayların var olma olasılığı, matematiğin yapısı, işlevi ve anlamı hakkında sorulardı. Uzay kavramı da yeniden düşünmeye tabi tutulmuş ve her şeyden önce şu soru sorulmuştur: Uzayımız Öklid mi yoksa Öklid dışı mı? Başka bir deyişle, uzayımızın şekli nedir?
Dördüncü boyutun popülerleştirilmesi, dördüncü bölümde göreceğimiz gibi, şaşırtıcı, hatta büyülü yönlere de sahipti. Bu, duvarlardan geçebilen ve diğer etkileyici yeteneklere sahip, her şeye gücü yeten ve her yerde hazır bulunan süper varlıkların varlığı anlamına geliyordu. Bu da kaçınılmaz olarak çok boyutlu uzayların bir din ve hatta inanç meselesi haline gelmesine yol açmıştır. Dört boyutlu uzay, Tanrı'nın veya doğaüstü varlıkların varlığının kanıtı olarak görülebilir. Örneğin, Hıristiyan düşünürler, Tanrı ve ölümsüzlüğün dördüncü boyut aracılığıyla üç boyutlu dünyamıza bağlanabileceğini öne sürmüşlerdir.
Dördüncü boyutun meseleleri, özellikle 1877'de Londra'da gerçekleşen ve hem İngiliz hem de uluslararası basın tarafından hakkında yazılan skandal davada geniş yer buldu. Ünlü Amerikan medyası Henry Slade, Londra sosyetesinin önemli üyeleriyle seanslar düzenlerken dolandırıcılıktan yargılandı. Skandal, geleceğin ödül sahipleri de dahil olmak üzere dünyanın önde gelen bilim insanlarının ortaya çıkmasıyla patlak verdi.
Henry Slade 19. yüzyılın en ünlü medyumlarından biriydi ve seansları hileli ilan edildiğinde, bilim camiasının bazı üyeleri onu savunmaya geldi.
Nobel Ödülü kazananlar, Slade'in seanslarının ruhların aslında dördüncü boyuttan varlıklar olduğunu kanıtladığını öne sürerek onu savundu. Slade'in cezasına rağmen, Leipzig Üniversitesi'nde fizik ve astronomi profesörü Johann Carl Friedrich Zöllner (1834-1882), ruhların varlığını göstermek için bir dizi deney yaptı. Bunu 5. Bölüm'de daha ayrıntılı olarak tartışacağız. Bu skandal, çok boyutlu uzayları (tamamen bilime aykırı bir versiyonu olsa da) Birleşik Krallık'ta ve tüm dünyada ana tartışma konusu haline getirdi.
Dördüncü boyutun bir başka popüler yönü, çeşitli dört boyutlu nesneleri görselleştirme girişimleridir. Bu problemle ilgili ilk bilimsel makalelerden biri, Amerikalı matematikçi Washington Irving Stringham'ın (1847-1909) "n-boyutlu uzayda düzenli rakamlar" (1880) adlı bir makalesiydi. Özellikle, üç boyutlu küpün dört boyutlu karşılığı olan hiperküpü görselleştirme girişimi, dördüncü boyutun görselleştirilmesiyle eş anlamlı hale geldi. Charles Hinton, diğer birçok bilim insanı gibi (örneğin Poincare), bu göreve çok zaman ayırdı - dördüncü boyutun görselleştirilebileceğine ikna oldu.Hinton, hiperuzay felsefesi olarak bilinen, daha yüksek boyutlu uzaylarla ve bunların diğer nesnelerle etkileşimleriyle ilgili sorularla ilgilenen teorinin ana savunucusuydu.
Aşağıdaki sayfada, başlıklı makaleden bir çizim gösterilmektedir. Şeklin sol tarafındaki ilk üç görüntü, dördüncü boyutta tetrahedron, küp ve ikosahedron analogları olan hipertetrahedron, hiperküp ve hiperikosahedron olarak adlandırılabilecek figürlerin "cepheleri" dir. Bir hipertetrahedron durumunda, dört dörtyüzlü, köşelerinin her birinde birleşir, tıpkı üç boyutlu bir dörtyüzlüde olduğu gibi, her köşede üç üçgen birleşir. Bir hiperküp durumunda, dört küp, üç boyutlu bir küpte olduğu gibi, köşelerinin her birinde birleşir, her köşede üç kare birleşir. İkinci sırada - bu üç dört boyutlu figürün düzlemdeki izdüşümleri.
Dördüncü boyut, o dönemin bazı yazarlarının favori konusu oldu. Materyalizm ve pozitivizm ile ilgili genel hayal kırıklığından sonra, çok boyutlu uzaylar ve Öklidyen olmayan geometriler, çeşitli kültürel fenomenlerin gelişimine önemli katkılarda bulunmuştur.
Sanat dünyasında bu, Kübistlerin Rönesans perspektif yöntemini terk etmelerini sağladı ve aynı anda nesneleri farklı bakış açılarından tasvir etmeye başladılar. Benzer şekilde müzisyenler, tasarımcılar, mimarlar ve sanatçılar yeni bir sanat dili ve daha yüksek bir gerçekliğe yaklaşım hakkında konuşmaya başladılar. Dördüncü boyut, tüm sosyal ve kültürel alanlara nüfuz etmiş ve olağan dedikodu ile siyasi tartışmalar arasında bir yerde bulunan kafelerde ortak bir konuşma konusu haline gelmiştir.
Washington Irving Stringham'ın Amerika’da oigpa'da yayınlanan "N-Boyutlu Uzayda Düzenli
Figürler" makalesinden çizim. hakkında? 1880 yılında Maibetabsv
Bölüm
Dördüncü Boyutun Büyüsü
Ruhum bir ayna düğümü, Görünmez bir meskende Akıl düşünceleri girdabıyla bağlanmış. Bir mahkum gibi nerede oturuyorsun? Onu bir çiviyle çözmeye çalışıyorsun. Ancak düğüm değişmeden kalır. Sonuçta, onun akıbeti için araçlar dördüncü boyutta yatar. James Clerk Maxwell. Paradoksal Ode (1878)
Dördüncü boyutun soruları neden sadece bilim adamlarının değil, tüm toplumun dikkatini çekiyor? Belki de hepimiz bilinmeyene, gizemli olana - tek kelimeyle, hayal bile edemediğimiz bir şeye - çekiliyoruz. Ek olarak, bazı insanlar için, diğer boyutlar gerçeklikten, içinde yaşadıkları toplumun sorunlarından (örneğin, Victoria İngiltere'sindeki zor yaşam koşullarını hatırlayın) veya sadece kişisel sıkıntılardan kaçmanın bir yolu olarak hizmet edebilir. Ama hepsinden öte, dördüncü boyut, bilimin, felsefenin, dinin ve sanatın gelişmesi için müteakip tüm olasılıklara sahip, keşfedilmemiş yeni bir evrendir.
Dördüncü boyut, özellikle maneviyatla ilgilenenler başta olmak üzere, inanç ve dinle olan bağlantısı nedeniyle genel halkı cezbetmiştir. Bunu beşinci bölümde daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Ancak, dördüncü boyutun insanların hayal gücünü ateşleyen başka şaşırtıcı ve hatta büyülü yönleri de vardı. Bu bölümde tartışılacaklar.
Dördüncü boyuttan görünüm
3B evrenimizin bir 4B hiper uzayın parçası olduğunu hayal edin. "O zaman böyle bir hiperuzay, Charles Hinton'un ana ve kata olarak adlandırdığı iki parçaya bölünebilir. Sıfır boyutlu bir nokta, düz bir çizgiyi iki yarım çizgiye böler - "sağ" ve "sol". Düz bir çizgi, düzlemi ikiye böler. iki yarım düzlem - "yakın" ve "uzak" Düzlem, diğer durumlarda olduğu gibi bu sadece bir seçim meselesi olsa da, alanı üst ve alt olarak adlandırabileceğimiz iki yarım alana böler. Genel olarak, bir n - boyutlu hiper uzay (n + 1) boyutlu bir hiper uzayı iki yarı hiper uzaya böler.
sol alan sağ alan
Sıfır boyutlu bir nokta, tek boyutlu bir çizgiyi sol ve sağ olmak üzere iki parçaya böler. Düz bir çizgi, iki boyutlu bir düzlemi yakın ve uzak olmak üzere iki bölgeye ayırır. Düzlem, üç boyutlu uzayı üst ve alt olmak üzere iki yarım alana böler. Benzer şekilde, 3B uzay, 4B hiperuzayı ana ve kata olmak üzere iki ayrı bölgeye bölecektir.
Dördüncü boyutla ilgilenen bazı Hıristiyanlar, bu teoriyi cehennem ve cenneti bulmanın bir yolu olarak gördüler. Cennet, Tanrı ve melekleri görünür evrenimizin bir tarafında, örneğin ana'da, cehennem, şeytan ve iblisleri kata'da bulunur. Başka bir deyişle, melekler ve iblisler dünyevi dünyamız tarafından ayrılmıştır.
PARALEL EVREN
Bizim evrenimizin hiper uzayda tek olmadığını ve başka paralel evrenlerin olduğunu varsayabiliriz. En basit durumda, iki paralel evren - fiziksel dünya ve astral dünya. Sonra üç paralel evrenin Hıristiyan versiyonu - cennet, cehennem ve dünyevi dünya. Ve son olarak, dünyamızın her türlü varyantını içeren sayısız paralel evren. Örneğin, bunlardan birinde bir matematikçi dördüncü boyut hakkında bir kitap yazıyor ve başka bir dünyada aynı kişi felsefe ve Alman dilini okumaya karar verirken, üçüncü dünyada bu kişi yok, çünkü onun anne babanın çocuğu olmadı. İnsanların kanatlarının olduğu bir evren bile bulabilirsiniz.
iki evren üç evren
sonsuz miktar
evrenler
Paralel evrenler: iki evren (bizim dünyamız ve astral dünya), üç evren (dünyevi dünya, cehennem ve cennet), sonsuz sayıda evren.
Ayrıca kesişimi - sözde portal - bir düzlem olacak dikey evrenler de olabilir. Başka bir olasılık da, evrenimizin hiperuzayda kavisli olması ve hatta iki uzak noktayı birbirine bağlayan boyutlu tüneller oluşturarak kendi kendisiyle kesişmesidir.
Dört boyutlu uzayda iki evren birbirine dik olabilir, böylece onları birbirine bağlayan bir portal oluşturur. Dahası, evrenin düz olması gerekmez, hiperuzayda kavisli olabilir ve hatta kendi üzerinden geçerek, göz açıp kapayıncaya kadar evrenin bir ucundan diğerine geçebileceğiniz tüneller oluşturabilir.
Bu durumda şu soru ortaya çıkıyor: Dördüncü boyuttan bir varlık, örneğin ana'da olan bir melek, üç boyutlu uzayın varlıkları olarak nasıl karşımıza çıkabilir? Bu soruyu cevaplamak için, Küre'nin Kare'nin önüne geçtiği bölümde Abbott'un "Düz Ülke" bölümünde tarif ettiği üç boyutlu benzetmeler kullanılabilir. Aşağıdaki şekil, Spaceland'den bakan Küre'nin, Flatland'deki tüm evler gibi Meydanı hem dışarıdan hem de içeriden gördüğünü göstermektedir: sadece çevrelerini değil, aynı zamanda tüm sakinlerini de görmektedir.
Mom tsiiyuji
Flatland'e Spaceland’den baktığımızda evinin eşik Meydanı'nı ve evin içindeki tüm ailesini aynı anda görüyoruz. Meydanın kendisini ve içini de görüyoruz.
Birinci bölümde söylediğimiz gibi, bir Düzülkeli Meydan'a veya herhangi bir düzülkeliye baktığında, onun dış çevresinin sadece bir kısmını, yani segmenti ve bir anlamda sisin bir sonucu olarak derinliğini görür. Bununla birlikte, Küre Kare'ye baktığında, tüm çevreyi -dört tarafını da- ve aynı zamanda iç kısımlarını da görür: mide, bağırsaklar, kalp ve akciğerler.
Masanın üzerine bir madeni para koyup ona masa yüzeyinin seviyesinden bakarsak, Flatland sakinlerinin rahibi nasıl gördüğünü hayal edebiliriz. Ancak madeni paraya yukarıdan bakarsak sadece çevresini değil, üzerindeki görüntüyü de görürüz.
Benzer şekilde, dünyamızda birbirimize baktığımızda, dış yüzeyimizin bir tarafını görürüz - perspektifin etkisiyle biraz derinliği olan düz bir görüntü. sayesinde üç boyutlu bir görüntü elde edilir.
gözlerimizin konumu (bir gözü olan insanlar üç boyutlu görüntüleri görmezler). Ama hiper varlıklar bizi nasıl görüyor? Yukarıda anlatılan benzetme doğrultusunda tüm yüzeyimizi (göğüs, sırt, bacaklar, baş ve vücudun diğer kısımlarını) ve tüm iç organlarımızı (kalp, akciğerler, karaciğer) aynı anda göreceklerini söyleyebiliriz. , damarlar, kemikler, vb.). Ve tüm bunlar bir bakışta. Dördüncü boyuttan bir doktor bir bakışta fizik muayene yapacak ve örneğin kalp problemlerimiz, böbrek taşlarımız veya kemiklerimizde kırık olup olmadığını ameliyatsız ve hatta röntgen veya ultrason olmadan öğrenecektir.
Bir hiper varlığın bizi aynı anda hem içeriden hem de dışarıdan görebilmesi nasıl mümkün olabilir? İnsan gözünün retinası, optik sinirlerin uçlarının bağlı olduğu iki boyutlu bir diske benzer. Küresel gözlerimizden beyne bilgi taşırlar. Flatland'de yaşayan bir Kareye baktığımızda, noktalarının her biri üç boyutlu uzayda bir ışık huzmesi ile retinamızdaki bir noktaya bağlanır ve bunun sonucunda sanki Kare gibi bir kare görüntüsü görürüz. azalmış, uzayda taşınmış ve gözümüze çarpmıştır.
İKİ BOYUTLU VARLIĞIN MİDE
Çeşitli boyutlardaki analojiler her zaman bu kadar basit değildir. Örneğin, iki boyutlu bir varlığın sindirim sistemini düşünün. Sindirim sistemimizin sadece iki boyutlu bir versiyonu olduğunu varsayarsak, bir sorun var: Düzülkeli ikiye bölünecek. Açıkçası, böyle hayatta kalamaz. XIX yüzyılın sonunda. iki boyutlu varlıkların sindirim sistemi büyük ilgi görmüş ve hatta tartışmalı olmuştur. Bu soruna olası bir çözüm, sindirim sistemini gıda geçerken açılıp kapanacak şekilde şekillendirmektir: iki boyutlu varlığın dağılmasını engelleyen bir tür fermuar.
kapı yemeği
Meydanın sindirim sistemi onu ikiye böler. Meydanın ikiye bölünmemesi için bağırsakları açılıp kapanan kapılara sahip bir kanal şeklinde olabilir.
Benzer şekilde, hiperentitenin retinası, sinir uçları olan üç boyutlu bir küre olabilir (gözün kendisi bir hiperküre olacaktır). Bir hiper varlık bize baktığında, tüm vücudumuzun tam bir görüntüsünü görür, çünkü vücudumuzun hem dış hem de iç her noktası, ana ve iç kısımlardan geçen bir ışık huzmesi ile hiper varlığın retinasındaki bir noktaya bağlanacaktır. kata. Sanki küçültülmüş kopyamız, ışık ışınları tarafından hiperentitenin retinasına aktarılmış gibidir. Işık ışınlarının vücudumuzun her noktasını retinadaki bir noktaya bağlaması için ek bir boyuta ihtiyaç vardır.
Abbott'un romanında Square, üç boyutlu uzayı ancak Küre'nin onu Düz Diyar'ın dışına çıkardığında ve ona iki boyutlu dünyasına Uzay Diyarı'ndan bakma fırsatı verdiğinde algılayabildiğim söylüyor. Bu bölüm, Square'in 3D görüntüsünün Sphere'inkiyle aynı şekilde çalıştığını varsayar. Ancak bu duruma daha ayrıntılı olarak bakalım. Kare gözünün retinası, sinir uçları olan düz bir çizgi parçasıdır. Flatland'e baktığında, üç boyutlu uzayda bulunduğu düzlem tarafından ülkesinin sadece bir bölümünü görür. Daha doğrusu, Küre onu hareket ettirirken birkaç bölüm.Başka bir deyişle, gözü bir tarayıcı gibi çalışacak ve edebi bir bakış açısıyla, Düz Diyar'ın pek heyecan verici görünmeyen ve arsa amaçlarına pek uygun olmayan bir dizi bölüm yaratacaktır.
Spaceland'den Flatland'e bakan bir kare.
Abbott'un romanında Kare, iki boyutlu gözü bunu yapamasa da, kendi dünyasını Küre ile aynı şekilde görür.
Benzer şekilde, dördüncü boyuttan bir melek bizi cennete götürseydi, o zaman dünyamıza ana'dan baktığımızda, evrenimizin sadece iki boyutlu bölümlerini görürdük; bu, üç boyutlu uzayımızı üç boyutlu uzay ile üç boyutlu uzayı geçerek elde ederdi. bedenimiz dördüncü boyutta olacak.
Müthiş manzara
Bir başka ilginç soru ise tam tersi: Dördüncü boyuttan bir hiper varlık, uzayımızı ziyaret eden bizler için neye benziyor? Ruhları dördüncü boyuttan sayanlar, onlardan bazılarıyla karşılaştığımızda bize benzeyeceklerini düşünürler. Ancak, “gerçekte” durum hiç de böyle olmayabilir.
Abbott'un kitabında, Küre Düz Ülke'yi geçtiğinde, Kare uzaylının düz bölümlerini görür. Ona göre Küre iki boyutlu bir varlık gibidir, özellikle bir rahip. Fakat bu iki boyutlu evrenin sakinleri, bir kişi onu ziyaret ederse ne görür? Örneğin, Rudy Rooker'ın "A Message Found in Flatland" (1983) adlı öyküsünden bir çizim, kahramanın Flatland'e nasıl düştüğünü ve şaşırtıcı bir şekilde Pakistan restoranının bodrum katına nasıl düştüğünü gösteriyor. Düzülkeliler insan vücudunun düz kısımlarını gördüler: deri, saç ve giysi dokularından oluşan çeşitli şekiller ve halkalar.Elin parmakları yerine, çevrelerinde cilt ve saç bulunan beş küçük disk ve vücut diskinin etrafında - büyük giyim kumaşları daireleri görecekleri açıktır.
65
Flatland'den düşen adam. Yerleşik Meydanı yalnızca hızla değişen karanlık alanları görebilirdi.
Üç boyutlu evrenimizi geçen bir hiper varlık benzer görünecek. Yani, ek boyutu dikkate alarak, farklı boyutlarda bir dizi deforme olmuş gövde göreceğiz. Bazıları deri ve saçla, bazıları ise kumaş ve et parçalarıyla çevrili olacaktır. Bu bedenler, hiper-varlığın ve bizim evrenimizin kesişimi olacak. Korkunç bir manzara değil mi? Elbette, hiper varlıkların hangi formda olduklarını bilmediğimizi kabul etmek gerekir, bu yüzden onları bize benzer, ancak ek bir boyutla hayal etmeyi göze alabiliriz.
DÖRT BOYUTLU BİR VARLIK NASIL YAKALANIR
Flatland sakinleri, bir kişiyi iki boyutlu evrenlerinde gördüklerinde yakalamak isteselerdi, insan vücudunun bölümlerinden birini kement veya demir kelepçe ile kapabilirlerdi. O kısım parmağın bir kısmı olsaydı, bir kişi "yukarı" kaçabilirdi, ancak bilek veya ayak bileğinin bir kısmı değil.
Nelson Bond'un Hiçbir Yerden Canavar (1974) adlı romanının kahramanı, Peru'ya yaptığı bir gezi sırasında dört boyutlu bir yaratık keşfeder ve benzer bir yakalama yöntemine başvurur.
Yaratığın küresel kısımlarından birini bir torbaya saklayarak güvenlik için mızrakla çiviledi ve böylece canavarın evrenimizden kaçmasına izin vermedi.
yüzyılın soygunu
Dördüncü boyut varsa ve bazı insanlar bizim dünyamızdan özgürce ana veya kata'ya geçip oraya seyahat edebilselerdi, dünyamızda bir tür tanrı olarak kabul edilirlerdi, çünkü bir anlamda her yerde hazır ve nazır, her şeye kadir olacaklardı. ve mucizeler yaratma yeteneğine sahiptir. Kalelerdeki hayaletler gibi duvarlardan geçebilirler, parmaklıklara ve gardiyanlara rağmen herhangi bir hapishaneden kolayca kaçabilirler, kapıları açmadan binaya girip çıkarak herhangi bir bankayı soyabilirler. X-ışınları olmadan duvarların ötesini görebiliyor, gizlice kimseyi takip edebiliyor, şişesini açmadan içki içebiliyor, bir portakalı kabuğunu soymadan yiyebiliyor, kapalı zarflardaki mektupları okuyabiliyor ve çok daha fazlasını dördüncü boyutu kullanarak yapabiliyorlardı.
Bu tür hilelerin nasıl mümkün olduğunu anlamak için tekrar Flatland'in iki boyutlu analojisine dönüyoruz. Kvadrat'ın kilitli olduğu hapishane nasıl görünüyor? Hapishane, mahkumu her taraftan çevreleyen kare şeklinde de olabilir. Ancak kahramanımız böyle bir yeteneğe sahip olsaydı veya örneğin Uzay Diyarı'ndan arkadaşlarının yardımıyla üçüncü boyuttan kaçabilirdi. Kaçış, Flatland'den "yukarı" çıkmak, ardından üçüncü boyuta geçmek ve kendi dünyanıza "aşağı" dönmekten başka bir şey olmayacaktı, ancak yalnızca hapishanenin dışına.
Ayrıca, Meydan, Spaceland'deki gardiyanlarını fark edilmeden gözetleyebilir. Susadıysa, üçüncü boyuttan kapıları açmadan komşu eve inmesini kimse engelleyemezdi. Ve eğer Meydan isterse (onun dürüst bir varlık olduğunu bilmemize rağmen), üçüncü boyuttan geçerek rahibin evinden mücevherleri tekrar çalabilirdi ve kimse onu göremezdi. Ve rahip beklenmedik bir şekilde geri dönerse, Meydan fark edilmeden gitmek için yukarı çıkmak zorunda kalacaktı.
Ve Kare Altıgen'in torunu aniden bir şekerle boğulursa, büyükbabası üçüncü boyuta yükselerek ve torununun boğazındaki şekeri çıkararak hayatını kolayca kurtarabilirdi. Aynı şekilde dördüncü boyuttaki bir doktor da ameliyatsız bizi rahatlıkla ameliyat edebilir.
Aynı şekilde, şaşırtıcı görünse de, Maxwell'in bu bölüme epigraf görevi gören şiirinde olduğu gibi, dördüncü boyut sayesinde iç içe geçmiş iki metal halkayı ayırmak veya bir düğümü çözmek mümkündür.
Dördüncü boyuttan bunu yapmak çok kolay olsa da bizim uzayımızda metal halkaları ayırmak veya yonca düğümünü çözmek imkansızdır.
Simetri: Aynanın İçinden Alice
İşte harika bir hikaye fikri. Dördüncü boyutta hareket edebilen bir adam bir banka soymaya karar verir ve böylece kusursuz suçu işler. Hiperuzaydan kaçarken, bazı banknotları düşürür ve bu davayı araştıran bir dedektif tarafından bulundukları dünyamızda kalırlar. Dedektif şaşkınlık içinde banknotların üzerindeki görüntünün yansıdığını fark eder. Dedektif, banknotlara ne olduğunu ve bunun banka soygunu ile ilişkisini bulmaya çalışıyor.
Dördüncü boyuta geçtikten sonra banknotun üzerine yansıyan görüntüler.
Öyleyse, bir kişinin dördüncü boyuta gidip gitmediğini veya bir Düzülkeli'nin Uzay Diyarı'na seyahat edip etmediğini nasıl anlayabilirsiniz?
Flatland örneğine geri dönelim. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi Kareyi simetri eksenlerinden biri etrafında döndürürsek, yani onu düzlemden kaldırır ve üçüncü boyutta açarsak, ayna görüntüsünü elde ederiz.
Bu deneyi masadan kare şeklinde bir kağıt alıp uzayda döndürerek ve düz evrenine geri döndürerek yapabiliriz. Meydan da dahil olmak üzere Flatland'in tüm sakinlerinin başının kuzey tarafında, gözleri ve ağızlarının vücudun doğu tarafında ve akciğerlerinin batı tarafında olduğunu varsayalım. Kareyi uzayda döndürürsek, ayna görüntüsünü elde ederiz. Gözler ve ağız batı tarafında, akciğerler doğu tarafında olacaktır.
Flatland'in diğer sakinleri, böyle bir Kare ile karşılaşınca, onun üçüncü boyutta olduğunu hemen anlayacaklardır.
Üçüncü boyutta döndürülen bir kare. Sonuç bir ayna görüntüsüdür.
Şimdi, dört boyutlu uzayda, bir kişinin kendisini yukarıdan aşağıya kesen bir düzlem etrafında döndüğünü varsayalım (dönmenin düz bir çizgi etrafında değil, bir düzlem etrafında gerçekleştiğine dikkat edin). Sonuç olarak, bir kişi kendisi kalacaktır, ancak yansıtılacaktır. Solda olan kalp gibi şimdi sağda olacak. Gerçekten de, üç boyutlu bir cisim dördüncü boyutta dönerse yönünü değiştirir. Örneğin, saat yönünde bükülen bir salyangoz kabuğu şimdi ters yönde bükülecektir. Aynısı, solak olana dönüşecek olan sağ elini kullanan nesne için de olacaktır.
Dördüncü boyuttan geçen bir salyangozun kabuğu.
Aynaya baktığımızda, dördüncü boyuta geçtikten sonra dünyamıza dönecek olan o “kişinin” görüntüsünü görürüz. Sağ elimizi kaldırırsak aynadaki görüntümüz sol elimizi kaldırır.
Aynadaki görüntü değil de gerçeğimizi gösteren bir ayna var mı? Evet, iki aynayı birbirine açılı olarak yerleştirirsek, ilk yansımanın yansıması, görünüşümüzün gerçek temsili olacaktır. Bu görüntü aynaların kesişme çizgisi etrafında dönmüş gibi olacaktır. Sağ elimizi kaldırırsak,
aynadaki ikinci yansımamız, aynalarda görmeye alışık olmadığımız sağ elimizi de kaldıracaktır.
VE TEKRAR MOBIUS KAYIŞI
Square'in ve Flatland'in diğer sakinlerinin yaşadığı evren bir Mobius şeridi şeklinde olsaydı, yani tek taraflı bir yüzey olsaydı, o zaman Square ayna görüntüsüyle karşılaşabilirdi ki bu bir dairede ve başka hiçbir yerde mümkün değildir . Evren. analo
Üç boyutlu evrenimiz de dahil olmak üzere diğer boyutlarda da mantıklı bir durum hayal edilebilir.
Meydan ve onun aynadaki görüntüsü Möbius şeridinde buluştu.
Charles Hinton ve Dördüncü Boyut Felsefesi
Matematikçi Charles Hinton, dördüncü boyutu popüler hale getirmek için çok şey yapanlardan biriydi. Çeşitli alanlarla ilgilendi: matematik ve fizik, felsefe ve din, ayrıca dört boyutlu uzayın, özellikle hiperküpün görselleştirilmesi. Ayrıca başka ilginç konularda da eserler yayınladı.
Charles Hinton 1853'te Londra'da doğdu. Oxford'da matematik okudu, 1877'de mezun oldu ve 1886'da yüksek lisansını burada aldı. Daha sonra Uppingham Okulu'nda fen bilgisi öğretmeni olarak çalışmaya başladı.
Hinton, erken yaşlardan itibaren görselleştirme sorunuyla ilgilendi. Oxford'da iyi bir matematik bilgisi aldı, ancak bu onun için yeterli değildi. O zaman , her biri Latince'de karşılık gelen bir adı olan 36 x 36 xx 36 = 46.656 küpten oluşan, örneğin Coiiic Xeya olan bir kübik yard (91.5 cm 3 ) ile çalışmaya başladı. Hinton dört boyutlu bir nesneyi görselleştirmek istediğinde, onu zihinsel olarak açtı ve bir küpün içine yerleştirdi. Bundan sonra, üç boyutlu açılımını oluşturan küpleri analiz ederek nesnenin yapısını inceleyebilirdi. Hinton ayrıca hatırlanması gereken ayrıntı miktarını azaltmak için bir sistem geliştirdi.Bu görünüşte absürt fikir, bir tür dönüştürücüye -dört boyutlu nesnelerin üç boyutlu nesnelere dönüştürülmesine- dönüştü ve dördüncü boyutu anlama yolunda bir başka adım oldu. Hinton'un küpü, ünlü renkli küpleri icat etmesi için ona ilham veren bir tür dört boyutlu gözdü.
James Hinton
Genç Charles Hinton, ilerici sosyal ve politik görüşlere sahip bir grup entelektüelden büyük ölçüde etkilendi. Bunların arasında matematiksel mantığın kurucusu olan seksolog Havelock Zllis George Boole ve eşi matematikçi Maria Everest Boole vardı. Ancak bunların en radikali Charles'ın ünlü bir yazar ve filozof olmadan önce cerrah olarak çalışan babası James Hinton'du. Kaleminden hem tıpta (James Hinoton, zamanının en iyi kulak burun boğaz uzmanı olarak kabul edildi) hem de sosyal felsefede birkaç kitap yayınlandı.
Hinton'un renkli küpleri, Hinton'a göre bir hiperküpü görselleştirmeyi mümkün kılan renkli yüzleri, kenarları ve köşeleri olan 12 küpten oluşan karmaşık bir settir. Her rengin bir Latince adı vardır ve hiperküpün 81 parçasına karşılık gelir: 16 köşe, 32 köşe, 24 yüz, 8 hiperküp ve 1 hiperküp. Hinton
Küpleri büyük bir başarıydı. Kadın dergilerinde hakkında yazılar yazıldı ve hatta seanslarda kullanıldı. Dördüncü boyutta hayaletleri ve ölen akrabaları görebildikleri söylendiği için neredeyse mistik sembollerdi.
Hinton'ın dördüncü boyuta olan ilgisi artmaya devam etti ve 1880'de Journal of the University of Dublin'de "What is the Fourth Dimension"ı yayınladı ve bu kitap 1883'te Cheltenham College dergisinde yeniden basıldı. Ertesi yıl, Swyn Zoppellschein & Co. tarafından yayınlanan ve dördüncü boyut hakkında dokuz broşür, deneme ve bilimkurgu hikayesi üreten "Hayaletler Nedir" broşürünü gördü. Daha sonra "Bilimsel Romanslar" başlığı altında bir araya getirildi. Hinton, iki boyutlu dünyanın bir düzlemden ziyade bir kürenin yüzeyi olan fiziksel yönleriyle daha fazla ilgilense de, Abbott'un "Flatland"ına benzer bir fikirle "The Flat World" (1884) adlı kısa öykü de bunların arasındaydı. .
Beyzbol Silahı
Princeton'da geçirdiği süre boyunca Hinton, zamanının çoğunu beyzbol oyuncularını eğitmek için kullanılan bir top pompalama makinesi olan beyzbol topunun geliştirilmesine adadı. Makine, topları 60 ila 112 km/s hızında ateşledi. Ancak uzun yıllar kullanılmasına rağmen çok tehlikeli olduğu için zamanla kullanılmaz hale geldi. Bununla birlikte, ve şimdi beyzbol sahaları, Hinton'un icadına dayanan cihazlar olarak kullanılmaktadır.
Hinton'un hayatı müreffehti, bir dereceye kadar sosyal başarıya bile ulaştı. Ancak 1885'te her şey çöktü: iki eşlilik nedeniyle tutuklandı. Hinton işini kaybetti, kariyeri mahvoldu ve cezanın ardından üç gün hapis yattıktan sonra ailesiyle birlikte Japonya'ya taşındı ve burada Yokohama'da lise öğretmeni olarak çalıştı. Oradan arkadaşlarına 1888'de yayınlanan A New Age of Thought adlı el yazmasını gönderdi. Çalışmanın ilk bölümü dördüncü boyutun farkındalığı sorununa ve aynı zamanda bu boyutla ilişkili felsefi ve dini yönlere ayrılmıştı. dördüncü boyut. İkinci bölüm hiperküpün görselleştirilmesiyle ilgiliydi ve renkli küplerin açıklamasını ve kullanım talimatlarını içeriyordu.
1893'te Hinton Kuzey Amerika'ya geldi. Orada Princeton, Minnesota üniversitelerinde ve ardından Washington DC'de, ayrıca ABD Deniz Gözlemevi ve Patent Ofisinde çalıştı. Dördüncü boyutun fikirlerini Amerika Birleşik Devletleri'nde de yaydı ve entelektüel çevrelerde tanınan ve saygı duyulan bir kişi olarak kabul edildi. Hinton çok sayıda makale yazdı ve şiir de dahil olmak üzere çok çeşitli konularda konferanslar verdi. 1904'te konuyla ilgili tüm düşüncelerinin yanı sıra iki boyutlu evren hakkında yeni bir hikaye olan The Flatland Incident'i içeren The Fourth Dimension'ı yayınladı. Hinton 1907'de öldü.
Bölüm 5
Tanrılar ve hayaletler
Yüksek veya düşük frekansları duyamıyor olmamız ve görünür spektrumun dışındaki renkleri göremememiz, onların var olmadığı anlamına gelmez. Gözümüze açık olmayan, sözde ölü insanlarımızın ruhlarının yaşayabileceği ve aracılığıyla iletişim kurabileceğimiz dördüncü bir boyut olması mümkün değil mi, değil mi? bir gün onları? Ve etrafımızdaki bu yeni dünya aynı zamanda bizim - sonsuz çeşitlilikte renk ve seslerden oluşan bu dünya. Charles Paterson. Yeni Gökler ve Yeni Dünya veya Ebedi Hayata Giden Yol (1909)
Dördüncü boyut, 19. yüzyılın sonunda ve 20. yüzyılın başında olması için gerekli tüm niteliklere sahipti. çeşitli inançlardan insanların dikkatini çekmek: hem geleneksel dinlerin taraftarları hem de yeni dini hareketlerin taraftarları, mezhepler, paranormal fenomenleri sevenler, okültizm ve maneviyat, filozoflar, ilahiyatçılar, mistikler vb. Bu konu din dünyasında çok ciddi bir şekilde tartışıldı, o dönemde yayınlanan kitap ve makalelerde görüyoruz. Bununla birlikte, internette ve kitaplarda arama yaparsanız, zamanımızda dördüncü boyutun hala çok sayıda insanı büyülediğini göreceksiniz.
Dördüncü Boyuttan Spiritüalizm ve Hayaletler
Spiritüalizm veya ölülerin ruhlarının bizimle olduğu ve temas kurulabileceği inancı 19. yüzyılda Avrupa'da ortaya çıktı. dini ve felsefi bir harekettir. Yakında ABD'de çok popüler hale geldi ve paranormal raporların çığına yol açtı. Aynı zamanda, çok sayıda medyum ruhlarla oturumlar düzenlemeye, performanslar sergilemeye ve sevdikleriyle konuşmak için kendilerine gelenlerin duyguları, dini ve mistik inançları üzerinde oynamalar düzenlemeye başladı. Medyumların etkinliği, ruhlarla temastan ziyade psikoloji ile bağlantılıydı ve çoğu zaman sihir numaralarına ve tiyatro gösterilerine indi. Ortamlar genellikle dolandırıcılıkla suçlandı ve onlar hakkındaki bilgiler renkli anekdotlar ve tam bir bilimsel bilgi eksikliğiydi.
Sadece birkaç bilim adamı ruhlar dünyasıyla ilgileniyordu. Bunların arasında, daha sonra göreceğimiz gibi, ruhların varlığını kanıtlamaya çalışanlar da vardı. Bilimsel maneviyatın en önde gelen savunucularından biri, ilk televizyonları ve bilgisayar monitörlerini yapmak için kullanılan katot ışın tüpünün mucidi İngiliz kimyager William Crookes (1832-1919) idi.
Ruhların doğası hakkında iki görüş vardı. Maneviyatçılar arasında daha yaygın olan ilki, ruhların enerji, ektoplazma veya başka bir tür doğaüstü maddeden oluşan maddi olmayan üç boyutlu varlıklar olmasıdır. Fakat bunlar soyut olsaydı, seanslar sırasında nesneleri nasıl hareket ettirebilirlerdi? 19. yüzyılın sonlarına doğru yaygınlaşan bir diğer görüş ise, ruhların maddesel olduğu ancak bizim uzayımızın dışında var oldukları ve istedikleri zaman bizi ziyaret ettikleri için onları göremediğimiz yönündeydi. Örneğin onlar dördüncü boyutta yaşayan varlıklardır. O zaman ruhların maddeleşmesi, onların üç boyutlu uzayımızdan geçişlerinden başka bir şey değildir.Bazı ruhçular bu materyalist versiyonu eleştirdiler ve ruhlar maddi olsaydı kapılardan veya duvarlardan geçemeyeceklerini savundular. Ancak hiperuzaydan gelen varlıklar için bu, önceki bölümde anlatıldığı gibi dördüncü boyut aracılığıyla mümkündür.
19. yüzyılda, dördüncü boyuttan varlıklarla temas kurma yeteneğine sahip olduğunu iddia eden birçok ortam ortaya çıktı. Bilim adamlarından biri - maneviyatın destekçileri İngiliz William Crookes'du (yukarıya bakın). Soldaki resimde, Maskelyne'in hayaleti Dr. Weatherly'nin önünde görünüyor.
William Crooks, Katie King'in hayaletinin önünde.
SIR WILLIAM CROOKES, MANEVİ BİLİMCİ
Fizik alanında da çalışmalar yapan İngiliz kimyager, o dönemde Avrupa'nın en önde gelen bilim adamlarından biriydi. Çalışmaları arasında katot ışın tüpünün icadı, elektriksel iletkenlik çalışması, talyumun keşfi, altın ve gümüşü diğer minerallerden ayırmak için bir birleştirme işleminin geliştirilmesi, tekstil endüstrisi için kimyasal boyaların icadı ve araştırma bulunmaktadır. endüstriyel elmas üretimine girdi. Buna ek olarak, Crookes psişik fenomen araştırmalarının öncülerinden biriydi ve aynı zamanda Psişik Araştırmalar Derneği'nin başkanı olarak görev yaptı. 1870'de en ünlü makalelerinden biri olan Modern Bilimin Işığında
Spiritüalizm'i yazdı.Crookes, ruhların cisimleşmesini ve Daniel Home, Cathy Fox ve Florence Cooke gibi bir dizi tanınmış medyumların çalışmalarını inceledi. Sonuncusu, ruhları nasıl çağıracağını ve somutlaştıracağını bilen Londralı genç bir bayan. En ünlü somutlaştırma seansı, korsan Henry Morgan'ın kızı Katie King'in ruhunu çağırmaktı. Crookes, Cathy'nin 44 fotoğrafını çekmeyi, nabzını hissetmeyi ve saçından bir tutam kesmeyi başardı. Bilim adamının bir hayalete aşık olduğu söylenir. Bütün bunlar, "Spiritüalizm Olgularında Çalışmalar" adlı kitabında yayınlanan, Katie King'in ruhuna benzeyen bir kadının tutuklanmasıyla daha da ağırlaşan büyük bir skandala neden oldu.
Ruhların dördüncü boyuttan varlıklar olduğu fikri, esas olarak Amerikan medyası Henry Slade ve Alman fizikçi Johann Zöllner tarafından popülerleştirildi. Daha önce de belirttiğimiz gibi, dördüncü boyut, Slade'in dolandırıcılıkla suçlanmasından sonra yaygın olarak bilinir hale geldi. Ancak onun spiritüalizm alanındaki çalışmaları Rus prensi Konstantin ile ilgilendi ve Slade, New York'taki Teosofi Cemiyeti'nin kurucuları olan Albay Olcott ve Madame Blavatsky tarafından davet edildi. Slade tarafından düzenlenen seanslar, Londra'daki ruhaniler ve sosyete arasında son derece popüler oldu. Ancak, Slade kısa süre sonra dolandırıcılıkla suçlandı. Bir seans sırasında, ruhların mesajlarını bıraktığı tahtanın seans başlamadan önce zaten notlar içerdiği keşfedildi.Mahkeme, Slade'i üç ay ağır çalışmaya mahkûm etti.
Slade'in ceza davası gazetelere çarptı ve sıcak bir konu haline geldi. İngiliz yüksek sosyetesinde büyük bir skandala neden oldu ve maneviyatla ilgili başka süreçler olmasına rağmen, en ünlüsü Slade'in davası oldu, çünkü dünyadaki birçok seçkin bilim adamı onu savunmaya geldi. Bunlar arasında Johann Zöllner, William Crookes, Alman fizikçi Wilhelm Weber (1804-1891), Gauss'un bir meslektaşı ve Riemann'ın akıl hocası, yakında keşfi için Nobel Ödülü'nü kazanan İngiliz fizikçi Joseph Thomson (1856-1940) vardı. elektron ve İngiliz fizikçi Lord Rayleigh. (1842-1919), aynı zamanda çeşitli gazların yoğunluğu ve argonun keşfi konusundaki araştırmaları nedeniyle gelecekteki bir Nobel Ödülü sahibi.Bu bilim aydınları, ruhların var olduğunu ve Slade'in suçlandığı paranormal fenomenlerin 4D'de oldukça mümkün olduğunu doğruladı.
FİLMLERDEKİ ORTAMLAR
Ortamlar genellikle A Rainy Evening Session (Bryan Forbes, 1964), Juliet ve Spirits (Federico Fellini, 1965), The Foundling (Peter Medak, 1980), Poltergeist (Tobe Hooper, 1982), "Ghost" gibi filmlere konu olmuştur. " (Jerry Zucker, 1990) ve "Shelter" (Juan Antonio Baiona, 2007). Bununla birlikte, en ünlü medyumlardan biri "Family Plot" filminin ana karakteriydi (Alfred Hitchcock, 1976). Çekici Blanche Tyler, kahin gibi görünüyordu ve tatlı konuşmalarla yaşlı kadınları büyüledi, onlardan bilgi aldı ve ölen akrabalarının hayaletleriyle temaslar kurdu. Daha fazla ikna etmek için seanslarına ışık ve ses efektleri eşlik etti. Bir taksi şoförü olan arkadaşı, zengin müşterilerin aile koşullarını öğrenerek ona yardım etti.
1875 yılında, Madame Blavatsky olarak da bilinen Helena Blavatsky, New York'taki Teosofi Cemiyetinin kurucularından biri oldu.
Uzay. Hayaletler, dediler, dördüncü boyutta yaşayan varlıklardı.
Londra'dan kaçtıktan bir yıl sonra, Henry Slade, Weber ve Fechner ("Uzayın dört boyutu" hikayesinin yazarı) dahil olmak üzere bir dizi meslektaşıyla birlikte bir dizi yapmaya karar veren Zöllner'in daveti üzerine Leipzig'de göründü. deneyler. Bu deneylerin, ruhların dört boyutlu varlıklar olduğunu ve dolayısıyla dördüncü bir boyutun var olduğunu kesin olarak kanıtlaması gerekiyordu. Zöllner, fiziksel araştırma yaparken çok boyutlu uzaylar teorisine aşinaydı ve ayrıca Gauss, Riemann ve Helmholtz'un çalışmalarını inceledi ve bu teorilerin paranormal olayları açıklamak için kullanılabileceğini anladı.
Birkaç ay boyunca, Leipzig grubu seanslar düzenledi ve ardından Zöllner Londra'da iki makale yayınladı: 1878'de "Dört Boyutlu Uzay Üzerine" makalesi ve 1880'de AXISDENSCHABILICLE ABANCTINCEN ("Transandantal Fizik") serisinin üçüncü kitabının çevirisi Deneylerin sonuçlarını özetleyen bu kitap çok popülerdi ve ruhlarla ilgilenen herkes için bir masaüstü haline geldi: teosofistler ve Rus dışavurumcu ressam Wassily Kandinsky de dahil olmak üzere bazı sanatçılar.
Bir Amerikan ortamının ilk deneyi, bir ilmeğe bağlanmış bir iple yapıldı. Slade elini ipe koyduktan sonra üzerinde dört düğüm belirdi. İp kapalı bir ilmek olduğu için ipleri kesmeden bu düğümleri 3 boyutlu olarak bağlamak imkansızdı. Bununla birlikte, dördüncü boyuttan bir varlık için bu oldukça erişilebilir, ancak bir düğüm atmak için yaratığın ipi ana veya kata'ya taşıması gerekiyordu. Zöllner için bu deneyin sonucu, dördüncü boyuttan gelen ruhların varlığını kanıtladı.
Transandantal Fizik kitabı, Slade tarafından Leipzig grubunun toplantılarında gerçekleştirilen paranormal deneylerin çoğu hakkında ayrıntılı bilgi ve ayrıca Zöllner tarafından ruhların dört boyutlu doğasını kanıtlamak için kişisel olarak tasarlanan bir dizi deney hakkında ayrıntılı bilgi içerir. Örneğin:
Deneylerden birinde, ruhlar iki tahta halkayı kırmadan dördüncü boyuta bağladılar.
Doğada, belirli bir yönelimin özelliği genellikle bulunur, örneğin bir salyangoz
kabuğu. Dördüncü boyuttan geçerken bu yönelim değişebilir.
Bir ilmek şeklinde bağlanan bir ipte, ruhlar bir düğüm attı.
Ama Zollner ve Slade'in deneyleri gerçekten başarılı mıydı? Zöllner öyle düşündü, ancak bilimsel yaklaşım açısından, deneylerin kendisi hatalıydı. Ruhlar, Zöllner'in deneylerinin planlı planına göre onlardan beklediğini yapmadı. Bunun yerine standın ayağına halkalar konuldu, salyangoz masadan zemine taşındı ve ip üzerinde iki ek ilmek oluşturuldu.
Herkes Zöllner'in açıklamalarından memnun değildi ve deneyler entelektüeller arasında şiddetli bir tartışmaya yol açtı. Özellikle Helmholtz gibi bilim adamlarından güçlü eleştiriler geldi. Spiritüalizmden ayrılan bir fizikçi, bir bilim adamının bir sihirbazın eylemlerini değerlendirmek için en iyi uzman olmadığına inanıyordu, çünkü,
Zöllner'in Transandantal Fizik kitabından., bacağın etrafında iki tahta halka bulunan bir standı gösteren bir çizim. Bu yüzükleri, bu yüzükleri birbirine bağlamaları gerektiği halde dördüncü boyuttan gelen ruhlar tarafından takıldığı iddia ediliyor. Sağdaki resimdeki ipteki düğümlerin de ruhlarla bağlandığı iddia ediliyor.
sağ eline bakarak solun ne hileler yaptığını görmez. Sonunda herkes, Zöllner'in yanlış yönlendirilmesine izin verdiği ve belki de delirdiği sonucuna vardı.
Zöllner'in çalışmasının sonucu, dördüncü boyutun herhangi bir bilimsel gerçeklerden uzak bir şakaya dönüşmesiydi. Ancak, XIX yüzyılın sonunda. İngiliz Protestan rahip Edwin Abbott bir kez daha ruhların dördüncü boyuttan varlıklar olduğu fikrine geri döndü. Abbott'un medyumlarla hiçbir ilgisi yoktu ve bu kavramı teolojik tartışmalar için kullandı. Ayrıca Hinton gibi uzmanlar dördüncü boyutun daha ciddi yönleri üzerinde çalışmaya devam ettiler.
Teoloji ve dördüncü boyut
Teolojik konularda dördüncü boyuta iki yaklaşım olmuştur. Bir yandan Abbott'un pozisyonundan daha önce bahsetmiştik: "Tanrı'ya dördüncü boyuttan, bilim yoluyla ulaşamayız." Bununla birlikte, bazı Hıristiyanlar gibi diğer birçok inanan, cennetin, cehennemin, ruhların, meleklerin ve Tanrı'nın kendisinin dördüncü boyutta
"yerleştirilebileceği" fikrini coşkuyla benimsedi. Bu fikirler İngiliz doktor ve yazar Alfred Taylor Schofield'ın (1846-1929) The Other World or the Fourth Dimension adlı kitabında bulunabilir:
“... Bu nedenle, başka bir dünyanın sadece var olabileceği değil, hatta oldukça olası olduğu sonucuna varabiliriz. İkincisi, böyle bir dünya dört boyutlu bir alan olarak kabul edilebilir ve üçüncüsü, manevi dünya esas olarak gizemli yasaları tarafından kontrol edilir, bizim için kendi garip dili vardır, her şeyi bilme ve her yerde bulunmanın en yüksek seviyesindeki mucizevi fenomenlerle doludur. ve benzerleri, dördüncü boyutun yasaları, dili ve özellikleri olan ...
... Güzel maddi Evrenimiz, bilgimizin çok ötesine geçse de, en güçlü teleskopların kullanılmasına rağmen, bu, diğer dünya ve yaratıklarının yanı sıra cennet ve cehennemin de bize çok yakın olmasına engel değil ... "
Schofield'ın fikirleri üzerine iki kısa açıklama. Sanılanın aksine melekler veya ruhlar dört boyutlu varlıklar olarak dünyamızdan geçebilselerdi, bu onların dördüncü bölümde söylediğimiz gibi bir insana benzeyecekleri anlamına gelmez.
Ayrıca, Tanrı mükemmelliğinde neden kendisi için dördüncü boyutu seçti? Neden beşinci, altıncı veya daha yüksek değil? İki boyutlu bir düzlem üç boyutlu uzaydadır, o da dört boyutlu uzaydadır ve bu şekilde sonsuz sayıda boyuta kadar devam eder. Tanrı gibi mükemmel, her şeye gücü yeten ve her şeyi gören bir varlık için sonsuz boyutlu bir uzay daha uygun olur. Dördüncü boyutun filozofları 19. yüzyılda benzer sonuçlara vardılar.
İngiliz ilahiyatçı ve Protestan papaz Arthur Willink (1850-1913) bu görüşü paylaştı. Görünmez Dünya adlı çalışmasında, Tanrı'nın sonsuz boyutlu bir uzayda yaşadığını yazdı:
"Ama şimdi daha ileri gidebilir ve dört boyutlu bir uzay kavramı tarafından hiçbir şekilde tüketilmeyen daha yüksek boyutlar fikrinin bir genellemesini düşünebiliriz ... Dört boyutlu bir uzayın varlığını kabul edersek, Beş boyutlu bir uzayın varlığı fikrine varmak artık o kadar zor değil ve sonsuz boyutlara kadar böyle devam ediyor. uzaylar... Ve uzayımızın maddi bir nesnesinin daha yüksek boyutlu bir dünyadan gelen bir gözlemci için nasıl göründüğünü hayal etmek bile imkansız olsa da, onun bütünlüğü içinde bir gözlemciden daha güzel bir manzara gördüğü hala açıktır. alt boyutlu uzay. Daha yüksek bir dünyadan, fenomenlerin ve nesnelerin gizli ve gizli yönleri de dahil olmak üzere daha mükemmel görüntüler görülebilir.
Bu, özellikle Tanrı'nın her şeyi bilme yönünü vurgular. Çünkü O, en yüksek alemde yaşayan, varlığımızın tüm bileşenlerini mükemmel bir şekilde görmekle kalmaz, aynı zamanda ruhumuzun ve bedenimizin her noktasına ve zerresine sonsuz derecede yakındır. Yani en katı fiziksel anlamda bile hepimiz O'nda yaşıyoruz, hareket ediyoruz ve varlığımız O'nda.”
İNSAN CEBİRİ
Alfred Taylor Schofield, insanın maddi ve manevi kısmını tanımlamak için cebirsel metaforlar kullandı:
“Yalnızca Hıristiyanlığa özgü olmayan bir başka evrensel ve içgüdüsel inanç, bir insan öldüğünde, onun bir parçasının (ruh veya ruh) bu dünyayı terk edip başka bir dünyaya gitmesidir. Ve insanın ruhsal bir doğası olduğuna dair bu yaygın inanç... cebir ile iyi bir şekilde örneklenebilir. Örneğin, maddi bir bedeni sembol x 3 ve ruhu - daha yüksek ve daha güçlü bir madde - x 4 olarak belirleyelim . O halde (x 3 + x 4 ) yaşayan bir kişiyi temsil eder ve (x 3 + x 4 ) - x 4 ruhun ölüm anında yükselişini (x 4 ) ve kendi boyutuna dönüşünü ifade eder, geriye kalanlar ise (x3 ) ait oldukları ülkeye geri dönerler.”
Aynı zamanda, Alman matematikçiler Richard Dedekind (1831-1916) ve hepsinden öte, Georg Cantor (1845-1918), sonsuzluk kavramını en katı matematiksel hassasiyetle incelediler. Daha sonra, XX yüzyılın başında. Alman matematikçi David Hilbert (1862-1943), Hilbert uzayları olarak adlandırılan, mesafenin ölçülebildiği sonsuz boyutlu uzaylar kavramını tanıttı.
Dördüncü Boyut ve İncil'in yazarı filozof ve matematikçi William Granville (1864-1943), Tanrı'nın sonsuz uzayda yaşadığı inancını da paylaştı. Ancak dördüncü boyutun ve diğer yüksek boyutların cennet, iki boyutlu ve tek boyutlu dünyaların cehennem olduğuna inanıyordu. Böylece, bir kişi öldüğünde, ruhu daha yüksek veya daha düşük boyutlu bir dünyaya gider.
Gilbert'in SONSUZ OTEL
Sınırlı sayıda odası olan ve tamamı dolu olan bir otel hayal edin. Yeni bir ziyaretçi gelirse, otel sahibinin otelde boş yer olmadığını söylemesi gerekir. Şimdi, otelin 1,2,3,4 doğal sayılarıyla numaralandırılmış sonsuz sayıda odası olduğunu ve önceki örnekte olduğu gibi tüm odaların dolu olduğunu varsayalım. Ancak yenisi gelirse
misafir oda isterse, otel sahibi cevap verir: “Elbette. Konuğu birinci odadan ikinciye, ikinciden üçüncüye ve sonsuza kadar taşımamız gerekiyor.” O zaman ilk oda ücretsiz olacak ve yeni misafir oraya yerleşebilir.
Ama sonsuz sayıda yeni misafir gelirse ne olur? Ve bu durumda, bir çözüm var. İlk odadaki misafir 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki misafir - 4 numaralı odaya, 3 numaralı odadaki misafir - 6 numaralı odaya vb. önceki odanın iki katı. Böylece tek sayılı odalar boşalacak ve yeni misafirler bu odalara yerleşebilecektir.
Sonsuzluk kavramı, yalnızca sonlu kümeler için geçerli olan, bize tanıdık gelen bazı "gerçekler"le çelişir. Örneğin, "bütün parçalardan daha büyüktür" ifadesi. Bu sonsuz kümeler için çalışmaz. Sonsuz otel örneğinden de görebileceğiniz gibi, çift sayılar kümesi, doğal sayılar kümesiyle aynı sayıda elemana sahiptir.
Tasavvuf, Teozofi ve Astral Evren
Rus filozof ve yazar Pyotr Demyanovich Uspensky (1878-1947) "Dördüncü Boyut" adlı makalesinde, zannettiğimizin aksine hiçbir şekilde üç boyutlu varlıklar olmadığımızı söyler. Ona göre, dördüncü bir boyutun varlığı kaçınılmaz olarak iki şeyden biri anlamına gelir: ya dört boyutlu varlıklarız ya da sadece üç boyutumuz var. Ancak, ikinci durumda, fiziksel olarak var olmazdık.
Çünkü dördüncü bir boyut varsa ve bizler üç boyutlu varlıklarsak, bu gerçekten var olmadığımız anlamına gelir: düz bir çizgi üzerinde uzunluğu olmayan noktalar ya da düz çizgiler gibi koşullu, maddi olmayan varlıklar olurduk. bir düzlemde genişliği yoktur veya 3B uzayda hacmi olmayan düzlemler. Böylece, ona Tanrı desek de, başka türlü desek, yalnızca daha yüksek bir varlığın zihninde var olurduk ve tüm eylem, düşünce ve duygularımız bu varlığın hayal gücünün bir ürünü olurdu.
Daha yüksek bir varlığa ve onun kaprislerine bağlı olan hayali bir dünyada olduğumuza inanmazsak, o zaman dördüncü boyut realitemizi tanımak zorunda kalacağız. Yani, sadece parfüm ya da
Peter Demyanovich Uspensky, ezoterik felsefede önemli bir figürdü. Daha yüksek bir varlığın zihninin bir ürünü olarak var olduğumuzu savundu.
hayaletler, ama biz kendimiz dört boyutlu varlıklarız. Ancak gözlemlenebilir üç boyutlu evrende yalnızca bir parçamız yaşıyor ve Platon'un mağara mitinde olduğu gibi bedenimizin ve varlığımızın yalnızca bu bölümünün farkındayız.
Hinton ve Ouspensky için dördüncü boyut sadece kavramsal bir alan değil, aynı zamanda daha yüksek bir gerçekliğin özel bir bilgisiydi. Dördüncü boyutla ilgili matematiksel çalışmaları, şu şekilde formüle edilebilecek mistik bir yaklaşıma dayanıyordu: dünya birdir ve bilinemez.
Mistik birlik sayesinde evrensel birliğe ulaşabiliriz. Bu, her şeyi (yakın ve uzak, geçmiş ve gelecek, gerçek ve hayali) bir (mistiklerin dediği gibi Bir; matematikçiler ona hiperuzay ve diğerleri ona Tanrı derler) içinde birleştiren bir süperuzaydır.
Mutlak veya başka türlü) insan tarafından anlaşılabilir semboller şeklinde temsil edilemez. Bu, yaklaşımın ikinci bölümünü açıklar: "Bir, bilinemez." Fakat bu yaklaşım ne anlama geliyor? Mistiklerin bakış açısından, Bir'i etrafımızdaki boşluğu nasıl hissedebileceğimiz veya kalplerimizi hayatı, güzelliği, sevgiyi hissetmek için nasıl açabileceğimiz anlamında anlayabilir ve idrak edebiliriz. Ancak rasyonel olarak Bir bilinemez.
The Fourth Dimension'da (1984) Rudy Rooker bunu açıklamak için aşağıdaki benzetmeyi kullanır. Sonsuz bir küme düşünün, örneğin, H = {1, 2, 3, 4, ...} doğal sayılar kümesi. Bir sayının tanımına sahip olarak, K'nin ne olduğunu anlayabiliriz, ancak tam bilgi, yani tüm doğal sayıların bir listesi bizim için mevcut değildir. Bu nedenle K kümesi bilinemezdir.
Teosofi Cemiyeti'nin kurucusu Madam Blavatsky'nin kendisi buna hiç ilgi göstermemesine rağmen, teosofistler de dördüncü boyutla çok ilgilenme eğilimindeydiler. Teosofistler, Hinton ve Ouspensky gibi dördüncü boyutçular gibi, Okült'ün yanı sıra Bir'e de mistik bir inancı paylaştılar. Böylece Teozofi ile Spiritüalizm arasında kesin bir bağlantı vardı. Ek olarak, Anglikan rahip Charles Leadbeater (1854-1934) gibi birçok Teosofist, dördüncü boyutun, görünür evrenimize paralel astral dünya olduğuna ve bu dünya fikrinin dördüncü boyut kullanılarak iyi bir şekilde açıklandığına inanıyordu. : "... teori dördüncü boyut, astral
dünyanın daha doğru ve daha eksiksiz bir açıklamasını verir.
Bölüm 6
Edebiyatta dördüncü boyut
Zaman şimdiye kadar bir rüyada ne gördü, şimdiki her şey gibi en yüksek nokta nedir? .. Uzay hayal etti. Boşluğa ihtiyaç duymayan müziğin hayalini kurdu. Müziği içerdiği için müzikten bile daha açıklanamaz olan sözcüğün sanatını düşledi. Dördüncü boyutu ve içinde yaşayan garip yaratıkları hayal etti. Rüyada birçok kum tanesi gördü. Hala büyümekte olan çok sayıda sonsuz sayı hayal etti.
Jorge Luis Borges. Zamanın Uykusu
Hinton ve Abbott'un kitaplarında tanıtılan dördüncü boyut teması, hem HG Wells gibi yeni ortaya çıkan bilim kurgu türünde hem de diğer edebi türlerde zamanın diğer yazarları tarafından coşkuyla ele alındı. Bu bölüm, dördüncü boyutun iki dönemin literatürüne nasıl yansıdığını açıklamaktadır: 19. yüzyılın sonundan itibaren. 1920'lerin başlarına, altın çağ olarak adlandırılana kadar ve göreliliğin keşfinden on yıllar sonra, dördüncü boyuta olan ilgi azalmaya başladığında.
Altın Çağ
Edebiyatta dördüncü boyutun teması, Jules Verne ile birlikte edebi bilimkurgu türünün öncüsü olarak kabul edilen İngiliz yazar HG Wells ile ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bilimkurgunun kurucusunun gençliği ve yetişkin yaşamının bir kısmı, dördüncü boyutun altın çağına denk geldi, bu nedenle çalışmalarının, dördüncü boyuta seyahat, ziyaretler gibi çok boyutlu uzaylar hakkındaki fikirlerden yoğun bir şekilde etkilenmesi tesadüf değil. hiper varlıklar, paralel evrenler ve bir zaman makinesi dünyamıza. .
HG Wells'in en ünlü romanı The Time Machine (1895), ilk kısa öyküsü The Argonauts of Time'a (1888) dayanmaktadır. İçinde Wells, zamanı 1920'lerde popüler hale gelen görelilik teorisi anlamında değil, o zamanlar inanıldığı gibi statik uzay-zaman anlamında dördüncü bir boyut olarak görüyor. Hinton ve diğer dördüncü boyut filozofları da zamanı, diğer üç uzay boyutuyla birlikte uzay-zaman sürekliliğini oluşturan başka bir boyut olarak gördüler. Bu nedenle, inandıkları gibi, zamanda farklı hızlarda ileri geri gidebilir, isterseniz durabilirsiniz. Ancak zamanın geçişini her zaman bir yönde ve sabit bir hızla algılarız. Ayrıca, o zamanlar zaman yolculuğu dördüncü boyutu görselleştirmenin bir yoluydu.
Bu statik uzay-zaman Wells romanında anlatılmıştır. Dördüncü boyutun geometrisini inceleyen bir bilim adamı olan kahraman, zamanda yolculuk yapabilen bir makine yaptı. Geleceğe, 802701 yılına seyahat ediyor.
HERBERT GEORGE WELLES (1866-1946)
Wells'in adı en ünlü bilimkurgu eserleriyle ilişkilidir: "Zaman Makinesi", "Görünmez Adam", "Dünyalar Savaşı" ve "Dr. Moreau Adası". Wells'in ailesinin durumu oldukça zordu ve çalışmalarını iş ile birleştirmesi gerekiyordu. Çocukken bir kaza geçirdi ve birkaç ayını yatakta geçirdi. O sıralarda okumaya bağımlı hale geldi, bu da ona kitaplarını yazması için ilham verdi. Londra'daki Teachers College'da biyoloji okumak için burs aldı. Wells daha sonra öğretmen olarak çalıştı ve gazete ve dergilere katkıda bulundu, ancak mali zorlukları devam etti. Tüberküloza yakalanıp 40 kilo verdikten sonra işini bırakıp kendini edebiyata adadı.1895'te Wells, Zaman Makinesi'ni yayınladı. Roman hemen en çok satanlar oldu ve onu ünlü ve zengin bir yazar yaptı ve onu yoksulluktan sonsuza dek kurtardı. Wells 100'den fazla kitap yazmıştır. Liberal adam ve bu süre içinde hayatın nasıl değiştiğini görür. Roman, yazarın insanlığın geleceğine ilişkin kaygısını ve Viktorya döneminin sonunda toplumun sınıf yapısına ilişkin düşüncelerini yansıtıyordu.
Wells, bilim kurgunun kurucusuydu. Kitaplarından yola çıkarak birkaç film yapılmıştır, örneğin The Island of Dr. Moreau filminin İspanyol posteriyle birlikte sağda gösterilen Zaman Makinesi gibi.
Romandan aşağıdaki alıntı dördüncü boyuta atıfta bulunur:
"Ve bundan," diye devam etti Zaman Gezgini, "her gerçek cismin dört boyutu olması gerektiği sonucu çıkar: uzunluğu, genişliği, yüksekliği ve varoluş süresi olmalıdır. Ancak zihnimizin doğuştan gelen sınırlamaları nedeniyle, bu gerçeği fark etmiyoruz. Yine de üçü uzamsal ve dördüncüsü zamansal olarak adlandırdığımız dört boyut vardır. Doğru, ilk üç boyutu son boyuta karşı koyma eğilimi var, ancak bunun tek nedeni bilincimiz, hayatımızın başlangıcından sonuna kadar bu son boyutun yalnızca bir yönünde sarsıntılı hareket etmesidir
Görüşlerine göre, Victoria toplumunun acımasızlığını ve katılığını eleştirdi, daha az şanslıların haklarını savundu, süfrajet hareketini destekledi ve bilim ve eğitimin insan yaşamını iyileştirmenin araçları olduğuna inanıyordu. Ancak ona göre bilimin etik yönlerini takip etmek ve teknolojiye körü körüne güvenmemek gerekiyordu.
<...> Bununla birlikte, bazı felsefi zihinler kendilerine şu soruyu sordular: neden sadece üç boyut var olabilir? Neden diğer üçüne dik açı yapan bir yön daha olamaz? Hatta Dört Boyutun Geometrisini yaratmaya çalıştılar. Yaklaşık bir ay önce Profesör Simon Newcomb bu problemi New York Matematik Derneği'ne sundu. Biliyorsunuz ki sadece iki boyutu olan düz bir yüzey üzerinde üç boyutlu bir cismin çizimini hayal edebilirsiniz. Aynı şekilde, üç boyutlu modellerin yardımıyla, bu nesnenin perspektifinde ustalaşırsanız, dört boyutlu bir nesneyi temsil etmenin mümkün olduğu varsayılmaktadır. Anlıyor musun?
Wells'in yine 1895'te yayınlanan bir sonraki romanı A Wonderful Visit, bizim dünyamızı dört boyutlu uzayda çevreleyen üç boyutlu komşu bir evrenden bir varlık tarafından ziyaret edildiği fikrine dayanıyor. Melek, rüyalar dünyası dediği göksel küreden dünyamıza düşer. Ona göre dünyalarımız "bir kitaptaki iki sayfa kadar yakın". Melek, evrenin aslında dört boyutlu olduğunu bilir. Böylece, "Flatland" dan Küre rolünü oynarken, sona erdiği İngiliz köyünün sakinleri kendilerini yaylacılar konumunda bulurlar. Rüya dünyasından bir melek papaza hitap ettiğinde papaz, “Garip, ama neredeyse dördüncü bir boyutun var olabileceğine inanıyorum.Ancak, bu durumda... yan yana herhangi bir sayıda 3B evren olabilir...
Yüksek boyutlu geometri ile ilgili başka bir tema, "The Remarkable Case of Davidson's Eyes" (1895) adlı kısa öyküde ortaya çıkar. Hikayenin ana karakteri laboratuvarda bir kaza geçirdi, bunun sonucunda kör kaldı ya da çevresinde hiçbir şey göremedi. Ancak denizi, kumsalı, kumu, kayaları ve penguenleri görebiliyordu. Bu hikayede Wells, Davidson'un Londra'dan Güney Okyanusu'nda bir ada görmesine izin veren dördüncü boyutta bir uzay eğriliği kavramını kullanıyor. The Crystal Egg'de (1897), Wells paralel evrenler arasındaki bir pencereyi tanımlar.
İnsan vücudunun diğer boyutlara seyahat ettikten sonra yönünü değiştirme teması Wells tarafından "Plattner'ın Öyküsü" (1896-1897) hikayesinde kullanılmıştır. Laboratuardaki bir patlamanın sonucu olarak, Profesör Plattner dördüncü boyuta girerek uzayımızın dışında gördüklerini anlatıyor. Bedeni olmayan, insanlığı gözetleyen varlıklar tarafından yaşıyoruz. Plattner onlara "yaşayanların izleyicileri" diyor. Plattner, evrenimizi o uzaydan gördüğü şekliyle anlatıyor, ancak hikayelerinin tümü, bir patlamadan mustarip bir delinin hezeyanıyla karıştırılıyor.Ancak en ilginç şey, Dünya'ya döndükten sonra vücudunun oryantasyonu değişti: sol ve sağ taraflar yer değiştirdi, böylece örneğin kalp şimdi sağdaydı. Gerçekten de dördüncü boyutta olduğunu ve hikayelerinin doğru olduğunu kanıtlıyor . Hikayenin dediği gibi, “Dünyamızda bir insanın sol ve sağ tarafını değiştirmenin bir yolu yok. Nasıl hareket ederse etsin, sağ hala sağda kalacak ve sol - sol ... Kesin olarak konuşursak, Plattner'ın vücudunun yönelimindeki değişiklik, bizim alanımızdan dördüncü boyut olarak adlandırılan şeye geçtiğinin kanıtıdır ve sonra dördüncü uzamsal boyuta bir yolculukla ilgili başka bir hikaye, "Çalınan Beden" (1898) hikayesinde anlatılmaktadır .bizim uzayımızdan dördüncü boyut denen şeye geçtiğini ve sonra tekrar dünyamıza döndüğünü. Dördüncü uzamsal boyuta yolculukla ilgili başka bir hikaye, "Çalıntı Beden" (1898) hikayesinde anlatılmaktadır. bizim uzayımızdan dördüncü boyut denen şeye geçtiğini ve sonra tekrar dünyamıza döndüğünü. Dördüncü uzamsal boyuta yolculukla ilgili başka bir hikaye, "Çalıntı Beden" (1898) hikayesinde anlatılmaktadır.
Wells'in Zaman Makinesi adlı romanı, bir zaman yolculuğu makinesini tanımlayan ve zamanın, kişinin seyahat edebileceği başka bir boyut olduğu fikrini ortaya koyan ilk kurgu eserlerinden biridir. Bu fikir, Charles Dickens'ın A Christmas Carol (1843) ve Mark Twain'in King Arthur's Court'taki (1889) A Yankee gibi kitaplarında da yer aldı. Bununla birlikte, bir dizi yenilikçi teatral komedinin yaratıcısı olan İspanyol oyun yazarı Enrique Gaspar'ın (18421902), E1 apascopbreie ("Zamana Doğru Uçmak") adlı romanında bir zaman makinesinin yaratılmasını anlatarak Wells'in önünde olduğunu belirtmek gerekir. ", 1887). İçinde,
Zaragoza'dan bir mucit olan Sindulfo Garcia, bir zaman yolculuğu makinesi inşa ediyor - apasgopbreie (Yunanca apa - "geri", duraklar - "zaman" ve reii - "uçan kişi"),geçmişin farklı dönemlerinde diğer yolcularla birlikte seyahat ettiği yer. Paris Komünü yıllarında 1492'de Granada'ya gittiler.
Wells dördüncü boyut konusuna değindi
birkaç eserinde. Ünlü romanlardan biri olan Görünmez Adam'ın (1897) kahramanı, "dört boyutlu geometrik bir ifade olan bir formül" ile görünmez kılınmıştır. Solda romanın en iyi uyarlamalarından birinin posteri var.
3. yüzyılda Çin'de. M.Ö. e., Pompeii'nin son gününde Vezüv'ün eteklerine kadar ve evrenin yaratılışı sırasında. Başlangıçta bir zarzuela olarak tasarlandı - bir İspanyol müzikal draması, çalışmanın orijinal el yazması 1881'den kalma ve İspanya Ulusal Kütüphanesinde saklanıyor.
Edebiyatta matematik denilince Carroll'dan bahsetmemek elde değil. Lewis Carroll, İngiliz matematikçi Charles Dodgson'un (1832-1898) takma adıdır. Alice Harikalar Diyarında (1865) adlı kitabı, yazarın ölçümlerle oynadığı tek kitap değildir. Ayrıca "Sylvie ve Bruno"da (1889) bazı kısıtlamalarla zaman yolculuğuna izin veren bir saati anlatıyor: Saatte ne kadar zaman geçti, gerçek hayatta aynı miktarda zaman geçti. Ancak Dodgson'ın Riemann ve Lobachevsky'nin eserlerini iyi bildiğini ve hatta maneviyatla ilgilendiğini, Zöllner'in Transandantal Fizik kitabını okuduğunu göz önünde bulundurarak, eserlerinde başka imalar olması hiç de şaşırtıcı değil.Alice Harikalar Diyarında'nın devamı olan Aynanın İçinden'de (1871), Riemann'ın "solucan delikleri" fikrini kullanır - iki dünyayı, bizimkiyi ve aynayı birbirine bağlayan, ayna aracılığıyla birbirine bağlanan tüneller. İlk kitapta Harikalar Diyarı, dünyamıza Alice'in düştüğü bir tavşan deliğinden bağlanıyor. Ayrıca Carroll, aynadan geçmenin bir sonucu olarak yön değiştirme fikrini de açıklar. Oraya gitmeden önce Alice, kedi yavrusuna sorar, "Pekala Kitty, Aynalı Ev'de yaşamak ister misin? Acaba orada sana süt verecekler mi? Ancak ayna sütü içmenin mümkün olup olmadığını bilmiyorum. ”
Solucan delikleri iki evreni birbirine bağlar ve muhtemelen aralarında seyahate izin verir.
Aslında, ayna sütü içilemez, çünkü molekülleri ya “sağ-elli” (ışık polarizasyon düzlemini sağa döndürürler) ya da “sol-elli” ve aynadan geçerken bu yönelimler değişecektir. ve süt yenmez hale gelecektir. Yönlendirmedeki değişikliğin daha açık bir örneği, aynanın diğer tarafındaki Alice'in raflardaki kitapların adlarının ayna görüntüsünde tersten yazıldığını fark etmesidir. Alice, şöyle yazılmış JUMPER GLOT şiirinin adını görür: TOL1AMCHAZ.
John Tenniel'in Aynanın İçinden Alice için yaptığı çizimler. İlk resimde, Alice saatin solundaki aynanın önünde duruyor ve ikincisinde, zaten Aynaya girmiş, saatin sağında.
İlginç bir şekilde, Fyodor Mihayloviç Dostoyevski'nin (1821-1881) Karamazov Kardeşler (1879-1880) adlı romanında Öklidyen olmayan ve çok boyutlu geometrilere göndermeler bulunabilir. Ivan Karamazov, Tanrı'nın varlığı üzerine düşünürken onlardan bahseder.
Ancak burada şunu belirtmek gerekir: Eğer bir Tanrı varsa ve gerçekten dünyayı yarattıysa, o zaman çok iyi bildiğimiz gibi, onu Öklid geometrisine göre ve insan aklını sadece üç kavramla yaratmıştır. uzayın boyutları. Bu arada, tüm evrenin, hatta daha kapsamlı bir şekilde, tüm varlığın yalnızca Öklid geometrisine göre yaratıldığından şüphe duyan, hatta iki paralel çizgiyi hayal etmeye cesaret eden geometriciler ve filozoflar ve hatta en dikkat çekicileri arasında vardı ve şimdi bile var. Öklid'e göre yeryüzünde asla buluşmayacaklardı, belki de sonsuzlukta bir yerde buluşacaklardı. Ben, canım, bunu bile anlayamıyorsam, Tanrı'yı nasıl anlayacağıma karar verdim.<...> Tüm bu sorular, yalnızca üç boyut kavramıyla yaratılmış, zihnin karakteristiğinden tamamen farklıdır.
Hayaletlerin dördüncü boyuttan varlıklar olduğu ve istedikleri zaman dünyamızı ziyaret edebilecekleri fikri, İngiliz yazar, şair ve oyun yazarı Oscar Wilde'ın Canterville Hayaleti (1887) adlı kısa öyküsünde kullanılır. Hayalet hikayelerinin bu komik ve ironik parodisinde, hayaletin ortadan kaybolması şöyle anlatılır: “Kaybedecek zaman yoktu ve kurtuluş uğruna dördüncü boyuta başvurarak ruh, tahta panelin içinde kayboldu. duvar. Evde her şey sessizdi." Yani hayaletler duvarlardan geçmezler, dördüncü boyuta geçerler.
Dördüncü boyut teması, 1907'de The Jungle Book ve Nobel Edebiyat Ödülü'nün yazarı olan İngiliz yazar ve şair Rudyard Kipling'in (1865-1936) de dikkatini çekmiştir. “Dördüncü boyut” ifadesini en az ikisinde kullanmıştır. onun hikayeleri. İlk olarak Soztoroyap dergisinde yayınlanan "Dördüncü Boyutta Bir Hata" hikayesinde olay örgüsü dördüncü boyutla bağlantılı değil, başlıkta metaforik olarak kullanılmıştır. Ve işte "The Dreamer" (Te Bryssooc! Voy, 1895) hikayesi, kahramanın Kipling'in dördüncü boyut olarak adlandırdığı rüyalar dünyasındaki maceralarını anlatıyor: dönüş".
Bunlar, 1920'lere kadar süren dördüncü boyutun altın çağının literatüründe çok boyutlu dünyalar temasının kullanımına ilişkin birkaç örnektir. Bu olgunun büyüklüğünü anlamak için birkaç örnek daha düşünün.
İskoç yazar ve şair George MacDonald'ın Lilith (1895) adlı romanında, kahraman, evrenimiz ile ölülerin ruhlarının yaşadığı paralel bir evren arasında bir geçiş yaratmak için aynaları kullanır. Amerikalı yazar Ambrose Bierce, Gizemli Kaybolmalar (1893) adlı derlemesinde, bizimkinden başka, Öklidyen olmayan başka bir alana düşen insanların çeşitli kaybolma vakalarından bahsediyor. Orada kendilerini kimsenin görmediği ve duymadığı garip bir cebe kilitlenmiş olarak bulurlar; göremezler, işitemezler, yaşayamaz ve ölemezler. Anton Pavlovich Chekhov da "Sır" adlı öyküsünde paranormal olayları anlatırken dördüncü boyutu kullandı.İngiliz yazarlar Ford Madox Ford ve Joseph Conrad, The Heirs (1901) adlı romanı, dünyamızı ele geçirmek isteyen dördüncü boyuttan bir varlık ırkı hakkında yazdılar.
YÖNLENDİRME "TİTANİK"
James Cameron'un Titanic (1997) filminde, yolcuların bir transatlantik uçağa binerken sol elleriyle garip bir şekilde veda ettikleri ve bu tarihi olayı filme alan kameramanın sanki sol taraftaki kamera kolunu büktüğü bir sahne vardır. solcular için bir kameraydı, o zamanlar duyulmamış bir cihazdı. Gerçek şu ki, film için yapılmış Titanik'in kopyası, gemiler sol tarafta demirlenirken, kıyının sağ tarafında duruyordu. Bu sahnenin kurgu sırasında yansıtılması gerekiyordu, bu yüzden yönetmenin çekim sırasında her hareketi yansıtması gerekiyordu. Son versiyonda ismin doğru okunması için geminin adının bile aynalı harflerle yazılması gerekiyordu. Bütün bunlar bazı sahneleri çekmeyi çok zorlaştırdı.Aslında, Cameron geminin sadece yarısının bir kopyasını yaptı,
Garip bir resim denedim ve birden kendimi dördüncü boyutta buldum. Başka bir ünlü Amerikalı yazar Francis Scott Fitzgerald'ın Beautiful but Doomed (1922) adlı kitabında, böyle bir pasaj var: “Birden ona, odadaki her şeyin desteğini kaybetmiş, sisli mavi uçakların iç içe geçmesinden düştüğü görülüyordu. düşünülemez dört boyutlu bir döngüye dönüşüyor.” Amerikalı şair William Carlos Williams, Spring and All Living Things'de (1923) şöyle yazar: “Dördüncü boyut nedir? Bu bilginin sonsuzluğudur, gerçekliğin uçtuğu hayal gücü budur.
Adı geçen yazarların çoğu İngilizce konuşsa da, diğer ülkelerden yazarlar da bu konuyla ilgilendi. Bu konuda üç tanesinden bahsetmeye değer. Fransız yazar Gaston de Pavlovsky, Journey to the Country of the Fourth Dimension'ı 1895 ile 1912 yılları arasında ve genişletilmiş bir versiyonuyla 1923'te yayımladı. Wells gibi Pavlovsky de sosyal sorunları tartışmak için fantastik dördüncü boyutu kullanıyor. Bununla birlikte, bu kitap zaman yolculuğu ile ilgili olmasına rağmen, Pavlovsky zamanı dördüncü bir boyut olarak görmez, Abbott ve Hinton örneğini izleyerek ülkeyi dört uzamsal boyutta tanımlar.Pavlovsky, Zöllner'in spiritüalizminden ve 20. yüzyılın başında Fransız entelektüelleri arasında, özellikle Kübist sanatçılar arasında yaygın olarak bilinen Transandantal Fizik adlı çalışmasından da güçlü bir şekilde etkilendi.
Atlantik'in her iki tarafında, dördüncü boyut 20. yüzyılın başlarında literatürde popüler bir tema haline geldi. Fransız Marcel Proust (sol üstte) başyapıtı In Search of Lost Time’da ve Amerikalı Francis Scott
Fitzgerald (sağ üstte) Beautiful but Doomed adlı romanında bunun hakkında yazmıştı. Rus yazar Anton Chekhov (sol altta), "Sır" hikayesinde dördüncü boyutu paranormal olaylarla ilişkilendirdi.
Fransız yazar Marcel Proust (1871-1922), Kayıp Zamanın İzinde serisinin bir parçası olan Swann'a Doğru (1913) adlı romanında dördüncü boyutu hem uzay hem de zaman olarak ele almıştır. Bu yaklaşım, statik bir uzay-zamandan başka bir şey olmayan zamanın somutlaştırılması olarak adlandırılabilir. Aslında bir tür zaman makinesi olduğu ortaya çıkan kiliseyi şöyle anlatıyor: “[O], tabiri caizse, dört boyutlu uzayda bulunan bir binaydı - dördüncü boyut onun için Zamandı, - bir binaydı. gemisini yüzyıllar boyunca ilerleten, bir noktadan diğerine, şapelden şapele, bölgenin sadece birkaç metresini değil, birbirini takip eden birçok çağı kazanıp üstesinden gelmiş gibi görünen ve onlardan muzaffer olarak çıkan;kilise duvarlarının kalınlığında 11. yüzyılın kaba ve sertliğini gizleyen bir yapı ... ".
Son olarak, Meksikalı şair Amado Nervo (1870-1919) dördüncü boyutun bir tutkunuydu. Dördüncü boyut hakkında bir makale yazdı ve şöyle diyor: “Duyularımızdan farklı olarak bilincimiz üç boyutlu dünyayla sınırlı değil, tam tersi: bizi genel anlamda dördüncü boyuta götürüyor. , evrenin tam olarak anlaşılması için gerekli bir ilaveden başka bir şey değildir... En büyük sanatçı olan şair... dört boyutlu dünyada saatlerce vakit geçirir. Şiirsel esrime, herhangi bir esrime gibi, yeni bir boyuta çıkıştan başka bir şey değildir... İnsan ruhu, bilinmeyen bir boyuttaki devamımızdır.”
Görelilik kuramının keşfinden sonra
Albert Einstein, genel görelilik teorisini 1915'te ve 1920'lerde yayınladı. şimdiden o kadar popüler hale geldi ki, daha önce anlaşıldığı gibi dikkati dördüncü boyuttan göreli uzay- zamana kaydırdı. Görelilik teorisi, dördüncü boyuttaki ilginin çoğunu emerken, aynı zamanda hem evrenimizin anlaşılmasına hem de ikiz paradoks ve diğer benzer konular gibi genel halkın özel ilgi gösterdiği bazı yönlere yeni unsurlar ekledi. . Bu paradokslar, görelilik teorisinde uzay ve zamanın birbirine bağlı olmasının ve uzay-zaman sürekliliğinde anlaşıldığı gibi zamanın başka bir boyut olmamasının bir sonucudur.Görelilik teorisi, entelektüeller ve sanatçılar arasında hızla birçok takipçi kazandı.
İkizler Paradoksu
İzafiyet teorisinin teknik detaylarına girmeden, ikiz paradoksu şu şekilde tarif edilebilir: İki ikiz kardeşi ele alalım, bunlardan biri uzak bir yıldıza uzun bir yolculuğa çıkan bir uzay gemisinde uzay gemisinin hızına yakın bir hızla gidiyor. ışık, diğer kardeş ise yerde kalır. Astronot kardeş Dünya'ya döndüğünde, artık kardeşinden çok daha genç olduğu ortaya çıkıyor. Bunun nedeni görelilik kuramına göre hıza bağlı olarak zamanın yavaşlamasıdır. Yani, bir astronot bir uzay gemisinde yüksek hızda uçtuğunda, onun için zaman dünyadaki kardeşinden daha yavaş geçmiş ve bu nedenle daha az yaşlanmıştır.
Pierre Boulle'un aynı adlı romanına dayanan Maymunlar Cehennemi (1968) filmi de ikiz paradoksu kullanır. Filmin sonunda, astronotların aslında Dünya'ya döndükleri, ancak Dünya'daki yolculukları sırasında çok zaman geçtiği, insanlığın üstünlüğünü kaybettiği ve maymunların baskın tür haline geldiği ortaya çıkıyor. Astronotların kendileri için sadece birkaç yıl geçmesine rağmen.
Yavaş yavaş, uzamsal dördüncü boyuta olan ilgi göreceli versiyona geçti ve 1950'ler-70'lerde kelimenin tam anlamıyla anekdot haline geldi. Elbette Hinton ve Abbott'un fikirlerini geliştiren yazarlar da vardı, ama hepsinden önemlisi, o sıralarda doruk noktasına ulaşan bilimkurgu çağıydı. Mevcut tüm kavramlar, yorumlarının herhangi birinde çok boyutlu boşluklar dahil olmak üzere edebi araçlar olarak kullanıldı. Bu on yıllarda, çok boyutlu uzaylar matematikte yeniden moda oldu.
Popülerliğine rağmen, görelilik teorisinin iki kusuru vardı. Birincisi, uzmanlar için bile çok zordu ve İkincisi, bu teori zamanda geriye gitmenin imkansızlığını varsayıyordu - göreli olmayan bir uzay-zaman sürekliliği fikrini kullanmaya devam eden yazarlar arasında çok popüler bir konu, ne derlerse adlandırıyorlar. BT.
Amerikalı yazar William Faulkner (1897-1962), diğer birçok modernist gibi, eserlerinde dördüncü boyut temasını ele almıştır. Öldüğümde (1930) romanı, geçmişi şimdiye çevirmek için uzay-zaman yapısını ve bellek için bir metafor olarak dördüncü boyutu kullanır: . Bu resimde, çocukluktan başlayarak her zaman onun için bestelenmiştir. Ve işte kitabın en başından itibaren zamanın neredeyse uzamsal bir görüntüsü: “Yol, bir ip boyunca sanki dümdüz uzanıyordu, ayaklarıyla ütülenmişti, Temmuz ayında bir tuğla gibi yanmıştı, yeşil pamuk sıraları arasında, pamuk ahır, etrafında döner, dört yuvarlak dik açıyla kırılır ve sonra tarlada kaybolur, ezilir ve daralır.
Statik uzay-zamanı özel olarak kullanan bir başka kitap, Amerikalı yazar Kurt Vonnegut'un (1922-2007) Slaughterhouse Five'ın (1969) mükemmel eseridir. sanatsal görüntüler savaş ve savaş neredeyse sona erdiğinde Müttefikler tarafından Dresden'in korkunç bombalanması. Bu olay hafızasında silinmez bir iz bırakır ve romanın başkahramanının gözünden bu anlamsız katliamın detaylarını bir kez daha hatırlar. "Zaman düzensizliği"nden muzdarip olan kahraman, o günlerin olaylarını yeniden yaşayarak zamanda ileri geri hareket eder. Dördüncü boyuttaki yolculuk, zamanın hareket edebildikleri başka bir boyut olduğu dünya dışı bir ırkın varlıkları olan Tralfamadorlular sayesinde sona erer.
İngiliz mizah yazarı Pellem Granville Wodehouse (1881-1975) "A Terrible Secret" adlı kısa öyküsünde (The Ataxipg Na(Muziegu, 1936) mizahi anlamda dördüncü boyutu kullanır.Hikayede, iki İngiliz beyefendinin şapka satın aldığı bir şapka satın alır. korkunç bir sır bağlantılı ve içlerinden biri şöyle diyor: “Biliyorsun, garip bir şey olacak, akıllı birine soruyorsun ve başını sallayıp “Ah, dördüncü boyut!” diyecek.
William Faulkner, Amerikan edebiyatının en saygın yazarlarından biridir. Yazılarında genellikle zaman atlamaları kullanılır.
Vladimir Nabokov (1899-1977) de Harlequins'e Bak! (1974).
2009'da Alman Goethe Edebiyat Ödülü'nü alan İsveçli yazar Lars Gustafsson (d. 1936), en ünlü romanı Death of a Beekeeper'da (1978) şöyle yazar: “Cennet? Bunu yakın zamanda yaşadım. Cennet, tanımı gereği acıyı dışlar. Bu, acı çekmediğimiz sürece cennette yaşadığımız anlamına gelir! Ve biz bunun farkında bile değiliz. Mutlu ve mutsuz insanlar aynı dünyada yaşıyorlar ve bunun farkında bile değiller! Son birkaç aydır kendi hayatımda fantastik, gizemli bir labirentteymiş gibi geziniyormuşum gibi hissediyorum ve ancak şimdi tam olarak başladığım yere geri döndüm. Ama normal boyutların dışında dolaştığım için sağ ve sol yer değiştirmiş gibiydi.Sağ elim şimdi solda ve sol elim sağda. Aynı dünyaya döndüm , ama şimdi benim için cennet.
Borges Ve Dördüncü Boyut
Dördüncü boyuttan bahsetmişken, matematiğe oldukça ilgi duyan Arjantinli yazar Jorge Luis Borges'in (1899-1986) eserlerine de yansımış olmasından bahsetmemek mümkün değil. Sonsuzluk, rasyonel sayılar, paradokslar, labirentler, düzlem diseksiyonu, kombinatorik ve küme teorisi gibi matematiksel konuları ele aldı. Dördüncü boyut da dikkatini çekmiş ve hatta birkaç edebiyat dergisi için "Dördüncü Boyut" adlı bir makale kaleme almış ve bunu geometrik bir bakış açısıyla açıklamaya çalışmıştır. İçinde Hinton'un A New Age of Thought kitabına ve teozofist ve mimar Claude Bragdon'ın The ABC of the Fourth Dimension'a atıfta bulunuyor.
Borges diğer yazılarında da açıkça dördüncü boyuta atıfta bulunur. "Kurgular" (1944) koleksiyonundan "7lyon, Ukbar, Orbis Tertius" hikayesinde, "Hinton'un kitabında" Tlön'ün sırrını açıklayan bir mektubun yer aldığı söylenir. Üyenin geometrisi ile ilgili olarak, "bu geometri paralel doğruları tanımaz ve bir kişinin hareket ederek etrafındaki formları değiştirdiğini belirtir" diyor.Rodolfo Mata, "Dördüncü Boyutta Borges ve Maceralar" adlı makalesinde ayrıca Lena'nın dilinin harika olduğunu, bir yarımkürede isimlerin fiillerle değiştirildiğini yazıyor: "ay", "ay" veya "ay" fiili ile değiştirilirken, diğer yarımkürede isimler sıfatlarla değiştirilir - "ay", belki de kökleri Pyotr Demyanovich Uspensky Tegbish Orgapit'in (1911) çalışmasında bulunan "karanlık bir yuvarlakta havadar ışık" olur.
Borges, New Investigations (1952) koleksiyonundan "Time and JW Dunn" hikayesinde Ouspensky'den tekrar alıntı yapar. Rus yazar, Dunn'ın sonsuz boyutlar teorisini açıklarken Teguit Orgman'da "gelecek zaten var" diye yazıyor, başka bir deyişle statik uzay-zaman kavramını kullanıyor.
The Book of Sand (1975) fantazisinde, kahramanın amcası ona "dördüncü boyutun gerçekliğini kanıtlamak için yola çıkan Hinton'un eserlerini okumasını" verir. renkli küplerden ustaca figürlerin örneği." Hinton'un küplerinden, hikayeye bir peri masalı hissi vermek için başka durumlarda da bahsedilmiştir. Kahraman, amcasının öldüğü evi ziyaret eder ve diğer boyutlara geçişi keşfeder. Kum Kitabı şu sözlerle başlar: “Bir doğru birçok noktadan oluşur, bir düzlem sonsuz sayıda çizgiden oluşur; kitap - sonsuz sayıda uçaktan; süper kitap - sonsuz sayıda kitaptan.
]OKOE IL8 VOKOE8
EE AEE SAĞ
EPITOKIALIO 5 AOA, 5. A.
Jorge Luis Borges'in evrenin yeni bir vizyonunu ortaya koyduğu Aleph kitabının kapağı.
"Aleph" (1949) kitabından "Abenhakan el Bokhari, Labirentinde Öldü" hikayesinde Borges, kahramanı Dunraven adına şöyle yazıyor: "Saçmalıklarınızı unutmaya ve anlamlı bir şey düşünmeye karar verdim: küme teorisi hakkında, çünkü örneğin veya dördüncü boyut hakkında ".
Ve Borges'in "Yaratıcı" (1960) koleksiyonundan bir şiir "Adroge" ile bitirebilirsiniz:
Ne dertler ne de ölümler ikincildir,
Bu gölgeler geçmişlerini koruyor,
Ama hepsi, etrafındaki her şey gibi, gerçek.
Sadece hafızada - dördüncü boyutta.
(B. Dubin tarafından çevrildi)
Bilim kurgu
Dördüncü boyut temasının en sık yirminci yüzyıl bilimkurgu eserlerinde ortaya çıktığına şüphe yoktur. Isaac Asimov, Greg Beer, Arthur C. Clarke, Howard Lovecraft, Frederick Paul, Rudy Rooker, Clifford Simak ve diğerleri gibi birçok büyük bilimkurgu yazarı bu olay örgülerini ele almıştır.
Dördüncü boyutla yakından ilişkili iki eseri belirtmekte fayda var. Biri Robert Heinlein'ın bir mimarın bir hiperküpün üç boyutlu açılımı olan bir ev inşa ettiği "...Ve Kendine Çarpık Bir Ev İnşa Etti" (1940) adlı kısa öyküsüdür (bunu bir sonraki bölümde daha ayrıntılı olarak tartışacağız). ). Bu ev inşa edildikten sonra, içindeki mimarla birlikte dördüncü boyuta geri döndü. Hiperküp ayrıca Madeleine L'Engle tarafından A Wrinkle in Time (1962) adlı çocuk hikayesinde anlatılmıştır.
Bölüm 7
Dördüncü boyutun görselleştirilmesi
Düzlemde üç boyutlu bir şekil çizdiğimiz gibi, aynı şeyi üç (veya iki) boyutlu bir yüzey üzerinde dört boyutlu bir şekil için de yapabiliriz.. Hatta bu figürü farklı açılardan ve farklı bakış açılarıuûau tasvir edebiliriz ... [ve bu kısımlardaki "bütün"ü inceleyerek] dördüncü boyutu hayal edebiliriz.
Henri Poincare. Bilim ve Hipotez (1902)
Pek çok insan beynimizin üç boyutluluğuna dayanarak (ki bu pek açık değildir, çünkü belki de dünyamızdaki beyin dört boyutlu beynin bölümlerinden biridir), dördüncü boyutun hayal edilmesinin imkansız olduğunu düşünür. Tabii ki, bu zor bir iştir, ancak Poincare'nin önerdiği gibi akıl yürütebiliriz. Örneğin, sanatçıların üç boyutlu figürleri temsil etmek için iki boyutlu bir tuval kullanması veya mühendislerin araçlar, makineler ve binalar tasarlamak için birden çok izdüşüm kullanması gibi, biz de dört boyutlu nesneleri üç boyutlu olarak "çizerek" görselleştirmeye çalışabiliriz. -boyutlu projeksiyonlar. Farklı açılardan çizilmiş "üç boyutlu resimler" olsa bile, dört boyutlu bir nesnenin neye benzediğini hayal etmek zordur.
XIX'in sonunda ve XX yüzyılın başında. çok boyutlu uzayların temel sorunlarından biri görselleştirilmesiydi. Birçok bilim adamı, bir küpün dört boyutlu bir versiyonu olan bir hiperküp çizmeye çalıştı. Hiperküp ve diğer n -boyutlu çokyüzlülerin incelenmesi, Charles Hinton, Claude Bragdon, Washington Irving Stringham, Alicia Boule Stott (Hinton'ın karısının kız kardeşi), Amerikalı Henry Manning ("A Simple Explanation of the Dördüncü Boyut"),
Fransız Esprit Juffre (dördüncü boyut üzerine birçok çalışmanın yazarı), Henri Poincare ve diğerleri.
Aslında, dördüncü boyutun görselleştirme yöntemleri, çeşitli projeksiyonlar, kesitler veya taramalar kullanılarak üç boyuta geçişten oluşur. Bu yöntemler zaten biliniyordu ve 20. yüzyılın başında yaygın olarak kullanılıyordu. Çeşitli görselleştirme yöntemlerini tanımlarken sezgiye güveneceğiz ve kitabın diğer bölümlerinde olduğu gibi çok boyutlu analojiler kullanacağız.
Hiperküp ve hiperküre
Tesseract (Charles Hinton tarafından A New Age of Thought'da kullanılan bir terim) olarak da bilinen hiperküp, küpün dördüncü boyuttaki bir genellemesidir.
Birinci bölümde olduğu gibi, sıfır boyutuna sahip bir noktanın da 0 boyutlu bir küp, yani sıfır boyutlu bir küp olduğunu varsayalım. Bir nokta düz bir çizgi üzerindeyse (tek boyutlu uzayda) ve bu düz çizgi boyunca belirli bir mesafe hareket ederse, o zaman bir doğru parçası (tek boyutlu bir küp olacak) elde ederiz. Nokta koordinat ekseninin orijinindeyse ve bir birim sağa hareket ettiyse, sonuçta ortaya çıkan segment [0, 1] segmenti olacaktır, yani 0 ile 1 arasındaki tüm noktalardan oluşur (şekle bakınız). sayfa 106). Bu parça koordinat düzleminin X ekseninde bulunuyorsa, eksen boyunca bir birim hareket ettirerek
ÜÇ BOYUTLU PROJEKSİYONLAR DÖRDÜNCÜ BOYUTU GÖRSELLEŞTİRMEYE YARDIMCI OLUR MU?
Pek çok insan, dört boyutlu bir nesneyi üç boyutlu ve hatta iki boyutlu olarak tam olarak temsil etmenin imkansız olduğuna inanır. Bu bir dereceye kadar doğrudur, ancak diğer yandan insanlar çevrelerindeki dünyayı resimler, fotoğraflar ve filmler yardımıyla iki boyutlu olarak temsil etmeye alışkındır. Başka bir deyişle, gerçekliğin düz görüntülerinin geçerliliğini sorgulamıyoruz. Ayrıca, açılardaki ve zamandaki noktalardaki değişim göz önüne alındığında, gerçeklik hakkında bilgi elde etmek için bu iki boyutlu görüntüler bazen basitçe gereklidir. Birkaç basit örnek alalım. Örneğin gölge tiyatrosu, düz siyah siluetlerin sadeliğine rağmen, nesnelerin şeklini tanımamızı ve oyunun olay örgüsünü takip etmemizi engellemez.
İkinci iyi bilinen örnek, bir atın koşmasıdır. 1870'e kadar California yarışlarının müdavimleri arasında, atın toynaklarının hiçbirinin yere değmediği bir anın olup olmadığı konusunda bir tartışma vardı. Anlaşmazlık, X eksenine dik bir İngiliz fotoğrafçı Y'nin ardından, kenarları 1 olan bir kare (iki boyutlu küp) elde ettikten sonra çözüldü. X ekseni, sonra üç boyutlu bir küp elde ederiz. Üç boyutlu küpü diğer üçüne dik yönde IV olarak adlandıracağımız yeni bir eksen boyunca hareket ettirerek, sonunda bir hiperküp veya dört boyutlu bir küp elde ederiz.
Uzayımızda bir hiperküpü görselleştiremiyoruz, bu yüzden p'de gösterildiği gibi 3B uzaya dik yönde hareket eden bir küp hayal edeceğiz. 106.
CepHH 0OTOCHHMKOB Me«6pnzı>f<a. noKaabiBamuH* aBn>xenne noiua&n. B <mmh us MOMeKroe Konura notııajın ne Kacaorcn seunH.
3abspa MeüöpHAM (1830-1904) caenan pflfl chhmkob, Ha Horopbi» 6bino bhjjho, hto T3hoh mombht
AeMCTBHrenbHO cymecreyeı
Karşılık gelen boşluklarda kenar 1 ile doğru parçası, kare, küp ve hiperküp.
Sezgisel olarak, her n-boyutlu küp, yani n'inci boyuttaki bir küp, (n - 1) boyutlu bir küpün bir boyuttan bir öncekine dik yönde bir eksiği kadar hareket ettirilmesiyle elde edilir. Bununla birlikte, matematiksel terimlerle, n-boyutlu bir küp, koordinatları 0'dan büyük ve 1'den küçük olan n-boyutlu bir uzaydaki tüm noktalar tarafından tanımlanabilir, yani:
n-boyutlu küp = {(x p ..., X ben ) e K p : 0 < x p ... " x p < 1}.
Her n-boyutlu küp , 0 < k < n olan daha küçük boyutlu - k - boyutlu küplerden oluşur. Örneğin, bir hiperküp şu öğelerden oluşur: noktalar (köşeler veya köşeler), doğru parçaları (kenarlar), yüzler (kare yüzeyler), küpler (yüz küpleri) ve hiperküpün kendisi. Hiperküpün ne olduğunu anlamaya çalışmak için, aşağıdaki akıl yürütme ve analojileri kullanarak (şekil yardımıyla) oluşturduğu öğeleri analiz ederek başlayacağız.
Önce tek boyutlu bir küpün, yani düz bir doğru parçasının öğelerini düşünün. Bir segment iki köşeden ve elbette kendisinden oluşur. Şimdi, parçayı dik yönde hareket ettirdikten ve bir kare elde ettikten sonra, iki başlangıç köşemiz ve iki son köşemiz var, bu nedenle hareket sırasında köşe sayısı iki katına çıktı. Yani bir karenin 4 köşesi, bir küpün 8 ve bir hiperküpün 16 köşesi var. Şimdi karenin kenarlarını sayalım. Bir başlangıç çizgimiz, sonra bir bitiş çizgimiz artı her bir köşeyi hareket ettirerek oluşturulan iki çizgimiz vardı, yani karenin 1 + 14-2 = 4 kenarı var. Benzer şekilde, bir küpün 4 + 4 4 4 = 12 kenarı olacaktır ve bir hiperküpün 12 4 - 12 4 - 8 = 32 kenarı olacaktır.
Ardından, kenarları sayacağız. Kareyi dik yönde hareket ettirirken, ilk ve son yüzleri elde ederiz, artı her kenar hareket ettikçe yeni bir yüz oluşturur, yani küpün 1 + 1 + 4 = 6 kare yüzü vardır. Hiperküpün 6 4 - 6 4 - 12 = 24 kare yüzü olacaktır. Son olarak, küpü hareket ettirmek bir başlangıç ve bitiş küpü üretir, artı küpün her yüzü hareket ettikçe yeni bir küp oluşturur, dolayısıyla hiperküpün 1 + 1 + 6 = 8 kübik yüzü vardır. Verileri tabloya koyalım.
Hiperküre, dördüncü boyuttaki bir kürenin eşdeğeridir. Ancak bir hiper küre tanımlamak için kürenin ne olduğunu anlamamız gerekir. Belirli bir noktadan (merkez) aynı uzaklıkta (yarıçap) olan tüm noktalardan bir küre oluşur. Analitik geometri açısından, eğer 0 = (0, 0, 0) merkezin koordinatları, ar yarıçap ise, bu aşağıdaki formülle yazılabilir:
5 2 \u003d {(x, y, g) e K 3 : x2 + y 2 + g 2 \u003d g 2 }.
Ayrıca, küre iki boyutlu bir yüzeydir.
A/-BOYUTLU KÜPÜN ELEMENT SAYISINI BELİRLEME FORMÜLÜ
Kombinatorik yardımıyla, n-boyutlu bir küpün eleman sayısını belirlemek için genel formüller elde edebiliriz. E(k, n) n boyutlu bir küpteki f-küp sayısını göstersin . E(k, n)' yi hesaplamak için önce belirli bir tepe noktasından kaç tane f-küp çıktığını belirleriz. Her köşenin n kenarı varsa, l’den k kenarı kaç şekilde seçebileceğimizi hesaplamak yeterlidir . Bu sayı, verilen bir tepe noktasından çıkan / (-boyutlu küplerin sayısı olacaktır. Böylece, problem
kombinatoriklere indirgenmiştir:
[l] = n!
1A k) k!(n - k)!'
nerede ben! l'nin faktöriyelidir, başka bir deyişle, l! \u003d n (n - 1) (n - 2) ... 3 • 2 • 1. Toplamda 2n köşe olduğundan, toplam / (-boyutlu küp sayısı
Ancak her /(-boyutlu küpün 2k köşesi vardır. Bu, her /(-boyutlu küpü 2k kez saydığımız anlamına gelir , bu yüzden sonucu bu sayıya böleriz.
E(k, n)=2^
Genel durumda, /(-boyutlu küplerin sayısı şu şekilde kabul edilir:
E(0,n) + E(\,n) + /. + E(l-1,l) + E(l,l) =
= 2 n +2n-/ ( n | + /. + 2'n n ] + /.4-2I < n l + l n l=(2+1)"=3 l .
Ben ' ' Sh Ip-1 ) I” } 1 '
Yukarıdaki tablodaki sonuçların bu formülle tutarlı olduğunu doğrulayabilirsiniz.
Genel durumda, herhangi bir (n +1) boyutlu uzay için, karşılık gelen n-boyutlu küre, (n+1) boyutlu uzayın merkezinden aynı uzaklıkta bulunan noktaları tarafından oluşturulur. Aşağıdaki formüle sahibiz:
5 "={(x—
+| + -+<l =r }-
Tek boyutlu uzayda, 0 noktasında ve 1 yarıçapında merkezli 0 boyutlu bir küre, şekilde gösterildiği gibi iki {-1, 1} noktasıdır. Düzlemde, tek boyutlu bir küre, başlangıç noktasında merkezlenmiş ve yarıçapı 1 olan bir dairedir ve üç boyutlu uzayda, iki boyutlu bir küre, genellikle küre olarak anladığımız şeydir.
n = 0,1,2 olan (n+1) boyutlu uzaylarda orijinde merkezlenmiş yarıçapı 1 olan 14 boyutlu küreler.
Şimdi, hiper kürenin ne olduğunu nasıl görselleştirebileceğiniz ve daha iyi hayal edebileceğiniz görevine geliyoruz. Mekânsal dördüncü boyutun var olduğunu ve devasa bir alanda olduğumuzu varsayalım. Beş metrelik bir direğe bakıyoruz ve direğin tepesinde merkezlenmiş, 5 m yarıçaplı bir hiper kürenin nasıl göründüğünü hayal etmek istiyoruz. Tabii ki, üç boyutlu uzayımızın bir mesafede bulunan noktalarından oluşan, 5 m yarıçaplı (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi) bu noktada ortalanmış sıradan bir küre (iki boyutlu) hayal edilebilir. merkezden 5 m. Bu noktaların da hiperküreye ait olduğu açıktır. Ama bizim uzayımızda olmayan hiperkürenin kalan noktalarını görselleştirmek mümkün mü?Kürenin merkezinden herhangi bir yönde 4 metre hareket ettiğimizi ve ardından kana yönünde 3 metre ilerlediğimizi varsayalım. Bu yön, bu arada, bir öncekine dik. Daha sonra Pisagor teoremi ile 2 4- 4 2 = 5 2 . Başka bir deyişle, merkezden 5 m uzakta, bu nedenle hiper küreye ait olan bir noktada sona erdik.
p (hiperküre noktası • 5 m yarıçaplı)
O merkezli ve 5 m yarıçaplı küre, üç boyutlu evrenimizin parçası olan hiper kürenin bir parçasıdır. Kürenin merkezinden 4 m ve sonra kana yönünde 3 m uzaklaşırsak, kendimizi 5 yarıçaplı hiper kürenin noktası olacak P noktasında bulacağız.
Böylece hiper kürenin tüm noktalarını elde edebilirsiniz. Bu fikri daha iyi anlamak için bu işlemi Flatland yüzeyinde tekrarlayacağız. Abbott'un kitabının kahramanı Square'in, O merkezli ve yarıçapı 5 olan bir düzlemde bir küre çizmek istediğini varsayalım. üç boyutlu küre, yani Flatland'de bulunan kısım. Daha sonra bizim yaptığımız gibi hareket eder: 4 m mesafede merkezden herhangi bir yönde hareket eder ve ardından 3 m yukarı doğru bir hareketi temsil eder. Pisagor teoremine göre (neyse ki bildiği), sonuçta ortaya çıkan nokta da küre üzerinde bir nokta olacaktır (aşağıdaki şekle bakınız).Ek olarak, daha küçük yarıçaplı bir dairenin noktalarından, örneğin 4 m, Kare, kürenin tepesindeki (yani, kürenin düz bir bölümünü) Flatland'in 3 m yukarısında bulunan başka bir daireyi temsil edebilir. Aşağı hareket ettirilerek daha küçük bir daire daha elde edilebilir.
Kare tarafından çizilen O merkezli ve 5 m yarıçaplı daire , kürenin Flatland'deki kısmıdır. Dairenin merkezinden 4 m'lik bir mesafeye ve ardından 3 m yukarıya doğru hareket edersek, kendimizi yine 5 m yarıçaplı bir kürenin noktası olacak olan P noktasında bulacağız.
Kare, kürenin ne olduğunu anlamayı başardı, ama şimdi onu hayal etmeye çalışması gerekiyor. O merkezli ve yarıçapı 5 m'den küçük olan her dairenin kürenin bir dairesine (aslında iki daireye) karşılık geldiği göz önüne alındığında, Matematik Karesi kürenin yarısını O merkezli ve yarıçapı 5 m'den küçük tüm dairelerin grubu olarak hayal eder, şekilde gösterildiği gibi.
Bir düzlem üzerinde, yarıçapları kürenin yarıçapından daha küçük olan düz daireler şeklinde tasvir edilen bir yarım küre (Josu Arroyo tarafından çizim).
Kare bu görüntüyü zihinsel olarak hayal edebilir, ancak yine de büyük zorlukla, bu nedenle daha ileri gider ve tüm daireleri parçanın uzunluğu boyunca böler (-5 ve 5 uçları olan düz bir çizginin parçası), böylece parçanın her noktası düzlemden K yüksekliğini temsil eder : pozitif - yukarı, negatif - aşağı. Bu noktaya karşılık gelen daire, kürenin K yüksekliğindeki bölümünün dairesi olacaktır (yarıçapı, Pisagor teoremi tarafından hesaplanan pozitif sayı c'ye eşittir: K2 + c 2 = 5 2 ). Aşağıdaki şekil bu şekilde elde edilir.
Segment üzerindeki noktalar, dairelerin her birinin bulunduğu yüksekliği gösterir. Bu çizim, bir düzlem üzerinde bir küre tasviridir (Josu Arroyo’nun çizimi).
Dördüncü boyutta 5 m yarıçaplı bir hiper küre durumuna dönersek, benzer bir yöntem uygulayabilir ve yarım hiper küreyi direğin tepesinde merkezli ve yarıçapı 5 veya daha küçük olan tüm kürelerin ailesi olarak temsil edebiliriz. m. Hiperküreyi, K'nin çeşitli yüksekliklerinde ana veya kata yönünde bulunan tüm küreler olarak temsil edebiliriz.
Hiperkürenin parçaları olan üç boyutlu uzaya dik doğrultudaki (ana veya kata yönünde) tüm küreler, noktaları her kürenin yüksekliğini gösteren bir doğru parçası üzerinde gösterilir. Bu çizim, 3B alanımızdaki bir hiper kürenin görselleştirilmesidir (Josu Arroyo’nun çizimi).
ortografik izdüşümler
4B bir nesneyi, bu durumda bir hiperküpü 3B veya hatta 2B uzayda görselleştirmek için kullanılan yöntemlerden biri, 4B alanı 3B alana dönüştüren matematiksel projeksiyonlardır.
Kural olarak, herhangi bir n-boyutlu uzayı daha düşük boyutlu uzaylara dönüştürmek için matematiksel izdüşümleri kullanabiliriz.
İki tür projeksiyon vardır - geometrik ve algoritmik. İlki daha doğaldır ve görüntü ve gölge veren ışık ışınları olarak yorumlanabilir. Algoritmik projeksiyonlar matematiksel formüller kullanılarak ifade edilir. Bu, geometrik yorumlamanın kaybolduğu, ancak güçlü matematiksel araçların kullanılabileceği anlamına gelir.
Bu bölümde, günlük hayatta kullanılan iki tür doğal geometrik izdüşümüne bakacağız. Bunlar, güneş ışığına karşılık gelen ortografik projeksiyonlar ve lamba veya fener gibi yakındaki bir ışık kaynağıyla ilişkili merkezi projeksiyonlardır. Vizyonumuz böyle işler ve resimdeki perspektif de onları böyle taklit eder.
ALGORİTMALAR VE ALGORİTMALAR
Algoritma, matematik veya diğer bilimler alanında olsun, bir problemi çözmek için sıralı ve sonlu bir eylemler dizisidir. Hesaplama yöntemine algoritma da denir.
Daha önce, “algoritma” kelimesi “algoritma” kelimesinin eş anlamlısı olarak kullanılıyordu, ancak bugün böyle bir yazım, örneğin “Makarov'un normal algoritması” gibi kararlı ifadeler dışında pratik olarak kullanılmamaktadır. Matematikçi AA Makarov (junior) (1903-1979), Sovyet yapıcı matematik okulunun kurucusuydu ve normal bir algoritma kavramını tanıttı.
Önce çocuklukta nasıl küp çizdiğimizi hatırlayalım. Elbette resimlerimiz soldaki resme benziyordu. Ama sonra bir küpün ortogonal izdüşümünü çizdiğimizden şüphelenmedik.
Bir ortogonal izdüşüm, bir eşlemedir, yani, herhangi bir n boyutundaki u-boyutlu bir koordinat uzayının belirli bir yönünde , onun alt uzaylarından (u - 1) boyutuna ait bir izdüşümüdür. Başka bir deyişle, belirli bir yönde bulunan bir düz çizgi üzerindeki tüm noktalar, bu düz çizginin alt uzayı kestiği (u - 1) boyutlu alt uzayın bir noktasına yansıtılır. 3B uzayda, yansıttığımız alt uzay bir düzlemdir. Ortogonal projeksiyon sonucu elde edilen bir nesnenin görüntüsü, belirli bir yönde projeksiyon düzlemine düşen paralel ışık ışınlarıyla aydınlatılarak elde edilen nesnenin bir tür gölgesidir (aşağıdaki şekle bakın).Örneğin, Güneş Dünya'dan çok uzak olduğu için güneş ışınları paralel olarak kabul edilebilir ve Dünya'ya belirli bir yönde düşer. Böylece nesnelerin gölgeleri ortogonal izdüşümlerdir. Tabii ki,
Şimdi üç boyutlu bir küp düşünün ve onu bir düzleme yansıtın. İzdüşümünü daha iyi temsil etmek için kübik bir çerçeve alalım - küpün yapısını gösteren çubuklar ve küpü oluşturan çizgileri temsil eder. Farklı yönlere projeksiyon yaparak aşağıdaki görüntüleri elde edeceğiz. Gördüğünüz gibi, kitap boyunca benimsediğimiz sezgisel yaklaşımı çok iyi yansıtıyorlar: küp, kareyi dik bir yönde hareket ettirmenin sonucudur.
Aşağıdaki yönlerde bir küpün ortogonal izdüşümleri: a - küpün iki yüzüne dik ve diğer dördüne paralel; b - küpün sadece üst ve alt yüzlerine paralel,; c - köşegene paralel; d - yüzlere veya köşegenlere paralel değil.
Bu durumda, ortogonal izdüşümlerin özellikleri açıkça görülebilir: doğru parçalarını parçalara veya noktalara dönüştürürler ve paralelliği korurlar. Ayrıca, eşit uzunluktaki paralel parçalar, aynı uzunluktaki paralel parçalara da yansıtılır.
Şimdi dört boyutlu bir hiperküpü (daha doğrusu iskeletini) üç boyutlu bir uzaya dikey olarak yansıtırsak, aşağıdaki şekilde gösterilen üç boyutlu bir figür elde ederiz.
Hoteloo kurucusunun yardımıyla yapılan hiperküp çerçevenin üç boyutlu uzaya dik izdüşümü.
Onu bir düzleme dik olarak yansıtırsak, klasik bir hiperküp görüntüsünü elde ederiz.
Gördüğünüz gibi, daha önce elde ettiğimiz hiperküpün sezgisel görüntüsüne karşılık geliyor, küpün dik bir yönde nasıl hareket ettiğini hayal ediyor. Bu fikre geri dönelim. Küp dik bir yönde hareket ederse, görüntüsü düzlemde şöyle görünen bir hiperküp oluşturur:
Hiperküpün hareket yönüne ve simetrisine bağlı olarak, görüntüsü farklı olacaktır. Ancak daha da ileri gidebilirsiniz: hiperküpü dikey yönde hareket ettirdiğinizde 5 boyutlu bir küp elde edersiniz.
Ve böylece sonsuza kadar devam edebilir, daha güzel görüntüler elde edebilirsiniz.
MİMARİ TASARIMIN YENİ DİLİ
Yeni dekoratif motifler oluşturmak için dördüncü boyutun nasıl kullanıldığım gösteren Projektif
Süsleme'den bir örnek.
Amerikalı mimar, yazar, tasarımcı ve teosofist Claude Bragdon (1866-1946), Projective Ornament (1915) adlı kitabında mimari, grafik tasarım ve dekorasyonda kullanılabilecek geometrik desenler üretmek için bir sistem tanımladı. Bu yöntem, Rochester Ticaret Odası'nın (1915-1917) inşasında ve dergi, afiş ve kitap tasarımında olduğu gibi modern mimaride yaygın olarak kullanılmıştır. Bragdon, geometriye dayalı yeni bir mimari ve süsleme dili yaratma ihtiyacı hakkında yazdı. Ayrıca dördüncü boyutun dekoratif tasarım için ana araçlardan biri olduğu kanıtlanmıştır. Bragdon, "dört boyutlu geometride yeni dekoratif motiflerin bulunacağını" savundu.
merkezi projeksiyon
Bir önceki bölümde elde edilen küp ve hiperküpün görüntüleri, nesne üzerine paralel "ışık ışınları" düştüğünde "gölgeler" dir. Ama şimdi bir noktadan gelen ışık ışınlarının oluşturduğu gölgeleri ele alacağız. Gözümüzün veya kamera merceğimizin gördüğü bu görüntülerdir. Karşılık gelen projeksiyona merkezi projeksiyon denir. Bu, ışınların merkezi noktayı (ışık kaynağı) projeksiyon alt uzayına bağladığı, u boyutlu bir koordinat uzayının (u - 1) boyutlu bir alt uzaya eşlenmesidir, böylece böyle bir ışın üzerindeki tüm noktalar bir nokta (ve - 1) boyutlu alt uzaya yansıtılabilir.
SANATTA PERSPEKTİF YÖNTEM
Rönesans sanatında perspektif yöntemi, uzayın bir düzlemde temsiline yaklaşımda bilimsel ve sanatsal bir devrimdi. Antik çağda ve Orta Çağ'da resimlerdeki görüntüler düzdü, yani derinliği yoktu, orantıları korunmadı, formlar ve hacimler bozuldu. Örneğin Orta Çağ'da dini açıdan daha önemli olan karakterler daha büyük ölçekte tasvir edildi. Rönesans döneminde sanatçılar, sanatçının gözünün gördüğüne daha yakın bir görüntü elde etmek için yöntem ve aygıt arayışında bilime yöneldiler. Perspektif yöntemini kullanan büyük sanatçılar arasında Giotto, Piero della Francesca, Brunelleschi, Leon Baggista Alberti, Raphael, Dürer ve Leonardo da Vinci vardı.Perspektif yöntemi, 15. yüzyıldan 19. yüzyıla kadar sanata egemen oldu.
"Bilge Alfonso ve mahkemesi" resminden sahne (res. yukarıda). Bu, Orta Çağ'dan düz resim örneğidir. Aşağıda Piero della Franceschi'nin Mesih'in Kırbaçlanması (1444-1469) bulunmaktadır. Rönesans beraberinde lineer perspektif yöntemini getirdi.
Üç boyutlu bir küpü üç farklı noktadan merkezi bir izdüşüm kullanarak yansıtırsak, aşağıdaki görüntüleri elde ederiz.
Gördüğünüz gibi, merkezi izdüşüm paralelliği korumaz. Bu izdüşümde paralel çizgilerin görüntüsü, kaybolma noktasında kesişen çizgiler olacaktır. Nasıl
şekilde görüldüğü gibi, küpün üç paralel çizgi (veya kenar) grubu vardır ve izdüşümü bir, iki veya üç kaybolma noktasına sahip olabilir (sırasıyla şekil L, B ve C ). Ek olarak, nesnenin projeksiyonun merkez noktasına daha yakın olan kısımları, projeksiyon üzerindeki daha uzun segmentlere karşılık gelir. Başka bir deyişle, bir küpün tüm kenarları aynı uzunluktadır ve izdüşüm üzerindeki parçaların uzunluğu, izdüşümün kenardan merkez noktasına olan mesafeye bağlı olarak değişecektir. Benzer şekilde, şekil A'da dış kare ışık kaynağına daha yakın olan yüze karşılık gelir ve iç kare daha uzaktaki yüze karşılık gelir.
Küpte olduğu gibi, ışık kaynağının 4B uzaydaki konumuna bağlı olarak, hiperküpün farklı merkezi projeksiyonlarını 3B alanımızda elde edebilirsiniz. Şekil B'de gösterilen hiperküpün izdüşümü şekil L'ye karşılık gelir. Üç boyutlu durumda olduğu gibi, dış küp hiperküpün kübik yüzüdür ve projeksiyonun merkez noktasına daha yakın yerleştirilmiştir, iç küp ise en uzak kübik yüzün görüntüsü.
Hiperküp görselleştirmenin en ilginç örneklerinden biri, bir hiperküpün izdüşümlerini çeşitli açılardan gösteren Thomas Banchoff ve Richard Strauss'un "Hypercube: Projections and Sections" filmidir.
Hiperküpün bölümleri
Geçmişte, çiçeklerin ve çeşitli bitkilerin morfolojisini incelerken, botanikçiler, incelenen nesnenin içine özel bir maddenin döküldüğü bir kaba yerleştirilmesi gerçeğinden oluşan özel bir yöntem kullandılar. Bu madde bitkiyi sertleştirdi, böylece daha sonra ince tabakalar halinde kesilebilirdi. Flatland'de bu yöntemin farklı boyutlardaki dünyalar arasında bilgi aktarmak için kullanıldığını hatırlayın. Meydan, Flatland'i tanımlamak veya Lineland Kralı'na kendini göstermek için "küçük kesikler" kullanır. Bunu yapmak için, bedeniyle Lineland'ın tek boyutlu dünyasını geçer. Benzer şekilde Küre, geçiş
SANATTA HİPERKÜP
Dördüncü boyut pop kültürünün bir parçası haline geldiğinden beri, birçok sanatçı, projeksiyonları da dahil olmak üzere hiperküpün çeşitli görselleştirmelerini yeniden yaratmaya çalıştı. Hiperküp, birçok mimar, ressam ve heykeltıraşın eserlerinde merkezi bir tema haline geldi. Örneğin, hiperküpün merkezi izdüşümünü kullanan heykellerden birinin adı Monitepio a la Consiscion ve Madrid'deki Doğa Bilimleri Müzesi'nin bahçesinde bulunuyor. Saflığın simgesi olan Endülüs beyaz mermerinden yapılmıştır. Dış küpünün kenarı 7.75 m, dört yan yüzü açık ve her biri merkezi kübe giden altı basamaklı olduğundan, demokratik değerleri simgeleyen dört ana yönden yaklaşılabilir.Hiperküp, üç anayasal ilkeye karşılık gelen üç boyutlu alanımızdan daha yüksek bir gerçekliği temsil eder: özgürlük, eşitlik, kardeşlik. Bir hiperküp fikri, Paris'in banliyölerinde bulunan Büyük Savunma Kemerinde (la bganbe ArcNe be la Dietense) de bulunabilir. Danimarkalı mimar Otto von Spreckelsen tarafından 1989 yılında tasarlanan bu heybetli 110 m yüksekliğindeki yapı, hiperküp merkezi projeksiyon şeklinde şekillendirilmiştir. Kemerin üst kısmında konferans salonu ve sergi merkezi, müzeler ve seyir terası, yan kısımlarında ise devlet daireleri yer almaktadır.
Flatland, kendisinin ve üç boyutlu evrenin varlığının gerçekliğini açıklamaya çalışır. Küre, Düz Ülkeyi geçtiğinde Meydan ne görür? Önce bir nokta görür, sonra bir daire (her ne kadar daire Flatland'in rahibi olsa da) büyür, sonra tekrar küçülür ve bir noktaya dönüşür ve kaybolur. yapardık
Üç boyutlu uzayda dört boyutlu bir hiperküpün merkezi izdüşümü.
Soldaki fotoğrafta, Fransız Devrimi'nin 200. yıldönümüne adanmış bir hiperküp olan Büyük Savunma Kemeri var. Sağda, hiperküpün merkezi izdüşümünü kullanan mimar Miguel Angel Ruiz Larrea tarafından tasarlanan Mopitepio a la Congenial (1979) var.
Hiperküre dünyamızı ziyaret ederse aynı şeyi görürdük, sadece bir daire yerine bir topun boyutunun değiştiğini görürdük. Başka bir deyişle, Hiperkürenin 3B dilimleri, boyut olarak değişen kürelerdir.
3B dilimler kullanarak bir hiperküpün şeklini analiz etmeden önce, bu benzetmeyi daha fazla kullanmak için, bir boyutta daha küçük bir uzayda, yani küpün farklı yönlerde düzlem kesitlerini ele alalım.
Hiperkürenin üç boyutlu kesitleri (çizim Josu Arroyo).
Bir küpü yüzlerinden biri boyunca keserseniz, yani paralel kesimler yaparsanız, sonraki sayfadaki şekilde görüldüğü gibi ortaya çıkan bölümler kare olacaktır. Küpün köşegeni boyunca kenarlardan birinden ve bu kesime paralel diğer bölümlerden geçen bir kesim yaparsak, dikdörtgenler, kareler ve segmentler elde ederiz. Hayal etmesi en zor olan en ilginç bölümler, köşelerden birinden başlayarak ve bu köşeyi karşıdakine bağlayan küpün köşegenine dik kesimler yapıldığında elde edilir. İlk olarak, boyutu artan, ardından karşı köşede kaybolana kadar küçülen bir üçgen elde edilir. Ama bu sürecin ortasında nasıl bir rakam göreceğiz?İşin garibi, bu normal bir altıgen, yani eşit kenarlara ve açılara sahip bir altıgen.
Bunun nedeni, üçgen bölümlerin küpün diğer üç köşesinden geçerken değişerek kenarları farklı uzunluklarda olan bir altıgen oluşturması ve daha sonra tekrar bir üçgen haline gelmesi ve boyutu küçülmesidir. Ancak bu üçgenin köşeleri şimdi orijinal üçgenin zıt yönüne yönlendirilmiştir, bu nedenle orta noktadaki simetri nedeniyle düzgün bir altıgen elde ederiz.
Kesimin yönüne bağlı olarak bir küpün düzlem bölümleri.
YATAYLAR
Üç boyutlu nesnelerin geometrileri ve şekilleri hakkında bilgi elde etmek için düzlemsel kesitleri, örneğin topografyada kullanılır. Topografik haritalarda, deniz seviyesinden aynı yükseklikte noktalar olan çeşitli konturları görebilirsiniz. Farklı yüksekliklerde arazi yüzeyinin yatay bölümlerini gösterirler. Yüzeyi yatay düzlemlerle geçerken, sadece bu tür eğri çizgiler elde edilir. Birbirlerine çok yakın yerleştirilmişlerse, zeminde bu, dik bir eğimin varlığı anlamına gelir ve eğer birbirinden uzaklarsa, yüzey daha yumuşaktır. Konturlar, topoğrafik haritalarda renk kullanımıyla birlikte kabartma hakkında ek bilgi sağlar.
Konturlar araziyi tasvir etmeye yarar.
Hiperküpün üç boyutlu kesitlerini elde etmek için, küpte olduğu gibi, kübik yüzey boyunca, sonra kare yüze paralel, sonra kenara paralel ve son olarak tepe noktasından başlayarak keseceğiz. Hiperküpün 3B alanımızdan düştüğünü hayal edebiliriz. Hiperküpün hareketi sırasında gördüğümüz kısımlarını inceleyeceğiz.
Hiperküpün veya tesseratın ek bir dik yönde hareket eden bir küp olduğunu hesaba katarsak, kübik yüz boyunca üç boyutlu bölümlerinin her zaman küp olduğu açıktır. Aslında bu bölümler, dördüncü boyutta hareket ederken üç boyutlu küpün farklı konumlarıdır.
Bir hiperküpün bölümlerinin kare bir yüze paralel kesildiğinde nasıl göründüğünü anlamak için, yüzleri veya kenarları boyunca bir küpün bölümlerini hayal etmek gerekir. Aşağıdaki şekilde görebileceğiniz gibi, kare yüz hareket ederken kare kesitler oluştururken, kesilen kare yüzün parçaları dikdörtgen oluşturur, bu nedenle hiperküpün bölümleri kare tabanlı dikdörtgen prizmalar olacaktır.
Küpün kenardan ve tepe noktasından kesitleri, hiperküpün kenara paralel kesildiğinde üç boyutlu bölümünün şeklini anlamaya yardımcı olur. 3B dilimlerin sırası bir çizgi, üçgen prizma, ardından altıgen prizma ve düzenli altıgen prizma olacaktır. Daha sonra bu rakamlar ters sırada tekrarlanacaktır.
En ilginç durum, küp örneğinde olduğu gibi, hiperküpün tepe noktasından başlayan bölümleridir. Kesitlerin sırası bir nokta, bir dörtyüzlü, bir kesik dörtyüzlü, bir ikosahedron, bir kesik dörtyüzlü, bir dörtyüzlü ve yine bir noktadır.
hiperküp açılımı
Bir hiperküpü görselleştirmenin başka bir yöntemi, onun üç boyutlu uzayda açılımını incelemektir. Üç boyutlu alanımızda, küpün dış kısmından - kare yüzlerinden - sıradan bir kutu oluşturulur. Bunlardan birini kapak gibi açarsanız, küpün içini alırız - bir depolama alanı. Örneğin, Düz Diyar'da kutular karelerdi ve bu tür kutuların yüzleri, bir tanesi kapak olan bir karenin kenarlarıydı; bu kareyle, Yassı Ülkeliler, eşyaları depolamak için dahili iki boyutlu alanı kullanarak kutuyu açıp kapattılar. . Hiper kutu, biri örtü olarak kullanılacak üç boyutlu kübik yüzlerden oluşan hiperküpün dış kısmı olacak ve hiper varlıklar, hiper kutunun dört boyutlu iç boşluğunda eşyalarını depolayabilecekler.
Bir kareyi, bir küpü veya bir hiperküpü genişletirsek, dış kısımlarını alırız: kare için - segmentler, küp için - kareler, hiperküp için - küpler, yani rakamlar bir boyut daha azdır. Bu nedenle, onları daha küçük boyutlu bir uzayda açabiliriz. Flatland'den bir kutu - bir kare - Lineland'de açılabilir ve Lineland kralı bir karenin ne olduğunu anlamak için onu görebilir. Her zamanki kübik kutumuz bir uçakta açılabilir. Flatlanders, küpün şeklini nasıl anlamaya çalışabilir? Ve son olarak, hiper kutuyu 3B alanımızda genişletebilir ve hiperküpün ne olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Aşağıdaki şekiller, açıklanan her durumdaki taramaları göstermektedir.
Bir Flatland sakini olan Square'in Lineland'deki kutularından birini nasıl açtığını hayal edelim. Bunu yapmak için önce kutunun kapağını açtı (eğer bir kapağı yoksa, iki tarafı üstte birbirinden ayrılmalıdır) ve sonra düz bir çizgi halinde açtı. Sonunda, aynı hatta, yani Lineland'da bulunan dört eşit parça aldı.
Şimdi kübik kutunun iyi bilinen açılımını düşünün. Her zamanki gibi, önce kapağı açacağız. Kapak yoksa, yüzlerden biri üç kenar boyunca kesilerek diğerlerinden ayrılmalıdır. Kapak açıkken, kutuyu birbirine bağlayan dört kenar boyunca keserek dört yan yüzü birbirinden ayırın. Küp kutusu daha sonra masanın üzerine yerleştirilebilir ve şekilde gösterildiği gibi küp açılımı olarak bilinen şeyi oluşturur, ancak başka açılımlar da mümkündür.
dikey projeksiyon
merkezi projeksiyon
hekzamino
Altı karenin uçtan uca birleştirilmesiyle oluşturulan düzlemsel şekillere (kareler sadece köşelerinde temas edemezler) heksamino denir. Böyle bir şekle bir örnek, kübik bir kutunun geliştirilmesidir. İlginç bir problem düşünün: Bu tür kaç farklı figür var? Sayıları elbette karelerin sayısına bağlıdır. Genel durumda, poliominolar veya l-minos, l karelerden oluşturulur. Yalnızca bir domino taşı vardır (n » 2). Bir kare ekleyerek iki tromino (n = 3) oluşturabiliriz. Bir kare daha ile beş tetramino elde ederiz. Bu rakamlar, bu arada, Tetris oyununda kullanılıyor. İlginç oyunlarda da görünen 12 pentomino var.Son olarak 12 pentominoya bir kare daha ekleyerek 35 hexamino elde ederiz. Ama bunlardan hangileri küp süpürme? Bu soruyu kendin cevaplamaya çalış!
35 olası heksamino vardır, ancak bunların yalnızca alt kısmı küp taramalarıdır.
Şimdi, daha küçük boyutlu durumlar için analojiler kullanarak hiperküpün bir gelişimini elde etmeye çalışacağız. Daha önce olduğu gibi, hiper kutunun kapağını açacağız - diğer altı yüze bağlı üst kübik yüz. Bunu yapmak için, kübik kapağı hiperküpün beş yüzünden beş kareye keserek ayırmalıyız. Hiperküp şimdi açık, ancak onu açmak için ek kesintiler yapmamız gerekiyor. Kapağa bitişik altı küpü birbirine bağlayan kareler halinde kesmek gerekir (bu tür sekiz kesim olacaktır). Böylece, üç boyutlu uzayımıza yerleştirilmiş bir hiperküp elde ettik.
Üç boyutlu uzayda bir hiperküpü temsil etmeye yönelik yaklaşımların her biri, bize dört boyutlu bir nesne hakkında bazı bilgiler verir, ancak bilginin başka bir bölümünü gizler ve hatta onu çarpıtır. Örneğin, projeksiyonlar bir hiperküpün şeklini bozar, ancak hiperküpün öğelerinin dördüncü boyutta birbirleriyle uzamsal ilişkileri hakkında bilgi tutar. Bölümler, nesnenin çok küçük bir bölümünü gösterdiğinden, ancak bozulma olmadan çok az bilgi verir ve birkaç bölümün sırası da hiperküpün iç yapısı hakkında faydalı bilgiler taşır.Taramalar bize hiperküpün öğelerini bozulma olmadan gösteriyor, ancak öğelerin dört boyutlu ilişkileri ve hiperküpün orijinal şekli hakkında bilgi kaybediyoruz.
Uzay-zaman sürekliliği
Statik uzay-zamanla ilgili bu bölümün, dördüncü boyutun görselleştirilmesiyle hiçbir ilgisi yok gibi görünüyor. Ancak 19. yüzyılda, zamanın olası bir dördüncü boyut olarak kabul edildiği bu yaklaşım, dört boyutlu nesnelerin zihinsel görüntülerini elde etmek için de kullanılmıştır. Zaman (ya da zamanın yerel bir çeşidi olarak hareket), üç uzamsal boyuta ek olarak başka bir boyuttu.
Uzay-zaman sürekliliğinin ne olduğunu daha iyi anlamak için şimdi tekrar 2B Flatland analojilerine döneceğiz. Hinton onu, sayfaları sıra dışı olan anlardan oluşan bir kitapla karşılaştırdı.
Bu durumda, uzay-zaman sürekliliği üç boyutlu olacaktır, uzaysal kısmı iki boyutlu uzay, Düz Ülke ve zaman da ona dik olan başka bir boyuttur. Bunu daha iyi anlamak için şu sahneyi hayal edin: Square, oğlu Pentagon'la konuşmak için yanına yaklaşıyor ve sonra tekrar gidiyor. Uzay-zaman sürekliliğinde, iki çubuğun yaklaştığını ve sonra uzaklaştığını gözlemleyeceğiz: biri beşgen kesitli ve diğeri kare olan. Flatland'deki bu sahnedeki zamanın her anı, uzay- zamanın iki boyutlu bir kesitidir, bu da buna göre zaman içinde farklı anların bir dizisidir - bir dizi film karesinden oluşan bir film gibi.
Benzer şekilde, statik uzay-zamanımız, üç uzaysal boyutu ve bir zaman boyutu olan dört boyutlu bir uzaydır. Zamanın her anı, uzay-zaman sürekliliğinin üç boyutlu bir bölümüdür. Bu dört boyutlu uzayda, zamanla sonlu çubuklar gibi görünüyoruz. Statik uzay-zaman geçmişi, şimdiyi ve geleceği birleştirir, ama o zaman, tabii ki varlarsa, neden geçmişi veya geleceği göremiyorsunuz? Ayrıca, neden zamanı ileri doğru akıyormuş gibi algılarız? Bazıları bunun evrenimizin bir özelliği olduğuna ve bunun kabul edilmesi gerektiğine inanıyor.
Flatland için uzay-zaman sürekliliği, Kare ve oğlu Pentagon'un zamanda gerilmiş çubuklar gibi göründüğü üç boyutlu olacak.
verilmiş olarak. Örneğin, fizikçi David Park, "Zamanın Akışı Efsanesi" adlı makalesinde şunları yazdı: "... hayatımızın tüm olayları ve tarihimiz aynı anda var olur ve zamanın geçişi yanılsaması bizim bir özelliğimizdir. gözlemlenebilen ama açıklanamayan evren..." Bazıları ise zamanın geçişini zihnimizde sübjektif bir olay olduğunu ve içinde bulunduğumuz konumu değiştirebileceğimiz belirli bir zihinsel duruma ulaşmanın mümkün olduğunu düşünüyor. uzay-zamanda bilinç. Doğru, bu fikrin pek çok taraftarı yok.
Bir film veya kitap, uzay-zaman sürekliliği için iyi bir metafordur, çünkü kitaplar veya filmler onları izlemesek veya okumasak bile koleksiyonumuzdadır. O zaman zamanın akışının algılanması, bir film izlemeye ya da kitap okumaya benzer. Ancak burada ilginç sorular ortaya çıkıyor: Filmi birkaç kez, hatta sonsuz sayıda izlemek mümkün mü? Filmin belirli bir noktasında önceki bölüme geri dönmek veya birkaç bölümü hızlı ileri sarmak mümkün mü? Mümkünse, zaman uzaktan kumandası nerede bulunur?
Statik uzay-zaman teorisi ile ilgili bir başka ilginç konu da özgür irade sorunudur. Genellikle geleceğin daha önce olanlar tarafından belirlenmediği ve gelecek önceden belirlenmiş olsa bile, bu hiç de tahmin edilebileceği anlamına gelmez. Gelecek tahmin edilebilseydi, uzay- zaman sürekliliğinin kendisi ihlal edilmiş olurdu. Ne de olsa bu, hareket özgürlüğümüzün olmadığı, farkında bile olmasak da yaşam yollarımızın önceden belirlenmiş olduğu anlamına gelir. Bir şey olursa, kendimize sorma eğilimindeyiz, bu nasıl oldu? Bu olaya ne sebep oldu, şu veya bu eylem nasıl motive edildi? Genellikle, özgür iradeye inansak bile, herhangi bir olayı açıklayan her zaman iç veya dış nedenlerin olduğuna inanırız.Örneğin, fizik çalışırken, her şeyin bir nedeni olduğu ve hiçbir şeyin tesadüfi olmadığı izlenimi edinilir. Her parçacığın konumu, başlangıç koşulları, uzaydaki konumu ve ona etki eden kuvvetler tarafından belirlenir.
Ancak fizikçiler, daha önce ne olursa olsun, olabilecek veya olmayabilecek olayların olduğunu kanıtladılar. Örneğin böyle bir durum, bir uranyum atomunun radyoaktif bozunması sırasında meydana gelir. Uzay-zaman sürekliliğinde özgür irade sorununun çözümü "paralel evrenler" teorisidir. Bu fikir birçok önde gelen fizikçi tarafından önerilmiş ve incelenmiştir. Bunlar arasında, bu konuda bir tez yazan Amerikalı Hugh Everett ve Everett'in fikirlerini geliştiren Bryce DeWitt var. DeWitt sayesinde, Everett'in çalışması Kuantum Mekaniğinin Birçok Dünyanın Yorumu olarak bilinir.Bu teoriye göre, mümkün olan tüm evrenler, dallanmış bir ağaç şeklinde birbirine bağlı olarak aynı anda var olurlar ve evrenimiz, olası dallardan birinden başka bir şey değildir. Zamanın her anında, bir olayın vuku bulduğu veya olmadığı zaman, kâinat, daha doğrusu onun kollarından biri ikiye ayrılır. Bu, çok sayıda dal ve sonsuz sayıda paralel evren anlamına gelir. Olduğumuz ve olmadığımız evrenler var, hatta dört kola sahip olduğumuz ya da uçabildiğimiz evrenler var.
Bölüm 8
XX yüzyıl sanatında dördüncü boyut
Plastik formlarla ilgili olarak, dördüncü boyut, bilinen üç boyutta var olan, her yönde uzayın enginliğinin büyük ve güçlü bir duygusunun gerçekleştirilmesi olarak tanımlanabilir. Bu ne fiziksel bir teori, ne matematiksel bir hipotez, ne de bir optik illüzyon. Bu gerçektir ve bu haliyle algılanabilir ve hissedilebilir. Max Weber. Plastisite açısından dördüncü boyut (1910)
İnsan gözünün gördüğünü tasvir etmeye çalışan Rönesans perspektif yöntemi, beş yüzyıl boyunca sanata egemen oldu. Bununla birlikte, nesnelerin gerçek bir görüntüsünü elde etme olasılığının yanı sıra bir dizi başka felsefi, sosyal ve kültürel faktörle sonuçlanan fotoğrafın icadı, sanatçıların bu yöntemi giderek daha az kullanmaya başlamasına neden oldu. İlk başta, bunlar İzlenimcilerin çekingen girişimleriydi, daha sonra Fransız sanatçı Paul Cezanne (18391906) tarafından başlatılan ve Kübist sanatçılar tarafından mantıksal sonucuna getirilen son kırılma.
Öklidyen olmayan ve çok boyutlu geometriler, Kübistlerin sonunda perspektifi terk etmelerine katkıda bulundu. O zamandan beri, dördüncü boyut, 20. yüzyılın neredeyse tüm avangard hareketlerine nüfuz etti. Sanatçıları geometrik, felsefi, şiirsel gibi çeşitli yönleriyle büyüledi ve eserlerinde çok çeşitli biçimlerde kullanıldı.
Pek çok matematikçi, sanatçıları, dördüncü boyutu yorumlarken bilimsel titizlikten yoksun olmakla suçladı. Ancak, özellikle sanat eserleri herhangi bir bilimin sınırlarım aştığından, herhangi bir matematik alanına ilgi gösterilmesini yasaklamak mümkün müdür? Ayrıca bir sanatçının yapıtının, düşünüş biçiminin ve yaratıcılığının, kendi yolunu ararken toplumsal ve evrensel sorunları kendi başına yansıtması, daha sonra algısını sanat eserleri aracılığıyla ortaya koyması normal değil mi? Diğer konular için uygun görülen bu yaklaşım neden matematik sorularına uygulanamıyor? Ne de olsa sanatçılar matematik yapmıyor, öyleyse neden onlardan bilimsel titizlik talep edelim?Evrenin herhangi bir sorusuna olan ilgileri onları matematik dahil olmak üzere insan bilgisinin herhangi bir alanına yönlendirebilir. Bilimsel yöntemler kullanmalarını bekleyemeyiz, onların kendilerine özgü "sanatsal yöntemleri" var. Sanatçılar kendi keşiflerinde kullanmak üzere dördüncü boyut, Öklid dışı ve çok boyutlu geometrileri bagajlarına eklemişlerdir.
Kübizm ve perspektif yönteminden kopuş
Dördüncü boyut, birçok sanatçı, özellikle de kübistler için bir kurtuluş sembolü ve yeni fikirlerin kaynağıydı. Çok boyutlu uzaylar ve daha yüksek gerçeklik fikirleriyle büyülenerek, gözümüzün algıladığı üç boyutlu uzayın projeksiyonlarıyla sınırlı "görsel gerçeklikten" kurtulmak için Rönesans perspektif yönteminden kopmaya çalıştılar. XIX yüzyılın sonunda. dördüncü boyut, o zamanlar baskın olan pozitivizmin yerini alan idealist felsefenin gelişimine de katkıda bulundu.
Önde gelen kübizm teorisyenleri Fransız sanatçılar Albert Gleizes (1881-1953) ve Jean Metzinger (1883-1956), On Cubizm adlı kitaplarında, kübist sanatçının, Rönesans sanatçısının aksine, nesneyi gördüğü gibi tasvir etmeye çalışmadığını yazmışlardır. ancak nesneyi olduğu gibi gösterir. Bu konuda Pablo Picasso'nun (1881-1973) bir zamanlar trene nasıl bindiğiyle ilgili bir anekdot vardır. Başka bir yolcu onu tanıdı ve neden insanları olduğu gibi ve çarpık bir biçimde tasvir edemediğini sordu. Picasso adamdan ailesinin bir fotoğrafını istedi, bir süre baktı ve sonra cevap verdi: "Karın gerçekten bu kadar küçük ve düz mü?" Başka bir deyişle, bir nesnenin perspektifteki bir resmi, ne kadar gerçekçi görünse de, bir fotoğraf olsa bile, nesneyi gerçekte olduğu gibi göstermez.Bir nesnenin herhangi bir görüntüsü yalnızca onun izdüşümüdür. Eleştirmen Maurice Reynal, Cometilla a l'înguere dergisindeki 1913 tarihli bir makalesinde şunları yazdı: “İlkelciler nesneleri gördükleri gibi tasvir etmek yerine onları düşündükleri gibi, gördükleri gibi tasvir ettiler. Ve bu tam olarak Kübistlerin değiştirdiği, genişlettiği ve "dördüncü boyut" terimiyle tanımladığı yaklaşımdır.
Perspektif yöntemini terk etmek ve nesneleri bizim gördüğümüz gibi değil, gerçekte oldukları gibi sunmak için Kübistler tuval üzerine çeşitli açılardan tasvir ettiler. Bir örnek, Picasso'nun "Maria Therese Walter'ın Portresi" (1937) tablosudur. Bu portrede, Picasso'nun (sanat tarihçisi Douglas Cooper'a göre 1907'den 1921'e kadar süren) Kübist dönemine ait olmasa da, Maria Theresa Walter çeşitli açılardan tasvir edilmiştir.
Picasso'nun resminde Maria Theresa Walter çeşitli açılardan tasvir edilmiştir. Şapkası iki farklı açıdan gösterilmiştir: üst ve alt. Picasso'nun sevgilisinin (klasik Picasso tarzında boyanmış) yüzü de farklı düzlemlerde tasvir edilmiştir: her bir göz için bir tane, dudaklar için bir tane, burun için bir tane ve bir tane de saç için. Vücudun görüntüsünde ayrıca birkaç açı bulabilirsiniz. Sandalye ve kollar en az iki açıdan gösterilmektedir. Zemin, izleyici kadına yukarıdan bakıyormuş gibi tasvir edilirken, tavan aşağıdan gösterilir.
Bununla birlikte, Kübizm'in ilk yıllarında kullanılan yöntem, görüntüyü küçük bölümlere veya yönlere bölmek ve her birinde nesnenin parçalarını farklı açılardan göstermekti, bunlar birlikte tuval üzerinde tam bir görüntü oluşturuyordu. bakış açıları. Bu boyama yöntemiyle görüntü belirli bir karmaşıklık kazanır ve dört boyutlu nesnelerin görselleştirmelerine benzemeye başlar. Bu yöntemin kullanımına bir örnek, Picasso'nun "Ambroise Vollard'ın Portresi" (1910) tarafından Kübist dönemin resimlerinden biridir.
"Ambroise Vollard'ın Portresi" adlı resimde Picasso, Parisli sanat tüccarını çeşitli açılardan "çok yönlü." olarak tasvir etti.
Başka bir örnek, Metzinger'in Çıplak (1910) filmidir. Metzinger, dördüncü boyutu coşkuyla kucaklayan sanatçılardan biriydi ve bu resim, çeşitli açılardan boyanmış, üç boyutlu uzayın tutsaklığından kurtulan, daha yüksek dört boyutlu bir gerçekliği betimleyen çok karmaşık bir görüntü. Metzinger'in bir önceki tablo kadar karmaşık olmasa da farklı açılardan yaptığı diğer işleri ise "Çay Partisi" (1911) ve "Dans" (1912). Ancak Şapkalı Kadın (1913), dikey kenarlarda kadın yüzünün farklı açıları ile tamamen farklı bir tarzda yazılmıştır.Picasso ve Metzinger, Georges Braque, Robert Delaunay ve Albert Gleizes gibi diğer sanatçılar da bu yaklaşımı kullansa da, çoklu faset tekniğini geliştiren Kübistlerin en aktifleriydi.
Dördüncü bölümde, bir hiper varlığın gözünün bir cismin hem dış yüzeyini hem de iç yapısını aynı anda görebildiğinden, yani hiper varlıkların bizi mümkün olan tüm açılardan görebildiğinden zaten bahsetmiştik. Bir anlamda, bu tam olarak Kübistlerin hedefiydi. Buna ek olarak, bazı sanatçılar, Picasso'nun şu alıntısında gösterildiği gibi, düşünce ve hayal gücünü dördüncü boyuta giden bir yol olarak kullanmışlardır: "Ben şeyleri gördüğüm gibi değil, düşündüğüm gibi çizerim." Kübistler, Rönesans perspektifini Öklidci üç boyutlu uzayla ilişkilendirirken, resimlerinde uzayda dördüncü boyutu ve Öklidyen olmayan geometrileri kullandılar. Metzinger ve Gleizes, "Kübizm Üzerine" manifestolarında bunu şöyle açıklıyor: “Ancak, mevcut biçimlerin bazı hatırlatıcılarının, en azından şu anda tamamen ortadan kaldırılmaması gerektiğini kabul ediyoruz. Somutluk tamamen ortadan kalkmadan sanatı hemen yükseltemezsiniz. Kübist sanatçılar bunu bilir. Yorulmadan resimsel formu ve yarattığı özel mekansal ilişkileri incelerler.
Bu uzayı yanlışlıkla görsel uzayla veya Öklid uzayıyla karıştırıyoruz. Öklid, varsayımlarından birinde, hareketli figürleri deforme edememekten bahseder, bu yüzden kendimizi bu konumla sınırlamamalıyız.
Sanatsal uzayı geometriye bağlamak istiyorsak, onu Öklid dışı matematiğe göndermemiz ve Riemann'ın bazı teoremlerini incelememiz gerekir.
Şair ve eleştirmen Guillaume Apollinaire (1880-1918), Estetik Yansımalar - Kübist Ressamlar (1913) adlı eserinde de aynı yaklaşımı benimsemiştir:
“Aşırılıkçı okulların genç sanatçılarının asıl amacı saf resim yapmaktır. Sanatları tamamen yeni plastik formları temsil ediyor. Hala doğuyor ve henüz istediğimiz kadar soyut değil. Birçok yeni sanatçı, kendilerinin farkına varmadan matematiğe büyük ölçüde güveniyor. Hayatın sorduğu sorulara doğru cevapları bulmayı umarak, sabırla inceleyerek mevcut formları henüz tamamen terk etmediler. <...>
<...> Yeni sanatçılar geometriye olan tutkularından dolayı ciddi şekilde eleştirilir. Bununla birlikte, geometrik şekiller çizimin özüdür. Geometri - uzay, boyutlar ve ilişkiler bilimi - her zaman resmin normlarını ve kurallarını belirlemiştir. Öklid geometrisinin üç boyutu şimdiye kadar sonsuzluğa özlem duyan ürkek sanatçılar için yeterliydi.
Yeni sanatçılar, öncüllerinden daha fazla geometrici olmaya hevesli değiller. Ancak, yazma sanatı için gramer ne ise, plastik sanatlar için de geometrinin o olduğu söylenmelidir. Bugün bilim adamları artık kendilerini Öklid'in üç boyutuyla sınırlandırmıyorlar. Ve oldukça doğal olan sanatçılar (her ne kadar birisi bunu sadece sezgi sayesinde söyleyecek olsa da), modern
stüdyoların dilinde dördüncü boyut olarak bilinen yeni mekansal boyutların olanaklarını çekti.
Bir nesnenin plastisitesinin bir görüntüsü olarak zihinde var olan dördüncü boyut, bilinen üç boyut sayesinde doğar: herhangi bir anda tüm yönlerde uzayın enginliğini temsil eder. O uzayın kendisidir, sonsuzluğun boyutudur; dördüncü boyut, nesnelere plastisite kazandırır.
Bu iki alıntıdan ilki, Euclid'in "hareket eden figürleri deforme edememe" konusundaki ifadesine atıfta bulunur. Bu, örneğin, bir düzlem üzerinde hareket ederken karenin deforme olmadığı anlamına gelir (burada hareket ile öteleme veya döndürme kastedilmektedir). Bununla birlikte, Riemann, hareket ederken şeklin şeklinin değiştiği değişken eğriliğe sahip boşlukları (yüzeyler veya yüksek boyutlu boşluklar) değerlendirdi. Örneğin, üçüncü bölümde, dışta pozitif ve içte negatif - değişken bir eğriliğe sahip olan bir torusun yüzeyinden zaten bahsetmiştik. Şimdi simitin dış tarafına aşağı yukarı dikdörtgen şeklinde dışbükey bir şekil çizelim.Bu şekil simitin iç tarafına doğru hareket ettirildiğinde şeklinin değişeceğini yani şekil bozularak bazı yönlerde dışbükey, bazı yönlerde içbükey hale geleceğini göreceğiz.
Torusun dış tarafındaki "dikdörtgen*" şekil her yöne dışbükeydir, ancak simitin iç kısmına hareket ederken - şekil netlik için ters çevrilir - şeklin yanları eğrilik değiştirmiştir.
Kübistler için dördüncü boyut, yalnızca perspektif yönteminden bir kopuş değil, aynı zamanda mekan ve biçim tasvirinde belirli bir özgürlük anlamına da geliyordu. Ayrıca Metzinger ve Gleizes, Apollinaire ve Polonyalı-Amerikalı sanatçı Max Weber (1881-1961) dördüncü boyutu sonsuzlukla ilişkilendirdi. Bu bir tür metafordu, çünkü onlar için perspektif yöntemi ve üçüncü boyut sanatın hapishanesi ve ifade araçları iken, dördüncü boyut yaratıcılığı serbest bırakıyordu. Albert Gleizes, 1912'de verdiği bir röportajda bunu vurguladı: "Öklid'in üç boyutuna bir tane daha ekledik - dördüncü, uzayın konfigürasyonu ve sonsuzluğun ölçüsüdür."
Şimdi Picasso'nun "Avignon'un Kızları " 1907 adlı tablosuna dönelim - kübizmin başlangıç noktası ve 20. yüzyılın avangardı. Bu çalışmada perspektif yöntemi ve çoklu açı kullanımından tam bir kopuş görüyoruz ve bu yeni bir görsel dilin başlangıcını işaret ediyor. Eser, hem perspektifin reddi açısından hem de Picasso'nun gerçekliği temel biçimlere indirgeyerek sunma girişimini dikkate alarak açıkça Cezanne'ın etkisi altında yazılmıştır. (Cezanne'nin amacı "doğayı bir silindir, bir küre, bir koni terimleriyle yorumlamaktı.") Picasso, dördüncü boyut kavramıyla 1905'te sanatçıyla tanışan ve kısa süre sonra onun üyesi olan matematikçi Maurice Princet tarafından tanıtıldı. "Picasso grubu."Princet grup üyelerine Poincare ve Esprit Giuffret'in çalışmalarını ve dördüncü boyutu anlattı. Arthur Miller, Picasso ve Einstein üzerine yazdığı kitabında, Picasso'nun bu tablo için yaptığı eskizler ile Jouffre'un geometrik figürleri arasındaki benzerlikleri not eder ( bir sonraki sayfadaki Şekil şekline bakınız). Aynı şey sanat tarihçisi Linda Henderson tarafından “Ambroise Portresi” tablosuyla ilgili olarak not edildi.
Vollard". Ama tabii ki dördüncü boyut, Afrika sanatı, Cezanne'nin eseri, "İber" resim tarzı vb. ile birlikte "Les Maidens of Avignon" için ilham kaynaklarından sadece biridir.
Giuffret’in On the Geometry of Four Dimensions (1903) adlı eserinden on altı temel oktahedra ve ikositetrahedranın projeksiyonları.
Fakat 20. yüzyıl sanatı için bu kadar önemli olan bu eser, Picasso'nun ortakları tarafından nasıl karşılandı? Onlara stüdyosunda tabloyu gösterdi ve görünüşe göre çok kötü eleştiriler aldı. Daha sonra Picasso ile birlikte Kübizm'in kurucularından biri olan Georges Braque, bu resmi çizerken arkadaşının sarhoş olabileceği konusunda şaka bile yaptı. Picasso'nun uzun zamandır patronu olan Leo Stein, "Dördüncü bir boyut çizmeyi denediniz mi? Ne kadar komik!"
Matisse, tablonun sadece bir şaka olduğuna karar verdi ve Picasso'yu yok etmekle tehdit etti. Deren, böyle bir fotoğraftan sonra geriye sadece intihar etmek kaldığını söyledi. Sadece koleksiyoner Daniel Henri Kahnweiler tabloyla ilgilenmeye başladı ve onu satın almayı teklif etti. Ancak Picasso, satılık olmadığını söyleyerek onu kendine sakladı. Sadece dokuz yıl sonra halk The Maidens of Avignon'u gördü.
Fransız yazar ve eleştirmen Andre Salmon'un 1912'de yaptığı ve Arthur Miller'ın daha sonra tekrarladığı ilginç bir yorumla bitiriyoruz: denklem ... Böylece resim, titizlik açısından ondan aşağı değil, bir bilim haline geldi.
Fransız sanatçı Georges Braque (1882-1963) ile Pablo Picasso arasındaki dostluk, Metzinger, Gleizes ve Apollinaire'in de taraftarı olan analitik kübizm'in ortaya çıkmasına neden oldu. Daha sonra 1911'de Salon des Independants'ta (Zalop s1e8 Ipsiorepsiapis) bir kübist sergisi vardı, burada Metzinger, Gleizes, Henri Le Fauconnier (1881-1946), Fernand Leger (1881-1955) ve Robert Delaunay (1885-1941) ) sunuldu, ancak garip bir şekilde, Picasso'nun resimleri veya Braque'nin resimleri yoktu. Analitik kübistler "Puteaux Grubu"nu oluştururken, Braque ve Picasso kolajın hakim olduğu sentetik kübizm geliştirdi.
Geometrik oranın onuruna La Sesboun korosu ("Altın Oran") olarak da adlandırılan "Puteaux Grubu", birkaç sanatçı, şair ve eleştirmenin her Pazar sanatçı Jacques Villon'un stüdyosunda buluşma kararıyla kuruldu ( 1875-1963) Paris'in bir banliyösü olan Puteaux'da. Üyeleri dahil
PRINSE, KÜBİZM MATEMATİK
Matematikçi Maurice Princet (1875-1973) bir sigorta acentesi olarak çalıştı, ancak Kübistler arasında önemli bir figürdü ve hatta "Kübist matematikçi" unvanını kazandı. Picasso ile tanışarak grubuna ve daha sonra Puteaux'dan gruba katıldı. Sık sık dördüncü boyut ve Öklidyen olmayan geometri hakkında gayri resmi tavsiyeler verdi. Metzinger anılarında şunları yazdı: “Maurice Princet bizi sık sık ziyaret etti ... Matematiği bir sanatçı olarak algıladı ve çok boyutlu alanları estetik açıdan değerlendirdi. Schlegel ve diğerleri tarafından keşfedilen yeni uzay görüşleriyle sanatçıların ilgisini çekmeyi başardığında hoşuna gitti. Ve bunu başardı."
Metzinger, Gleizes, Juan Gris of Madrid (1887-1927), Le Fauconnier, Leger, Delon, üç kardeş Jacques Villon, Raymond Duchamp-Villon (1876-1918) ve Marcel Duchamp (1887-1968) ve Francis Picabia (1879) -1953), Çek teosofist Frantisek Kupka (1871 - 1957) ve Apollinaire.
Kübistlerin her birinin kendine özgü bir tarzı vardı, ancak grup üyelerinin ortak ilgi alanlarından biri geometriydi. Çalışmalarına bakarsanız, dördüncü boyut, temel geometrik şekiller, altın oran ve diğer geometrik unsurların kullanımını görebilirsiniz. Puteaux grubunun toplantılarına, sanatçılara geometri, özellikle dördüncü boyut ve Öklidyen olmayan geometriler hakkında bilgi veren matematikçi Princet sık sık uğrardı. Henri Poincare ve Esprit Juffre'nin eserleriyle tanışmaları onun sayesinde oldu.
Dördüncü boyutun popülerleşmesi için büyük önem taşıyan Gaston de Pavlovsky'nin "Dördüncü Ülkeye Yolculuk" adlı bilim kurgu romanıydı.
ALTIN ORAN
Altın oran, altın oran veya ilahi oran, kültür ve sanat dünyasında büyük ilgi uyandıran geometrik bir orantıdır.
Altın oran, Öklid'in "İlkeleri"nde şu şekilde tanımlanmıştır: altın oran, bütün bir parçanın , küçük olanın büyüğe olduğu kadar büyük olanın da bütünle ilişkili olduğu iki eşit olmayan a ve b parçasına bölünmesidir. bir. Bir formül kullanarak, bu şu şekilde yazılır:
bir _ bir + b
baa
Bu oranı (p = - olarak gösterirsek, önceki denklem , pozitif çözümü (p = A-A = 1.618033 olan ikinci derece O 2 - $ - 1 = 0 denklemi olarak yazılabilir...
2
'z I II e
Jean Metzinger'in 1913'te sergilenen ancak şimdi kaybolan bir tablosuna "Ölü Doğa (Dördüncü Boyut)" adı verildi .
Marcel Duchamp
Marcel Duchamp, Puteaux grubunun özellikle matematik ve dördüncü boyutla ilgilenen üyelerinden biriydi. Duchamp'ın yaklaşımı, diğer kübistlerinkinden farklıydı, çünkü Duchamp, matematiksel yöntemleri diğer sanatçılardan daha sık uygulayarak, dördüncü boyutu kendi sanatsal araçlarıyla görselleştirmeye çalıştı.
Ayrıca kenarları a ve b olan bir dikdörtgene, kenarlarının uzunlukları altın oranla ilişkiliyse "altın dikdörtgen" denir. Bu oran, Yunan ve Mısır güzellik kanonlarında kullanıldı ve Rönesans sırasında sadece Luca Pacioli gibi matematikçilerin değil, aynı zamanda Leonardo da Vinci de dahil olmak üzere sanatçıların da ilgisini çekti.
O zamandan beri altın oran kültürün bir parçası haline geldi. Jacques Villon, diğer kübistlerle birlikte, 1910'da Leonardo da Vinci'nin "Resim Üzerine İnceleme"sinin Fransızca çevirisi sayesinde onunla ilgilenmeye başladı. Adını açıklayan Puteaux grubunun bu kitabına olan ilgidir - Ia Zeciop sgog (" Altın Bölüm"), grubun yalnızca iki üyesi çalışmalarında altın oranı sıklıkla kullansa da - Villon ve Gris. Ayrıca bazen bu oran Metzinger ve Gleizes'de ortaya çıktı.
Juan Gris, çalışmalarında, örneğin "Germaine Reynal'ın Portresi" ve "Kafedeki Adam" (yukarıda) ve "Oturan Harlequin" resimlerinde altın oranı sıklıkla kullandı.
İşte Pierre Cabana'nın Marcel Duchamp ile Diyalog'dan (1966) bir alıntı: "Pierre Kaban: Matematik bilginiz inanılmaz, özellikle de özel bir eğitiminiz olmadığı düşünülürse.
Duchamp: Pek sayılmaz. O zamanlar bizi ilgilendiren dördüncü boyuttu. Yeşil Kutuda dördüncü boyutla ilgili birçok kayıt var. Adamı hatırlıyor musun, sanırım adı Povolovsky'ydi [Pavlovski anlamında]? Rue Bonaparte'da editördü. Adını unuttum. düz iki boyutlu varlıklarla benzetmeler... Prens ile kübist dönemde bile gerçekten komikti.
Pierre Caban: Princet bir sözde matematikçiydi, ironikti...
Duchamp: Aynen. Biz gerçek matematikçiler değildik, bu yüzden Prince'e bu kadar çok inandık. Bilgili bir insan izlenimi verdi."
Marcel Duchamp'ın dördüncü boyuta olan ilgisini gösteren üç resimden ilki Satranç Oyuncularının Portresi'dir (1911). Duchamp'ın, Poincare ve Esprit Juffret ile Gaston de Pavlovsky'nin eserlerini okuduğunu notlarından biliyoruz. Juffret, satrancı, aynı anda birden fazla oyunu körü körüne, yani satranç tahtasına bakmadan oynayan bir satranç oyuncusunun düşünce süreciyle karşılaştırarak, dördüncü boyutu görselleştirmek için bir metafor olarak kullandı. Bu resmin teması, sadece bir oyun oynamasına rağmen bir satranç oyuncusunun düşünce sürecidir. Ayrıca kendisi de hevesli bir satranç oyuncusu olan Duchamp, bir röportajında oyuncularını sonsuz uzaya yerleştirdiğini söylemiştir (daha önce de söylediğimiz gibi, Kübist teorisyenler dördüncü boyutu sonsuz uzay ile ilişkilendirmiştir).
Daha sonra, Duchamp, dördüncü boyutu, yani göreceli uzay-zamandan ziyade statik görselleştirme yöntemlerinden biri olan hareketin statik temsilini keşfetmeye başladı. Sözde temel paralellik hakkında konuştu: "... Bir doğrunun bir yönde tekrar eden noktaların oluşturduğu bir çizgi gibi, çizgilerin tekrarlanmasıyla bir yüzey oluşur. Aynı benzetme, düzlemden uzaya geçişte de kullanılır. n boyutlu uzayların sürekli tekrarı (u + 1) boyutlu uzaya yol açar. Duchamp, Hinton ve diğer filozofların, hiperküpü, küpün ekstra bir boyuttaki hareketinin sonucu olarak tanımlayan teorisini ortaya attı.Temel paralelliğini en iyi yansıtan bu dönemin resmi "Merdivenlerden inen çıplaktır. 2" (1912).
Resimde “Merdivenlerden aşağı inen çıplak. 2 "(solda) Duchamp, kübizm fikirlerini, çeşitli açılar ve hareket yöntemlerini karıştırıyor (burada beş boyullan bile bahsedebilirsiniz). İlham, İngiliz fotoğrafçı Edward Muybridge'in Merdivenlerden İnen Kadından geldi (üstte) . çalışma, hareketi tanımayan Kübistler arasında çok tartışmaya neden oldu.
Marcel Duchamp, "Bekarları tarafından soyunan gelin, iki yüze bir" ("Büyük Cam") (1915-1923).
Ancak Duchamp, dördüncü boyutu yorumlamasında daha da ileri gitti. 1912'nin sonunda anıtsal eseri "Büyük Cam"ın ilk eskizlerini yaptı. Sonuç, Duchamp'ın çalışmasında "dördüncü boyutun ilk bakışı" olduğunu söylediği Gelin oldu, çünkü resim dördüncü boyuttaki gelinin üç boyutlu izdüşümlerini gösteriyordu.
DUŞAN VE ANTİ-SANAT
Belki de 20. yüzyıl sanatı üzerinde en büyük etkiye sahip sanatçılar Pablo Picasso ve Marcel Duchamp'tı. Picasso, kelimenin klasik anlamıyla bir sanatçıydı, sürekli yeni fikirler üretti ve bunları eserlerinde somutlaştırdı. Duchamp ise sanatı düşünen, sorgulayan, hatta reddeden bir sanatçıydı. Esasen bir sanat filozofuydu. Yaklaşımının beklenmedik bir yönü, sanatsal hareketsizliğidir - Duchamp, resimlerin yerine onlara yansımalar koyduğunda anti-sanatıdır. 1912'de bir kitapçıda çalışmak için sanat dünyasını terk ettiği bildirildi, ancak kısa süre sonra işi bırakıp New York'a taşındı.Ancak, en önemli eseri olan Bekarlar Tarafından Soyunmuş Gelin, iki kişiden biri” (“Büyük Cam”) (1915-1923) üzerinde düşünerek ve onun için eskizler yaparak on yıl daha çalışmaya devam etti. Bu yansımaların sonucu, farklı notlarının iki koleksiyonuydu - "Beyaz Kutu" ve "Büyük Cam" için fikirlerini ve dördüncü boyuta yansımalarını tanımlayan "Yeşil Kutu". O zamandan beri, sanat değil, sanat karşıtı eserler yaratan bir anti-sanatçı oldu. Bununla birlikte, 20. yüzyıl sanatının en etkili figürü olmaya devam etti.
boyutlu ve daha sonra The Big Glass'da göründü. Bu yıllarda dördüncü boyut, makineler, anti- sanat, psikoloji gibi konularla ilgilendi.
ve insanın yabancılaşması. 1915'te New York'a taşındıktan sonra, "Gelin, Bekarları Tarafından Soyunmuş, İki Kişilik Tek Başına" ("Büyük Cam") tablosu üzerinde çalışmaya başladı. Dördüncü boyutun görselleştirilmesi açısından, o dönemin ana fikri projeksiyonlardı - dört boyutlu nesnelerin üç boyutlu uzayda projeksiyonları olarak temsili. "Beyaz Kutu" ve "Yeşil Kutu" da toplanan bu resimle ilgili notlarında, örneğin şunları yazdı: "Uzayımızdaki dört boyutlu bir figürün tembelliği üç boyutlu bir gölge olacak." Ve bir şey daha: "... eğer gölgeler üç boyutlu dünyanın iki boyutlu izdüşümleriyse,
"İki Kişilik Tek Başına Bekarları Tarafından Soyunan Gelin" ("Büyük Bardak") adlı eseri, tam olarak iki parçaya bölünmüş büyük bir bardaktır. En üstte, 4 boyutlu bir evrende yaşayan bir gelinin 3 boyutlu bir projeksiyonu var. Alt kısım, üç boyutlu bir Öklid dünyasında dokuz bekarı tasvir ediyor. Duchamp'ın notlarında yazdığı gibi cam kullanımı, yansıtma için bir metafordur: "Cam ve aynalar perspektifi temsil etmek için kullanılır." Eserin birkaç anlamı vardır ve çalışılması için çok çaba harcanmasına rağmen, sanatçıların ve sanatçıların doğrudan yorumlarına rağmen, 20. yüzyılın başlarındaki tüm sanatlarda olduğu gibi dördüncü uzamsal boyutun önemi uzun yıllar göz ardı edilmiştir. zamanın eleştirmenleri. Ancak 1970'lerdesanat tarihçileri Kübizm'in dördüncü boyutla bağlantısını yeniden keşfettiler.
BÜYÜK CAM"IN TAMAMLANMASI
Bu çalışma, kural olarak, 1915-1923'ten kalmadır. 1915'te New York'a gelen Duchamp, bu resim üzerinde çalışmaya başladı ve 1923'te Avrupa'ya döndü. Ancak, işin bitmediği duygusuyla kaldı. 1926'da Brooklyn Müzesi'ndeki bir sergiden sonra, iki parça cam - gelinin olduğu kısım ve bekarların olduğu kısım - üst üste yerleştirilmiş ve nakliye sırasında kötü bir yolda cam kırılmıştı. 1936'da Duchamp, bir camcının yardımıyla tabloyu restore etti. Gelini bekarlara bu şekilde bağlayan eserin iki kısmındaki simetrik çatlakları görünce işinin nihayet tamamlandığını fark etti.
20. yüzyıl sanatında çeşitli hareketlerde dördüncü boyut
20. yüzyıl boyunca sanatta dördüncü uzamsal boyut her zaman mevcut değildi. Bu nedenle, dört aşama ayırt edilebilir:
1900-1920: altın çağ (yaklaşık 1920'ye kadar).
1920-1950: Görelilik teorisinin popülerleşmesi. 1936'da sanatçılar, çok boyutlu alanlara izin veren, ancak esasen göreceli olan Oishepsiopsis MapiGevio'yu imzaladılar. Sadece Dadaistler ve Sürrealistler dördüncü uzamsal boyutla ilgileniyorlar.
1950-1970: Dördüncü mekansal boyut temasının reddi. İstisnalar, Salvador Dali ve Amerikan Irene Rice Pereira (1902-1971) gibi tanınmış sanatçılardı.
1970 - günümüz: dördüncü uzamsal boyutta ilginin yeniden canlanması. Birçok çağdaş sanatçı bu kitapta bahsedilen yönlerde çalışır.
Daha önce de söylediğimiz gibi, dördüncü boyut sanatçılar için bir kurtuluş sembolü, bir fikir kaynağı, yeni bir dil ve yeni bir mekan kavramı haline geldi. Dördüncü boyuta olan inanç, kendilerini görsel gerçeklikten uzaklaştırmalarına ve üç boyutlu Öklid dünyasını temsil eden perspektif yöntemini tamamen terk etmelerine izin verdi. Buna ek olarak, dördüncü boyuta olan ilgi, yeni soyut sanatın altında yatan idealist yüksek gerçeklik algısına alternatif bir yaklaşımdı. Birçoğu dördüncü boyuta hayran kaldı, ancak her hareket ve her sanatçı kendileri için farklı yönler seçti: perspektif, hareket, renk, zaman, sonsuz uzay, hafıza, yerçekimi, yerçekimi karşıtı, mistisizm yönteminin reddi ...
Kübizme ek olarak, uzay-zaman sürekliliği de dahil olmak üzere dördüncü uzamsal boyutla ilişkili 20. yüzyıl sanatındaki diğer hareketler, İtalyan ve Rus Fütürizmi, Süprematizm, Konstrüktivizm, Amerikan Modernizmi, De Stijl hareketi, Sürrealizm ve Dadaizmdir. Aşağıda bu hareketlerden bazılarını ve temsilcilerini tanımlayacağız.
XX. YÜZYILIN ÖZET SANATI
Soyut sanat 20. yüzyılda ortaya çıktı. Sanatçılar artık gerçekliğin nesnelerini kopyalamak istemediler ve sanatı gerçekliğin ve tarihin yeniden üretimi olarak yorumlamayı reddettiler, çünkü bu fotoğraf yardımıyla yapılabilirdi. Resmin nesneleri değil, resmin kendisi önemli hale geldi. Sanatçılar dünyaya farklı açılardan bakmaya ve gördüklerini değil, iç dünya da olabilen daha yüksek bir gerçekliği tasvir etmeye çalıştılar. Her şeyi - gerçeği, nesnelerin ve dünyanın gerçekliğini - sorguladılar ve büyük evrensel ve ütopik fikirleri somutlaştırmaya çalıştılar.
XX yüzyılın sanatında. üç ana eğilim gelişti: ifade (duygularla ilişkili), fantezi (bilincin labirentleri) ve geometrik soyutlama (biçimsel yapıya vurgu yaparak). Geçen yüzyılın tüm sanatsal hareketleri bu eğilimlerin bir bileşimidir.
Fütürizm
Fütürist hareket, dördüncü boyutun dinamik bir vizyonunu kullandı. Fütüristler, Kübistlerin statik yaklaşımını reddettiler ve yeni boyutu hareket, bir uzay-zaman sürekliliği olarak gördüler. İtalyan fütürist
Umberto Boccioni'nin iki eseri: Bisikletçi Dinamizmi (solda) ve Uzayda Eşsiz Süreklilik Biçimleri.
Fütürist manifestoların teorisyenlerinden ve ortak yazarlarından biri olan Umberto Boccioni (1882-1916) şunları yazdı: “Dinamik biçim, hem resim hem de heykelde dördüncü boyutun karakteristik bir özelliğidir. Uzayda süreklilik sağlayan benzersiz şekil sayesinde, bilinen üç boyutun süpürmelerinin toplamı olan bir şekil oluşturduk. Maneviyat, matematiksel değerler ve geometrik boyutlar tarafından belirlenecektir.
Boccioni, Hinton ve İtalyan takipçilerinin hiper boyutlu felsefesinden, yani dördüncü boyutu anlamak için hareketi kullanma fikrinden büyük ölçüde etkilenmiştir. Çalışmaları, diğer fütüristlerinkilerle birlikte, zamandaki iki nokta arasındaki uzay-zaman sürekliliğinin izdüşümleridir.
İtalyan 20 euro cent madeni para üzerinde tasvir edilen Boccioni'nin en karakteristik eserlerinden biri, yürüyen bir insanın hareketini temsil eden "Uzayda Sürekliliğin Eşsiz Formları" heykelidir. Bu, dört boyutlu uzay-zamanda bir kişi olan çubuğun uzamsal (bu durumda, bir heykel olduğu için üç boyutlu) bir izdüşümüdür.
Benzer şekilde, diğer Fütürist resimler de uzay-zaman sürekliliğinin veya hareketin düz izdüşümleridir. Örneğin, Boccioni'nin Bir Bisikletçinin Dinamizmi ve Bir Futbolcunun Dinamizmi, Gino Severini'nin Mavi Dansçı (1883-1966), Tasmalı Bir Köpeğin Dinamizmi (1912) ve Giacomo Balla'nın (1871-) Bir Kırlangıç'ın Uçuşu (1913). 1958) ).
Dördüncü boyut, Rus fütüristlerini de ilgilendiriyordu. Sanatları, Parisli avangardın yanı sıra teosofist Peter Demyanovich Uspensky'nin dört boyutlu felsefesinden güçlü bir şekilde etkilendi. Mikhail Larionov (1881-1964), Natalya Goncharova (1881-1962), Mikhail Matyushin (1861-1934) ve Kazimir Malevich (1878-1935) gibi sanatçılar Rus fütürist hareketinin temsilcileridir. İsimlendirilenlerin son üçü de Kübizm ve Fütürizmin bir karışımı olan Kübo- Fütürizm tarzında çalıştı. Malevich'in "Öğütücü" çalışması bu yönün tipik bir örneğidir.
süprematizm
Rus sanatçı Malevich tarafından kurulan Suprematizm, başta daire ve kare olmak üzere temel geometrik şekillere odaklandı. Bu yön, bir kişiyi bir tür kozmik bilince getirmek için dünyanın kayıtsız algısını yok etmeye çalışan "saf yaratıcılık" için çabaladı. Bu, hareket, renk ve formun karıştırılmasıyla sağlandı.
Rus Fütürizmi gibi, Süprematizm de Hinton ve Ouspensky'nin hiperboyutlu felsefeleriyle ilişkilendirildi. Çok benzer bir eğilim, Kandinsky tarafından Ouspensky'nin çalışmalarının güçlü etkisi altında kurulan Blue Rider hareketiydi (Der Biae Keureg). Bu nedenle, Süprematizm'in dördüncü boyuta manevi bir yaklaşımla ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir. Malevich'in bu dönemdeki eserleri, daha yüksek boyutlardan nesnelerin düz kesitlerine benziyor.
Linda Henderson, "geometri ve harekete ek olarak, hiperboyutlu felsefe, Malevich'in Suprematist eserlerinde yerçekimsiz yeni bir alanla ilişkili dördüncü boyutu tasvirine ilham verdi" diye yazdı.
Kazimir Malevich'in Suprematist tablosu “Bir futbolcunun pitoresk gerçekçiliği. - Dördüncü Boyutta Renkli Kitleler" (1915).
Son fütüristik sergi "0.10" (1915), Malevich'in Suprematist eserleri ilk kez gösterildi. 39 başvurudan beşinin dördüncü boyutla ilgili başlıkları vardı. Örneğin, “Bir futbolcunun resimsel gerçekçiliği. - Dördüncü Boyutta Renkli Kitleler” ve “Picturesque Realism. Sırt çantası olan bir çocuk. — Dördüncü Boyuttaki Renkli Kitleler, aynı zamanda Siyah Kare ve Kızıl Meydan olarak da bilinir.
sürrealizm
Sürrealizm, hem dördüncü boyuta (statik uzay-zaman dahil) geometrik veya uzamsal yaklaşımıyla hem de manevi bileşeniyle bağlantılı olarak ilgi çeken bir sanat akımıdır. İspanyol sanatçı Salvador Dali (1904-1989) bu akımın en önemli temsilcilerinden biridir. Eserlerinde altın oran, afet teorisi, topoloji, fraktal teori, geometrik formlar, stereoskopi, projektif geometri ve optik yanılsamalar ile çok boyutlu uzayları kullandı.
Salvador Dali'nin yorumunda, İsa Mesih benzer bir çarmıha gerildi.
Dördüncü boyutla bağlantılı olarak, Dali'nin iki eseri özellikle ilgi çekicidir - "Çarmıha Gerilme veya Hiperkübik Beden" ve "Dördüncü Boyutun İzinde". Bunlardan ilki, hiperküpün gelişimini (önceki bölüme bakınız) İsa'nın çarmıha gerildiği üç boyutlu bir haç biçiminde tasvir ediyor - din ile dördüncü boyut arasındaki bağlantıya bir gönderme. Haç veya hiperküpün gelişimi, dünyamızdan (üç boyutlu uzay) cennete (dördüncü boyuta) geçişin bir sembolü haline gelir. İkinci resim, bu kitapta tartıştığımız birçok unsuru içerir: çokyüzlü formlar, Platon'un mağarası efsanesi, din, projeksiyonlar ve daha fazlası ile görelilik teorisi.
Theo van Doesburg'un (1919) "Composition XV//" tablosunu betimleyen 1921 tarihli "De Stijl" dergisinin kapağı.
"DE STİLİ"
De Stijl, 1917 yılında sanatçı ve mimar Theo van Doesburg (1883-1931) tarafından Hollanda'da kurulmuş bir sanat grubu ve dergidir. Piet Mondrian (1872-1944) da bu grubun bir üyesiydi. Bu hareketin kökeni analitik kübizmdi, ancak daha sonra saf geometrik soyutlamaya dönüştü. Sanatçılar dergilerinde sık sık dördüncü boyutun konularını tartıştılar, örneğin Severi'nin "Uzayın Boyutu ve Dördüncü Boyut" makalesinde, Poincare'in "Bilim ve Hipotez" kitabının fragmanlarında ve bu konudaki yansımalarında van Dosburg ve Mondrian. Theo van Doesburg'a göre, manevi alemleri ve ruhu bir eser olarak tasvir etmeye çalışırken, sanatçı zorunlu olarak motostereometrik ifade biçimlerini kullanacaktır.Bu motostereometrik ifade biçimleri, dört boyutlu dünyanın üç boyutlu uzayda bir temsilidir.
Mondrian'a göre, yeni eğilimler, dördüncü boyutun daha iyi anlaşılması ve dördüncü boyutun, üç boyutlu dünyanın doğal düzeninin tamamen veya kısmen yok edilmesi ve yeni sanatların kullanılması yoluyla yeni sanata sızdığı fikri tarafından yönlendirildi. plastik ifade aracı.
Sürrealistler arasında dördüncü boyuta olan ilgi, en bilimsel olarak Oscar Dominguez'in (1906
1957) yazılarında tanımlanmıştır. Çok boyutlu uzaylarla ilgili çalışmalarının iki türü ayırt edilebilir. Bir yanda bunlar, çokyüzlüler içeren "Karayoluyla Peyzaj" (1939) ve "Uzay İçin Nostalji" (1939) gibi "çok boyutlu uzay resimleri" olarak adlandırılanlardır. Öte yandan, 1939'da Arjantinli yazar Ernesto Sabato ile birlikte Dominguez, zamanın katılaşması veya letokronizm teorisini formüle etti. Onun "kronik yaz" yüzeyleri, hareketi temsil ettikleri için bir anlamda fütürizmle bağlantılıdır.Bu yüzeyler, belirli bir zaman aralığında üç boyutlu bir nesneyi karakterize eden uzay-zaman sürekliliğinin çubuklarının grafik bir temsilidir. Bu dönemin tipik bir eseri "Yaz Kronik Kılıcı,
Amerika Birleşik Devletleri sanatında dördüncü boyut
Amerika Birleşik Devletleri'nde, özellikle New York'ta, Paris avangard hareketinin gerisinde kalmasına rağmen, sanat da dördüncü boyuttan etkilenmiştir. Dünyanın geri kalanında olduğu gibi, geometri, teozofi ve bilimkurgudaki devrim, çok boyutlu uzaylara olan kamu ilgisinin artmasına neden oldu. Ayrıca Hinton'un birkaç yıl Amerika Birleşik Devletleri'nde yaşadığını ve bu fikirlerin yayılmasına katkıda bulunan çok popüler bir figür olduğunu belirtmek gerekir. Sanat dünyasında, teosofist ve mimar Claude Bragdon'ın yayınları büyük önem taşıyordu, Max Weber'i Paris'ten döndükten sonra ve ayrıca New York'a taşınan Puteaux grubunun üyelerini, özellikle Francis Picabia ve Marcel Duchamp'ı etkiledi. .Weber ve Picabia, Alfred Stieglitz grubundaydı ve Duchamp, Arensberg'in grubunun bir üyesiydi.
Polonya'nın Bialystok şehrinde, o zamanlar Rus İmparatorluğu’nun bir parçası olan Amerikalı sanatçı Max Weber'in 1914 yılında çekilmiş bir fotoğrafı.
The Fourth Dimension in plastisite açısından yazarı Max Weber, bir tanesi The Interior of the Fourth Dimension (1913) adlı eserlerinde bu temayı aktif olarak kullanmıştır. Weber'in yorumu, Kübist yaklaşımın ve Duchamp'ın Merdivenden İnen Çıplak Nü tarzındaki ilerici biçimlerin bir karışımıydı. No. 2". Weber için dördüncü boyut, manevi ve dini yönleri içeriyordu.
SONSÖZ
Dördüncü boyut, bir asırdan fazla bir süredir kamuoyunun dikkatini çekmesine rağmen, son derece alakalı bir konu olmaya devam ediyor. Bunu doğrulamak için herhangi bir İnternet arama motoruna "dördüncü boyut" kelimesini yazmanız yeterlidir. Sanat, din, bilim kurgu, bilim, teknoloji, görselleştirme uygulamaları (örneğin sağlıkta) ve diğerleri gibi insan faaliyetinin çeşitli alanlarında bu konuyla ilgili çok sayıda referans bulunacaktır. Ayrıca, bilim kurgu, deneme ve kurgu dışı kitaplar da dahil olmak üzere bu konuda bugüne kadar yeni yayınlar yayınlanmaya devam ediyor. Dördüncü boyutta çocuklar ve gençler için edebiyat bile var. Bu tema doğal olarak dizilerde de karşımıza çıkıyor.
Bu yenilenen ilgi topluma özgü değildir. Bilimde, özellikle sicim teorisinde, Evrenimizin hem uzaysal hem de zamansal olarak büyük boyutlu (10, I veya 26) bir uzayda var olabileceğini öne süren modeller tartışılmaktadır. Buna ek olarak, bir zamanlar imkansız görünen şeyi kanıtlayabilen parçacık hızlandırıcısı (Büyük Hadron Çarpıştırıcısı) ile ilgili konuların medyada kapsamlı bir şekilde yer alması, yalnızca dördüncü değil, ek uzamsal boyutların varlığını da kanıtlamaktadır.
Dördüncü boyut
Dünyamız başka bir evrenin gölgesi mi?
Nadiren, matematiksel teoriler yüksek bilimsel alanlardan kitle kültürü düzeyine iner. Bununla birlikte, 19. ve 20. yüzyılların başında, insanlar bizim üç boyutlu gerçekliğimizin ötesinde başka boyutların olasılığı karşısında büyülendiler. Evreni tanımlamak için dördüncü boyutu kullanan bilim adamları sayesinde bu fikir, kitlelerin hayal gücünü ele geçirdi. Filozoflar, ilahiyatçılar, mistikler, yazarlar ve sanatçılar dünyamızın çok boyutluluğu sorunuyla ilgilendiler. Ayrıca matematikçilerin araştırmalarını analiz etmeye ve diğer boyutların varlığının ne kadar gerçek olduğu hakkında spekülasyon yapmaya çalışacağız.
« Prev Post
Next Post »